Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રેરણ $(B)$ નો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે.
એક ટેસ્લા એટલે એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જે $1 \ m/s$ ના વેગથી ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતા $1 \ C$ ના વિદ્યુતભાર પર $1 \ N$ નું બળ લગાડે છે.

(B) $CGS$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રેરણ $(B)$ નો એકમ ગોસ $(G)$ છે.
$1 \text{ Gauss} = 10^{-4} \text{ Tesla}$.
તેથી,ગોસ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ નો એકમ છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરતું હોવાથી,$\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે,તેથી $\vec{F}_m = 0$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ $(q = -e)$ હોવાથી,વિદ્યુત બળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
જેમ કે ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે,તેથી વિદ્યુત બળ તેના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. આ બળ અવરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ ઘટે છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનના વેગનું મૂલ્ય ઘટશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$,જ્યારે તેને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેનું સૂત્ર:
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$
અહીં વિદ્યુતભાર $q$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \sqrt{m}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{m_X}{m_Y} = (\frac{R_1}{R_2})^2$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
અહીં,$v = 2 \times 10^5 \ m/s$,$B = 4 \times 10^{-2} \ T$,અને વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 5 \times 10^7 \ C/kg$ છે.
આપણે સૂત્રને $r = \frac{v}{(\frac{q}{m})B}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{2 \times 10^5}{(5 \times 10^7) \times (4 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{2 \times 10^5}{20 \times 10^5}$
$r = \frac{2}{20} = 0.1 \ m$.

(B) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $p$ વેગમાન ધરાવતો વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $qvB = \frac{pv}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r = \frac{p}{qB}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ કણના વેગમાન $p$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto p)$.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{mv}{qr}$ મળે.
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$ = $9 \times 10^{-31} \ kg$
વેગ $(v)$ = $10^6 \ m/s$
વિદ્યુતભાર $(q)$ = $1.6 \times 10^{-19} \ C$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.10 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{9 \times 10^{-31} \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1}$
$B = \frac{9 \times 10^{-25}}{0.16 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{9}{0.16} \times 10^{-6} \ T$
$B = 56.25 \times 10^{-6} \ T = 5.625 \times 10^{-5} \ T$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$B = 5.6 \times 10^{-5} \ T$ મળે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $K$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન છે,તેથી $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$ અને $q_p = e$. તેથી,$r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$. તેથી,$r_{\alpha} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $r_p = r_{\alpha}$.
તેથી,બંને કણો સમાન ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં $\overrightarrow{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) ના ગુણધર્મો અનુસાર,પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{F}$ હંમેશા $\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,બળ એ કણના વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોય છે.

(C) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો કણ $v$ વેગથી સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો વેગ $v$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે.
બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin(90^\circ) = qvB$ થાય છે.
આ બળ વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ રૂપે લાગે છે,જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
આ અચળ લંબ બળને કારણે કણ સમાન વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
તેથી,વિદ્યુતભારિત કણનો પથ વર્તુળાકાર હોય છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $\theta$ ખૂણે (જ્યાં $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) $v$ વેગથી પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ઘટક $v \sin \theta$,જે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ઘટક $v \cos \theta$,જે કણને ચુંબકીય ક્ષેત્રની રેખાઓની દિશામાં રેખીય ગતિ કરાવે છે.
આ બંને ગતિઓના સંયોજનને કારણે કણનો ગતિપથ હેલિકલ (કુંતલાકાર) બને છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
અહીં,ધન વીજભારિત કણોનો વેગ $\overrightarrow{v}$ પૃથ્વી તરફ નીચેની દિશામાં છે.
વિષુવવૃત્ત પર પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ દક્ષિણથી ઉત્તર દિશામાં હોય છે.
સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $\overrightarrow{v}$ નીચેની તરફ છે અને $\overrightarrow{B}$ ઉત્તર તરફ છે),બળ $\overrightarrow{F}$ ની દિશા પૂર્વ તરફ મળે છે.
તેથી,ધન વીજભારિત કણો પૂર્વ દિશા તરફ વિચલિત થશે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રોટોન ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતો હોવાથી,$\theta = 90^\circ$,તેથી $F = qvB$.
આપેલ છે: ઉર્જા $E = 2 \, MeV = 2 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-13} \, J$.
પ્રોટોનનું દળ $m \approx 1.67 \times 10^{-27} \, kg$.
વેગ $v = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-13}}{1.67 \times 10^{-27}}} \approx \sqrt{3.83 \times 10^{14}} \approx 1.96 \times 10^7 \, m/s$.
બળ $F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (1.96 \times 10^7 \, m/s) \times (2.5 \, T) \approx 7.84 \times 10^{-12} \, N$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7.6 \times 10^{-12} \, N$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માં વેગ $\overrightarrow{v}$ સાથે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = vB \sin(\theta) \hat{n}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી જ્યારે $\sin(\theta) = 0$ હોય ત્યારે બળ શૂન્ય થાય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta = 0^\circ$ અથવા $\theta = 180^\circ$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય.
તેથી,જો $\overrightarrow{B}$ અને $\overrightarrow{v}$ સમાંતર હોય તો બળ શૂન્ય હોય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
અહીં,પ્રોટોનનો વેગ $Z$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\overrightarrow{v} = v\hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $X$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\overrightarrow{B} = B\hat{i}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\overrightarrow{F} = q(v\hat{k} \times B\hat{i})$.
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j})$,આપણને $\overrightarrow{F} = qvB\hat{j}$ મળે છે.
કારણ કે $\hat{j}$ એ $Y$-અક્ષ દર્શાવે છે,તેથી બળ $Y$-અક્ષની દિશામાં લાગશે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
સમાન ત્રિજ્યા $r$ અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે,$r \propto \frac{\sqrt{mK}}{q}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r^2 \propto \frac{mK}{q^2}$,જેનો અર્થ છે કે $K \propto \frac{q^2}{m}$.
તેથી,$\frac{K_p}{K_\alpha} = \left( \frac{q_p}{q_\alpha} \right)^2 \times \frac{m_\alpha}{m_p}$.
અહીં $q_p = e$,$q_\alpha = 2e$,$m_p = m$,અને $m_\alpha = 4m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1\, MeV}{K_\alpha} = \left( \frac{e}{2e} \right)^2 \times \frac{4m}{m} = \left( \frac{1}{4} \right) \times 4 = 1$.
આમ,$K_\alpha = 1\, MeV$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$v$ એ વેગ અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $r \propto \frac{1}{B}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B$ છે.
ધારો કે અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2$ છે જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = B/2$ છે.
પ્રમાણસરતા $r_1 B_1 = r_2 B_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r \times B = r_2 \times (B/2)$
$r_2 = \frac{r \times B}{B/2} = 2r$.
તેથી,ત્રિજ્યા વધીને $2r$ થાય છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$5$ પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $25 \ \mu s$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T_p = \frac{25 \ \mu s}{5} = 5 \ \mu s$ થાય.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_{\alpha}}{T_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
તેથી,$T_{\alpha} = 2 \times T_p = 2 \times 5 \ \mu s = 10 \ \mu s$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે દાખલ થાય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin(90^\circ) = 1$ થાય.
આમ,બળ $F = qvB$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = qvB$.
પ્રવેગ $a = \frac{qvB}{m}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3.4 \times 10^7 \, m/s) \times (2 \, Wb/m^2)}{1.67 \times 10^{-27} \, kg}$.
$a = \frac{10.88 \times 10^{-12}}{1.67 \times 10^{-27}} \, m/s^2$.
$a \approx 6.515 \times 10^{15} \, m/s^2$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$a = 6.5 \times 10^{15} \, m/s^2$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2\pi r}{v}$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.45\,m$
ઝડપ $v = 2.6 \times 10^7\,m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 0.45}{2.6 \times 10^7}$
$T = \frac{2.826}{2.6 \times 10^7}$
$T \approx 1.0869 \times 10^{-7}\,s$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $T \approx 1.1 \times 10^{-7}\,s$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં કણ શિરોલંબ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે અને ક્ષેત્ર સમક્ષિતિજ (દક્ષિણથી ઉત્તર) છે,તેથી ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થશે,એટલે કે $\sin 90^\circ = 1$. તેથી,$F = qvB$.
આપેલ ગતિ ઉર્જા $K = 5 \ MeV = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 8 \times 10^{-13} \ J$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે છે.
બળના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $F = qB \sqrt{\frac{2K}{m}}$.
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times 1.5 \times \sqrt{\frac{2 \times 8 \times 10^{-13}}{1.7 \times 10^{-27}}}$.
$F = 2.4 \times 10^{-19} \times \sqrt{9.41 \times 10^{14}} \approx 2.4 \times 10^{-19} \times 3.067 \times 10^7$.
$F \approx 7.36 \times 10^{-12} \ N$,જે આશરે $7.4 \times 10^{-12} \ N$ છે.

(C) $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ એ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર હોવાથી,તેનો વેગ $v = 0$ છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F = q(0 \times B) = 0$ થાય છે.
સ્થિર ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું ન હોવાથી,તે સ્થિર જ રહે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$v$ એ ઝડપ,$q$ એ વિદ્યુતભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
અહીં $m$,$q$ અને $B$ અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યા એ ઝડપના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $r \propto v$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 2\, cm$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે,તો $v_2 = 2v$ થાય.
તેથી,નવી ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $\frac{r_2}{r_1} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2v}{v} = 2$ મળે.
આમ,$r_2 = 2 \times r_1 = 2 \times 2\, cm = 4\, cm$ થાય.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$K$ એ ગતિઊર્જા અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $K = \frac{r^2 q^2 B^2}{2m}$.
બંને કણો માટે $r$ અને $B$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{q^2}{m}$ થાય.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે,$q_d = e$ અને $m_d = 2m_p$. પ્રોટોન $(p)$ માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m_p$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{K_p}{K_d} = \left( \frac{q_p}{q_d} \right)^2 \times \left( \frac{m_d}{m_p} \right) = \left( \frac{e}{e} \right)^2 \times \left( \frac{2m_p}{m_p} \right) = 1^2 \times 2 = 2$.
તેથી,$K_p = 2 \times K_d = 2 \times 50 \, keV = 100 \, keV$.

(B) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B) = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી $\theta = 90^\circ$. બળ $F = qvB \sin 90^\circ = qvB$ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે પ્રોટોન અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રની રેખાઓને સમાંતર છે,તેથી $\theta = 0^\circ$. બળ $F = qvB \sin 0^\circ = 0$. ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ બળ લાગતું ન હોવાથી,તેની ગતિ પર કોઈ અસર થતી નથી (તે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે).

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે $(q = -e)$.
વેગ $\vec{v}$ પૂર્વ દિશામાં છે (ધારો કે આ $+x$ દિશા છે).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં છે (ધારો કે આ $-z$ દિશા છે).
સદિશ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v} \times \vec{B} = (v \hat{i}) \times (-B \hat{k}) = -vB(\hat{i} \times \hat{k}) = -vB(-\hat{j}) = vB \hat{j}$ (જે ઉત્તર દિશા છે).
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવતો હોવાથી,બળ $\vec{F} = -e(vB \hat{j}) = -evB \hat{j}$ થશે.
દિશા $-\hat{j}$ એ દક્ષિણ દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ દક્ષિણ દિશામાં હશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
આ બળ $\vec{F} = qvB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને છેદીને (આડી) ગતિ કરે,તો $\theta \neq 0$ અને $\theta \neq 180^{\circ}$ થાય,તેથી $\sin \theta \neq 0$ થાય,પરિણામે શૂન્યતર ચુંબકીય બળ લાગે છે.
જો કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં ગતિ કરે,તો $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ થાય,તેથી $\sin \theta = 0$ થાય,પરિણામે ચુંબકીય બળ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $q = 10^{-12} \, C$,$\vec{v} = 10^5 \hat{i} \, m/s$,અને $\vec{F} = 10^{-10} \hat{j} \, N$.
બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે.
ન્યૂનતમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,આપણે $\sin \theta = 1$ (એટલે કે $\theta = 90^\circ$) લઈએ છીએ,તેથી $F = qvB$.
આમ,$B_{\min} = \frac{F}{qv} = \frac{10^{-10}}{10^{-12} \times 10^5} = \frac{10^{-10}}{10^{-7}} = 10^{-3} \, T$.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $\vec{v}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં છે અને $\vec{F}$ એ $\hat{j}$ દિશામાં છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\hat{k}$ દિશામાં હોવું જોઈએ.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે, ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K$ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ $K = qV$ મળે છે.
અહીં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી, ગતિઊર્જા એ કણના વિદ્યુતભારના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $K \propto q$.
પ્રોટોન $(p)$, ડ્યુટેરોન $(d)$ અને $\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે વિદ્યુતભાર નીચે મુજબ છે:
$q_p = e$
$q_d = e$
$q_\alpha = 2e$
તેથી, તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$K_p : K_d : K_\alpha = q_p : q_d : q_\alpha = e : e : 2e = 1 : 1 : 2$ થાય છે.

(D) વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
ચુંબકીય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,વિદ્યુતભારિત કણની ગતિ ઉર્જા અચળ રહે છે,ભલે તેના પર ચુંબકીય બળ લાગતું હોય.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
અહીં ગતિઊર્જા $K$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને કણો માટે સમાન છે,તેથી $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન માટે વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન $(|q_e| = |q_p| = e)$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_e}{r_p} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$ એ પ્રોટોનના દળ $m_p$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી $(m_e < m_p)$,તેથી $r_e < r_p$ સાબિત થાય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે. વેગ $\vec{v}$ એ $X$-અક્ષ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તે $Y$-અક્ષ ($\vec{B}$ ની દિશા) સાથે $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વેગનો એક ઘટક ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોવાથી,પ્રોટોનનો માર્ગ હેલિક્સ (કુંતલ) આકારનો હશે.
હેલિક્સની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv \sin \theta}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = 30^\circ$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$r = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6 \times \sin 30^\circ}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} = \frac{1.67 \times 10^{-21} \times 0.5}{1.664 \times 10^{-20}} \approx 0.1 \, m$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \times 1.67 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.104} \approx 2\pi \times 10^{-7} \, s$.

(A) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{R} = qvB$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{mv}{qB}$ થાય છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$.
પ્રોટોન માટે,${R_p} = \frac{\sqrt{2{m_p}E}}{{q_p}B}$. ડ્યુટેરોન માટે,${R_d} = \frac{\sqrt{2{m_d}E}}{{q_d}B}$.
ડ્યુટેરોનનો વીજભાર પ્રોટોન જેટલો જ $(q_d = q_p)$ છે અને તેનું દળ પ્રોટોન કરતા બમણું $(m_d = 2{m_p})$ છે,તેથી:
$\frac{{R_d}}{{R_p}} = \sqrt{\frac{m_d}{m_p}} = \sqrt{\frac{2{m_p}}{{m_p}}} = \sqrt{2}$.
આથી,${R_d} = \sqrt{2} {R_p}$.

(C) વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રોમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું કુલ બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
પ્રોટોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\overrightarrow{F} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $q\overrightarrow{E} = -q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$,અથવા $\overrightarrow{E} = -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $\overrightarrow{E}$,$\overrightarrow{B}$ અને $\overrightarrow{v}$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય.
આ સ્થિતિમાં,વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $|F_e| = qE$ એ ચુંબકીય બળના મૂલ્ય $|F_m| = qvB$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$qE = qvB$,જેનું સાદું રૂપ $v = \frac{E}{B}$ થાય છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2\pi m}{qB}$.
અહીં વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ (પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને માટે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન હોવાથી,આવર્તકાળ એ કણના દળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $T \propto m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ એ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે છે,એટલે કે $m_p > m_e$.
તેથી,પ્રોટોનનો આવર્તકાળ ઇલેક્ટ્રોનના આવર્તકાળ કરતા વધારે હશે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$evB = \frac{mv^2}{r}$
વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $e/m$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$eB = \frac{mv}{r}$
$\frac{e}{m} = \frac{v}{Br}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ પરસ્પર લંબ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ટ્ઝ બળ શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય ચુંબકીય બળના મૂલ્ય જેટલું અને દિશા વિરુદ્ધ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F_e = F_m$.
$F_e = qE$ અને $F_m = qvB$ હોવાથી,$qE = qvB$ થાય.
તેથી,$E = vB$.
અહીં $v = 5 \times 10^6 \, m/s$ અને $B = 0.02 \, T$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$E = (5 \times 10^6) \times 0.02 = 10^5 \, V/m$ મળે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ થાય,તેથી $F = evB$.
$F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (4 \times 10^6 \, m/s) \times (2 \times 10^{-1} \, T) = 1.28 \times 10^{-13} \, N$.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ચુંબકીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = evB$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$r = \frac{mv}{eB}$ મળે.
$r = \frac{(9 \times 10^{-31} \, kg) \times (4 \times 10^6 \, m/s)}{(1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (2 \times 10^{-1} \, T)} = \frac{36 \times 10^{-25}}{3.2 \times 10^{-20}} = 1.125 \times 10^{-4} \, m \approx 1.1 \times 10^{-4} \, m$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ જેટલું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ અનુભવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ સમાન રહે છે,જોકે તેની ગતિની દિશા બદલાય છે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q$ ઋણ $(-e)$ હોય છે.
આપેલ છે: વેગ $\vec{v}$ ઉત્તર દિશામાં છે,અને બળ $\vec{F}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જો $\vec{v}$ ઉત્તર દિશામાં હોય અને $\vec{F}$ (જે $-e(\vec{v} \times \vec{B})$ છે) ઉપરની દિશામાં હોય,તો $(\vec{v} \times \vec{B})$ નીચેની દિશામાં હોવું જોઈએ.
જો આપણે આપણી આંગળીઓને ઉત્તર દિશામાં રાખીને એવી રીતે વાળીએ કે જેથી અંગૂઠો નીચેની તરફ નિર્દેશ કરે,તો આંગળીઓ પશ્ચિમ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પશ્ચિમ દિશામાં છે.

(D) લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે.
પ્રોટોન સોલેનોઈડની અક્ષ પર ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ $v$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ ને સમાંતર છે.
વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ એ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ અને $B$ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta) = qvB \sin(0^\circ) = 0$ થાય છે.
પ્રોટોન પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું ન હોવાથી,તે તેના વેગમાં કોઈ ફેરફાર કર્યા વગર તે જ માર્ગ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ અનુભવે છે જે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
$v = \frac{qBr}{m}$
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ એક વર્તુળમાં કાપેલું અંતર ભાગ્યા ઝડપ છે:
$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{(qBr/m)} = \frac{2\pi m}{qB}$
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $\nu$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે:
$\nu = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$

(B) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલ ગતિઊર્જા $K = qV$ છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
આપેલ કિંમતો: $V = 12000\, V$,$B = 10^{-3}\, T$,$m = 9 \times 10^{-31}\, kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
$r = \frac{1}{10^{-3}} \sqrt{\frac{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 12000}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10^3 \sqrt{\frac{216 \times 10^{-28}}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10^3 \sqrt{135 \times 10^{-9}} \approx 0.367\, m$.
તેથી,$r = 36.7\, cm$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $B$ અને $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$r \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y} \cdot \frac{q_Y}{q_X}}$.
આપેલ છે કે $q_Y = 2q_X$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y} \cdot \frac{2q_X}{q_X}} = \sqrt{\frac{m_X}{m_Y} \cdot 2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{m_X}{m_Y} \cdot 2$ મળે છે.
આમ,$X$ ના દળ અને $Y$ ના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_X}{m_Y} = \frac{R_1^2}{2R_2^2}$ થાય છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
આપેલ છે: $q = 10^{-11} \, C$,$\overrightarrow{v} = 10^8 \hat{j} \, m/s$,અને $\overrightarrow{B} = 0.5 \hat{i} \, T$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = 10^{-11} \times (10^8 \hat{j} \times 0.5 \hat{i})$
$\overrightarrow{F} = 10^{-11} \times 10^8 \times 0.5 \times (\hat{j} \times \hat{i})$
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{F} = 0.5 \times 10^{-3} \times (-\hat{k})$
$\overrightarrow{F} = 5 \times 10^{-4} \, N$,$-\hat{k}$ ની દિશામાં.

(B) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,કણ $x=0$ પર પ્રવેશે છે અને $x > 0$ વિસ્તારમાંથી બહાર નીકળતા પહેલા અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. $x > 0$ વિસ્તારમાં તે જે મહત્તમ અંતર $d$ સુધી પ્રવેશશે તે આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા જેટલું જ હોય છે.
તેથી,$d = r = \frac{mv}{qB}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું લોરેન્ઝ બળ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B)$.
આ બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળ $F$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે વેગ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે બળ મહત્તમ હોય છે.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $\theta$ ખૂણે (જ્યાં $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તેના વેગ $v$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ઘટક $v \cos \theta$,જે કણને ક્ષેત્રની દિશામાં સુરેખ પથ પર ગતિ કરાવે છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ઘટક $v \sin \theta$,જે કણને વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરાવે છે.
કણ પાસે સમાંતર અને લંબ બંને વેગ ઘટકો હોવાથી,પરિણામી પથ હેલિક્સ (કુંતલાકાર) બને છે. અહીં $\theta = 45^\circ$ હોવાથી,પથ હેલિક્સ હશે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r}$.
માર્ગની ત્રિજ્યા માટે સૂત્ર મેળવતા,$r = \frac{mv}{qB}$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $mv = \sqrt{2mK}$.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ અને સમાન વિદ્યુતભાર $q$ માટે,ત્રિજ્યા એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $r \propto \sqrt{m}$.
પ્રોટોનનું દળ $(m_p)$ ઇલેક્ટ્રોનના દળ $(m_e)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,પ્રોટોનના માર્ગની ત્રિજ્યા $(r_p)$ ઇલેક્ટ્રોનના માર્ગની ત્રિજ્યા $(r_e)$ કરતા મોટી હશે.
વક્રતાની ત્રિજ્યા જેટલી મોટી,તેટલો માર્ગ ઓછો વળાંકવાળો હોય છે. તેથી,પ્રોટોનનો માર્ગ ઓછો વળાંકવાળો છે.