Ampere’s circuital law and its application (Solenoid and Toroid) Questions in Gujarati

(C) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા નળાકાર વાહકની અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. $r < R$ માટે (સળિયાની અંદર): $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$,જ્યાં $R$ એ સળિયાની ત્રિજ્યા છે.
$2$. $r > R$ માટે (સળિયાની બહાર): $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને વિસ્તારોમાં શૂન્ય નથી,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર સળિયાની અંદર અને બહાર બંને જગ્યાએ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
એક લાંબી પોલી પાઇપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માત્ર પાઇપની સપાટી પરથી વહે છે.
પાઇપની અંદર,કોઈપણ એમ્પીરીયન લૂપ શૂન્ય વિદ્યુતપ્રવાહને આવરી લેશે $(I_{enclosed} = 0)$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0$ થશે.
પાઇપની બહાર,અક્ષથી $r$ અંતરે,એમ્પીરીયન લૂપ કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને આવરી લે છે,જેના પરિણામે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર પાઇપની બહાર જ ઉત્પન્ન થાય છે.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખા સંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહના $\mu_0$ ગણું હોય છે,એટલે કે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
કોએક્સિયલ કેબલની બહાર અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એમ્પીરીયન લૂપ વિચારીએ છીએ.
આ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ એ આંતરિક વાહકમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(+i)$ અને બાહ્ય વાહકમાંથી પાછો ફરતો પ્રવાહ $(-i)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,$I_{\text{enclosed}} = i + (-i) = 0$.
જેহেতু ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી કેબલની બહારના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શૂન્ય હશે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
અહીં,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 10 \ turns/cm = 1000 \ turns/m$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \ A$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3$
$B = 20\pi \times 10^{-4} \ T$
$B = 2\pi \times 10^{-3} \ T$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ $n$ આંટા ધરાવતા અને $i$ એમ્પીયર પ્રવાહ વહેવડાવતા સોલેનોઇડ માટે,સોલેનોઇડની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 ni$
જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી (ચુંબકીય પારગમ્યતા) છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતા પ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 ni$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$B \propto ni$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$B = 20 \text{ mT} = 20 \times 10^{-3} \text{ T}$
$n = 20 \text{ turns/cm} = 20 \times 100 \text{ turns/m} = 2000 \text{ turns/m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A} \Rightarrow \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
પ્રવાહ $i$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$i = \frac{B}{\mu_0 n}$
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7} \times 2000}$
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{8\pi \times 10^{-4}}$
$i = \frac{200}{8\pi} = \frac{25}{\pi} \approx \frac{25}{3.14} \approx 7.96 \text{ A}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$i \approx 8 \text{ A}$ મળે છે.

(D) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ માર્ગ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખા સંકલન તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{enclosed}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે,એટલે કે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{enclosed}$.
એક લાંબી પોલા તાંબાની નળી માટે,જો આપણે નળીની અંદર (ત્રિજ્યા $r < R$ પર) એક એમ્પેરિયન લૂપ વિચારીએ,તો આ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય થાય છે કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ ફક્ત નળીના દ્રવ્યમાંથી જ વહે છે.
આમ,$i_{enclosed} = 0$ હોવાથી,નળીની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શૂન્ય હશે.

(C) એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 50 \, turns/cm = 5000 \, turns/m$. વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \, A$. શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$(i)$ આંતરિક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{in} = \mu_0 n I = (4\pi \times 10^{-7}) \times 5000 \times 4 = 25.12 \times 10^{-3} \, Wb/m^2 \approx 25.1 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$.
(ii) એક છેડા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{end} = \frac{1}{2} B_{in} = \frac{25.1 \times 10^{-3}}{2} = 12.55 \times 10^{-3} \, Wb/m^2 \approx 12.6 \times 10^{-3} \, Wb/m^2$.

(B) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે।
અહીં, $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે, જે $n = N/L$ તરીકે ગણવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $N = 4250$, $L = 1.0 \ m$, $I = 5.0 \ A$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
પ્રથમ, $n$ ની ગણતરી કરો: $n = 4250 / 1.0 = 4250 \ \text{આંટા}/m$.
હવે, કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 4250 \times 5.0$.
$B = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 21250$.
$B \approx 12.566 \times 10^{-7} \times 21250 \approx 0.0267 \ T$.
આમ, $B \approx 2.7 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(D) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
અહીં કુલ આંટાની સંખ્યા $N$ અને સોલેનોઈડની લંબાઈ $L$ આપેલી છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{L}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $B = \mu_0 \left( \frac{N}{L} \right) I$ મળે છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\mu_0 \frac{N}{L} I$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n i$
જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = N/l)$,
$i$ એ સોલેનોઈડમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે,
અને $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $(n)$ અને પ્રવાહ $(i)$ પર આધાર રાખે છે.
તે સોલેનોઈડની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
અનંત લંબાઈની,પાતળી દીવાલવાળી પાઇપ કે જેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,તેની અંદર પસંદ કરેલ કોઈપણ બંધ લૂપ શૂન્ય વિદ્યુતપ્રવાહને ઘેરે છે $(I_{\text{enclosed}} = 0)$.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જે સૂચવે છે કે પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શૂન્ય છે.

(A) ટોરોઇડ એ વાસ્તવમાં એક સોલેનોઇડ છે જેને વર્તુળાકાર આકારમાં વાળવામાં આવેલ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ $n$ આંટા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા ટોરોઇડ માટે,તેની અંદરના ભાગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
એમ્પિયરના નિયમ મુજબ,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
ટોરોઇડની અંદર $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ માટે,લંબાઈ $2\pi r$ છે અને કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n(2\pi r)$ છે.
તેથી,$B(2\pi r) = \mu_0 (n \cdot 2\pi r) i$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $B = \mu_0 ni$ મળે છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
પ્રતિ સેમી આંટા, $n' = 200 \, \text{turns/cm} = 200 \times 10^2 \, \text{turns/m} = 2 \times 10^4 \, \text{turns/m}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ, $I = 2.5 \, A$.
પરમીએબિલિટી, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 2.5$
$B = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^4$
$B = 20\pi \times 10^{-3} \, T$
$B = 2 \times 3.14 \times 10^{-2} \, T = 6.28 \times 10^{-2} \, Wb/m^2$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા નળાકાર તારની અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$ છે.
તારની અક્ષ પરના બિંદુ માટે,અંતર $r = 0$ થાય છે.
જેহেতু વિદ્યુતપ્રવાહ તારના આડછેદ પર વહેંચાયેલો છે,તેથી $r = 0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય છે $(I_{enclosed} = 0)$.
તેથી,તારની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $0\, T$ થાય છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B_{center} = \mu_0 nI$ છે.
લાંબા સોલેનોઈડના છેડાઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રના ક્ષેત્ર કરતા બરાબર અડધું હોય છે.
તેથી,છેડાઓ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{ends} = \frac{\mu_0 nI}{2}$ થાય.

(B) "વાહક તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતા તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે" તે વિધાન એમ્પિયરના નિયમના વિકાસ તરફ દોરી જતું મૂળભૂત અવલોકન દર્શાવે છે.
એમ્પિયરનો નિયમ બંધ ગાળાની આસપાસના સંકલિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને તે ગાળામાંથી પસાર થતા વિદ્યુતપ્રવાહ સાથે જોડે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બમણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $i' = 2i$ થાય છે.
જ્યારે પ્રતિ સેમી આંટાની સંખ્યા અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ નવી આંટાની સંખ્યા $n' = n/2$ થાય છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \mu_0 n' i' = \mu_0 (n/2) (2i) = \mu_0 n i$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$B' = B$ થાય છે.

(D) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 ni$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સોલેનોઈડ કોએક્સિયલ હોવાથી અને પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,આંતરિક કોઇલની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો તફાવત છે: $B_{net} = |B_1 - B_2|$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,$B_1 = B_2$ હોવું જોઈએ.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\mu_0 n_1 i_1 = \mu_0 n_2 i_2$ મળે છે,જે $n_1 i_1 = n_2 i_2$ માં પરિણમે છે.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો $n_1 i_1 = n_2 i_2$ હોય (વિકલ્પ $b$).
વધુમાં,જો $n_1 = n_2$ અને $i_1 = i_2$ હોય,તો $n_1 i_1 = n_2 i_2$ ની શરત પણ સંતોષાય છે (વિકલ્પ $c$).
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને વિકલ્પો સાચા છે.

(A) લાંબા સોલેનોઇડ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $B_{center} = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડના છેડાઓ પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{end} = \frac{1}{2} \mu_0 n i = \frac{1}{2} B_{center}$ હોય છે.
જેમ આપણે એક છેડા $(x=0)$ થી કેન્દ્ર તરફ જઈએ છીએ,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{1}{2} B_{center}$ થી વધીને $B_{center}$ થાય છે અને કેન્દ્રની નજીક લગભગ અચળ રહે છે,ત્યારબાદ બીજા છેડા તરફ જતાં ફરીથી ઘટે છે.
આલેખ $A$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જે છેડાથી ક્રમશઃ વધારો,કેન્દ્ર પર સ્થિરતા અને બીજા છેડા તરફ સપ્રમાણ ઘટાડો દર્શાવે છે.

(B) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = 3 \times 1000 = 3000$.
લંબાઈ $L = 1.5 \, m$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = N/L = 3000 / 1.5 = 2000 \, turns/m$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.0 \, A$.
ત્રિજ્યા $r = 2.0 \, cm = 0.02 \, m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \, m^2$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (\mu_0 n I) A$.
$\phi = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 2.0 \times (4\pi \times 10^{-4})$.
$\phi = 16 \pi^2 \times 10^{-7} \times 4000 \times 10^{-4} = 64 \pi^2 \times 10^{-8} \approx 6.31 \times 10^{-6} \, Wb$.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = \mu_0 n i$, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે。
આપેલ છે: $n = 20 \text{ turns/cm} = 2000 \text{ turns/m}$.
આપેલ છે: $B = 20 \text{ mT} = 20 \times 10^{-3} \text{ T}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$20 \times 10^{-3} = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times i$
$20 \times 10^{-3} = 8\pi \times 10^{-4} \times i$
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{8\pi \times 10^{-4}} = \frac{200}{8\pi} = \frac{25}{\pi} \approx 7.96 \text{ A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, પ્રવાહ $8 \text{ A}$ મળે છે。

(D) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીયક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 0.1 \ m$,આંટાની સંખ્યા $N = 500$,પ્રવાહ $i = 0.5 \ A$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{2\pi R}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{500}{2\pi \times 0.1} = \frac{500}{0.2\pi} = \frac{2500}{\pi} \ m^{-1}$.
હવે,$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times \left(\frac{2500}{\pi}\right) \times 0.5$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 2500 \times 0.5$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 1250$.
$B = 5000 \times 10^{-7} \ T = 5 \times 10^{-4} \ T$.

(A) સીમિત સોલેનોઇડની અક્ષ પરના બિંદુ $P$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{2}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
જ્યાં $\theta_1$ અને $\theta_2$ એ સોલેનોઇડના છેડાઓ દ્વારા બિંદુ $P$ આગળ આંતરેલા ખૂણા છે.
આકૃતિ પરથી,$\theta_1 = 60^\circ$ અને $\theta_2 = 30^\circ$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{2}(\sin 60^\circ + \sin 30^\circ)$
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})$
$B = \frac{{{\mu _0}ni}}{4}(\sqrt{3} + 1)$

(D) આંતરિક ત્રિજ્યા $a = R$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $b = 2R$ ધરાવતા નળાકાર વાહક માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(a < r < b)$ ચુંબકીયક્ષેત્ર $B$ એમ્પીયરના નિયમ મુજબ:
$B(2\pi r) = \mu_0 I_{enclosed}$
$I_{enclosed} = i \left( \frac{r^2 - a^2}{b^2 - a^2} \right)$
અહીં $a = R$,$b = 2R$,અને $r = \frac{3R}{2}$ મૂકતા:
$I_{enclosed} = i \left( \frac{(\frac{3R}{2})^2 - R^2}{(2R)^2 - R^2} \right) = i \left( \frac{\frac{9R^2}{4} - R^2}{4R^2 - R^2} \right) = i \left( \frac{\frac{5R^2}{4}}{3R^2} \right) = i \left( \frac{5}{12} \right)$
હવે,$B = \frac{\mu_0 I_{enclosed}}{2\pi r} = \frac{\mu_0 (i \cdot \frac{5}{12})}{2\pi (\frac{3R}{2})}$
$B = \frac{5\mu_0 i}{12 \cdot 2\pi \cdot \frac{3R}{2}} = \frac{5\mu_0 i}{36\pi R}$

(C) સોલેનોઈડની અંદર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ પ્રવાહ છે અને $l$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $B = 0.2 \, T$,$l = 0.8 \, m$,$i = 10 \, A$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times N \times 10}{0.8}$.
$N$ માટે ઉકેલતા: $N = \frac{0.2 \times 0.8}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{0.16}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^4}{\pi}$.
તારની કુલ લંબાઈ $L = (2\pi r) \times N$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
$L = 2\pi \times (3 \times 10^{-2}) \times \frac{4 \times 10^4}{\pi}$.
$L = 6 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^4 = 24 \times 10^2 = 2.4 \times 10^3 \, m$.

(C) સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ પ્રવાહ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $B = 0.2\, T$,$i = 10\, A$,$l = 0.8\, m$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times N \times 10}{0.8}$.
$N$ માટે ઉકેલતા: $N = \frac{0.2 \times 0.8}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{0.16}{4\pi \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^4}{\pi}$.
વાયરની લંબાઈ $L$ એ એક આંટાના પરિઘ અને કુલ આંટાની સંખ્યાના ગુણાકાર જેટલી હોય છે: $L = (2\pi r) \times N$.
અહીં $r = 3\, cm = 3 \times 10^{-2}\, m$.
$L = 2\pi \times (3 \times 10^{-2}) \times \frac{4 \times 10^4}{\pi} = 6 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^4 = 24 \times 10^2 = 2.4 \times 10^3\, m$.

(D) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહ $I_{enclosed}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
અનંત લંબાઈ ધરાવતા પોલા નળાકાર માટે,જેમાં સપાટી પર પ્રવાહ ઘનતા $\lambda$ (અક્ષ પર એકમ લંબાઈ દીઠ પ્રવાહ) છે,નળાકારની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આનું કારણ એ છે કે પ્રવાહ પરિઘ પર વહે છે,જે સોલેનોઇડ જેવી રચના બનાવે છે. આ કિસ્સામાં,નળાકારની અંદરના ભાગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,નળાકારની અંદરના લૂપ માટે એમ્પીયરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઘેરાયેલો પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed} = 0$,જે સૂચવે છે કે પોલા નળાકારની અંદર $B = 0$ છે.

(D) સમાન પ્રવાહ ઘનતા $J$ ધરાવતા લાંબા નળાકાર વાહક માટે,કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $(x < r)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$.
$B(2\pi x) = \mu_0 (J \cdot \pi x^2) \implies B = \frac{\mu_0 J x}{2}$.
ધારો કે ડાબા નળાકારનું કેન્દ્ર $x = -d/2$ પર અને જમણા નળાકારનું કેન્દ્ર $x = d/2$ પર છે. બિંદુ $A$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ડાબા નળાકારને કારણે (પ્રવાહ પાનાની બહાર) $A$ પરનું ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 J (d/2)}{2} = \frac{\mu_0 J d}{4}$ જે $+y$-દિશામાં છે.
જમણા નળાકારને કારણે (પ્રવાહ પાનાની અંદર) $A$ પરનું ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 J (d/2)}{2} = \frac{\mu_0 J d}{4}$ જે $+y$-દિશામાં છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 J d}{2}$ જે $+y$-દિશામાં છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ પ્રવાહ છે.
પ્રથમ સોલેનોઈડ માટે: $B_1 = \mu_0 n_1 i_1 = 6.28 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$,જ્યાં $n_1 = 200 \ turns/cm$ અને $i_1 = i$.
બીજા સોલેનોઈડ માટે: $n_2 = 100 \ turns/cm$ અને $i_2 = i/3$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 n_2 i_2}{\mu_0 n_1 i_1} = \frac{n_2 i_2}{n_1 i_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_2}{6.28 \times 10^{-2}} = \frac{100 \times (i/3)}{200 \times i} = \frac{100}{200 \times 3} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$B_2 = \frac{6.28 \times 10^{-2}}{6} \approx 1.05 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
પાતળી દીવાલવાળા પાઇપ માટે જેની લંબાઈ સાથે $I$ પ્રવાહ વહે છે,પાઇપની અંદર દોરવામાં આવેલ કોઈપણ બંધ લૂપ શૂન્ય ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘેરે છે $(I_{\text{enclosed}} = 0)$.
કારણ કે પ્રવાહ માત્ર પાઇપની સપાટી પર જ વહે છે,તેથી આંતરિક ભાગમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જેનો અર્થ છે કે પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શૂન્ય છે.

(D) સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા બે કોએક્સિયલ સોલેનોઇડ માટે,બહારના સોલેનોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની અંદર સમાન હોય છે અને તેની બહાર શૂન્ય હોય છે. અંદરનો સોલેનોઇડ આ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે. અંદરના સોલેનોઇડમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સપ્રમાણ રીતે વહેંચાયેલો હોવાથી,અંદરના સોલેનોઇડ પરનું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય થાય છે કારણ કે વિરુદ્ધ બાજુઓ પર લાગતા બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તે જ રીતે,અંદરના સોલેનોઇડ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના પોતાના કદની અંદર મર્યાદિત હોય છે અને તેની બહાર શૂન્ય હોય છે. તેથી,બહારનો સોલેનોઇડ એવા વિસ્તારમાં મૂકવામાં આવે છે જ્યાં અંદરના સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આમ,બહારના સોલેનોઇડ પરનું કુલ ચુંબકીય બળ પણ શૂન્ય છે.
તેથી,$\overrightarrow{F_1} = 0$ અને $\overrightarrow{F_2} = 0$.

(C) સમાન રીતે વહેંચાયેલ $i$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા નળાકાર પાઇપ (પોલા નળાકાર) માટે:
$1$. પોલા ભાગની અંદર $(x < r)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$. કોઈ પ્રવાહ ઘેરાયેલો ન હોવાથી,$B = 0$.
$2$. પાઇપના દ્રવ્યની અંદર $(r < x < R)$: $x$ ત્રિજ્યાના લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{enclosed} = i \cdot \frac{\pi x^2 - \pi r^2}{\pi R^2 - \pi r^2}$ છે. તેથી,$B(2\pi x) = \mu_0 i \frac{x^2 - r^2}{R^2 - r^2}$,જે સૂચવે છે કે $B \propto \frac{x^2 - r^2}{x}$. આ બિન-રેખીય વધારો દર્શાવે છે.
$3$. પાઇપની બહાર $(x > R)$: કુલ ઘેરાયેલો પ્રવાહ $i$ છે. તેથી,$B(2\pi x) = \mu_0 i$,જેનો અર્થ છે કે $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi x}$,એટલે કે $B \propto 1/x$.
આ લાક્ષણિકતાઓની સરખામણી કરતા,આલેખ $x < r$ માટે $B=0$,$r < x < R$ માટે બિન-રેખીય વધારો અને $x > R$ માટે $1/x$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે. વિકલ્પ $C$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ ત્યારે સૌથી અસરકારક છે જ્યારે ઉચ્ચ કક્ષાની સંમિતિ હોય,જેમ કે અનંત લંબાઈનો સીધો તાર,સોલેનોઇડ અથવા ટોરોઇડ.
મર્યાદિત લંબાઈના તાર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એમ્પીયરનો નિયમ સરળતાથી લાગુ કરવા માટે જરૂરી સંમિતિ હોતી નથી,કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ તારની ધરી પર સરળ વર્તુળો બનાવતી નથી.
તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ ના સંદર્ભમાં,મર્યાદિત તારનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ખરેખર તારની આસપાસ સંમિત (નળાકાર સંમિતિ) હોય છે,પરંતુ આ સંમિતિ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય શોધવા માટે એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ કરવા માટે પૂરતી નથી.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.

(A) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,બંધ માર્ગની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખા સંકલન એ માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહ $i_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 i_{\text{enclosed}}$
અક્ષથી $r > c$ અંતરે કેબલની બહાર આવેલા બિંદુ $P$ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર એમ્પેરિયન લૂપ વિચારીએ છીએ.
આ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ પ્રવાહ એ આંતરિક વાહક $(+i)$ અને બાહ્ય વાહક $(-i)$ માં રહેલા પ્રવાહનો સરવાળો છે.
$i_{\text{enclosed}} = i + (-i) = 0$
તેથી,બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નીચે મુજબ છે:
$B(2 \pi r) = \mu_0 (0)$
$B = 0$

(D) જાડા નળાકારની અંદર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા નળાકાર કવચનો વિચાર કરો.
આ પાતળા કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $dQ = \rho (2\pi r dr) L$ છે.
આ ફરતા કવચ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $dI = \frac{dQ}{T} = \frac{dQ \cdot \omega}{2\pi} = \rho \omega r L dr$ છે.
આ એક સોલેનોઈડ તરીકે કાર્ય કરે છે જેમાં એકમ લંબાઈ દીઠ $n = \frac{1}{L}$ આંટા છે. કેન્દ્ર $P$ પર આ કવચ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \mu_0 n dI = \mu_0 \left(\frac{1}{L}\right) (\rho \omega r L dr) = \mu_0 \omega \rho r dr$ છે.
$r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા,$P$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_P = \int_a^b \mu_0 \omega \rho r dr = \frac{\mu_0 \omega \rho (b^2 - a^2)}{2}$ મળે છે.
લાંબા સોલેનોઈડ માટે,છેડાઓ ($A$ અથવા $B$) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રના ક્ષેત્ર કરતા બરાબર અડધું હોય છે: $B_A = B_B = \frac{B_P}{2} = \frac{\mu_0 \omega \rho (b^2 - a^2)}{4}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે અક્ષ પર સમાન રહે છે. અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનો આલેખ મધ્યમાં અચળ મૂલ્ય અને છેડાઓ તરફ ઘટાડો દર્શાવે છે,જે લાંબા સોલેનોઈડના ગુણધર્મો સાથે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે બે મોટી સમાંતર પ્લેટો સમાન દિશામાં સપાટી વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $K$ વહન કરે છે.
એક પ્લેટ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પ્લેટને સમાંતર અને પ્રવાહની દિશાને લંબ હોય છે.
જમણી તરફ વહેતા પ્રવાહ $K$ વાળી પ્લેટ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્લેટની ઉપર 'બહાર' (આપણી તરફ) અને પ્લેટની નીચે 'અંદર' (આપણીથી દૂર) હોય છે.
ધારો કે ઉપરની પ્લેટ $S_1$ છે અને નીચેની પ્લેટ $S_2$ છે.
$S_1$ ની ઉપર: બંને પ્લેટો 'બહાર' (આપણી તરફ) દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની વચ્ચે: $S_1$ 'અંદર' (આપણીથી દૂર) દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,અને $S_2$ 'બહાર' (આપણી તરફ) દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. મૂલ્યો સમાન હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,પરિણામે વચ્ચેનું ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
$S_2$ ની નીચે: બંને પ્લેટો 'અંદર' (આપણીથી દૂર) દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આમ,પ્લેટોની વચ્ચે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને પ્લેટોની ઉપર તે આપણી તરફ અને પ્લેટોની નીચે તે આપણીથી દૂર છે.

(D) $R_1$ આંતરિક ત્રિજ્યા અને $R_2$ બાહ્ય ત્રિજ્યા ધરાવતા લાંબા પોલા નળાકાર તાર માટે જેમાં કુલ પ્રવાહ $i$ સમાનરૂપે વહેંચાયેલ છે:
$1$. $r < R_1$ માટે: બંધિત પ્રવાહ શૂન્ય છે,તેથી એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $B = 0$.
$2$. $R_1 \le r \le R_2$ માટે: બંધિત પ્રવાહ $I(r) = i \cdot \frac{\pi(r^2 - R_1^2)}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$ છે. એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ પાડતા: $B(2\pi r) = \mu_0 i \frac{r^2 - R_1^2}{R_2^2 - R_1^2}$,તેથી $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \frac{r^2 - R_1^2}{R_2^2 - R_1^2}$. આ દર્શાવે છે કે $B$ એ $r = R_1$ પર $0$ થી વધીને $r = R_2$ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
$3$. $r > R_2$ માટે: બંધિત પ્રવાહ કુલ પ્રવાહ $i$ છે. એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ પાડતા: $B(2\pi r) = \mu_0 i$,તેથી $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$. આ દર્શાવે છે કે $B$ એ $1/r$ મુજબ ઘટે છે.
સાચો આલેખ $r < R_1$ માટે $B=0$,$R_1 \le r \le R_2$ માટે વધારો અને $r > R_2$ માટે $1/r$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે. વિકલ્પ $D$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} LI^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 \mu_r N^2 A}{\ell}$ છે, જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાની સંખ્યા છે અને $\ell$ એ લંબાઈ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ ઉર્જા $u = \frac{U}{\ell} = \frac{1}{\ell} \left( \frac{1}{2} \frac{\mu_0 \mu_r N^2 A}{\ell} I^2 \right) = \frac{1}{2} \mu_0 \mu_r \left( \frac{N}{\ell} \right)^2 A I^2$.
આપેલ છે: ટર્ન ઘનતા $n = \frac{N}{\ell} = 5000 \, \text{turns/m}$, ક્ષેત્રફળ $A = 10 \, \text{cm}^2 = 10 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$, પ્રવાહ $I = 1 \, \text{A}$, સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 1000$, અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times (5000)^2 \times (10 \times 10^{-4}) \times (1)^2$
$u = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^3 \times 25 \times 10^6 \times 10^{-3} \times 1$
$u = 2\pi \times 10^{-7} \times 25 \times 10^9 \times 10^{-3} = 50\pi \approx 157.08 \times 0.1 = 15.7 \, \text{J/m}$.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
ધારો કે સમતલની બહાર આવતો પ્રવાહ ધન છે અને સમતલની અંદર જતો પ્રવાહ ઋણ છે.
પથ $a$ માટે: તે $2\, A$ (બહાર) અને $2\, A$ (અંદર) ને આવરી લે છે. કુલ પ્રવાહ $I_a = 2 - 2 = 0\, A$.
પથ $b$ માટે: તે $2\, A$ (બહાર) અને $3\, A$ (બહાર) ને આવરી લે છે. કુલ પ્રવાહ $I_b = 2 + 3 = 5\, A$.
પથ $c$ માટે: તે $2\, A$ (અંદર) અને $3\, A$ (બહાર) ને આવરી લે છે. કુલ પ્રવાહ $I_c = 3 - 2 = 1\, A$.
પથ $d$ માટે: તે $2\, A$ (બહાર),$2\, A$ (અંદર) અને $3\, A$ (બહાર) ને આવરી લે છે. કુલ પ્રવાહ $I_d = 2 - 2 + 3 = 3\, A$.
કુલ પ્રવાહની સરખામણી કરતા: $I_a = 0\, A$,$I_c = 1\, A$,$I_d = 3\, A$,$I_b = 5\, A$.
તેથી,નાનાથી મોટા ક્રમમાં ગોઠવણી $a, c, d, b$ થશે.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખાસંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહ $I_{\text{en}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{en}}$.
અનંત લંબાઈની પાતળી દીવાલવાળી નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર એમ્પેરિયન લૂપ વિચારી શકીએ (જ્યાં $r < R$,નળીની ત્રિજ્યા).
જેহেতু પ્રવાહ $i$ ફક્ત નળીની સપાટી પર જ વહે છે,તેથી આ એમ્પેરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{en}} = 0$ છે.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(0) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(C) સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ એ $m = N i A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
મેગ્નેટાઈઝેશન $\vec M$ ને એકમ કદ $V$ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$V = A \ell$,જ્યાં $\ell$ એ સોલેનોઈડની લંબાઈ છે.
તેથી,$|\vec M| = \frac{m}{V} = \frac{N i A}{A \ell} = \frac{N i}{\ell}$.
આપેલ છે કે $N = 500$,$i = 15\,A$,અને $\ell = 25\,cm = 0.25\,m$.
$|\vec M| = \frac{500 \times 15}{0.25} = \frac{7500}{0.25} = 30000\,A m^{-1}$.

(C) $6$ સ્તરો માટે કુલ આંટાઓની સંખ્યા $N$, જ્યાં દરેક સ્તરમાં $450$ આંટા છે, તે નીચે મુજબ છે:
$N = 6 \times 450 = 2700$
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $n$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે:
$n = \frac{N}{l} = \frac{2700}{90 \times 10^{-2}\, m} = \frac{2700}{0.9}\, m^{-1} = 3000\, m^{-1}$
લાંબા સોલેનોઇડની અંદર તેના કેન્દ્રની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \mu_{0} n I$
કિંમતો મૂકતા $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$, $n = 3000\, m^{-1}$, અને $I = 6\, A$:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 3000 \times 6$
$B = 72\pi \times 10^{-4}\, T$
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, T = 10^4\, G$ (ગોસ), તેથી:
$B = 72\pi \times 10^{-4} \times 10^4\, G = 72\pi\, G$

(B) ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે,જેને $\oint_S B \cdot dS = 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આદર્શ સોલેનોઇડના કિસ્સામાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ સમાન અને બહારની તરફ શૂન્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે.
જો આપણે ગૌસિયન સપાટી (એક નળાકાર) ને સોલેનોઇડની અંદર અને બહાર આંશિક રીતે ધ્યાનમાં લઈએ,તો છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય ન હોય કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ સોલેનોઇડની અંદર મર્યાદિત છે અને બાજુઓમાંથી બહાર નીકળતી નથી,જે ચુંબકીય ક્ષેત્રોના ડાયવર્જન્સ-મુક્ત સ્વભાવ $(\nabla \cdot B = 0)$ નું ઉલ્લંઘન સૂચવે છે.
તેથી,આદર્શ સોલેનોઇડમાં સંપૂર્ણ રીતે મર્યાદિત ચુંબકીય ક્ષેત્રની ધારણા ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમનો વિરોધાભાસ કરે છે.

(D) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ માટે,જે પોલા ભાગમાં છે,ત્યાં ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ $I_{enclosed} = 0$ છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_P = 0$ થાય છે.
બિંદુ $Q$ માટે,જે વાહક પાઇપના દ્રવ્યની અંદર છે,ત્યાં ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય નથી,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_Q \neq 0$ થાય છે.
બિંદુ $R$ માટે,જે પાઇપની બહાર છે,ત્યાં એમ્પીયરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. લાંબા સીધા નળાકાર વાહક માટે,બહારના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ હોય છે. આ માત્ર ત્યારે જ શૂન્ય થાય જો $I=0$ હોય અથવા $r \to \infty$ હોય. તેથી,$B_R \neq 0$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર બિંદુ $P$ પર શૂન્ય છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે.
અહીં, $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $n = 20 \text{ turns/cm} = 2000 \text{ turns/m}$.
આપેલ છે: $B = 20 \text{ mT} = 20 \times 10^{-3} \text{ T}$.
આપેલ છે: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$20 \times 10^{-3} = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times i$
$20 \times 10^{-3} = 8\pi \times 10^{-4} \times i$
$i = \frac{20 \times 10^{-3}}{8\pi \times 10^{-4}} = \frac{200}{8\pi} = \frac{25}{\pi} \approx \frac{25}{3.14} \approx 7.96 \text{ A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, પ્રવાહ આશરે $8 \text{ A}$ છે.