Magnetic Moment of Current Carrying Coil Questions in Gujarati

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ નું સૂત્ર $M = niA$ છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $M = ni(\pi r^2)$ મળે છે.
અહીં $n$,$i$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $M \propto r^2$.

(C) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $l$ છે.
ચોરસ માટે,બાજુની લંબાઈ $a = l/4$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_{square} = a^2 = (l/4)^2 = l^2/16$ થાય.
વર્તુળ માટે,પરિઘ $2\pi r = l$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = l/(2\pi)$ થાય. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_{circle} = \pi r^2 = \pi (l/(2\pi))^2 = l^2/(4\pi)$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે બંને માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન છે,
$\frac{M_{square}}{M_{circle}} = \frac{A_{square}}{A_{circle}} = \frac{l^2/16}{l^2/(4\pi)} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $\pi : 4$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત પ્રવાહ $i = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$ ના સમીકરણમાં $i$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $B = \frac{\mu_0}{2r} \cdot \frac{ev}{2\pi r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
$r^2$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$r^2 = \frac{\mu_0 ev}{4\pi B}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$r = \sqrt{\frac{\mu_0 ev}{4\pi B}}$ મળે છે.
અહીં $\mu_0$,$e$ અને $4\pi$ અચળાંકો હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ $\sqrt{v/B}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N \cdot i \cdot A$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
$N = 20$
$i = 3\, A$
$r = 4\, cm = 4 \times 10^{-2}\, m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (4 \times 10^{-2})^2 = 16\pi \times 10^{-4}\, m^2$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$A \approx 3.14 \times 16 \times 10^{-4} = 50.24 \times 10^{-4}\, m^2$.
હવે,$M = 20 \times 3 \times 50.24 \times 10^{-4} = 60 \times 50.24 \times 10^{-4} = 3014.4 \times 10^{-4} \approx 0.3\, A \cdot m^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = i \times A = i \pi r^2$ થશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ એ આંટાની સંખ્યા $(N)$,કોઈલમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I)$ અને કોઈલના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$M = NIA$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = iA$ છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ થાય.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ મળે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{1}{2}evr$.

(C) પ્રવાહ ધારિત વર્તુળાકાર લૂપ ચુંબકીય ડાયપોલ અથવા ગજિયા ચુંબક તરીકે વર્તે છે.
જ્યારે ચુંબકીય ડાયપોલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં (જેમ કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર) મુક્ત રીતે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ટોર્ક અનુભવે છે જે તેની ચુંબકીય મોમેન્ટને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરે છે.
પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ લૂપના સમતલને લંબ હોય છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ પૃથ્વીના ઉત્તર-દક્ષિણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય તે માટે,લૂપનું સમતલ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશાને લંબ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે લૂપનું સમતલ પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં નિર્દેશ કરશે.

(A) પ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ $i$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$M = iA$.
પ્રવાહ $i$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$i = M/A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = qf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$ અને $f = 6.6 \times 10^{15} \, \text{Hz}$ છે.
$i = 1.6 \times 10^{-19} \times 6.6 \times 10^{15} = 10.56 \times 10^{-4} \, \text{A}$.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે,જ્યાં $R = 0.528 \, \mathring{A} = 0.528 \times 10^{-10} \, \text{m}$ છે.
$A = 3.142 \times (0.528 \times 10^{-10})^2 = 3.142 \times 0.278784 \times 10^{-20} \approx 0.876 \times 10^{-20} \, \text{m}^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = (10.56 \times 10^{-4}) \times (0.876 \times 10^{-20}) \approx 9.25 \times 10^{-24} \, \text{A} \cdot \text{m}^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $M \approx 1 \times 10^{-23} \, \text{A} \cdot \text{m}^2$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ શોધવાનું સૂત્ર $M = NiA$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 24$
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.75\,A$
વ્યાસ $d = 7\,cm = 7 \times 10^{-2}\,m$
ત્રિજ્યા $r = d/2 = 3.5 \times 10^{-2}\,m$
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (3.5 \times 10^{-2})^2\,m^2$
કિંમતો મૂકતા:
$M = 24 \times 0.75 \times 3.14 \times (3.5 \times 10^{-2})^2$
$M = 18 \times 3.14 \times 12.25 \times 10^{-4}$
$M = 692.37 \times 10^{-4} \approx 6.9 \times 10^{-2}\,A\cdot m^2$

(D) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = NiA$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય એ પ્રવાહ $i$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશની દિશા હંમેશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે,જે જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તે લૂપના સમતલને લંબ હોય છે અને લૂપના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = iA$ છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.1\, A$,ત્રિજ્યા $r = 5\, cm = 0.05\, m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.05)^2 = 3.14159 \times 0.0025 = 7.854 \times 10^{-3}\, m^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$M = 0.1 \times (7.854 \times 10^{-3}) = 7.854 \times 10^{-4}\, A\cdot m^2$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $M = 7.85 \times 10^{-4}\, A\cdot m^2$ મળે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0 i}}{{2R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ને $i = \frac{{2RB}}{{\mu _0}}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
વિદ્યુતપ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = i \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,$A = \pi R^2$.
$i$ અને $A$ ના સૂત્રને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{{2RB}}{{\mu _0}} \right) \times (\pi R^2) = \frac{{2\pi B R^3}}{{\mu _0}}$.

(C) પ્રવાહ ધરાવતી કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NiA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$N$ આંટા બનાવવા માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $l = N(2\pi r)$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $r = \frac{l}{2\pi N}$.
$M$ ના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $M = Ni(\pi r^2) = Ni\pi (\frac{l}{2\pi N})^2 = Ni\pi \frac{l^2}{4\pi^2 N^2} = \frac{il^2}{4\pi N}$.
જો આંટાની સંખ્યા $N$ અચળ હોય,તો આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $M \propto l^2$.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ એ તારની લંબાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળનો પરિઘ એ તારની લંબાઈ જેટલો હોય છે,તેથી $2\pi r = L$.
આમ,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2\pi}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2} = \frac{L^2}{4\pi}$ મળે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = IA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,$M = I \left(\frac{L^2}{4\pi}\right) = \frac{IL^2}{4\pi}$ મળે છે.

(A) ભ્રમણ કરતા વીજભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = \frac{2q}{T} = \frac{2q\omega}{2\pi} = \frac{q\omega}{\pi}$ છે.
તંત્રની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ એ કણો દ્વારા બનતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$M = (\frac{q\omega}{\pi})(\pi R^2) = q\omega R^2$.
કેન્દ્રની સાપેક્ષ તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
અક્ષથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના બે કણો માટે,$I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$.
તેથી,$L = (2mR^2)\omega = 2mR^2\omega$.
આમ,મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{q\omega R^2}{2mR^2\omega} = \frac{q}{2m}$ થાય.

(B) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = iA$ છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ થાય.
ભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = \frac{Q}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ એક પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ હોવાથી,સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega}$ થાય.
તેથી,$i = \frac{Q}{(2\pi / \omega)} = \frac{Q\omega}{2\pi}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$M = \left( \frac{Q\omega}{2\pi} \right) \times (\pi R^2) = \frac{1}{2}Q\omega R^2$.

(C) ચોરસ લૂપની પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_1 = iA = iL^2$ છે,જેની દિશા લૂપના સમતલને લંબ છે.
જ્યારે લૂપને મધ્યમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે નાના લંબચોરસ લૂપ બનાવે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A' = L \times (L/2) = L^2/2$ છે.
દરેક અડધા ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA' = iL^2/2 = \mu_1/2$ છે.
આ બે અડધા ભાગો પરસ્પર લંબ સમતલોમાં રહેલા છે. ધારો કે સમક્ષિતિજ ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{M_h}$ અને શિરોલંબ ભાગની $\overrightarrow{M_v}$ છે.
બંનેનું મૂલ્ય $M = \mu_1/2$ છે. પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{\mu_2}$ એ આ બંનેનો સદિશ સરવાળો છે: $\mu_2 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$.
$M = \mu_1/2$ મૂકતા,આપણને $\mu_2 = (\mu_1/2) \times \sqrt{2} = \mu_1/\sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{|\overrightarrow{\mu_1}|}{|\overrightarrow{\mu_2}|} = \frac{\mu_1}{\mu_1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(D) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ $I$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$M = I \times A$.
પ્રવાહનો $SI$ એકમ એમ્પીયર $(A)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ $A \cdot m^2$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકાયેલ પ્રવાહધારિત લૂપ ટોર્ક અનુભવે છે અને તે ચુંબકીય ડાયપોલ જેવું વર્તે છે.
પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = N i A$
જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ચોરસ લૂપની પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_1 = iL^2$ છે,જે લૂપના સમતલને લંબ દિશામાં હોય છે.
જ્યારે લૂપને $90^\circ$ ના ખૂણે વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે પરસ્પર લંબ લૂપમાં વિભાજિત થાય છે,જેનું ક્ષેત્રફળ $A' = L \times (L/2) = L^2/2$ છે.
દરેક અડધી લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA' = iL^2/2 = \mu_1/2$ થાય છે.
આ બંને ચુંબકીય મોમેન્ટ એકબીજાને લંબ છે,એક સમક્ષિતિજ સમતલમાં અને બીજી શિરોલંબ સમતલમાં.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu_2$ એ આ બંને મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો છે: $\mu_2 = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$.
$M = \mu_1/2$ મૂકતા,આપણને $\mu_2 = (\mu_1/2) \times \sqrt{2} = \mu_1/\sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{|\overrightarrow {{\mu _1}} |}{|\overrightarrow {{\mu _2}} |} = \frac{\mu_1}{\mu_1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(C) ડિસ્ક પર $x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ પહોળાઈ ધરાવતી એક પાતળી તત્વ રીંગ ધ્યાનમાં લો.
આ તત્વ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2 \pi x dx$ છે.
આ તત્વ રીંગ પરનો વીજભાર $dq = \sigma dA = 2 \pi \sigma x dx$ છે.
ડિસ્ક $\omega$ કોણીય ઝડપથી ફરતી હોવાથી,પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
આ ફરતા વીજભારને કારણે મળતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $dI = \frac{dq}{T} = \frac{dq \cdot \omega}{2 \pi}$ છે.
$dq$ ની કિંમત મૂકતા,$dI = \frac{(2 \pi \sigma x dx) \omega}{2 \pi} = \sigma \omega x dx$ મળે છે.
આ તત્વ રીંગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $dM = dI \cdot A_{ring} = (\sigma \omega x dx) \cdot (\pi x^2) = \pi \sigma \omega x^3 dx$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ મેળવવા માટે,$x = 0$ થી $x = R$ સુધી $dM$ નું સંકલન કરો:
$M = \int_{0}^{R} \pi \sigma \omega x^3 dx = \pi \sigma \omega \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{1}{4} \pi \sigma \omega R^4$.

(D) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = I A$ છે.
અહીં,ગતિ કરતા વીજભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા કણ માટે સમયગાળો $T = \frac{2 \pi R}{v}$ થાય છે.
$I$ ના સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{q}{2 \pi R / v} = \frac{qv}{2 \pi R}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર પથનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = I A = \left( \frac{qv}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{qvR}{2}$ થાય છે.

(B) કોઈલને $N-S$ શિરોલંબ સમતલમાં રાખવામાં આવી છે. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતા પ્રવાહ માટે,કોઈલના કેન્દ્રમાં ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૂર્વથી પશ્ચિમ દિશામાં હોય છે.
પૃથ્વીનું સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દક્ષિણથી ઉત્તર દિશામાં હોય છે.
ચુંબકીય સોય પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે.
પરિણામી સદિશ એ કોઈલનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (પશ્ચિમ તરફ) અને પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઉત્તર તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
તેથી,ચુંબકીય સોયનો ઉત્તર ધ્રુવ પશ્ચિમ-ઉત્તર દિશામાં નિર્દેશ કરશે.

(B) સંવહન પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમય દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જેহেতু વિદ્યુતભાર $q$ એ $T = \frac{2\pi r}{v}$ સમયમાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,તેથી પ્રવાહ:
$I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi r / v} = \frac{qv}{2\pi r}$
પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ $I$ અને ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$M = I \times A = \left( \frac{qv}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2)$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$M = \frac{qv \pi r^2}{2\pi r} = \frac{qvr}{2}$

(A) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (10\,cm)^2 = (0.1\,m)^2 = 0.01\,m^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = iA = 10\,A \times 0.01\,m^2 = 0.1\,A\cdot m^2$ છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ની દિશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે.
લૂપ એવા સમતલમાં છે કે તેનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો અને $-z$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે (આકૃતિમાં આપેલી ભૂમિતિ મુજબ).
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M} = M \cos(60^{\circ}) \hat{i} - M \cos(30^{\circ}) \hat{k}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{M} = 0.1 \times (1/2) \hat{i} - 0.1 \times (\sqrt{3}/2) \hat{k}$.
$\vec{M} = 0.05 \hat{i} - 0.05\sqrt{3} \hat{k} = 0.05 (\hat{i} - \sqrt{3} \hat{k})\,A\cdot m^2$.

(A) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{P}_m$ એ $\vec{P}_m = I_2 \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
$xy$-સમતલમાં $l$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = l^2 \hat{k}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ પ્રવાહ $I_2$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે તેમ ધારતા).
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{P}_m = I_2 l^2 \hat{k}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_1 = I A = I \pi R^2$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ રાખીને ડાયપોલ મોમેન્ટ બમણી $(m_2 = 2m_1)$ કરવામાં આવે,ત્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ બમણું થવું જોઈએ. $A = \pi R^2$ હોવાથી,નવી ત્રિજ્યા $R'$ માટે $\pi (R')^2 = 2 \pi R^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R' = \sqrt{2} R$.
કેન્દ્ર પર નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R'} = \frac{\mu_0 I}{2(\sqrt{2} R)}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{2\sqrt{2}R}} = \sqrt{2}$.

(B) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \frac{Q}{l} dx$ છે.
સળિયો $f$ આવૃત્તિ સાથે ફરે છે,તેથી આ ફરતા વિદ્યુતભારના ઘટક સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $di = dq \cdot f = \frac{Q}{l} f dx$ છે.
$x$ ત્રિજ્યાના આ વર્તુળાકાર લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $d\mu = (di) \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi x^2$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $d\mu = \left( \frac{Q f}{l} dx \right) (\pi x^2) = \frac{\pi f Q}{l} x^2 dx$ મળે છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = l$ સુધી $d\mu$ નું સંકલન કરીએ છીએ:
$\mu = \int_0^l \frac{\pi f Q}{l} x^2 dx = \frac{\pi f Q}{l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^l = \frac{\pi f Q}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} \pi f Q l^2$.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec \mu = i \vec A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $\vec A$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ નું મૂલ્ય લૂપના ક્ષેત્રફળ $(A = a \times b)$ જેટલું હોય છે અને તેની દિશા લૂપના સમતલને લંબ હોય છે.
ભૂમિતિ જોતા,$b$ લંબાઈની બાજુ $y$-અક્ષ પર છે. $a$ લંબાઈની બાજુ $xz$-સમતલમાં $x$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
લૂપ માટેનો લંબ સદિશ $\vec n$ એ લંબચોરસની બાજુઓ દર્શાવતા બે સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
$b$ બાજુ પરનો સદિશ $\vec b = b \hat j$ છે.
$a$ બાજુ પરનો સદિશ $\vec a = a \cos 30^\circ \hat i + a \sin 30^\circ \hat k$ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A = \vec a \times \vec b = (a \cos 30^\circ \hat i + a \sin 30^\circ \hat k) \times (b \hat j)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat i \times \hat j = \hat k$ અને $\hat k \times \hat j = -\hat i$):
$\vec A = ab \cos 30^\circ \hat k - ab \sin 30^\circ \hat i$.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા $(\sin 30^\circ \hat i + \cos 30^\circ \hat k)$ મળે છે.
તેથી,$\vec \mu = iab(\sin 30^\circ \hat i + \cos 30^\circ \hat k)$.

(B) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $l = 2 \, m$, વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1 \, A$.
જ્યારે તારને વાળીને વર્તુળ બનાવવામાં આવે છે, ત્યારે વર્તુળનો પરિઘ એ તારની લંબાઈ જેટલો થાય છે: $2 \pi r = l$.
$l$ ની કિંમત મૂકતા: $2 \pi r = 2 \implies r = 1 / \pi \, m$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (1 / \pi)^2 = 1 / \pi \, m^2$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = I \times A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M = 1 \times (1 / \pi) = 1 / \pi \, A \cdot m^2$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = l$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{l}{2 \pi}$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{\pi l^2}{4 \pi^2} = \frac{l^2}{4 \pi}$ છે.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $M = i \left( \frac{l^2}{4 \pi} \right) = \frac{i l^2}{4 \pi}$ મળે છે.

(D) $1$. એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગ સ્થિર વિદ્યુતભાર વિતરણ ધરાવે છે,જે તેની આસપાસના અવકાશમાં સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. જ્યારે રીંગ અચળ કોણીય વેગ $\omega$ થી ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે ગતિશીલ વિદ્યુતભારો વર્તુળાકાર પ્રવાહ $I = qf = q(\omega / 2\pi)$ બનાવે છે,જ્યાં $q$ એ રીંગ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
$3$. આ વહેતો પ્રવાહ રીંગની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. પ્રવાહધારિત લૂપ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu = IA$ પણ ધરાવે છે,જ્યાં $A$ એ રીંગનું ક્ષેત્રફળ છે.
$5$. તેથી,ભ્રમણ કરતી વિદ્યુતભારીત રીંગ એકસાથે સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમયમાં કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થતા વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પ્રતિ સેકન્ડ $v$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતું હોવાથી,પ્રવાહ $I = q \times v = ev$ થાય.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ એ પ્રવાહ અને ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $m = I \times A$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $m = (ev) \times (\pi r^2) = \pi ve r^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = N \cdot I \cdot A$
જ્યાં:
$N = 1000$ (આંટાની સંખ્યા)
$I = 2 \, A$ (વિદ્યુતપ્રવાહ)
$A = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$ (આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$M = 1000 \times 2 \times 1.5 \times 10^{-4}$
$M = 2000 \times 1.5 \times 10^{-4}$
$M = 3000 \times 10^{-4}$
$M = 0.3 \, Am^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને $I = \frac{2BR}{\mu_0}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = I \times A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,$A = \pi R^2$.
$M$ ના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$M = \left( \frac{2BR}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$.

(C) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = I\vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,બહારની લૂપ $(r_2 = 0.3\,m)$ માં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં છે,તેથી તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_2 = I(\pi r_2^2)\hat{k}$ છે.
અંદરની લૂપ $(r_1 = 0.2\,m)$ માં પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં છે,તેથી તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}_1 = -I(\pi r_1^2)\hat{k}$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M} = \vec{M}_2 + \vec{M}_1 = I\pi(r_2^2 - r_1^2)\hat{k}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 7\,A$,$r_2 = 0.3\,m$,$r_1 = 0.2\,m$.
$\vec{M} = 7 \times \pi \times (0.3^2 - 0.2^2)\hat{k}$
$\vec{M} = 7 \times \frac{22}{7} \times (0.09 - 0.04)\hat{k}$
$\vec{M} = 22 \times 0.05\hat{k} = 1.1\,\hat{k}\,A\cdot m^2$.

(B) આ લૂપ $r = a/2$ ત્રિજ્યાના ચાર અર્ધ-વર્તુળોની બનેલી છે. લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ ચાર અર્ધ-વર્તુળો અને $a$ બાજુવાળા મધ્ય ચોરસના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$r = a/2$ ત્રિજ્યાવાળા ચાર અર્ધ-વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{1}{2} \pi r^2 = 2 \pi (a/2)^2 = 2 \pi (a^2/4) = \frac{\pi a^2}{2}$ થાય.
મધ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi a^2}{2} + a^2 = \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) a^2$.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ પ્રવાહની દિશા (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશા) માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $\vec{M} = I \vec{A}$ એ ધન $z$-દિશામાં મળે છે.
તેથી,$\vec{M} = \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) I a^2 \hat{k}$.

(A) ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ એ પ્રવાહ $I$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\mu = IA$.
$q$ જેટલો વિદ્યુતભાર $f$ આવૃત્તિ સાથે ફરતો હોય ત્યારે ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = qf$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ થાય.
તેથી,પ્રવાહ $I = q \left( \frac{\omega}{2\pi} \right)$ મળે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \left( \frac{q \omega}{2\pi} \right) (\pi r^2)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\mu = \frac{1}{2} q \omega r^2$.

(C) ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \rho(x) dx = \rho_0 \frac{x}{l} dx$ છે.
જ્યારે સળિયો $n$ આવૃત્તિ (પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ) સાથે ફરે છે,ત્યારે કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n$ થાય છે. આ ફરતા વિદ્યુતભાર ઘટક દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $di = \frac{dq}{T} = dq \cdot n = \rho_0 \frac{x}{l} dx \cdot n$ છે.
$x$ ત્રિજ્યાના આ વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $dM = di \cdot A = di \cdot (\pi x^2)$ છે.
$di$ ની કિંમત મૂકતા: $dM = (\rho_0 \frac{x}{l} dx \cdot n) \cdot \pi x^2 = \frac{\pi n \rho_0}{l} x^3 dx$.
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા: $M = \int_0^l \frac{\pi n \rho_0}{l} x^3 dx = \frac{\pi n \rho_0}{l} [\frac{x^4}{4}]_0^l = \frac{\pi n \rho_0}{l} \cdot \frac{l^4}{4} = \frac{\pi}{4} n \rho_0 l^3$.

(C) $l$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,પરિમિતિ $P = 4l$ અને ક્ષેત્રફળ $A_s = l^2$ છે. ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m = I A_s = I l^2$ છે.
જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર લૂપમાં બદલવામાં આવે છે,ત્યારે પરિમિતિ સમાન રહે છે: $2\pi r = 4l$,જે આપણને $r = \frac{2l}{\pi}$ આપે છે.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left(\frac{2l}{\pi}\right)^2 = \frac{4l^2}{\pi}$ છે.
નવી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m'$ એ $m' = I A_c = I \left(\frac{4l^2}{\pi}\right)$ છે.
કારણ કે $m = I l^2$,આપણે આ કિંમત $m'$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$m' = \frac{4}{\pi} (I l^2) = \frac{4m}{\pi}$.

(A) $N$ આંટા,$I$ પ્રવાહ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ છે.
ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA = NI(\pi R^2)$ છે.
ગુણોત્તર $\alpha = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 NI}{2R} \times \frac{1}{NI\pi R^2} = \frac{\mu_0}{2\pi R^3}$ થાય છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\alpha \propto \frac{1}{R^3}$,અને તે પ્રવાહ $I$ પર આધારિત નથી.
જો ત્રિજ્યા $R$ બમણી કરવામાં આવે $(R' = 2R)$,તો નવો ગુણોત્તર $\alpha'$ નીચે મુજબ થશે:
$\alpha' = \frac{\mu_0}{2\pi (2R)^3} = \frac{\mu_0}{2\pi (8R^3)} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0}{2\pi R^3} \right) = \frac{\alpha}{8}$.
આમ,નવો ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{8}$ થશે.

(D) ધારો કે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{q}{l}$ છે.
પિવોટ (ધરી) થી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx = \frac{q}{l} dx$ છે.
જેમ સળિયો $f$ આવૃત્તિ સાથે ફરે છે,તેમ આ વિદ્યુતભારિત ખંડ $x$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $T = \frac{1}{f}$ આવર્તકાળ સાથે ફરે છે.
આ ફરતા વિદ્યુતભારને કારણે મળતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $dI = \frac{dq}{T} = dq \cdot f = \frac{q}{l} f dx$ છે.
આ પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $dm = dI \cdot A$ છે,જ્યાં $A = \pi x^2$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
$dm = (\frac{q}{l} f dx) (\pi x^2) = \frac{\pi qf}{l} x^2 dx$.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા:
$M = \int_0^l \frac{\pi qf}{l} x^2 dx = \frac{\pi qf}{l} [\frac{x^3}{3}]_0^l = \frac{\pi qf}{l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{1}{3} \pi qfl^2$.

(A) ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = N I A$ છે,જ્યાં $N$ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $A$ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ છે.
$N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,તારની કુલ લંબાઈ $L = N(2 \pi R)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{L}{2 \pi N}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi N^2}$ થાય.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા: $M = N I \left( \frac{L^2}{4 \pi N^2} \right) = \frac{I L^2}{4 \pi N}$.
અહીં $I$,$L$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$M$ એ $N$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(M \propto \frac{1}{N})$.
$M$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $N$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડે. તેથી,$N = 1$ લેવાથી મહત્તમ ચુંબકીય મોમેન્ટ મળે છે.
નિશ્ચિત પરિમિતિ માટે,અન્ય આકારોની તુલનામાં વર્તુળ સૌથી વધુ ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે,તેથી ગૂંચળું વર્તુળાકાર હોવું જોઈએ.

(D) આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $L = 2\,m$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 1\,A$.
તારને વાળીને વર્તુળાકાર લૂપ બનાવવામાં આવે છે,તેથી લૂપનો પરિઘ તારની લંબાઈ જેટલો થાય:
$2\pi r = L = 2\,m$
$r = 1/\pi \,m$.
પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ પ્રવાહ અને લૂપના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે:
$M = I \times A = I \times (\pi r^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$M = 1 \times \pi \times (1/\pi)^2 = \pi \times (1/\pi^2) = 1/\pi \,Am^2$.

(D) જો ચોરસના સામસામેના ભાગોમાં વહેતો પ્રવાહ કેન્દ્ર પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે,તો કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય.
કિસ્સા $P$ માં,બંને માર્ગો સંમિત છે અને દરેક માર્ગમાં એક જાડો અને એક પાતળો તાર છે. આથી,બંને માર્ગોનો અવરોધ સમાન હોવાથી પ્રવાહ સમાન વહે છે. આ પ્રવાહો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો કેન્દ્ર પર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કિસ્સા $Q$ માં,માર્ગો અસંમિત છે (એક માર્ગમાં બે જાડા તાર છે,બીજામાં બે પાતળા તાર છે). અવરોધ અસમાન હોવાથી પ્રવાહ પણ અસમાન વહે છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી.
કિસ્સા $R$ માં,બંને માર્ગો ફરીથી સંમિત છે,જેમાં દરેક માર્ગમાં એક જાડો અને એક પાતળો તાર છે. તેથી,પ્રવાહ સમાન છે અને કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
આમ,$P$ અને $R$ કિસ્સાઓમાં કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(D) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $L = 2\pi r$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2\pi}$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = I(\pi r^2) = I \pi \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{IL^2}{4\pi}$ છે.
જ્યારે તારને $a$ બાજુવાળા ચોરસમાં બદલવામાં આવે છે,ત્યારે પરિમિતિ $4a = L$ થાય,તેથી $a = \frac{L}{4}$ મળે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A' = a^2 = \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{L^2}{16}$ છે.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = I A' = I \frac{L^2}{16}$ થાય.
$M$ ના સમીકરણ પરથી,$IL^2 = 4\pi M$ મળે છે.
આ કિંમત $M'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M' = \frac{4\pi M}{16} = \frac{\pi}{4} M$ મળે છે.

(A) ભ્રમણાક્ષથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \frac{q}{l} dx$ છે.
ભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
આ ભ્રમણ કરતા ઘટકને કારણે મળતો પ્રવાહ $di = \frac{dq}{T} = \frac{(q/l) dx}{2\pi/\omega} = \frac{q\omega}{2\pi l} dx$ છે.
આ નાના પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $dM = (di) \cdot A = (di) \cdot (\pi x^2) = \left( \frac{q\omega}{2\pi l} dx \right) (\pi x^2) = \frac{q\omega}{2l} x^2 dx$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા:
$M = \int_{0}^{l} \frac{q\omega}{2l} x^2 dx = \frac{q\omega}{2l} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{l} = \frac{q\omega}{2l} \cdot \frac{l^3}{3} = \frac{q\omega l^2}{6}$.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = N \cdot I \cdot A$
જ્યાં:
$N = 20$ (આંટાની સંખ્યા)
$I = 3 \, A$ (વિદ્યુતપ્રવાહ)
$A = \pi \cdot r^2$ (કોઈલનું ક્ષેત્રફળ)
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 4 \, cm = 0.04 \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$A = \pi \cdot (0.04)^2 = \pi \cdot 0.0016 \, m^2$
$M = 20 \times 3 \times \pi \times 0.0016$
$M = 60 \times 0.0050265$
$M \approx 0.3016 \, A \cdot m^2$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $0.3 \, A \cdot m^2$ છે.