Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $R = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના અર્ધ-વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર અર્ધ-અનંત હોવાથી,કણો અર્ધ-વર્તુળ પૂર્ણ કરીને ક્ષેત્ર વિસ્તારમાંથી બહાર આવશે,તેથી $(A)$ ખોટું છે.
કારણ કે કણો સમાન વેગ $v$ સાથે પ્રવેશ કરે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે,તેઓ તેમના પ્રવેશની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બહાર આવશે,પરંતુ હજુ પણ એકબીજાને સમાંતર રહેશે. આમ,$(B)$ સાચું છે.
અર્ધ-વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\pi m}{qB}$ છે.
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,પ્રોટોનને બહાર આવવા માટે લાગતો સમય ઇલેક્ટ્રોન કરતા ઘણો વધારે હશે. આમ,$(D)$ સાચું છે અને $(C)$ ખોટું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બંને $y$-અક્ષની દિશામાં છે. લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
$1$. જો $\theta=0^{\circ}$ હોય,તો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{i}$ છે. ચુંબકીય બળ $\vec{F}_B = q(v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{j}) = q v_0 B_0 \hat{k}$ એ $z$-દિશામાં લાગે છે,જે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે. સાથે જ,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ એ $y$-અક્ષ પર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે. આમ,માર્ગ $y$-અક્ષ પર વધતી જતી પિચ સાથેની હેલિકલ ગતિ છે. તેથી $(A)$ અને $(B)$ ખોટા છે.
$2$. જો $\theta=10^{\circ}$ હોય,તો વેગના ઘટકો $v_x = v \cos \theta$ અને $v_y = v \sin \theta$ છે. ચુંબકીય બળ માત્ર $v_x$ પર આધાર રાખે છે,જે $x-z$ સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે છે. વિદ્યુત બળ અને $v_y$ ને કારણે $y$-અક્ષ પર પ્રવેગી ગતિ થાય છે. સંયુક્ત ગતિ વધતી જતી પિચ સાથેની હેલિકલ ગતિ છે. તેથી $(C)$ સાચું છે.
$3$. જો $\theta=90^{\circ}$ હોય,તો વેગ $\vec{v} = v_0 \hat{j}$ છે. $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{F}_B = 0$ થાય. કણ માત્ર વિદ્યુત બળ $\vec{F}_E = q E_0 \hat{j}$ અનુભવે છે,જેના પરિણામે $y$-અક્ષ પર સુરેખ પ્રવેગી ગતિ થાય છે. તેથી $(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(C)$ અને $(D)$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y > 0$ વિસ્તાર માટે,ત્રિજ્યા $R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ છે.
$y < 0$ વિસ્તાર માટે,ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{mv_0}{qB_2}$ છે.
આપેલ છે કે $B_2 = 4B_1$,તેથી $R_2 = \frac{mv_0}{q(4B_1)} = \frac{R_1}{4}$ મળે.
કણ $y > 0$ વિસ્તારમાં $R_1$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં અને ત્યારબાદ $y < 0$ વિસ્તારમાં $R_2$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
$x$-અક્ષ પર કાપેલું કુલ અંતર $\Delta x = 2R_1 + 2R_2 = 2R_1 + 2(\frac{R_1}{4}) = 2R_1 + \frac{R_1}{2} = \frac{5R_1}{2}$ છે.
$y > 0$ વિસ્તારમાં અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ છે.
$y < 0$ વિસ્તારમાં અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{\pi m}{qB_2} = \frac{\pi m}{q(4B_1)} = \frac{t_1}{4}$ છે.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = t_1 + \frac{t_1}{4} = \frac{5t_1}{4}$ છે.
$x$-અક્ષ પર સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{\Delta x}{T} = \frac{5R_1/2}{5t_1/4} = \frac{5R_1}{2} \times \frac{4}{5t_1} = 2 \frac{R_1}{t_1}$ છે.
$R_1 = \frac{mv_0}{qB_1}$ અને $t_1 = \frac{\pi m}{qB_1}$ મૂકતા,આપણને $v_{avg} = 2 \frac{mv_0/qB_1}{\pi m/qB_1} = 2 \frac{v_0}{\pi}$ મળે છે.
$v_0 = \pi \text{ m s}^{-1}$ આપેલ હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = 2 \frac{\pi}{\pi} = 2 \text{ m s}^{-1}$ થાય.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત થતો હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે.
$\alpha$-કણ માટે: $m_\alpha = 4 \text{ amu}$,$q_\alpha = 2e$.
સલ્ફર આયન માટે: $m_s = 32 \text{ amu}$,$q_s = 1e$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_s}{r_\alpha} = \frac{\sqrt{m_s/q_s}}{\sqrt{m_\alpha/q_\alpha}} = \sqrt{\frac{m_s}{m_\alpha} \cdot \frac{q_\alpha}{q_s}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_s}{r_\alpha} = \sqrt{\frac{32}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = 4\hat{i} \text{ m/s}$ છે. અંતિમ વેગ $\vec{u}_2 = 2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j} \text{ m/s}$ છે.
ચુંબકીય બળ વેગને લંબ હોવાથી,ઝડપ અચળ રહે છે: $|\vec{u}_1| = |\vec{u}_2| = 4 \text{ m/s}$.
વિચલન કોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
કણ $+y$ દિશામાં વિચલિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ચુંબકીય બળ $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ નો $y$-ઘટક ધન છે. જો $\vec{v}$ એ $x$-દિશામાં હોય,તો $\hat{i} \times \vec{B}$ નો $j$-ઘટક ધન હોવો જોઈએ,જે ત્યારે જ શક્ય છે જો $\vec{B}$ એ $-z$ દિશામાં હોય.
ચાપ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\theta M}{QB}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 10 \text{ ms} = 0.01 \text{ s}$,તેથી $0.01 = \frac{\pi/6 \cdot M}{QB}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{\pi M}{6 \cdot 0.01 \cdot Q} = \frac{100\pi M}{6Q} = \frac{50\pi M}{3Q}$.
આમ,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) આયનને $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેની ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ છે. વેગમાન $p = \sqrt{2mqV}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,આયન $R = \frac{p}{qB} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$ ત્રિજ્યાના અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
આયન ડિટેક્ટરને $x = 2R = \frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$ અંતરે અથડાય છે.
આપેલ છે $m = A_M \times (5/3) \times 10^{-27} \text{ kg}$,$V = 192 \text{ V}$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$B = 0.1 \text{ T}$.
$(A)$ $H^{+}$ $(A_M = 1)$ માટે: $x = \frac{2}{0.1}\sqrt{\frac{2 \times (5/3) \times 10^{-27} \times 192}{1.6 \times 10^{-19}}} = 20 \times \sqrt{400 \times 10^{-8}} = 4 \text{ cm}$. તેથી $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $A_M = 144$ માટે: $x = 4 \text{ cm} \times \sqrt{144} = 4 \times 12 = 48 \text{ cm}$. તેથી $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $A_M = 1$ માટે,$x_0 = 4 \text{ cm}$. $A_M = 196$ માટે,$x_1 = 4 \text{ cm} \times \sqrt{196} = 4 \times 14 = 56 \text{ cm}$. ઊંચાઈ $x_1 - x_0 = 56 - 4 = 52 \text{ cm}$ છે. તેથી $(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $A_M = 196$ માટે,$R = x/2 = 56/2 = 28 \text{ cm}$. તેથી $(D)$ ખોટું છે.

(D) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_m = F_c \Rightarrow evB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow mv = eBr$.
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
ક્વોન્ટાઈઝેશન શરતમાં $mv = eBr$ મૂકતા: $(eBr)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow er^2B = \frac{nh}{2\pi}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \sqrt{\frac{nh}{2\pi eB}}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
આ સમીકરણમાં $n = 2$ મૂકતા: $r = \sqrt{\frac{2h}{2\pi eB}} = \sqrt{\frac{h}{\pi eB}}$.

(A) જ્યારે પ્રોટોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન હોય છે: $eE = evB$,જે $E = vB$ અથવા $B = E/v$ આપે છે.
જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રોટોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે: $R = \frac{mv}{eB}$.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $B = E/v$ મૂકતા: $R = \frac{mv}{e(E/v)} = \frac{mv^2}{eE}$.
$E$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E = \frac{mv^2}{eR}$.
આપેલ છે: $m = 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$,$v = 2 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$,$R = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$E = \frac{(1.6 \times 10^{-27}) \times (2 \times 10^5)^2}{(1.6 \times 10^{-19}) \times 0.02} = \frac{1.6 \times 10^{-27} \times 4 \times 10^{10}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-2}} = \frac{4 \times 10^{-17}}{2 \times 10^{-21}} = 2 \times 10^4 \text{ N/C}$.
આને $x \times 10^4 \text{ N/C}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\vec{F} = 0$.
કારણ કે $\vec{F} = qvB \sin \theta$,$\vec{F} = 0$ માટે,વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનના વેગની દિશામાં સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોવું જોઈએ.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k})$ છે.
જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેના પર ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ લાગે છે. ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,ઝડપ $v_0$ અચળ રહે છે.
ધારો કે વેગ $\vec{v} = -v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે. બળ $\vec{F} = q(-v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi r} (-v_x \hat{j} - v_y \hat{i})$ છે.
પ્રવેગના ઘટકો $a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ અને $a_y = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_x$ છે.
$\frac{v_x dv_x}{dr} = a_x = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m r} v_y$ અને $v_y = \sqrt{v_0^2 - v_x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int_{0}^{v_0} \frac{v_x dv_x}{\sqrt{v_0^2 - v_x^2}} = -\frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \int_{a}^{x_1} \frac{dr}{r}$ મળે છે.
આને ઉકેલતા $v_0 = \frac{\mu_0 I q}{2 \pi m} \ln(\frac{a}{x_1})$ મળે છે,તેથી $x_1 = a e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$.
સમાનતાને કારણે,કણ $x = x_1 e^{-\frac{2 \pi m v_0}{\mu_0 I q}} = a e^{-\frac{4 \pi m v_0}{\mu_0 I q}}$ અંતરે પાછો ફરે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની વક્રતા ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $q$ એ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે.
વિધાન $A$ માટે: બંને આયનો સમાન વેગમાન $p$ ધરાવે છે. તેથી,$r \propto \frac{1}{q}$. $O^{-2}$ નો વિદ્યુતભાર $2e$ છે અને $H^{+}$ નો $1e$ છે,તેથી $O^{-2}$ માટે વક્રતા ત્રિજ્યા $r_{O} = \frac{p}{2eB}$ અને $H^{+}$ માટે $r_{H} = \frac{p}{eB}$ થાય. $r_{O} < r_{H}$ હોવાથી,$O^{-2}$ ની વક્રતા (જે $\frac{1}{r}$ છે) $H^{+}$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાન $A$ ખોટું છે.
કારણ $R$ માટે: સમાન વેગમાન $p$ ધરાવતા પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $r = \frac{p}{qB}$ છે. બંને સમાન વિદ્યુતભાર $e$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન હશે $(r_{p} = r_{e} = \frac{p}{eB})$. આમ,કારણ $R$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \ \mu C = 1.6 \times 10^{-6} \ C$
દળ $m = 16 \ \mu g = 16 \times 10^{-9} \ kg$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6.28 \ T$
જ્યારે કણને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરશે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 \pi m}{qB}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6} \times 6.28}$
$T = \frac{6.28 \times 16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6} \times 6.28}$
$T = \frac{16 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-6}}$
$T = 10 \times 10^{-3} \ s = 0.01 \ s$
આમ,મૂળ સ્થાને પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય $0.01 \ s$ છે.

(D) જ્યારે વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોય,ત્યારે વિદ્યુતભારીત કણ $R = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
વિસ્તાર $2$ માં,કણ $R_2 = \frac{mv}{qB_2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે અને બિંદુ $D$ પર આંતરપૃષ્ઠ પર પાછો ફરે છે. અંતર $AD = 2R_2 = \frac{2mv}{qB_2}$ થાય.
ત્યારબાદ,કણ વિસ્તાર $1$ માં પ્રવેશે છે અને $R_1 = \frac{mv}{qB_1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે અને બિંદુ $C$ પર આંતરપૃષ્ઠ પર પાછો ફરે છે. અંતર $AC = 2R_1 = \frac{2mv}{qB_1}$ થાય.
આંતરપૃષ્ઠ પરનું કુલ સ્થાનાંતર એ શરૂઆતના બિંદુ $A$ અને અંતિમ બિંદુ $C$ વચ્ચેનું અંતર છે. આંતરપૃષ્ઠ પર કણનું સ્થાનાંતર $AC = 2R_1 - 2R_2 = \frac{2mv}{qB_1} - \frac{2mv}{qB_2} = \frac{2mv}{qB_1} \left(1 - \frac{B_1}{B_2}\right)$ થાય.

(D) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$mv = qBr$
$r = \frac{mv}{qB}$
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ મળે.
$r$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$
આમ,$r = \left( \frac{\sqrt{2m}}{qB} \right) \sqrt{E}$
આ દર્શાવે છે કે $r \propto \sqrt{E}$.
$r$ વિરુદ્ધ $E$ નો આલેખ $E$-અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
આના પરથી,$K = \frac{r^2 q^2 B^2}{2m}$,જે સૂચવે છે કે $K \propto \frac{q^2 r^2}{m}$.
$\alpha$-કણ માટે,$q_{\alpha} = 2e$ અને $m_{\alpha} = 4m_p$. પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m_p$.
આપેલ છે કે $K_{\alpha} = 1 \text{ MeV}$ અને $r_{\alpha} = r$,આપણે $r_p = 2r$ માટે $K_p$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{K_{\alpha}}{K_p} = \frac{q_{\alpha}^2 r_{\alpha}^2}{m_{\alpha}} \times \frac{m_p}{q_p^2 r_p^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{K_p} = \frac{(2e)^2 (r)^2}{4m_p} \times \frac{m_p}{e^2 (2r)^2} = \frac{4e^2 r^2}{4m_p} \times \frac{m_p}{4e^2 r^2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$K_p = 4 \text{ MeV}$.

(C) વેગ સદિશ $y$-અક્ષ (ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા) સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. વેગનો એક ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોવાથી,પ્રોટોનનો માર્ગ હેલિક્સ (કુંતલ) આકારનો હશે.
હેલિકલ માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv \sin(30^{\circ})}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$v = 2 \times 10^6 \ m/s$,$\sin(30^{\circ}) = 0.5$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $B = 0.104 \ T$.
$r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6 \times 0.5}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 0.1 \ m$.
હેલિકલ ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
$T = \frac{2 \times \pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 2\pi \times 10^{-7} \ s$.
આમ,માર્ગ $0.1 \ m$ ત્રિજ્યા અને $2\pi \times 10^{-7} \ s$ આવર્તકાળ ધરાવતી હેલિક્સ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રોટોન $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય છે,જે પરથી $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે છે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા,$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે છે.
અહીં $V = 500 \times 10^3 \ V$,$B = 0.5 \ T$,$m = 1.6 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $d = 0.1 \ m$ આપેલ છે.
$r = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 500 \times 10^3}{1.6 \times 10^{-19}}} = 2 \sqrt{\frac{2 \times 10^{-24} \times 500 \times 10^3}{10^{-19}}} = 2 \sqrt{1000 \times 10^{-2}} = 2 \sqrt{10} \approx 0.2 \ m$.
પથની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{d}{r} = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં $\overrightarrow{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\overrightarrow{v} = v_x \hat{i}$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = B_y \hat{j}$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = -e(v_x \hat{i} \times B_y \hat{j})$
$\overrightarrow{F} = -e v_x B_y (\hat{i} \times \hat{j})$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,આપણને $\overrightarrow{F} = -e v_x B_y \hat{k}$ મળે છે.
બળ હંમેશા વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોય છે. વેગ $x$-દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-દિશામાં છે,તેથી બળ $z$-દિશામાં (ઇલેક્ટ્રોન માટે $-z$ દિશામાં) લાગે છે. કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ સમતલમાં,એટલે કે $xz$-સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરશે.

(C) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતો કણ જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં $r = \frac{mv}{qB}$ મૂકતા: $mv \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{nh}{2\pi}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{m^2 v^2}{qB} = \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે,જેમાંથી $mv^2 = \frac{nhqB}{2\pi m}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$mv^2$ નું પદ મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{nhqB}{2\pi m} \right) = \frac{nhqB}{4\pi m}$.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
તેથી,$vr = \frac{nh}{2 \pi m} \dots (i)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $mv = qBr$,અથવા $v = \frac{qBr}{m} \dots (ii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $v$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$(\frac{qBr}{m})r = \frac{nh}{2 \pi m}$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે. કારણ કે $mv = qBr$,તેથી $E = \frac{1}{2}m(\frac{qBr}{m})^2 = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $r^2$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{q^2 B^2}{2m} \times \frac{nh}{2 \pi qB} = \frac{nhqB}{4 \pi m}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન,કેથોડ કિરણો (ઇલેક્ટ્રોન) અને આલ્ફા કણો એ બધા વિદ્યુતભારિત કણો છે. તેથી,જ્યારે તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તેઓ ચુંબકીય બળ અનુભવે છે અને વિચલિત થાય છે.
ન્યુટ્રોન એ વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ કણો છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો વિદ્યુતભાર $q = 0$ છે.
વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,ચુંબકીય બળ $F = 0 \times (v \times B) = 0$ થાય છે.
આમ,ન્યુટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વિચલિત થઈ શકતા નથી.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$KE = eV = \frac{1}{2} mv^2$
આના પરથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ છે:
$v = \sqrt{\frac{2 eV}{m}}$
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,જેનું સૂત્ર છે:
$R = \frac{mv}{eB}$
$v$ ની કિંમત $R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2 eV}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{m^2 \cdot \frac{2 eV}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{2 Vme} = \sqrt{\frac{2 Vme}{e^2 B^2}} = \sqrt{\frac{2 Vm}{eB^2}}$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{V}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
અહીં $\vec{V} = a \hat{i}$ અને $\vec{B} = b \hat{j} + c \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{V} \times \vec{B} = (a \hat{i}) \times (b \hat{j} + c \hat{k}) = ab(\hat{i} \times \hat{j}) + ac(\hat{i} \times \hat{k})$.
એકમ સદિશના ગુણાકારના નિયમ મુજબ $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ હોવાથી,આપણને મળે: $\vec{V} \times \vec{B} = ab \hat{k} - ac \hat{j}$.
તેથી,$\vec{F} = q(ab \hat{k} - ac \hat{j})$.
બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = q \sqrt{(ab)^2 + (-ac)^2} = q \sqrt{a^2b^2 + a^2c^2} = qa \sqrt{b^2 + c^2}$ થાય.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = qvB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાની દિશામાં ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેના વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થાય છે.
આ કિંમતને બળના સૂત્રમાં મૂકતા: $F = qvB \sin 0^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 0^{\circ} = 0$,તેથી ચુંબકીય બળ $F = 0$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F = qvB = \frac{mv^2}{R}$.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
આ દર્શાવે છે કે $R \propto \sqrt{K}$.
જો ઉર્જા બમણી કરવામાં આવે $(K' = 2K)$,તો નવી ત્રિજ્યા $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R'}{R} = \sqrt{\frac{K'}{K}} = \sqrt{\frac{2K}{K}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$R' = \sqrt{2}R$.

(A) જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ માર્ગની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
જ્યાં $K$ એ કણની ગતિઊર્જા છે.
કણ $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતો હોવાથી,તેની ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય છે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{\sqrt{2m(qV)}}{qB} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 = \frac{2mqV}{q^2 B^2} = \frac{2mV}{qB^2}$
અહીં ત્રિજ્યા $r$ આપેલી હોવાથી,$r^2 = \frac{2mV}{qB^2}$ થાય.
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે,ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$\therefore R = \frac{mv}{qB}$ ... $(i)$
અહીં નવી ઝડપ $v' = \frac{v}{2}$ અને નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = 2B$ આપેલ છે.
નવી ત્રિજ્યા $R'$ નીચે મુજબ મળે:
$R' = \frac{mv'}{qB'} = \frac{m(v/2)}{q(2B)}$
$R' = \frac{mv}{4qB}$
સમીકરણ $(i)$ ને $R'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R' = \frac{R}{4}$

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $r \propto \sqrt{K}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
ધારો કે નવી ગતિઊર્જા $K_2 = 3K$ અને નવી ત્રિજ્યા $R_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $r \propto \sqrt{K}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_2}{R} = \sqrt{\frac{3K}{K}} = \sqrt{3}$.
તેથી,નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{3} \cdot R$ થશે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે, ત્યારે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{R} = qvB$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $v = \frac{qBR}{m}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.
અહીં $q$, $m$, અને $R$ અચળ હોવાથી, $E \propto B^2$ થાય.
જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને $4$ ગણું કરવામાં આવે $(B' = 4B)$, તો નવી ગતિ ઉર્જા $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' \propto (4B)^2 = 16B^2$.
તેથી, $E' = 16E$. આમ, ગતિ ઉર્જા $16$ ગણી વધશે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = evB = eB\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
આપેલ છે કે જ્યારે સ્થિતિમાન $V^{\prime}$ હોય ત્યારે નવું બળ $F^{\prime} = 2F$ થાય છે,તેથી $\frac{F^{\prime}}{F} = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$.
કિંમતો મૂકતા,$2 = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{V^{\prime}}{V}$,જેનો અર્થ છે કે $V^{\prime} = 4V$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V}{V^{\prime}} = \frac{V}{4V} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(D) સ્થિર વિદ્યુતભાર તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વિદ્યુત પ્રવાહની રચના કરે છે.
ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ મુજબ,વિદ્યુત પ્રવાહ તેની આસપાસના અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતભાર ગતિમાં હોવાથી,તે તેનું મૂળભૂત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ધરાવે છે અને સાથે સાથે તેની ગતિને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સમાન વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
જોકે,ગતિ દરમિયાન વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી,વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ બદલાય છે.
તેથી,વેગમાન બદલાય છે જ્યારે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે,જે પરિઘ અને વેગનો ગુણોત્તર છે:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi (mv/qB)}{v} = \frac{2 \pi m}{qB}$.
સૂત્ર $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ પરથી જોઈ શકાય છે કે,આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે.
તે વિદ્યુતભારના વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = Bqv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ થાય છે.
આના પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા,$F = B e \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B e \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
જો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધારીને $2V$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F' \propto \sqrt{2V}$ થશે.
તેથી,$\frac{F'}{F} = \frac{\sqrt{2V}}{\sqrt{V}} = \sqrt{2}$.
આમ,$F' = \sqrt{2}F$.

(B) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ જ્યારે સમાન લંબચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$ છે.
અહીં,$p$ એ વિદ્યુતભારિત કણનું વેગમાન છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે વેગમાન $p$ સમાન છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પણ સમાન છે,તેથી વક્રતા ત્રિજ્યા માત્ર કણના વિદ્યુતભાર $q$ પર આધાર રાખે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંનેના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન $(|q_e| = |q_p| = e)$ હોય છે.
તેથી,$r_e = \frac{p}{Be}$ અને $r_p = \frac{p}{Be}$,જેનો અર્થ છે કે $r_e = r_p$.
આમ,પરિભ્રમણની દિશાને અવગણતા,બંને કણો સમાન ત્રિજ્યાવાળા વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરશે.

(D) વર્તુળાકાર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને તે જ અક્ષ પર પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય છે.
તેથી,વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ કાં તો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\sin(0^{\circ}) = 0$ અથવા $\sin(180^{\circ}) = 0$ મળે છે.
આમ,$F = 0$. ઇલેક્ટ્રોન કોઈ બળ અનુભવશે નહીં.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q_0(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા વિદ્યુતભાર પર થતું કાર્ય શૂન્ય છે $(W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,જે સૂચવે છે કે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,અચળ ગતિઊર્જાનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતભારની ઝડપ $v$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,એક સેકન્ડ પછી $q_0$ ની ઝડપ $v$ જ રહેશે.

(C) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $M$ દળ ધરાવતો કણ $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} M v^{2} = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,વેગ $v = \sqrt{\frac{2qV}{M}}$ થાય.
જ્યારે આ કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $R = \frac{Mv}{qB}$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર પથ બનાવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \frac{M}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{M}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2MV}{q}}$ મળે છે.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$R \propto \sqrt{M}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R^{2} \propto M$.
તેથી,$\frac{M_{A}}{M_{B}} = \left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{2}$.

(D) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $Bqv = \frac{mv^2}{R}$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ થાય છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
આ દર્શાવે છે કે $R \propto \sqrt{K}$.
આપેલ છે કે નવી ગતિઊર્જા $K_2 = 3K_1$ છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $R_2$ અને મૂળ ત્રિજ્યા $R_1$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$R_2 = \sqrt{3} R$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B) = qvB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરતો હોવાથી,ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $F = qvB \sin(0^{\circ}) = qvB(0) = 0$.
તેથી,કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ શૂન્ય છે.

(D) $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી,વેગ $v$ એ $\sqrt{V}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ છે. ખૂણો $\theta$ અચળ રહેતા,$F \propto v$ થાય.
$v \propto \sqrt{V}$ હોવાથી,$F \propto \sqrt{V}$ મળે.
આપેલ છે કે $F_{1} \propto \sqrt{V_{1}}$ અને $F_{2} = 2F_{1} \propto \sqrt{V_{2}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\sqrt{V_{2}}}{\sqrt{V_{1}}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
જ્યારે આ કણ તેના વેગને લંબરૂપે રહેલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$ મળે છે.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \sqrt{m}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $r^2 \propto m$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_X}{m_Y} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ થાય.

(A) લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
કણ $a$ માટે ત્રિજ્યા $r_{a} = \frac{m_{a} v_{a}}{q B}$ છે.
કણ $b$ માટે ત્રિજ્યા $r_{b} = \frac{m_{b} v_{b}}{q B}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ $r_{a} > r_{b}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{m_{a} v_{a}}{q B} > \frac{m_{b} v_{b}}{q B}$.
અહીં વીજભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,તેમને દૂર કરી શકાય છે.
તેથી,$m_{a} v_{a} > m_{b} v_{b}$ મળે છે.

(B) જ્યારે $q$ વીજભાર અને $m$ દળ ધરાવતા આયનને $V$ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $E = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય છે. આના પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે છે.
જ્યારે આ આયન તેની ગતિને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશે છે,ત્યારે લોરેન્ઝ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે: $qvB = \frac{mv^2}{R}$.
બળના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $qvB = \frac{m}{R} \left(\frac{2qV}{m}\right) = \frac{2qV}{R}$.
વીજભાર-દળના ગુણોત્તર માટે સાદું રૂપ આપતા: $R = \frac{mv}{qB}$.
ત્રિજ્યાના સમીકરણમાં $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 = \frac{2mV}{qB^2}$.
$\frac{q}{m}$ ગુણોત્તર મેળવવા માટે ગોઠવતા: $\frac{q}{m} = \frac{2V}{R^2 B^2}$.
અહીં $V$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$\frac{q}{m} \propto \frac{1}{R^2}$ થાય છે.

(C) જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વીજભારિત કણની ગતિને લંબ હોય છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_{c} = F_{m}$
$\frac{m v^{2}}{R} = B q v$
આના પરથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{m v}{B q}$
વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T$ એ એક સંપૂર્ણ પરિઘ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{v} \left( \frac{m v}{B q} \right)$
$T = \frac{2 \pi m}{B q}$
આમ,$T$ માત્ર દળ $m$,વીજભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ત્રિજ્યા $R$ અને ઝડપ $v$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.