Bohr Magnetron Questions in Gujarati

(A) ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ સંબંધ $\mu = \frac{e}{2m} L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$.
પદોને ગોઠવતા,$\mu = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$.
અહીં $e$,$h$,અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,$\frac{eh}{4\pi m}$ પણ એક અચળાંક છે (જે બોહર મેગ્નેટોન $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ સાથે સંબંધિત છે).
તેથી,$\mu \propto n$.

(B) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ $\vec{M} = I\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
$e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો પ્રોટોન $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}$ થાય છે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = IA = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right)(\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ થાય છે.
પ્રોટોનનું કોણીય વેગમાન $L = m_pvr$ છે.
$M$ ના સમીકરણમાં $vr = L/m_p$ મૂકતા,આપણને $M = \frac{eL}{2m_p}$ મળે છે.
પ્રોટોન ધન વિદ્યુતભારિત હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા કોણીય વેગમાન સદિશની દિશામાં જ હોય છે. તેથી,$\vec{M} = \frac{e\vec{L}}{2m_p}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{e}{T}$ અને $T = \frac{2\pi r}{v}$,તેથી $I = \frac{ev}{2\pi r}$ થાય.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આથી,$M = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) (\pi r^2) = \frac{1}{2} evr$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $J = mvr$ છે.
$vr = \frac{J}{m}$ ને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$M = \frac{1}{2} e \left(\frac{J}{m}\right) = \frac{eJ}{2m}$.

(C) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ થાય.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$M = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ મળે.
દળ $m$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$M = \frac{e}{2m} (mvr)$ મળે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = \left( \frac{e}{2m} \right) \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $(-e)$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $(+Ze)$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સ્થિર ભારે ન્યુક્લિયસની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ ઝડપથી નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા રચાતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{e}{T} \quad \dots (1)$
જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ છે.
$v = \frac{2 \pi r}{T}$ હોવાથી,$T = \frac{2 \pi r}{v} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$I = \frac{e v}{2 \pi r} \quad \dots (3)$
આ પ્રવાહ ગાળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_l$,જેનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,તે:
$\mu_l = I A = \left( \frac{e v}{2 \pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{e v r}{2} \quad \dots (4)$
ઇલેક્ટ્રોનના દળ $m_e$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} (m_e v r)$
કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L = m_e v r$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} L$
ગુણોત્તર $\frac{\mu_l}{L} = \frac{e}{2 m_e}$ ને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે,જે ઇલેક્ટ્રોન માટે અચળ છે.

(N/A) બોહર મેગ્નેટોન એટલે હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ.
બોહરની પ્રથમ પૂર્વધારણા મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે અને તે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = n \left( \frac{h}{2 \pi} \right)$
જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$ અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે $(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s})$.
કક્ષીય ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_l$ નીચે મુજબ છે:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} L$
પ્રથમ કક્ષા $(n = 1)$ માટે કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર મૂકતા:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} \left( \frac{h}{2 \pi} \right)$
ચુંબકીય મોમેન્ટના આ લઘુત્તમ મૂલ્યને બોહર મેગ્નેટોન $(\mu_B)$ કહેવામાં આવે છે:
$\mu_B = \frac{eh}{4 \pi m_e}$
કિંમતો $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$,અને $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$ મૂકતા:
$\mu_B = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (6.63 \times 10^{-34})}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31}}$
$\mu_B \approx 9.27 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$

(N/A) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કોઈપણ વિદ્યુતભાર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu_{l} = \frac{e}{2m_{e}}(l)$
આ ડાયપોલ મોમેન્ટને કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ કહેવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય બોહર મેગ્નેટોન જેટલું હોય છે,જે $9.27 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$ છે.
કક્ષીય મોમેન્ટ ઉપરાંત,ઇલેક્ટ્રોન પાસે આંતરિક ચુંબકીય મોમેન્ટ હોય છે,જેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય પણ $9.27 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$ જેટલું જ હોય છે. તેને સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ કહેવામાં આવે છે.
પરંતુ અહીં એ નોંધવું જરૂરી છે કે આનો અર્થ એ નથી કે ઇલેક્ટ્રોન ખરેખર ભ્રમણ કરી રહ્યો છે. ઇલેક્ટ્રોન એક પ્રાથમિક કણ છે અને તેની પાસે ભમરડા કે પૃથ્વીની જેમ ફરવા માટે કોઈ અક્ષ હોતી નથી.

(N/A) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ભ્રમણ કરતા $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $I = \frac{e}{T}$ જેટલો પ્રવાહ રચે છે,જ્યાં $T$ એ ભ્રમણનો આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{2\pi r}{v}$ હોવાથી,પ્રવાહ $I = \frac{ev}{2\pi r}$ થાય છે.
ઓર્બિટલ મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $\mu_l$ એ પ્રવાહ $I$ અને કક્ષાના ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$\mu_l = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ ના સ્વરૂપમાં,આપણે લખી શકીએ કે $\mu_l = \frac{e}{2m} L$.

(A) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તરને કણના ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(\mu)$ અને તેના કોણીય વેગમાન $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: $\gamma = \frac{\mu}{L}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે, ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = \frac{e}{2m} L$ છે, જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $m$ એ તેનું દળ છે.
તેથી, ઇલેક્ટ્રોન માટે ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર $\gamma = \frac{e}{2m}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તરનું મૂલ્ય આશરે $8.8 \times 10^{10} \text{ C/kg}$ છે.

ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એટલે ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ અને તેના કોણીય વેગમાન $(L)$ નો ગુણોત્તર.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: $\gamma = \frac{M}{L}$.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = \frac{evr}{2}$ છે અને કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે.
તેથી,$\gamma = \frac{evr/2}{mvr} = \frac{e}{2m}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg)$ ની કિંમતો મૂકતા,તેનું મૂલ્ય:
$\gamma = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 8.8 \times 10^{10} \ C/kg$ થાય છે.

(N/A) $1$. કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ: ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરતો ઇલેક્ટ્રોન એક નાના પ્રવાહ લૂપ જેવું વર્તે છે. આ કક્ષીય ગતિ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટને કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ કહેવામાં આવે છે. તે $\mu_L = -\frac{e}{2m_e} L$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને $L$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન છે.
$2$. આંતરિક ચુંબકીય મોમેન્ટ (સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ): ઇલેક્ટ્રોન પાસે સ્પિન નામનો એક આંતરિક ગુણધર્મ હોય છે,જે તેની કક્ષીય ગતિથી સ્વતંત્ર છે. આ સ્પિનને કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય મોમેન્ટને આંતરિક ચુંબકીય મોમેન્ટ અથવા સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ કહે છે. તે ઇલેક્ટ્રોનના આંતરિક કોણીય વેગમાન (સ્પિન) સાથે સંકળાયેલ છે અને તેનું મૂલ્ય આશરે એક બોહર મેગ્નેટોન,$\mu_B = \frac{eh}{4\pi m_e}$ જેટલું હોય છે.

(B) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ભ્રમણ કરતા $-e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{-e}{T} = \frac{-ev}{2\pi r}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\vec{\mu} = I \vec{A} = \left( \frac{-ev}{2\pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{-evr}{2}$.
કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L} = mvr$ છે.
$vr = \frac{L}{m}$ મૂકતા,આપણને $\vec{\mu} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ મળે છે.

(D) બોહર મેગ્નેટોન $(\mu_B)$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ, કોણીય વેગમાન $L = m_e v r = \frac{n h}{2 \pi}$ છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે $(n = 1)$, $L = \frac{h}{2 \pi}$ થાય.
પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = I A$ છે, જ્યાં $I = \frac{e}{T}$ અને $T = \frac{2 \pi r}{v}$ છે.
તેથી, $\mu = \frac{e v}{2 \pi r} \times (\pi r^2) = \frac{e v r}{2}$ મળે.
$L = m_e v r$ મૂકતા, આપણને $\mu = \frac{e L}{2 m_e}$ મળે છે.
હવે $L = \frac{h}{2 \pi}$ મૂકતા, $\mu_B = \frac{e}{2 m_e} \times \frac{h}{2 \pi} = \frac{e h}{4 \pi m_e}$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ અને $A = \pi r^2$.
તેથી,$M = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
આપેલ ફ્લક્સની શરત મુજબ: $B(\pi r^2) = n(h/e)$. સૌથી ઓછી ઉર્જા અવસ્થા માટે,$n = 1$,તેથી $B \pi r^2 = h/e$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = \frac{h}{B \pi e}$.
વળી,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,કેન્દ્રગામી બળ લોરેન્ટ્ઝ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = evB$,જે આપે છે $\frac{v}{r} = \frac{eB}{m}$.
$v = \frac{eBr}{m}$ ને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = \frac{e}{2} \left( \frac{eBr}{m} \right) r = \frac{e^2 B r^2}{2m}$.
$r^2 = \frac{h}{B \pi e}$ ને $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = \frac{e^2 B}{2m} \left( \frac{h}{B \pi e} \right) = \frac{eh}{2 \pi m}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{m}_{\text{orb}}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{m}_{\text{orb}} = -\frac{e}{2m} \overrightarrow{L}$,જ્યાં $\overrightarrow{L}$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન છે.
બંને બાજુ મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે: $m_{\text{orb}} = \frac{e}{2m} L$.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ અને ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{orb}}$ નો ગુણોત્તર $\frac{L}{m_{\text{orb}}} = \frac{2m}{e}$ થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ ની દિશા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{m}$ ની દિશા કક્ષાના સમતલને લંબ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{p} = m_e \vec{v}$ એ રેખીય વેગમાન છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{L}$ ની દિશા પણ કક્ષાના સમતલને લંબ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વીજભાર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ ની દિશા કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,$m$ અને $L$ કક્ષાના સમતલને લંબ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(C) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $T$ આવર્તકાળ સાથે ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{e}{T}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\mu = \left(\frac{e}{T}\right) \pi r^2$.
આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષીય વેગ $v$ સાથે $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $\frac{1}{T} = \frac{v}{2 \pi r}$.
આ કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\mu = e \left(\frac{v}{2 \pi r}\right) \pi r^2 = \frac{evr}{2}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે,જેનો અર્થ છે કે $vr = \frac{L}{m}$.
$vr$ ની કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{e}{2m} L$ મળે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\vec{L}$ એ કક્ષાના સમતલને લંબ (જમણા હાથના નિયમ મુજબ ઉપરની તરફ) હોય છે.
કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સાથે $\vec{M} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
આમ,$\vec{M}$ અને $\vec{L}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.

(A) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M_0)$ અને કોણીય વેગમાન $(L_0)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{M_0}{L_0}$
કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઈલેક્ટ્રોન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_0 = \frac{e}{2m} L_0$ છે,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{M_0}{L_0} = \frac{e}{2m}$ થાય છે,જે એક અચળાંક છે.

(D) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ કક્ષીય ઈલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu_L)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{\mu_L}{L} = \frac{e}{2m}$.
આપેલ છે કે ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર $\frac{e}{m} = A \ C/kg$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{A}{2} \ C/kg$.

(C) $e$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપ અને $T$ આવર્તકાળ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે તેમ ધારો.
આ પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A = I \times (\pi r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે.
તેથી,$vr = \frac{L}{m}$.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = \frac{e}{2} \times \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{eL}{2m}$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = r\omega$,તેથી $L = m(r\omega)r = m\omega r^2$.
તેથી,$\omega r^2 = \frac{L}{m} \quad \dots(i)$
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi/\omega} = \frac{e\omega}{2\pi}$ અને ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$M = \left(\frac{e\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{e}{2} \omega r^2$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\omega r^2$ ની કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right)$.
$L$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$L = \frac{2mM}{e}$.

(A) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ પરમાણુમાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = (\frac{e}{T}) (\pi r^2) = \frac{e}{2\pi r/v} (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$.
આમ,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર $\gamma = \frac{M}{L} = \frac{evr/2}{mvr} = \frac{e}{2m}$.
બોહર મેગ્નેટોન $(\mu_B)$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટનો મૂળભૂત એકમ છે,જે $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર અને બોહર મેગ્નેટોન અનુક્રમે $\frac{e}{2m}$ અને $\frac{eh}{4\pi m}$ છે.

(A) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તરને ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu$ અને કોણીય વેગમાન $L$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\mu = \frac{e}{2m} L$ થાય છે.
તેથી,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર $\gamma = \frac{\mu}{L} = \frac{e}{2m}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma = \frac{1}{2} \times (\frac{e}{m})$ મળે છે.
આમ,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ ઇલેક્ટ્રોનના વિશિષ્ટ વીજભારના $1/2$ ગણો છે.

(B) કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = IA$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ અને $A = \pi r^2$,તેથી $M = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{1}{2} evr$ મળે છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} evr}{mvr} = \frac{e}{2m}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{e}{2m}$ છે.

(D) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર છે,જેનું સૂત્ર: $\gamma = \frac{e}{2m_e}$ છે.
આપેલ છે,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર $\gamma = 8.8 \times 10^{10} \ C \ kg^{-1}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$m_e = \frac{e}{2\gamma}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m_e = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 8.8 \times 10^{10}}$.
$m_e = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{17.6 \times 10^{10}}$.
$m_e = \frac{16}{176} \times 10^{-29} \ kg$.
$m_e = \frac{1}{11} \times 10^{-29} \ kg$.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $\frac{1}{11} \times 10^{-29} \ kg$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે તે પ્રવાહ લૂપ બનાવે છે.
પ્રવાહ $i = \frac{e}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = i A = \frac{e}{T} (\pi r^2)$ છે.
સમયગાળો $T = \frac{2 \pi r}{v}$ છે. આને $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{e v}{2 \pi r} (\pi r^2) = \frac{e v r}{2}$.
કોણીય વેગમાન $L = m_e v r$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v r = \frac{L}{m_e}$.
$v r$ ની કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m_e}\right) = \frac{e}{2 m_e} L$.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{\mu}$ અને કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે:
$\vec{\mu} = -\left(\frac{e}{2 m_e}\right) \vec{L}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = (\frac{q}{T}) (\pi r^2) = (\frac{q \omega}{2 \pi}) (\pi r^2) = \frac{1}{2} q \omega r^2$ છે.
કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(\omega r)r = m \omega r^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} q \omega r^2}{m \omega r^2} = \frac{q}{2m}$ થાય.
આ ગુણોત્તરને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = IA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
તેથી,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
આ ગુણોત્તરને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે અને તે માત્ર કણના વિદ્યુતભાર '$q$' અને દળ '$m$' પર આધાર રાખે છે.

(C) પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $r$ થી સ્વતંત્ર છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = I A = \left( \frac{e \omega}{2 \pi} \right) (\pi r^2) = \frac{e \omega r^2}{2}$.
કોણીય વેગમાન $L = m v r = m (\omega r) r = m \omega r^2$.
$\mu$ અને $L$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\mu = \frac{e}{2m} L$ મળે છે.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ એ કોણીય વેગમાનના સમપ્રમાણમાં છે,અને ગુણોત્તર $\mu / L = e / (2m)$ ને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે તે $e / (2m)$ અવયવ દ્વારા $\mu$ અને $L$ ને સંબંધિત કરે છે.