Cyclotron Questions in Gujarati

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{qB}{m}$ છે.
અહીં,$q$ એ કણનો વીજભાર છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,અને $m$ એ કણનું દળ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માત્ર વીજભાર,કણનું દળ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે.
તે કણના વેગ અથવા ઝડપ $v$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ વીજભારિત કણની ઝડપથી સ્વતંત્ર છે.

(C) ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સાયક્લોટ્રોનમાં,વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r_0 = \frac{mv}{qB}$ છે.
વેગ માટે આ સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{qB r_0}{m}$ મળે છે.
$v$ ની આ કિંમતને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{\max} = \frac{1}{2}m \left( \frac{qB r_0}{m} \right)^2$
$K_{\max} = \frac{1}{2}m \left( \frac{q^2 B^2 r_0^2}{m^2} \right)$
$K_{\max} = \frac{q^2 B^2 r_0^2}{2m}$.

(C) સાયક્લોટ્રોન એ પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન અને આલ્ફા કણો જેવા ધન વીજભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે વપરાતું સાધન છે.
તે આ સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે કે ધન વીજભારિત કણને પ્રબળ ચુંબકીય ક્ષેત્રની મદદથી વર્તુળાકાર માર્ગમાં ફેરવીને,વારંવાર દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્રમાંથી પસાર કરીને પૂરતી ઊંચી ઊર્જા સુધી પ્રવેગિત કરી શકાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને સાયક્લોટ્રોનમાં પ્રવેગિત કરવામાં આવતા નથી કારણ કે તેમનું દળ ખૂબ જ ઓછું હોય છે,જેના કારણે તેઓ ખૂબ જ ઝડપથી સાપેક્ષવાદી ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે,જે દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથેની તેમની સુમેળતા (synchrony) તોડી નાખે છે.

(D) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $v$ નું સૂત્ર $v = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
આપેલ છે: $B = 1\, T$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,અને $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{1 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}$
$v = \frac{1.6}{57.148} \times 10^{12}\, Hz$
$v \approx 0.02799 \times 10^{12}\, Hz = 27.99 \times 10^9\, Hz$
$v \approx 28\, GHz$.

(C) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f = \frac{eB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{2\pi mf}{e}$ મળે છે.
ડીઝ (ત્રિજ્યા $R$) ના બહાર નીકળતી વખતે પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v = \omega R = (2\pi f)R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $v = 2\pi fR$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m(2\pi fR)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2f^2R^2) = 2m\pi^2f^2R^2$.
આમ,$B = \frac{2\pi mf}{e}$ અને $K = 2m\pi^2f^2R^2$ છે.

(A) સાયક્લોટ્રોનમાં,વિદ્યુતભારિત કણને બે ડીઝ (dees) વચ્ચેના ગાળામાં રહેલા દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે.
$(i)$ વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે કણ ડીઝ (dees) વચ્ચે ઝડપ વધારે છે.
$(ii)$ ડીઝ (dees) ની અંદર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કણ પર કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તે અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,પરંતુ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
તેથી,કણ ગાળામાં રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.

(C) સાયક્લોટ્રોનમાં કણની મહત્તમ ગતિઊર્જા $KE_{\max}$ નું સૂત્ર $KE_{\max} = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$ છે, જ્યાં $q$ એ વીજભાર છે, $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, $R$ એ 'ડીઝ' ની ત્રિજ્યા છે અને $m$ એ કણનું દળ છે.
આપેલ સાયક્લોટ્રોન માટે $B$ અને $R$ અચળ હોવાથી, $KE_{\max} \propto \frac{q^2}{m}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $q = e, m = m_p \implies \frac{q^2}{m} = \frac{e^2}{m_p}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: $q = e, m = 2m_p \implies \frac{q^2}{m} = \frac{e^2}{2m_p}$.
આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે: $q = 2e, m = 4m_p \implies \frac{q^2}{m} = \frac{4e^2}{4m_p} = \frac{e^2}{m_p}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા, ગુણોત્તર $\frac{q^2}{m}$ ડ્યુટેરોન માટે ન્યૂનતમ છે. તેથી, પ્રાપ્ત થતી ન્યૂનતમ ગતિઊર્જા ડ્યુટેરોન માટે હશે.

(D) સાયક્લોટ્રોનમાં રહેલા વીજભારિત કણની ગતિ ઊર્જા $(E_k)$ નું સૂત્ર: $E_k = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$ છે.
સાયક્લોટ્રોનની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{qB}{2 \pi m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $qB = 2 \pi m f$.
$qB$ ની કિંમત ગતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_k = \frac{(2 \pi m f)^2 r^2}{2m} = 2 \pi^2 m f^2 r^2$.
આપેલ કિંમતો:
$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$ (પ્રોટોનનું દળ)
$f = 10 \times 10^6 \, Hz$
$r = 0.5 \, m$
જૂલમાં $E_k$ ની ગણતરી:
$E_k = 2 \times (3.14)^2 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)^2 \times (0.5)^2$
$E_k = 2 \times 9.8596 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{14} \times 0.25$
$E_k \approx 8.23 \times 10^{-13} \, J$.
$MeV$ માં રૂપાંતર:
$E_k (eV \text{ માં}) = \frac{8.23 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.14 \times 10^6 \, eV = 5.14 \, MeV$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $5.1 \, MeV$ મળે છે.

(D) સાયક્લોટ્રોનમાં,કણનો મહત્તમ વેગ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ અને આવૃત્તિ $f$ સાથે $v = r \omega = r(2 \pi f)$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $f = 10\, MHz = 10 \times 10^6\, Hz = 10^7\, Hz$.
ત્રિજ્યા $r = 50\, cm = 0.5\, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = 2 \times \pi \times r \times f$
$v = 2 \times 3.14 \times 0.5 \times 10^7$
$v = 1 \times 3.14 \times 10^7\, m/s$
$v = 3.14 \times 10^7\, m/s$.

(C) સાયક્લોટ્રોન એ એક કણ પ્રવેગક છે જેનો ઉપયોગ ધન આયનો જેવા વીજભારિત કણોને ઉચ્ચ ઉર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થાય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{Bq}{2 \pi m}$
જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$q$ એ વીજભાર છે,અને $m$ એ કણનું દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ માત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,વીજભાર અને કણના દળ પર આધાર રાખે છે. તે વેગ $v$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે.

(C) સાયક્લોટ્રોન એ સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે કે દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ એ કણની સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ સાથે મેળ ખાય છે,જે $f = \frac{qB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$ ખૂબ જ ઓછું હોવાથી,તે પ્રવેગિત થતી વખતે ખૂબ જ ઝડપથી ગતિ પ્રાપ્ત કરે છે.
સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,જેમ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પ્રકાશની ઝડપની નજીક પહોંચે છે,તેમ તેનું સાપેક્ષ દળ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે $(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}})$.
દળમાં આ વધારાને કારણે સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ બદલાય છે,જેના પરિણામે $a.c.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ અને Dees માં ઇલેક્ટ્રોનની ભ્રમણ આવૃત્તિ વચ્ચે અસંગતતા સર્જાય છે.
પરિણામે,ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે ફેઝમાં રહેતું નથી અને તેને અસરકારક રીતે પ્રવેગિત કરી શકાતું નથી. આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ઓસિલેટરની આવૃત્તિ $f$ એ પ્રોટોનની સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ જેટલી હોવી જોઈએ.
$f = \frac{qB}{2\pi m_p} \implies B = \frac{2\pi m_p f}{q}$
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^7}{1.60 \times 10^{-19}} \approx 0.656 \; T \approx 0.66 \; T$.
બહાર નીકળતી વખતે પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v$,ત્રિજ્યા $r = 0.6 \; m$ માટે $v = r\omega = r(2\pi f)$ દ્વારા મળે છે.
$v = 0.6 \times 2 \times 3.14 \times 10^7 = 3.77 \times 10^7 \; m/s$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m_p v^2$ દ્વારા મળે છે.
$K = \frac{1}{2} \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3.77 \times 10^7)^2 = 1.186 \times 10^{-12} \; J$.
$MeV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K = \frac{1.186 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 7.41 \; MeV$.

(N/A) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $\vec{v}$ વેગ ધરાવતો વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં દાખલ થાય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
અહીં વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ હોવાથી,બળ $\vec{F}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ લાગે છે. આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ નિયમિત વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\text{કેન્દ્રગામી બળ} = \text{ચુંબકીય બળ}$
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{mv}{qB} \quad \dots (1)$
રેખીય વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$r = \frac{p}{qB}$
આ દર્શાવે છે કે જેમ વેગમાન વધે છે,તેમ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા પણ વધે છે.
રેખીય વેગ અને કોણીય વેગ વચ્ચેના સંબંધ $v = \omega r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v}{\omega} = \frac{mv}{qB}$
$\omega = \frac{qB}{m}$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m}$
આને સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે,જે કણની ઝડપ અને કક્ષાની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ સાયક્લોટ્રોનમાં વિદ્યુતભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે થાય છે.

(N/A) સાયક્લોટ્રોન એ પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન,$\alpha$-કણો વગેરે જેવા વિદ્યુતભારિત કણોને ખૂબ ઊંચી ઊર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે વપરાતું સાધન છે. તેની શોધ $1934$ માં $E.O. Lawrence$ અને $M.S. Livingston$ દ્વારા કરવામાં આવી હતી.
સાયક્લોટ્રોન વિદ્યુતભારિત કણોની ઊર્જા વધારવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેનો સંયુક્ત ઉપયોગ કરે છે. જ્યારે આ ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ હોય છે,ત્યારે તેમને ક્રોસ્ડ ફિલ્ડ્સ કહેવામાં આવે છે.
સાયક્લોટ્રોન એ હકીકત પર કામ કરે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારિત કણના પરિભ્રમણની આવૃત્તિ તેની ઊર્જાથી સ્વતંત્ર હોય છે.
સિદ્ધાંત: એક વિદ્યુતભારિત કણને મધ્યમ વિદ્યુતક્ષેત્રમાંથી ઘણી વખત પસાર કરીને તેને ખૂબ ઊંચી ઊર્જા સુધી પ્રવેગિત કરી શકાય છે. આ કાર્ય લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રની મદદથી કરવામાં આવે છે,જે વિદ્યુતભારિત કણને વર્તુળાકાર ગતિમાં લાવે છે. આ વર્તુળાકાર ગતિની આવૃત્તિ કણની ઝડપ અને વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતી નથી.

(N/A) સાયક્લોટ્રોનની રચના આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
તેમાં બે નાના પોલા,ધાતુના અર્ધ-નળાકાર $D_{1}$ અને $D_{2}$ હોય છે,જેને 'ડીઝ' (dees) કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેઓ $D$ અક્ષરના આકારના હોય છે.
તેમને એક શક્તિશાળી વિદ્યુતચુંબકના ધ્રુવોની વચ્ચે શૂન્યાવકાશ ચેમ્બરમાં ગોઠવવામાં આવે છે.
આ ડીઝને થોડા સો કિલોવોલ્ટના ઉચ્ચ આવૃત્તિવાળા એસી $(AC)$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે.
પ્રવેગિત કરવા માટેના વિદ્યુતભારિત કણોના બીમને ડીઝના કેન્દ્ર $P$ ની નજીક,ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ સમતલમાં દાખલ કરવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભારિત કણોને ડીઝમાંથી બહાર કાઢવા માટે એક ઋણ ભારિત ડિફ્લેક્ટિંગ પ્લેટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,જે તેમને વિન્ડો $W$ દ્વારા બહાર ખેંચે છે.
આ સમગ્ર ઉપકરણને ઉચ્ચ શૂન્યાવકાશમાં રાખવામાં આવે છે જેથી હવાના અણુઓ વિદ્યુતભારિત કણો સાથે અથડાય નહીં.

(N/A) આકૃતિ સાયક્લોટ્રોનનું યોજનાબદ્ધ દ્રશ્ય દર્શાવે છે.
ધાતુના બોક્સ (ડીઝ) ની અંદર,કણ સુરક્ષિત હોય છે અને તેના પર વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર થતી નથી. વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર બે ડીઝ વચ્ચેની જગ્યામાં જ પ્રવર્તે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર કણ પર કાર્ય કરે છે અને તેને ડીઝની અંદર વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરવા મજબૂર કરે છે.
દરેક વખતે જ્યારે કણ એક ડીમાંથી બીજી ડીમાં જાય છે,ત્યારે તે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની ધ્રુવીયતા કણની વર્તુળાકાર ગતિ સાથે સુમેળમાં બદલાતી રહે છે.
આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે કણ હંમેશા વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે. દરેક પ્રવેગ કણની ગતિજ ઉર્જામાં વધારો કરે છે. જેમ ઉર્જા વધે છે,તેમ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા વધે છે,પરિણામે માર્ગ સર્પાકાર બને છે.
વીજભારિત કણો (દા.ત. પ્રોટોન) એક ડીમાં અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે અને $\frac{T}{2}$ સમયગાળામાં ડીઝ વચ્ચેની જગ્યામાં પહોંચે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{1}{v_{c}} = \frac{2 \pi m}{q B}$ અથવા $v_{c} = \frac{q B}{2 \pi m} \quad \dots (1)$
આ આવૃત્તિને સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે અને તેને $v_{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તે કણની ઝડપ,વેગમાન અને ગતિજ ઉર્જાથી સ્વતંત્ર છે.
સાયક્લોટ્રોનના ઉપયોગો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ સાયક્લોટ્રોનમાં ઉત્પન્ન થતા ઉચ્ચ ઉર્જાવાળા કણોનો ઉપયોગ ન્યુક્લિયસ પર મારો ચલાવીને ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવા અને ન્યુક્લિયર બંધારણની તપાસ કરવા માટે થાય છે.
$(2)$ તેનો ઉપયોગ ઘન પદાર્થોમાં આયનો દાખલ કરીને તેમના ગુણધર્મો બદલવા અથવા નવા પદાર્થોનું સંશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે.
$(3)$ તેનો ઉપયોગ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ્સ ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે,જેનો ઉપયોગ હોસ્પિટલોમાં નિદાન અને સારવાર માટે કરવામાં આવે છે.

(A) સાયક્લોટ્રોન એ એક પ્રકારનું કણ પ્રવેગક (particle accelerator) છે.
તે વીજભારિત કણોને વર્તુળાકાર માર્ગમાં રાખવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો અને જ્યારે પણ કણો બે 'ડીઝ' (dees) વચ્ચેની જગ્યામાંથી પસાર થાય ત્યારે તેમની ગતિ ઊર્જા વધારવા (પ્રવેગિત કરવા) માટે દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરે છે.
તેથી,સાયક્લોટ્રોનનો મુખ્ય હેતુ પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન અને આલ્ફા કણો જેવા વીજભારિત કણોને ઉચ્ચ ઊર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવાનો છે.

(N/A) સાયક્લોટ્રોનમાં,'ડીઝ' એ '$D$' અક્ષરના આકારના બે પોલા,અર્ધ-વર્તુળાકાર ધાતુના ચેમ્બર છે.
તેમને તેમની વચ્ચે થોડી જગ્યા રાખીને વેક્યૂમ ચેમ્બરમાં મૂકવામાં આવે છે.
આ ડીઝ વચ્ચે ઉચ્ચ-આવૃત્તિ ધરાવતો ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે.
ડીઝની અંદરનો ભાગ એ ક્ષેત્ર-મુક્ત વિસ્તાર છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ડીઝમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે સમાન લંબચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીને કારણે અર્ધ-વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
જ્યારે કણ ગેપ (ખાલી જગ્યા) પાસે પહોંચે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેને પ્રવેગિત કરે છે,જેથી તે પછીની ડીઝમાં પ્રવેશતા પહેલા તેની ગતિજ ઉર્જામાં વધારો થાય છે.

(N/A) સાયક્લોટ્રોન માટે અનુનાદની શરત ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલા ઓલ્ટરનેટિંગ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડની આવૃત્તિ $(f_a)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $(f_c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_c = \frac{qB}{2\pi m}$
જ્યાં:
$q$ = કણનો વિદ્યુતભાર
$B$ = ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા
$m$ = કણનું દળ
તેથી,અનુનાદની શરત છે:
$f_a = f_c = \frac{qB}{2\pi m}$

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{v}{R} = \frac{qB}{m}$
$\omega = \frac{v}{R}$ અને $q = e$ હોવાથી,આપણને $\omega = \frac{eB}{m}$ મળે છે.
હવે,પરિમાણો ચકાસતા:
$[\omega] = \frac{[e][B]}{[m]}$
$F = qvB$ પરથી,$B$ નું પરિમાણ $[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{MLT^{-2}}{IT \cdot LT^{-1}} = [M I^{-1} T^{-2}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$[\omega] = \frac{[I T] \cdot [M I^{-1} T^{-2}]}{[M]} = \frac{M I^0 T^{-1}}{M} = [T^{-1}]$.
આમ,સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિનું પરિમાણ $[T]^{-1}$ છે.

(N/A) રેડિયો ફ્રીક્વન્સી $(rf)$ ફિલ્ડની આવૃત્તિ $f = \frac{qB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સાયક્લોટ્રોનમાં કણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
જો $(rf)$ ફિલ્ડની આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે,તો ઓસિલેટરની આવૃત્તિ $2f$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $(rf)$ ફિલ્ડનો આવર્તકાળ $T' = \frac{T}{2}$ થઈ જાય છે.
કારણ કે કણ દ્વારા 'ડી' (dee) ની અંદર અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લેવાયેલ સમય $t = \frac{T}{2}$ છે,તેથી કણ હવે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેનું ચક્ર પૂર્ણ કરે તે પહેલાં જ 'ડી' વચ્ચેની જગ્યાએ પહોંચી જશે.
પરિણામે,કણ ગેપ પર સતત પ્રવેગિત થશે નહીં,કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રની ધ્રુવીયતા કણના આગમન સાથે મેળ ખાશે નહીં. આ સાયક્લોટ્રોન માટે જરૂરી અનુનાદની સ્થિતિને ખોરવે છે,અને કણ અસરકારક રીતે ઉર્જા મેળવી શકશે નહીં.

(C) સાયક્લોટ્રોનમાં $n$ પરિભ્રમણ પછી પ્રોટોન દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઊર્જા $K = n \times (2qV)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ પ્રતિ ગેપ મહત્તમ પ્રવેગક પોટેન્શિયલ છે અને દરેક પરિભ્રમણમાં બે ગેપ હોય છે.
આપેલ છે:
$V = 12 \times 10^3 \, V$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$
$v = \frac{c}{6} = \frac{3 \times 10^8}{6} = 0.5 \times 10^8 \, m/s$
ગતિ ઊર્જાને કરેલા કાર્ય સાથે સરખાવતા:
$n(2qV) = \frac{1}{2} m_p v^2$
$n = \frac{m_p v^2}{4qV}$
$n = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times (0.5 \times 10^8)^2}{4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 12 \times 10^3}$
$n = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 0.25 \times 10^{16}}{76.8 \times 10^{-16}}$
$n = \frac{0.4175 \times 10^{-11}}{76.8 \times 10^{-16}} \approx 543.6$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પરિભ્રમણોની સંખ્યા $543$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ થાય.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $p = mv$ મૂકતા,આપણને $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ત્રિજ્યા એ ગતિઊર્જાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $r \propto \sqrt{K}$.
અહીં નવી ગતિઊર્જા $K_n = 4K_0$ છે,જ્યાં $K_0$ એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_n$ અને મૂળ ત્રિજ્યા $r_0$ નો ગુણોત્તર $\frac{r_n}{r_0} = \sqrt{\frac{K_n}{K_0}} = \sqrt{\frac{4K_0}{K_0}} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) સાયક્લોટ્રોનમાં $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$
આપેલ છે:
$q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$
$B = 1.0\,T$
$r = 60\,cm = 0.6\,m$
$m = 1.6 \times 10^{-27}\,kg$
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1.0)^2 \times (0.6)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-27}}$
$K = \frac{2.56 \times 10^{-38} \times 0.36}{3.2 \times 10^{-27}}$
$K = 0.8 \times 10^{-11} \times 0.36 = 0.288 \times 10^{-11}\,J$
જૂલને $MeV$ માં ફેરવવા માટે $1.6 \times 10^{-13}$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{0.288 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-13}} = 0.18 \times 10^2 = 18\,MeV$

(D) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{qB}{2 \pi m}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B = \frac{2 \pi m f}{q}$ મળે.
આપેલ કિંમતો: $f = 10 \,MHz = 10^7 \,Hz$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \,kg$,અને $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \frac{2 \times 3.14159 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$B = \frac{10.493 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$B \approx 0.656 \,T$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

$(A)$ સાયક્લોટ્રોનમાં, જ્યારે કણ બે "ડીઝ" વચ્ચેની ગેપ ઓળંગે છે ત્યારે તે $qV$ જેટલી ઊર્જા મેળવે છે.
દરેક પરિભ્રમણમાં બે ગેપ હોવાથી, પ્રતિ પરિભ્રમણ મેળવેલી ઊર્જા $\Delta E = 2qV$ છે.
આપેલ છે: પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 100 \,kV = 10^5 \,V$.
પ્રતિ પરિભ્રમણ મેળવેલી ઊર્જા $= 2 \times e \times 10^5 \,V = 2 \times 10^5 \,eV$.
લક્ષ્ય ગતિ ઊર્જા $E = 20 \,MeV = 20 \times 10^6 \,eV = 2 \times 10^7 \,eV$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{E}{\Delta E} = \frac{2 \times 10^7 \,eV}{2 \times 10^5 \,eV} = 100$.

(C) $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણ માટે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે, સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $\omega = \frac{qB}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ, $n$-માં સ્તરમાં કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$L = mvr = mr^2 \omega$ હોવાથી, આપણી પાસે $mr^2 \omega = n \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$\omega = \frac{qB}{m}$ મૂકતા, આપણને $mr^2 (\frac{qB}{m}) = n \frac{h}{2 \pi}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$ થાય છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^2$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા, $K = \frac{1}{2} m (\frac{nh}{2 \pi qB}) (\frac{qB}{m})^2 = \frac{n h q B}{4 \pi m}$ મળે છે.
બીજા સ્તર માટે, $n = 2$, તેથી $K = \frac{2 h q B}{4 \pi m} = \frac{qBh}{2 \pi m}$.

(B) સાયક્લોટ્રોન એ એક કણ પ્રવેગક છે જે વીજભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે ચુંબકીય અને વિદ્યુત ક્ષેત્રોના સંયોજનનો ઉપયોગ કરે છે. તે મુખ્યત્વે પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન અને આલ્ફા કણો જેવા ધન વીજભારિત કણોને ઉચ્ચ ઉર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે રચાયેલ છે. ન્યુટ્રોન પર કોઈ વિદ્યુત વીજભાર ન હોવાથી તેમને સાયક્લોટ્રોન દ્વારા પ્રવેગિત કરી શકાતા નથી.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે પૂર્ણ વર્તુળાકાર કક્ષાનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આયન ડી (dee) માં અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગ કાપે છે,તેથી લાગતો સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{q B}$ થાય છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે લાગતો સમય આયનની ઝડપ $(v)$ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $(r)$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $n = \frac{q B}{2 \pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $B = \frac{2 \pi n m}{q}$ મળે છે.
ડીઝની અંદર $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં ગતિ કરતા પ્રોટોન માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{m v^2}{r} = q v B$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $m v^2 = q v B r$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $m v^2 = q v B r$ મૂકતા,આપણને $K.E. = \frac{q v B r}{2}$ મળે છે.

(A) સાયક્લોટ્રોન માટે રેઝોનન્સની શરત એ છે કે ઓસિલેટરની આવૃત્તિ '$v$' એ સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ જેટલી હોવી જોઈએ: $v = \frac{eB}{2 \pi m}$.
આના પરથી,આપણે મેગ્નેટિક ફિલ્ડને $B = \frac{2 \pi m v}{e}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
સાયક્લોટ્રોનમાં પ્રોટોનના પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv_{p}}{eB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$v_{p}$' એ પ્રોટોનનો વેગ છે.
વેગ માટે ગોઠવતા: $v_{p} = \frac{eBR}{m}$.
'$B$' માટેનું પદ મૂકતા: $v_{p} = \frac{e}{m} \times \left( \frac{2 \pi m v}{e} \right) \times R = 2 \pi v R$.
પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v_{p}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$v_{p}$' ની કિંમત મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} m (2 \pi v R)^{2} = \frac{1}{2} m (4 \pi^{2} v^{2} R^{2}) = 2 m \pi^{2} v^{2} R^{2}$.

(D) સાયક્લોટ્રોનમાં વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા મેળવેલી મહત્તમ ગતિઊર્જા $E_K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$
જ્યાં,
$q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે,
$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
$R$ એ કક્ષાની મહત્તમ ત્રિજ્યા (ડીઝની ત્રિજ્યા) છે,
અને $m$ એ કણનું દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $E_K$ એ $q$,$B$,$R$ અને $m$ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,$E_K$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $(f = \frac{qB}{2\pi m})$ પર આધાર રાખતું નથી,કારણ કે આવૃત્તિ એ સાયક્લોટ્રોન રેઝોનન્સની શરત દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે કણની ઊર્જા કે પથની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) સાયક્લોટ્રોનમાં,ઓલ્ટરનેટિંગ વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ $f$ એ સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f_c = \frac{eB}{2\pi m}$ જેટલી હોય છે.
આના પરથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{2\pi mf}{e}$ મળે છે.
બહાર નીકળતી વખતે ત્રિજ્યા $R$ પર પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v = \omega R = (2\pi f)R$ છે.
ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 2\pi f R$ મૂકતા,આપણને $K.E. = \frac{1}{2}m(2\pi f R)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2 f^2 R^2) = 2\pi^2 mf^2 R^2$ મળે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\frac{2\pi mf}{e}$ છે અને ગતિઊર્જા $2\pi^2 mf^2 R^2$ છે.

(B) સાયક્લોટ્રોન એ એક કણ પ્રવેગક છે જે વીજભારિત કણોને વર્તુળાકાર માર્ગમાં રાખવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો અને તેમની ગતિ ઊર્જા વધારવા માટે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરે છે.
તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે પ્રોટોન,ડ્યુટેરોન અને આલ્ફા કણો જેવા ધન વીજભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે થાય છે.
ન્યુટ્રોનને સાયક્લોટ્રોન દ્વારા પ્રવેગિત કરી શકાતા નથી કારણ કે તેઓ વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોય છે અને વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી લોરેન્ઝ બળ $(F = q(v \times B))$ અથવા પ્રવેગ માટે જરૂરી વિદ્યુત બળ $(F = qE)$ અનુભવતા નથી.

(A) સાયક્લોટ્રોનમાં,વીજભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ડીઝ ($D_1$ અને $D_2$) ની અંદર વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે,જે હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે. કારણ કે બળ વેગને લંબ છે,તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી,અને તેથી,ડીઝની અંદર કણની ઝડપ અચળ રહે છે.
જ્યારે કણ ડીઝ વચ્ચેની ગેપમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે ઓસિલેટિંગ વિદ્યુતક્ષેત્રને આધીન હોય છે. આ વિદ્યુતક્ષેત્ર કણ પર વિદ્યુત બળ લગાડે છે,જે તેના પર કાર્ય કરે છે,જેનાથી તેની ગતિ ઊર્જા અને ઝડપમાં વધારો થાય છે. આમ,વીજભારિત કણની ઝડપ માત્ર $D_1$ અને $D_2$ વચ્ચેની ગેપમાં જ વધે છે.

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણને સાયક્લોટ્રોનમાં પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પથની ત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{\sqrt{2Km}}{Bq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $r^2 = \frac{2Km}{B^2q^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{B^2q^2r^2}{2m}$.
કારણ કે બહાર નીકળતી વખતે તમામ કણો માટે $B$ અને $r$ સમાન છે,તેથી $K \propto \frac{q^2}{m}$.
પ્રોટોન $\left({ }_{1}^{1} H\right)$,ડ્યુટેરોન $\left({ }_{1}^{2} H\right)$ અને $\alpha$-કણો $\left({ }_{2}^{4} He\right)$ માટે:
વીજભારનો ગુણોત્તર: $q_p : q_d : q_{\alpha} = 1 : 1 : 2$.
દળનો ગુણોત્તર: $m_p : m_d : m_{\alpha} = 1 : 2 : 4$.
ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $K \propto \frac{q^2}{m}$ ની ગણતરી કરતા:
$K_p \propto \frac{1^2}{1} = 1$.
$K_d \propto \frac{1^2}{2} = 0.5$.
$K_{\alpha} \propto \frac{2^2}{4} = 1$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ ગતિ ઊર્જા ડ્યુટેરોન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.

(B) સાયક્લોટ્રોનમાં,વીજભારિત કણ બે ડી (dee) વચ્ચેના ગેપમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે પ્રવેગિત થાય છે.
ડી (dee) ની અંદર,કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જ્યાં તેની ઝડપ અચળ રહે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતી વખતે કણ સતત તેની ગતિની દિશા બદલે છે,તેથી તે હંમેશા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
આમ,કણ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન પ્રવેગિત થાય છે.

(C) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f = \frac{qB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યા $r$ પર પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v = \frac{qBr}{m} = 2\pi fr$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2\pi fr)^2 = 2\pi^2 mf^2r^2$ છે.
આપેલ કિંમતો: $f = 10 \times 10^6 \text{ Hz}$, $r = 0.6 \text{ m}$, $m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K = 2 \times (3.14)^2 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)^2 \times (0.6)^2$
$K = 2 \times 9.8596 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{14} \times 0.36$
$K \approx 1.185 \times 10^{-12} \text{ J}$.
$\text{MeV}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, $1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}$ વડે ભાગતા:
$K = \frac{1.185 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 7.4 \text{ MeV}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $7 \text{ MeV}$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ને લંબ ગતિ કરતા વીજભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $(r)$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $r \propto v$,જેનો અર્થ છે કે જેમ ત્રિજ્યા $(r)$ વધે છે,તેમ કણનો રેખીય વેગ $(v)$ પણ વધે છે.
કોણીય વેગ $(\omega)$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
$\omega$ ના સૂત્રમાં $v = \frac{rqB}{m}$ મૂકતા,આપણને $\omega = \frac{rqB}{mr} = \frac{qB}{m}$ મળે છે.
અહીં વીજભાર $(q)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને દળ $(m)$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $(\omega)$ ત્રિજ્યા અને વેગથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,જેમ ત્રિજ્યા વધે છે,તેમ $v$ વધે છે અને $\omega$ અચળ રહે છે.

(D) સાયક્લોટ્રોનમાં,આયનના પથની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = \frac{mv}{qB}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ આયનનો વેગ છે.
વેગ માટે આ સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{qBR}{m}$ મળે છે.
આયનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2}m \left( \frac{qBR}{m} \right)^2$
$K.E. = \frac{1}{2}m \left( \frac{q^2B^2R^2}{m^2} \right)$
$K.E. = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.

(D) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{2\pi mf}{q}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
આવૃત્તિ $f = 20 MHz = 20 \times 10^6 Hz$
પ્રોટોનનો વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} C$
પ્રોટોનનું દળ $m = 1.67 \times 10^{-27} kg$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 20 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{209.536 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$B \approx 1.31 T$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_m = F_c \Rightarrow qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી, પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે।
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ છે।
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ સમયગાળાનો વ્યસ્ત છે:
$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$.
અહીં $2\pi$ અચળાંક હોવાથી, આવૃત્તિ $\frac{qB}{m}$ ના સમપ્રમાણમાં છે।