એક ઇલેક્ટ્રોન અને એક પોઝિટ્રોનને અનુક્રમે $(0, 0, 0)$ અને $(0, 0, 1.5R)$ બિંદુઓથી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \hat{i}$ માં મુક્ત કરવામાં આવે છે. બંનેનું વેગમાન $P = eBR$ સમાન છે. વેગમાનની દિશા પર કઈ શરતો હેઠળ તેમના પથ અપરસ્પર છેદતા વર્તુળો હશે?

(D) ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન બંને માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{P}{eB}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,બંને કણોની ગતિ $yz$-સમતલમાં મર્યાદિત છે.
ધારો કે ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનના વેગમાન સદિશો $yz$-સમતલમાં $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. વર્તુળાકાર કક્ષાના કેન્દ્રો,$C_e$ અને $C_p$,તેમના પ્રારંભિક સ્થાનોથી $R$ અંતરે અને વેગમાન સદિશને લંબ રૂપે આવેલા છે.
$(0, 0, 0)$ થી શરૂ થતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,જેનું વેગમાન $P_1$ એ $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે,તેનું કેન્દ્ર $C_e$ એ $(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ પર છે.
$(0, 0, 1.5R)$ થી શરૂ થતા પોઝિટ્રોન માટે,જેનું વેગમાન $P_2$ એ $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે છે,તેનું કેન્દ્ર $C_p$ એ $(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ પર છે.
જો કેન્દ્રો $C_e$ અને $C_p$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે હોય,એટલે કે $d > 2R$,તો કક્ષાઓ એકબીજાને છેદશે નહીં.
$C_e(0, -R \sin \theta, R \cos \theta)$ અને $C_p(0, -R \sin \theta, 1.5R - R \cos \theta)$ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ $d^2$ ગણતા:
$d^2 = (0 - 0)^2 + (-R \sin \theta - (-R \sin \theta))^2 + (1.5R - R \cos \theta - R \cos \theta)^2$
$d^2 = 0 + 0 + (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
$d^2 = (1.5R - 2R \cos \theta)^2$
અપરસ્પર છેદતી કક્ષાઓ માટે,$d > 2R$,તેથી $d^2 > 4R^2$:
$(1.5R - 2R \cos \theta)^2 > 4R^2$
$|1.5R - 2R \cos \theta| > 2R$
કિસ્સો $1$: $1.5R - 2R \cos \theta > 2R \implies -2R \cos \theta > 0.5R \implies \cos \theta < -0.25$
કિસ્સો $2$: $1.5R - 2R \cos \theta < -2R \implies -2R \cos \theta < -3.5R \implies \cos \theta > 1.75$ (શક્ય નથી કારણ કે $\cos \theta \le 1$)
આમ,અપરસ્પર છેદતી કક્ષાઓ માટેની શરત $\cos \theta < -0.25$ છે.