Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(D) चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $(B)$ का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है।
एक टेस्ला वह चुंबकीय क्षेत्र है जो क्षेत्र के लंबवत $1 \ m/s$ के वेग से गतिमान $1 \ C$ के आवेश पर $1 \ N$ का बल लगाता है।

(B) $CGS$ पद्धति में चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $(B)$ का मात्रक गॉस $(G)$ है।
$1 \text{ Gauss} = 10^{-4} \text{ Tesla}$.
अतः,गॉस चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ का मात्रक है।

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर गति कर रहा है,इसलिए $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ है,अतः $\vec{F}_m = 0$ होता है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक $(q = -e)$ होता है,इसलिए विद्युत बल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विद्युत क्षेत्र की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए विद्युत बल उसके वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। यह बल एक मंदक बल के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग कम हो जाता है। अतः,इलेक्ट्रॉन के वेग का परिमाण घट जाएगा।

(C) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित होने के बाद चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$
चूंकि आवेश $q$,विभवांतर $V$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{m}$ है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{m_X}{m_Y} = (\frac{R_1}{R_2})^2$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{Bq}$ है।
यहाँ,$v = 2 \times 10^5 \ m/s$,$B = 4 \times 10^{-2} \ T$,और विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 5 \times 10^7 \ C/kg$ है।
हम सूत्र को $r = \frac{v}{(\frac{q}{m})B}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{2 \times 10^5}{(5 \times 10^7) \times (4 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{2 \times 10^5}{20 \times 10^5}$
$r = \frac{2}{20} = 0.1 \ m$.

(B) जब $q$ आवेश और $p$ संवेग वाला एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
चूंकि संवेग $p = mv$ है,हम लिख सकते हैं $qvB = \frac{pv}{r}$।
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r = \frac{p}{qB}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि त्रिज्या $r$,कण के संवेग $p$ के सीधे आनुपातिक है $(r \propto p)$।

(B) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{qB}$।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mv}{qr}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान:
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$ = $9 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $(v)$ = $10^6 \ m/s$
आवेश $(q)$ = $1.6 \times 10^{-19} \ C$
त्रिज्या $(r)$ = $0.10 \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{9 \times 10^{-31} \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$
$B = \frac{9 \times 10^{-25}}{0.16 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{9}{0.16} \times 10^{-6} \ T$
$B = 56.25 \times 10^{-6} \ T = 5.625 \times 10^{-5} \ T$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$B = 5.6 \times 10^{-5} \ T$ प्राप्त होता है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिज ऊर्जा $K$ के साथ गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि $K$ और $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ है।
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m$ और $q_p = e$. अतः,$r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$. अतः,$r_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e}$.
दोनों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $r_p = r_{\alpha}$ है।
अतः,दोनों कण समान त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ में गति करेंगे।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में $\overrightarrow{v}$ वेग से गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
सदिश गुणन (क्रॉस प्रोडक्ट) के गुणों के अनुसार,परिणामी सदिश $\overrightarrow{F}$ हमेशा $\overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{B}$ सदिशों वाले तल के लंबवत होता है।
इसलिए,बल कण के वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है।

(C) जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला एक कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से चलता है,तो चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि वेग $v$ चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत है,तो उनके बीच का कोण $90^\circ$ होता है।
बल का परिमाण $F = qvB \sin(90^\circ) = qvB$ होता है।
यह बल वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत कार्य करता है,जो अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए कण की गति स्थिर रहती है,लेकिन दिशा लगातार बदलती रहती है।
यह निरंतर लंबवत बल एक समान वृत्तीय गति का कारण बनता है।
इसलिए,आवेशित कण का पथ एक वृत्त होता है।

(D) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से $\theta$ कोण (जहाँ $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) पर प्रवेश करता है,तो वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक $v \sin \theta$,जो वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के समांतर घटक $v \cos \theta$,जो कण को चुंबकीय क्षेत्र की रेखाओं के अनुदिश रैखिक गति कराता है।
इन दोनों गतियों के संयोजन के परिणामस्वरूप कण का पथ हेलिकल (कुंडलिनी) हो जाता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
यहाँ,धनात्मक आवेशित कणों का वेग $\overrightarrow{v}$ पृथ्वी की ओर नीचे की दिशा में है।
भूमध्य रेखा पर पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ दक्षिण से उत्तर दिशा की ओर होता है।
सदिश गुणनफल $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर (जहाँ $\overrightarrow{v}$ नीचे की ओर है और $\overrightarrow{B}$ उत्तर की ओर है),बल $\overrightarrow{F}$ की दिशा पूर्व की ओर प्राप्त होती है।
अतः,धनात्मक आवेशित कण पूर्व दिशा की ओर विक्षेपित होंगे।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि प्रोटॉन क्षेत्र के लंबवत गति कर रहा है,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $F = qvB$ होगा।
दिया गया है: ऊर्जा $E = 2 \, MeV = 2 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-13} \, J$.
प्रोटॉन का द्रव्यमान $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \, kg$.
वेग $v = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-13}}{1.67 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{3.83 \times 10^{14}} \approx 1.96 \times 10^7 \, m/s$.
बल $F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (1.96 \times 10^7 \, m/s) \times (2.5 \, T) \approx 7.84 \times 10^{-12} \, N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7.6 \times 10^{-12} \, N$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में वेग $\overrightarrow{v}$ के साथ गति करने वाले आवेशित कण पर चुंबकीय बल $\overrightarrow{F}$ को लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
चूंकि सदिश गुणनफल $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = vB \sin(\theta) \hat{n}$ है,जहाँ $\theta$ वेग $\overrightarrow{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण है,इसलिए बल तब शून्य होता है जब $\sin(\theta) = 0$ हो।
यह तब होता है जब $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 180^\circ$ हो,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{B}$ समानांतर या प्रति-समानांतर हैं।
इसलिए,यदि $\overrightarrow{B}$ और $\overrightarrow{v}$ समानांतर हैं तो बल शून्य होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
यहाँ,प्रोटॉन का वेग $Z$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए $\overrightarrow{v} = v\hat{k}$.
चुंबकीय क्षेत्र $X$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए $\overrightarrow{B} = B\hat{i}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\overrightarrow{F} = q(v\hat{k} \times B\hat{i})$.
इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट नियमों का उपयोग करते हुए $(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j})$,हमें $\overrightarrow{F} = qvB\hat{j}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\hat{j}$,$Y$-अक्ष को दर्शाता है,इसलिए बल $Y$-अक्ष के अनुदिश कार्य करेगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
समान त्रिज्या $r$ और समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए,$r \propto \frac{\sqrt{mK}}{q}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r^2 \propto \frac{mK}{q^2}$,जिसका अर्थ है $K \propto \frac{q^2}{m}$।
इसलिए,$\frac{K_p}{K_\alpha} = \left( \frac{q_p}{q_\alpha} \right)^2 \times \frac{m_\alpha}{m_p}$।
यहाँ $q_p = e$,$q_\alpha = 2e$,$m_p = m$,और $m_\alpha = 4m$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1\, MeV}{K_\alpha} = \left( \frac{e}{2e} \right)^2 \times \frac{4m}{m} = \left( \frac{1}{4} \right) \times 4 = 1$।
अतः,$K_\alpha = 1\, MeV$।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $q$ कण का आवेश है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $r \propto \frac{1}{B}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है जब चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = B$ है।
मान लीजिए अंतिम त्रिज्या $r_2$ है जब चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = B/2$ है।
समानुपातिकता $r_1 B_1 = r_2 B_2$ का उपयोग करने पर:
$r \times B = r_2 \times (B/2)$
$r_2 = \frac{r \times B}{B/2} = 2r$.
अतः,त्रिज्या बढ़कर $2r$ हो जाती है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन के लिए,$5$ चक्कर लगाने में लगा समय $25 \ \mu s$ है,इसलिए आवर्तकाल $T_p = \frac{25 \ \mu s}{5} = 5 \ \mu s$ है।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः,$T_{\alpha} = 2 \times T_p = 2 \times 5 \ \mu s = 10 \ \mu s$।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रोटॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin(90^\circ) = 1$ होगा।
अतः,बल $F = qvB$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = qvB$ होगा।
त्वरण $a = \frac{qvB}{m}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर:
$a = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3.4 \times 10^7 \, m/s) \times (2 \, Wb/m^2)}{1.67 \times 10^{-27} \, kg}$.
$a = \frac{10.88 \times 10^{-12}}{1.67 \times 10^{-27}} \, m/s^2$.
$a \approx 6.515 \times 10^{15} \, m/s^2$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$a = 6.5 \times 10^{15} \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 0.45\,m$
गति $v = 2.6 \times 10^7\,m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 0.45}{2.6 \times 10^7}$
$T = \frac{2.826}{2.6 \times 10^7}$
$T \approx 1.0869 \times 10^{-7}\,s$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $T \approx 1.1 \times 10^{-7}\,s$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कण लंबवत नीचे की ओर गति करता है और क्षेत्र क्षैतिज (दक्षिण से उत्तर) है,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है,अतः $\sin 90^\circ = 1$। इसलिए,$F = qvB$।
दी गई गतिज ऊर्जा $K = 5 \ MeV = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 8 \times 10^{-13} \ J$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ प्राप्त होता है।
बल के समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $F = qB \sqrt{\frac{2K}{m}}$।
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times 1.5 \times \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{-13}}{1.7 \times 10^{-27}}}$।
$F = 2.4 \times 10^{-19} \times \sqrt{9.41 \times 10^{14}} \approx 2.4 \times 10^{-19} \times 3.067 \times 10^7$।
$F \approx 7.36 \times 10^{-12} \ N$,जो लगभग $7.4 \times 10^{-12} \ N$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$।
चूंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर है,इसलिए इसका वेग $v = 0$ है।
अतः,चुंबकीय बल $F = q(0 \times B) = 0$ होता है।
चूंकि स्थिर इलेक्ट्रॉन पर कोई शुद्ध बल कार्य नहीं करता है,इसलिए यह स्थिर रहता है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ गति है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि $m$,$q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्या गति के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $r \propto v$।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2\, cm$ और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ दी गई है।
यदि गति दोगुनी कर दी जाए,तो $v_2 = 2v$ होगा।
इसलिए,नई त्रिज्या $r_2$ के लिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2v}{v} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_2 = 2 \times r_1 = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$K$ गतिज ऊर्जा है,और $q$ आवेश है।
इससे,हम लिख सकते हैं $K = \frac{r^2 q^2 B^2}{2m}$.
चूंकि दोनों कणों के लिए $r$ और $B$ समान हैं,इसलिए $K \propto \frac{q^2}{m}$ होगा।
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए,$q_d = e$ और $m_d = 2m_p$ है। प्रोटॉन $(p)$ के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m_p$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{K_p}{K_d} = \left( \frac{q_p}{q_d} \right)^2 \times \left( \frac{m_d}{m_p} \right) = \left( \frac{e}{e} \right)^2 \times \left( \frac{2m_p}{m_p} \right) = 1^2 \times 2 = 2$.
अतः,$K_p = 2 \times K_d = 2 \times 50 \, keV = 100 \, keV$।

(B) आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = q(v \times B) = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन के लिए,वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ है। बल $F = qvB \sin 90^\circ = qvB$ अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे प्रोटॉन स्थिर गति के साथ वृत्ताकार पथ पर चलता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,वेग चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के समानांतर है,इसलिए $\theta = 0^\circ$ है। बल $F = qvB \sin 0^\circ = 0$ है। चूंकि इलेक्ट्रॉन पर कोई बल कार्य नहीं करता है,इसलिए इसकी गति अप्रभावित रहती है (यह एक सीधी रेखा में चलना जारी रखता है)।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक है $(q = -e)$।
वेग $\vec{v}$ पूर्व की ओर है (मान लीजिए यह $+x$ दिशा है)।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है (मान लीजिए यह $-z$ दिशा है)।
सदिश गुणनफल का उपयोग करने पर: $\vec{v} \times \vec{B} = (v \hat{i}) \times (-B \hat{k}) = -vB(\hat{i} \times \hat{k}) = -vB(-\hat{j}) = vB \hat{j}$ (जो उत्तर दिशा है)।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है,इसलिए बल $\vec{F} = -e(vB \hat{j}) = -evB \hat{j}$ होगा।
दिशा $-\hat{j}$ दक्षिण दिशा के अनुरूप है।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल दक्षिण दिशा में होगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
यह बल $\vec{F} = qvB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
यदि कण चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के आर-पार गति करता है,तो $\theta \neq 0$ और $\theta \neq 180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\sin \theta \neq 0$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-शून्य चुंबकीय बल कार्य करता है।
यदि कण चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के अनुदिश गति करता है,तो $\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\sin \theta = 0$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय बल शून्य होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $q = 10^{-12} \, C$,$\vec{v} = 10^5 \hat{i} \, m/s$,और $\vec{F} = 10^{-10} \hat{j} \, N$।
बल का परिमाण $F = qvB \sin \theta$ है।
न्यूनतम चुंबकीय क्षेत्र के लिए,हम $\sin \theta = 1$ (अर्थात $\theta = 90^\circ$) मानते हैं,इसलिए $F = qvB$।
अतः,$B_{\min} = \frac{F}{qv} = \frac{10^{-10}}{10^{-12} \times 10^5} = \frac{10^{-10}}{10^{-7}} = 10^{-3} \, T$।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चूंकि $\vec{v}$,$\hat{i}$ दिशा में है और $\vec{F}$,$\hat{j}$ दिशा में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $\hat{k}$ दिशा में होना चाहिए।

(D) जब $q$ आवेश वाला कोई कण विरामावस्था से $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित होता है, तो कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार उसकी गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
चूंकि विभवांतर $V$ सभी कणों के लिए समान है, इसलिए गतिज ऊर्जा कण के आवेश के सीधे समानुपाती होती है, अर्थात $K \propto q$.
प्रोटॉन $(p)$, ड्यूटेरॉन $(d)$ और $\alpha$-कण $(\alpha)$ के लिए आवेश इस प्रकार हैं:
$q_p = e$
$q_d = e$
$q_\alpha = 2e$
अतः, उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात होगा:
$K_p : K_d : K_\alpha = q_p : q_d : q_\alpha = e : e : 2e = 1 : 1 : 2$।

(D) विकल्प $(D)$ सही है।
लोरेंत्ज़ बल के नियम के अनुसार,एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शुद्ध बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि चुंबकीय बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है,इसलिए आवेशित कण की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है,भले ही उस पर चुंबकीय बल कार्य कर रहा हो।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,हमें $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यहाँ गतिज ऊर्जा $K$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के लिए आवेश का परिमाण समान $(|q_e| = |q_p| = e)$ है,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_e}{r_p} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $m_p$ से बहुत कम है $(m_e < m_p)$,इसलिए $r_e < r_p$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$Y$-अक्ष के अनुदिश है। वेग $\vec{v}$,$X$-अक्ष के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है,इसलिए यह $Y$-अक्ष ($\vec{B}$ की दिशा) के साथ $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ का कोण बनाता है।
चूंकि वेग का एक घटक चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रोटॉन का पथ एक हेलिक्स (कुंडलिनी) होगा।
हेलिक्स की त्रिज्या $r = \frac{mv \sin \theta}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta = 30^\circ$,$\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
$r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6 \times \sin 30^\circ}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} = \frac{1.67 \times 10^{-21} \times 0.5}{1.664 \times 10^{-20}} \approx 0.1 \, m$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 2\pi \times 10^{-7} \, s$.

(A) चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{R} = qvB$,जो सरल होकर $R = \frac{mv}{qB}$ हो जाता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$।
प्रोटॉन के लिए,${R_p} = \frac{\sqrt{2{m_p}E}}{{q_p}B}$। ड्यूटेरॉन के लिए,${R_d} = \frac{\sqrt{2{m_d}E}}{{q_d}B}$।
चूंकि ड्यूटेरॉन का आवेश प्रोटॉन के समान $(q_d = q_p)$ है और इसका द्रव्यमान प्रोटॉन का दोगुना $(m_d = 2{m_p})$ है,इसलिए:
$\frac{{R_d}}{{R_p}} = \sqrt{\frac{m_d}{m_p}} = \sqrt{\frac{2{m_p}}{{m_p}}} = \sqrt{2}$।
अतः,${R_d} = \sqrt{2} {R_p}$।

(C) विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों में गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला कुल बल लॉरेंट्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$।
प्रोटॉन के बिना विक्षेपित हुए गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{F} = 0$।
इसका अर्थ है $q\overrightarrow{E} = -q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$,या $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब $\overrightarrow{E}$,$\overrightarrow{B}$ और $\overrightarrow{v}$ एक-दूसरे के परस्पर लंबवत हों।
इस विन्यास में,विद्युत बल का परिमाण $|F_e| = qE$ चुंबकीय बल के परिमाण $|F_m| = qvB$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$qE = qvB$,जो सरल होकर $v = \frac{E}{B}$ हो जाता है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश का परिमाण $q$ (प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों के लिए) और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए आवर्तकाल कण के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $T \propto m$।
हम जानते हैं कि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से काफी अधिक होता है,अर्थात $m_p > m_e$।
इसलिए,प्रोटॉन का आवर्तकाल इलेक्ट्रॉन के आवर्तकाल से अधिक होगा।

(A) जब एक आवेशित कण अनुप्रस्थ चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो चुंबकीय लॉरेंज बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$evB = \frac{mv^2}{r}$
विशिष्ट आवेश $e/m$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$eB = \frac{mv}{r}$
$\frac{e}{m} = \frac{v}{Br}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब कोई आवेशित कण परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विचलित हुए गुजरता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि विद्युत बल का परिमाण चुंबकीय बल के परिमाण के बराबर और दिशा विपरीत होती है।
गणितीय रूप से,$F_e = F_m$।
चूंकि $F_e = qE$ और $F_m = qvB$,इसलिए $qE = qvB$ होता है।
अतः,$E = vB$।
यहाँ $v = 5 \times 10^6 \, m/s$ और $B = 0.02 \, T$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर,$E = (5 \times 10^6) \times 0.02 = 10^5 \, V/m$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि इलेक्ट्रॉन एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता है,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $F = evB$ होगा।
$F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (4 \times 10^6 \, m/s) \times (2 \times 10^{-1} \, T) = 1.28 \times 10^{-13} \, N$.
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल चुंबकीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = evB$.
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,$r = \frac{mv}{eB}$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{(9 \times 10^{-31} \, kg) \times (4 \times 10^6 \, m/s)}{(1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (2 \times 10^{-1} \, T)} = \frac{36 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-20}} = 1.125 \times 10^{-4} \, m \approx 1.1 \times 10^{-4} \, m$.

(C) जब कोई आवेशित कण $v$ वेग के साथ चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया गया चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल अनुभव करता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है। चूंकि किया गया कार्य $0$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,इलेक्ट्रॉन की गति समान रहती है,हालांकि उसकी गति की दिशा बदल जाती है।

(B) गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q$ ऋणात्मक $(-e)$ होता है।
दिया गया है: वेग $\vec{v}$ उत्तर दिशा में है,और बल $\vec{F}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा में है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,यदि $\vec{v}$ उत्तर दिशा में है और $\vec{F}$ (जो $-e(\vec{v} \times \vec{B})$ है) ऊपर की दिशा में है,तो $(\vec{v} \times \vec{B})$ को नीचे की दिशा में होना चाहिए।
यदि हम अपनी उंगलियों को उत्तर दिशा में रखें और उन्हें इस तरह मोड़ें कि अंगूठा नीचे की ओर इशारा करे,तो उंगलियां पश्चिम दिशा की ओर इशारा करती हैं।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ पश्चिम दिशा में है।

(D) एक लंबी धारावाही परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र उसकी अक्ष के अनुदिश होता है।
चूंकि प्रोटॉन परिनालिका की अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए उसका वेग सदिश $v$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ के समांतर है।
आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v$ और $B$ समांतर हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ है।
अतः,चुंबकीय बल $F = qvB \sin(\theta) = qvB \sin(0^\circ) = 0$ होता है।
चूंकि प्रोटॉन पर कोई चुंबकीय बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए वह अपने वेग में बिना किसी परिवर्तन के उसी पथ पर गति करना जारी रखेगा।

(A) जब एक आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है जो वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
$v = \frac{qBr}{m}$
परिक्रमण का आवर्तकाल $T$,एक वृत्त में तय की गई दूरी को चाल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{(qBr/m)} = \frac{2\pi m}{qB}$
परिक्रमण की आवृत्ति $\nu$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है:
$\nu = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ होगा।
त्रिज्या के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
दिए गए मान: $V = 12000\, V$,$B = 10^{-3}\, T$,$m = 9 \times 10^{-31}\, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
$r = \frac{1}{10^{-3}} \sqrt{\frac{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 12000}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10^3 \sqrt{\frac{216 \times 10^{-28}}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10^3 \sqrt{135 \times 10^{-9}} \approx 0.367\, m$.
अतः,$r = 36.7\, cm$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित एक आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $B$ और $V$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$ है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y} \cdot \frac{q_Y}{q_X}}$.
दिया गया है कि $q_Y = 2q_X$,समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y} \cdot \frac{2q_X}{q_X}} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y} \cdot 2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{m_X}{m_Y} \cdot 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$X$ के द्रव्यमान और $Y$ के द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_X}{m_Y} = \frac{R_1^2}{2R_2^2}$ है।

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
दिया गया है: $q = 10^{-11} \, C$,$\overrightarrow{v} = 10^8 \hat{j} \, m/s$,और $\overrightarrow{B} = 0.5 \hat{i} \, T$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{F} = 10^{-11} \times (10^8 \hat{j} \times 0.5 \hat{i})$
$\overrightarrow{F} = 10^{-11} \times 10^8 \times 0.5 \times (\hat{j} \times \hat{i})$
चूंकि $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{F} = 0.5 \times 10^{-3} \times (-\hat{k})$
$\overrightarrow{F} = 5 \times 10^{-4} \, N$,$-\hat{k}$ के अनुदिश।

(B) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,कण $x=0$ पर प्रवेश करता है और $x > 0$ क्षेत्र से बाहर निकलने से पहले एक अर्ध-वृत्ताकार पथ में गति करता है। $x > 0$ क्षेत्र में यह अधिकतम जितनी दूरी $d$ तक प्रवेश करेगा,वह इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के बराबर होती है।
अतः,$d = r = \frac{mv}{qB}$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहे एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$।
इस बल का परिमाण $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ के बीच का कोण है।
बल $F$ को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,बल तब अधिकतम होता है जब वेग $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।

(D) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $\theta$ कोण पर (जहाँ $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) प्रवेश करता है,तो उसके वेग $v$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर घटक $v \cos \theta$,जो कण को क्षेत्र की दिशा में एक सीधी रेखा में गति कराता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक $v \sin \theta$,जो कण को एक वृत्ताकार पथ पर गति कराता है।
चूंकि कण में समानांतर और लंबवत दोनों वेग घटक होते हैं,इसलिए परिणामी पथ हेलिक्स (कुंडलाकार) होता है। यहाँ $\theta = 45^\circ$ होने के कारण,पथ हेलिक्स होगा।

(B) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
पथ की त्रिज्या के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $r = \frac{mv}{qB}$.
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,हम लिख सकते हैं $mv = \sqrt{2mK}$.
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
समान गतिज ऊर्जा $K$ और समान आवेश $q$ के लिए,त्रिज्या द्रव्यमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $r \propto \sqrt{m}$.
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक है,इसलिए प्रोटॉन के पथ की त्रिज्या $(r_p)$ इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या $(r_e)$ से बड़ी होगी।
वक्रता की त्रिज्या जितनी बड़ी होती है,पथ उतना ही कम वक्र होता है। इसलिए,प्रोटॉन का प्रक्षेप पथ कम वक्र है।