Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Gujarati

(A) ગતિશીલ વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ તમામ બળો દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે $(K_f = K_i)$.
તેથી,કણની ઝડપ તેની ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આપેલ પ્રારંભિક ઝડપ $v_0 = 10 \ m/s$ હોવાથી,કોઈપણ સમયે,જેમાં તે ત્રીજી વખત $y-$અક્ષમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે પણ તેની ઝડપ $10 \ m/s$ જ રહેશે.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભાર $(q = -e)$ ધરાવતો હોવાથી,બળ $\vec F = -e(\vec v \times \vec B) = e(\vec B \times \vec v)$ થશે.
કિસ્સો $1$: $\vec v$ એ ઋણ $x-$ અક્ષ $(-\hat i)$ ની દિશામાં છે અને $\vec B$ એ ઋણ $y-$ અક્ષ $(-\hat j)$ ની દિશામાં છે.
$\vec F = -e((-\hat i) \times (-\hat j)) = -e(\hat k) = -e\hat k$. આ ઋણ $z-$ અક્ષની દિશામાં છે.
કિસ્સો $2$: $\vec v$ એ ઋણ $y-$ અક્ષ $(-\hat j)$ ની દિશામાં છે અને $\vec B$ એ ધન $x-$ અક્ષ $(\hat i)$ ની દિશામાં છે.
$\vec F = -e((-\hat j) \times \hat i) = -e(\hat k) = -e\hat k$. આ ઋણ $z-$ અક્ષની દિશામાં છે.
કિસ્સો $3$: $\vec v$ એ ઋણ $y-$ અક્ષ $(-\hat j)$ ની દિશામાં છે અને $\vec B$ એ ધન $y-$ અક્ષ $(\hat j)$ ની દિશામાં છે.
$\vec v$ અને $\vec B$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,$\vec v \times \vec B = 0$ થાય. તેથી,બળ શૂન્ય છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mV}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ વિસ્તાર $III$ માં પ્રવેશે તે માટે,પથની ત્રિજ્યા વિસ્તાર $II$ ની પહોળાઈ કરતા વધારે હોવી જોઈએ,એટલે કે $R > l$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mV}{qB} > l$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V > \frac{qlB}{m}$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે અને વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
વિસ્તાર $II$ માં કણની પથ લંબાઈ એ વર્તુળાકાર પથની ચાપની લંબાઈ છે. આ લંબાઈ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે કણ વિસ્તાર $II$ માંથી બહાર નીકળતા પહેલા અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે,જે $R = l$ અથવા $V = \frac{qlB}{m}$ હોય ત્યારે થાય છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિતાવેલો સમય $t = \frac{\theta}{\omega}$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{qB}{m}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે. વિસ્તાર $I$ માં પાછા ફરતા કણ માટે,તે અર્ધવર્તુળ બનાવે છે,તેથી $\theta = \pi$. આમ,$t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi m}{qB}$,જે વેગ $V$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે વેગ સાથે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે.
આ બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ કેન્દ્રગામી બળને કારણે કણ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વીજભારિત કણ પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ વીજભારિત કણ $(q < 0)$ માટે,બળ $\vec{F}$ એ $\vec{v} \times \vec{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
કણ પૂર્વ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત થાય છે,તેથી વેગ સદિશ $\vec{v}$ પૂર્વ તરફ છે.
કણ ઉત્તર દિશામાં વિચલિત થાય છે,તેથી બળ સદિશ $\vec{F}$ ઉત્તર તરફ છે.
$q$ ઋણ હોવાથી,$\vec{v} \times \vec{B}$ ની દિશા બળની વિરુદ્ધ એટલે કે દક્ષિણ તરફ હોવી જોઈએ.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $\vec{v}$ પૂર્વમાં છે અને પરિણામ દક્ષિણમાં છે),ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નીચેની તરફ હોવું જોઈએ.

(D) વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશને લંબ હોવાથી,તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
તેથી,કણની ગતિઊર્જા અને ઝડપ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $v = 5\ m/s$ છે,તેથી કોઈપણ સમયે વેગનું મૂલ્ય $5\ m/s$ હોવું જોઈએ.
વધુમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z-$ અક્ષની દિશામાં હોવાથી,બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times B\hat k)$ હંમેશા $x-y$ સમતલમાં રહેશે.
જો કણ $x-y$ સમતલમાં ગતિ શરૂ કરે,તો તેનો વેગ હંમેશા $x-y$ સમતલમાં જ રહેશે.
આમ,વેગનો $z-$ ઘટક (એટલે કે $\hat k$ ઘટક) હોઈ શકે નહીં.
વિકલ્પ $D$ માં $\hat k$ ઘટક છે,જે અશક્ય છે.

(B) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્ષેત્ર તિર્યક હોવાથી,$\theta = 90^o$,તેથી $F_m = qvB$.
પ્રવેગ $a = \frac{F_m}{m} = \frac{qvB}{m}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $v$ અને $B$ અચળ છે,તેથી $a \propto \frac{q}{m}$.
દરેક કણ માટે વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર $(q/m)$ ગણીએ:
$H^+$: $q=1e, m \approx 1u \Rightarrow q/m = 1/1 = 1$
$He^{+2}$: $q=2e, m \approx 4u \Rightarrow q/m = 2/4 = 0.5$
$Li^+$: $q=1e, m \approx 7u \Rightarrow q/m = 1/7 \approx 0.14$
$Be^{+2}$: $q=2e, m \approx 9u \Rightarrow q/m = 2/9 \approx 0.22$
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા,$H^+$ નો $q/m$ ગુણોત્તર મહત્તમ છે.
તેથી,$H^+$ મહત્તમ પ્રવેગ અનુભવશે.

(A) કણનો પ્રારંભિક વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,કણ વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરશે.
જો $r$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા હોય,તો ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{mv_0^2}{r} = qv_0B \Rightarrow r = \frac{mv_0}{qB}$
પથની ભૂમિતિ પરથી,કણ $x=0$ પર પ્રવેશ કરે છે અને $x=d$ પર બહાર નીકળે છે. વિચલનનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
ત્રિજ્યા $r$,સમક્ષિતિજ અંતર $d$ અને શિરોલંબ ઘટક દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{d}{r}$
$r$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$d = r \sin(30^{\circ}) = \left( \frac{mv_0}{qB} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{mv_0}{2qB}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $evB = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર: $r = \frac{mv}{eB}$.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{eB}$.
આપેલ છે: $E = 880 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$,$B = 2.5 \times 10^{-3} \,T$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$r = \frac{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 880 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 2.5 \times 10^{-3}}$.
$r = \frac{\sqrt{25.6256 \times 10^{-47}}}{4 \times 10^{-22}} \approx \frac{5.06 \times 10^{-23}}{4 \times 10^{-22}} \approx 0.04 \,m = 4 \,cm$.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $\vec v \times \vec B = \vec 0$ હોય,તો ચુંબકીય બળ શૂન્ય થાય છે અને કણ સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
જો $\vec v$ એ $\vec B$ ને લંબ હોય,તો માર્ગ વર્તુળાકાર હોય છે અને તેનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ થાય છે.
જો $\vec v$ એ $\vec B$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતો હોય,તો ક્ષેત્રને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin \theta$ થાય છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv \sin \theta}{qB}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}} = \frac{2\pi (mv \sin \theta / qB)}{v \sin \theta} = \frac{2\pi m}{qB}$ થાય છે.
આમ,આવર્તકાળ $T$ એ $\vec v$ અને $\vec B$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ સાથે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
આ બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^\circ$ હોય ત્યારે થાય છે.
જ્યારે $\theta = 90^\circ$ હોય,ત્યારે વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ને લંબ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,બે સદિશો લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{v} \cdot \vec{B} = 0$.

(B) આપેલ વેગ $\vec{v} = (3\hat i + 2\hat j) \, m/s$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (2\hat j + 3\hat k) \, T$ છે.
વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v} \times \vec{B} = (3\hat i + 2\hat j) \times (2\hat j + 3\hat k) = 3\hat i \times 2\hat j + 3\hat i \times 3\hat k + 2\hat j \times 2\hat j + 2\hat j \times 3\hat k$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat i \times \hat j = \hat k, \hat i \times \hat k = -\hat j, \hat j \times \hat j = 0, \hat j \times \hat k = \hat i)$:
$\vec{v} \times \vec{B} = 6\hat k - 9\hat j + 0 + 6\hat i = (6\hat i - 9\hat j + 6\hat k) = 3(2\hat i - 3\hat j + 2\hat k)$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
આપેલ છે કે $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \, C/kg$.
$\vec{a} = (0.96 \times 10^8) \times 3(2\hat i - 3\hat j + 2\hat k) = 2.88 \times 10^8 (2\hat i - 3\hat j + 2\hat k) \, m/s^2$.

(D) ચુંબકીય બળ ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $e v_n B = \frac{m_e v_n^2}{r_n} \Rightarrow r_n = \frac{m_e v_n}{e B}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન પૂર્વધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = m_e v_n r_n = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
$r_n$ નું સૂત્ર ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં મૂકતા:
$m_e v_n \left( \frac{m_e v_n}{e B} \right) = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow m_e^2 v_n^2 = \frac{nh e B}{2\pi} \Rightarrow v_n^2 = \frac{nh e B}{2\pi m_e^2}$.
ગતિઊર્જા $K.E = \frac{1}{2} m_e v_n^2$ છે.
$v_n^2$ ની કિંમત મૂકતા: $K.E = \frac{1}{2} m_e \left( \frac{nh e B}{2\pi m_e^2} \right) = \frac{nh e B}{4\pi m_e}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ એ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા અપાતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0$ થાય છે.
દરેક ક્ષણે પાવર શૂન્ય હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વીજભારિત કણ પર થયેલું કુલ કાર્ય $W = \int P \, dt$ હંમેશા $0\,J$ હોય છે,પછી ભલે ઝડપ,વીજભાર કે સમય ગમે તે હોય.

(C) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = -e(\overrightarrow{E} + \vec{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન વિચલિત થયા વિના ગતિ કરે તે માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\overrightarrow{F} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{E} = -(\vec{v} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{B} \times \vec{v}$.
અહીં વેગ $\vec{v} = v\hat{j}$ છે. જો આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ને $+x$ દિશામાં લઈએ (એટલે કે $\overrightarrow{B} = B\hat{i}$),તો ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = -e(v\hat{j} \times B\hat{i}) = -evB(-\hat{k}) = evB\hat{k}$ થશે.
આ બળને સંતુલિત કરવા માટે,વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = -e\overrightarrow{E}$ એ $-z$ દિશામાં હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{E}$ એ $+z$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,બીમ વિચલિત ન થાય તે માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $+x$ અક્ષ પર અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ $+z$ અક્ષ પર હોવું જોઈએ.

(A) ધારો કે કણનો વેગ $v$ છે. તેની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = qV \implies v = \sqrt{\frac{2qV}{m}} \quad ... (1)$
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,જ્યાં:
$\frac{mv^2}{r} = qvB \implies r = \frac{mv}{qB} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $v$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$
આકૃતિમાં દર્શાવેલ માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિચલન કોણ $\theta$ માટે:
$\sin \theta = \frac{d}{r}$
$r$ નું પદ મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{d}{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}} = Bd \left( \frac{q}{2mV} \right)^{1/2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે,ત્યારે તે $r = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
કણ સામેની પ્લેટ સાથે અથડાય નહીં તે માટે,તેના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,શરત $r < d$ છે.
$r$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB} < d$ મળે છે.
આ અસમતાને $B$ માટે ગોઠવતા,આપણને $B > \frac{mv}{qd}$ મળે છે.

(B) લાંબા સીધા તાર વડે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.04} = 0.5 \times 10^{-4} \ T$.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $(F_m)$ $F_m = qvB \sin \theta$ છે.
અહીં,વેગ તારને સમાંતર છે,તેથી વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $(\theta)$ $90^{\circ}$ છે.
$F_m = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10^5 \ m/s) \times (0.5 \times 10^{-4} \ T) \times \sin 90^{\circ}$.
$F_m = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^5 \times 0.5 \times 10^{-4} = 0.8 \times 10^{-18} \ N$.

(C) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,આ $F = qVB \sin \theta$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ $\vec{V}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળ શૂન્ય ન હોય $(F \neq 0)$ તે માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય શૂન્ય ન હોવું જોઈએ.
કારણ કે જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ હોય ત્યારે $\sin \theta = 0$ થાય છે,તેથી આ ખૂણાઓ પર બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,બળ શૂન્ય ન હોય તે માટે,$\theta$ એ $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોઈ શકે નહીં.

(A) ધારો કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણનો વેગ $v$ છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = qV \implies v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર પથ બનાવે છે:
$R = \frac{mv}{qB}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$
અહીં $q, V,$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$R \propto \sqrt{m}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{m_A}{m_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^2 = \left(\frac{2\,cm}{3\,cm}\right)^2 = \frac{4}{9}$.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $Bqv = \frac{mv^2}{r}$.
માર્ગની ત્રિજ્યા માટેનું સૂત્ર: $r = \frac{mv}{Bq}$.
અહીં $v$ અને $B$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યા એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $r \propto \frac{m}{q}$.
દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તર $(m/q)$ ની સરખામણી કરતા:
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $m_e / e \approx 5.68 \times 10^{-12} \ kg/C$.
પ્રોટોન માટે: $m_p / e \approx 1.04 \times 10^{-8} \ kg/C$.
ડ્યુટેરોન માટે: $m_d / e \approx 2.08 \times 10^{-8} \ kg/C$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} / (2e) \approx 2.08 \times 10^{-8} \ kg/C$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે $m/q$ ગુણોત્તર સૌથી ઓછો છે. તેથી,ઇલેક્ટ્રોન સૌથી નાનું વર્તુળ બનાવશે.

(A) લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ ને કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
કણ દીવાલને ન અથડાય તે માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ એ દીવાલથી રહેલા અંતર $d$ જેટલી હોવી જોઈએ.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
$r = d$ લેતા,આપણને $d = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$B = \frac{mv}{qd}$ મળે છે.
અહીં $\frac{q}{m} = \alpha$ હોવાથી,$\frac{m}{q} = \frac{1}{\alpha}$ લખી શકાય.
આ કિંમત $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$B = \frac{v}{\alpha d}$ મળે છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના હેલિકલ પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{mv_{\perp}}{qB} = \frac{mv \sin \theta}{qB}$
આપેલ કિંમતો:
$q/m = 10^8 \, C/kg \implies m/q = 10^{-8} \, kg/C$
$v = 3 \times 10^5 \, m/s$
$B = 0.3 \, T$
$\theta = 30^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{m}{q} \right) \frac{v \sin 30^{\circ}}{B}$
$r = (10^{-8}) \times \frac{3 \times 10^5 \times 0.5}{0.3}$
$r = 10^{-8} \times \frac{1.5 \times 10^5}{0.3}$
$r = 10^{-8} \times 5 \times 10^5 = 5 \times 10^{-3} \, m$
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$r = 5 \times 10^{-3} \times 10^2 \, cm = 0.5 \, cm$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી, $mv = \sqrt{2mE}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા, $r = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ મળે.
અહીં $E$ અને $B$ બધા કણો માટે સમાન છે, તેથી $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: દળ $= m$, વિદ્યુતભાર $= e$. તેથી, $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે: દળ $= 2m$, વિદ્યુતભાર $= e$. તેથી, $r_d \propto \frac{\sqrt{2m}}{e}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: દળ $= 4m$, વિદ્યુતભાર $= 2e$. તેથી, $r_\alpha \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ગુણોત્તર સરખાવતા: $r_p : r_d : r_\alpha = 1 : \sqrt{2} : 1$.
તેથી, $r_p = r_\alpha < r_d$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
અહીં,$v = 6 \times 10^7 \, m/s$,$B = 1.5 \times 10^{-2} \, T$,અને વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \, C/kg$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{v}{(\frac{q}{m})B} = \frac{6 \times 10^7}{(1.7 \times 10^{11}) \times (1.5 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9} = 2.35 \times 10^{-2} \, m$
પરિણામને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$r = 2.35 \times 10^{-2} \times 10^2 \, cm = 2.35 \, cm$.

(B) કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
આથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ થાય.
ગતિમાન વીજભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થતો હોવાથી,બળનું મૂલ્ય $F = qvB \sin(90^{\circ}) = qvB$ થાય.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,$F = qB \sqrt{\frac{2K}{m}}$ મળે.
કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ છે.
$F$ ની કિંમત મૂકતા,$a = \frac{qB}{m} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{qB\sqrt{2K}}{m \cdot m^{1/2}} = \frac{qB\sqrt{2K}}{m^{3/2}}$ મળે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે.
વેગ $\vec{v}$ ઉત્તર દિશામાં છે (ધારો કે $+\hat{j}$).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉપરની દિશામાં છે (ધારો કે $+\hat{k}$).
સદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{v} \times \vec{B} = (v\hat{j}) \times (B\hat{k}) = vB(\hat{j} \times \hat{k}) = vB\hat{i}$ (પૂર્વ દિશા).
હવે,વિદ્યુતભાર લાગુ પાડતા: $\vec{F} = -e(vB\hat{i}) = -evB\hat{i}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ પૂર્વની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે પશ્ચિમ દિશામાં લાગે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન પશ્ચિમ દિશામાં વિચલિત થશે.

(C) જ્યારે કણ $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેને મળતી ગતિઊર્જા $K = qV$ થાય છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 = qV$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લંબરૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે $R = \frac{mv}{qB}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
$v$ ની કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2qV}{q^2 \cdot m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વીજભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$,જેને $\Delta V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવ્યો હોય,તે $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q\Delta V = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2q\Delta V}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}}$.
અહીં $B$ અને $\Delta V$ અચળ હોવાથી,$r \propto \sqrt{\frac{m}{q}}$.
$H^+$ માટે: $m_1 = 1, q_1 = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{1}} = 1$.
$He^+$ માટે: $m_2 = 4, q_2 = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$.
$O^{++}$ માટે: $m_3 = 16, q_3 = 2 \Rightarrow \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2 : 2\sqrt{2}$ થાય છે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\theta$ ખૂણે (જ્યાં $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે હેલિકલ (કુંતલાકાર) માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $v_{\parallel} = v \cos \theta$ ($\vec{B}$ ને સમાંતર) અને $v_{\perp} = v \sin \theta$ ($\vec{B}$ ને લંબ).
લંબ ઘટક $v_{\perp}$ કણને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવે છે,જ્યારે સમાંતર ઘટક $v_{\parallel}$ તેને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં રેખીય ગતિ કરાવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળાકાર માર્ગમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પછી તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય પર પાછો ફરે છે. એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળ $T$ છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = e$,તેથી $T = \frac{2 \pi m}{eB}$.
આ આવર્તકાળ ખૂણા $\theta$ અને વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ધરાવતા લાંબા સીધા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
$v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ વિદ્યુતભાર $(q < 0)$ માટે,બળ $\vec{F}$ એ $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
સદિશ ગુણાકાર માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જો વિદ્યુતભાર તાર તરફ ગતિ કરતો હોય,તો $(\vec{v} \times \vec{B})$ ની દિશા વિદ્યુતપ્રવાહને સમાંતર હોય છે. વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી,બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ આની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગશે. આમ,વિદ્યુતભારની ગતિ તારની તરફ હોવી જોઈએ.

(D) પથની ભૂમિતિ પરથી,પ્રોટોન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપમાં ગતિ કરે છે. આકૃતિ પરથી,$\sin \alpha = \frac{d}{R}$ મળે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી $\frac{mv^2}{R} = qvB$,જે ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ આપે છે.
$\sin \alpha$ ના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,$\sin \alpha = \frac{d}{mv/qB} = \frac{dqB}{mv}$ મળે છે.
પ્રોટોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
$\sin \alpha$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin \alpha = \frac{dqB}{m \sqrt{\frac{2qV}{m}}} = \frac{dqB}{\sqrt{2mqV}} = Bd \sqrt{\frac{q^2}{2mqV}} = Bd \sqrt{\frac{q}{2mV}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર કણને $d$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{d}{2}$ થાય.
કેન્દ્રગામી બળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Bqv = \frac{mv^2}{R} = \frac{mv^2}{d/2}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{2mv}{qd}$.
અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $\Delta t$ એ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર કક્ષાના આવર્તકાળ કરતા અડધો હોય છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{Bq}$.
તેથી,$\Delta t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{Bq}$.
$\Delta t$ ના સમીકરણમાં $B = \frac{2mv}{qd}$ મૂકતા:
$\Delta t = \frac{\pi m}{(2mv/qd)q} = \frac{\pi d}{2v}$.

(C) કણ $x$-અક્ષ પર વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
બળ શૂન્ય થવા માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ: $qE = qvB$.
તેથી,$B = \frac{E}{v}$.
અહીં $E = 10^4 \, Vm^{-1}$ અને $v = 10 \, ms^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb \, m^{-2}$.

(C) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ક્રોસ્ડ ઇલેક્ટ્રિક અને મેગ્નેટિક ફિલ્ડમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રિક બળ એ મેગ્નેટિક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F_e = F_m$
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
અહીં $E = 7.7 \, kV/m = 7.7 \times 10^3 \, V/m$ અને $B = 0.14 \, T$ આપેલ છે.
$v = \frac{7.7 \times 10^3}{0.14} \, m/s$
$v = 55000 \, m/s = 55 \, km/s$.

(A) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
આપેલ છે:
$q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\, C$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6\, m/s$
$\vec{B} = 2\hat{j}\, T$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{F} = (2 \times 10^{-6}) \times [(2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6] \times (2\hat{j})$
$\vec{F} = 2 \times [ (2\hat{i} \times 2\hat{j}) + (3\hat{j} \times 2\hat{j}) ]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{F} = 2 \times [ 4\hat{k} + 0 ] = 8\hat{k}\, N$.
આમ,બળ $8\, N$ જેટલું $z-$ દિશામાં લાગે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
જ્યારે કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
આ $v$ ની કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m$. તેથી,$r_p = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$.
ડ્યુટેરોન માટે,$q_d = e$ અને $m_d = 2m$. તેથી,$r_d = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2(2m)V}{e}} = \sqrt{2} \times \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}} = \sqrt{2} r_p$.
અહીં $r_d = R$ આપેલ છે,તેથી $R = \sqrt{2} r_p$,જેનો અર્થ છે કે $r_p = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,વિદ્યુતભાર પર ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ પણ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે,અને આ લંબ બળને કારણે જ ઝડપ (અને તેથી ગતિઊર્જા) બદલાતી નથી.
તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \frac{qBr}{m}$.
જ્યારે કણ વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રોની અસર હેઠળ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે વિદ્યુત બળ ચુંબકીય બળને સંતુલિત કરે છે: $qE = qvB \Rightarrow E = vB$.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા: $E = \left(\frac{qBr}{m}\right)B = \frac{qB^2r}{m}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $m = \frac{qB^2r}{E}$.
અહીં $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$B = 0.5 \, T$,$r = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,અને $E = 100 \, V/m$ આપેલ છે.
$m = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (0.5)^2 \times (0.5 \times 10^{-2})}{100} = 2.0 \times 10^{-24} \, kg$.

(D) વોલ્ટેજ $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = eV = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વેગમાન $p = \sqrt{2meV}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{p}{eB} = \frac{\sqrt{2meV}}{eB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$ છે.
આપેલ છે: $V = 500 \, V$,$B = 100 \, mT = 0.1 \, T$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{1}{0.1} \sqrt{\frac{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 500}{1.6 \times 10^{-19}}}$
$R = 10 \times \sqrt{\frac{910 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19}}} = 10 \times \sqrt{568.75 \times 10^{-12}}$
$R = 10 \times 23.85 \times 10^{-6} \approx 7.53 \times 10^{-4} \, m$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B \hat k$ છે. કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{mv}{2qB}$,તેથી $r = 2d$ થાય.
જ્યારે કણ $y = d$ પર બહાર આવે છે,ત્યારે વેગ સદિશ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જે $\sin \theta = \frac{d}{r} = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 30^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{6}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $\vec F = q(\vec v \times \vec B)$ છે. પ્રવેગ $\vec a = \frac{\vec F}{m} = \frac{q}{m}(\vec v \times \vec B)$ છે.
બહાર નીકળવાના બિંદુએ,વેગ સદિશ $\vec v = v(\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)$ છે.
તેથી,$\vec a = \frac{q}{m} [v(\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j) \times B \hat k] = \frac{qvB}{m} (\cos \theta (-\hat j) + \sin \theta (\hat i)) = \frac{qvB}{m} (\sin \theta \hat i - \cos \theta \hat j)$.
$\theta = 30^\circ$ મૂકતા,$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ અને $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે,તેથી $\vec a = \frac{qvB}{m} (\frac{1}{2} \hat i - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat j)$ મળે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,મૂલ્ય અને દિશા વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ છે.
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$q_p = q$,$K_p = qV$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} = 4m$,$q_{\alpha} = 2q$,$K_{\alpha} = (2q)V = 2qV$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{r_p}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2m_p K_p} / q_p B}{\sqrt{2m_{\alpha} K_{\alpha}} / q_{\alpha} B} = \frac{\sqrt{m_p K_p}}{q_p} \cdot \frac{q_{\alpha}}{\sqrt{m_{\alpha} K_{\alpha}}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_p}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{m \cdot qV}}{q} \cdot \frac{2q}{\sqrt{4m \cdot 2qV}} = \frac{\sqrt{mqV}}{q} \cdot \frac{2q}{\sqrt{8mqV}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
અહીં $K$ અને $B$ સમાન હોવાથી,$r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m, q_p = e$,તેથી $r_p \propto \frac{\sqrt{m}}{e}$.
ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ માટે: $m_e \approx \frac{m}{1836}, q_e = e$,તેથી $r_e \propto \frac{\sqrt{m/1836}}{e} = \frac{r_p}{\sqrt{1836}}$. આમ,$r_e < r_p$.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(He^{2+})$ માટે: $m_{He} \approx 4m, q_{He} = 2e$,તેથી $r_{He} \propto \frac{\sqrt{4m}}{2e} = \frac{2\sqrt{m}}{2e} = \frac{\sqrt{m}}{e} = r_p$.
તેથી,$r_e < r_p = r_{He}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોનના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2m(KE)}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \times 10^{-3}} \approx 0.02248 \, m = 2.248 \, cm$.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{x}{R} = \frac{2}{2.248} \approx 0.8896$,તેથી $\theta \approx 62.8^\circ$.
બહાર નીકળવાના બિંદુ $T$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = R(1 - \cos \theta) = 2.248(1 - \cos(62.8^\circ)) \approx 2.248(1 - 0.457) \approx 1.22 \, cm$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. બહાર નીકળવાના બિંદુ $T$ થી પડદા સુધીનું અંતર $8 \, cm - 2 \, cm = 6 \, cm$ છે.
વધારાનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $\Delta y = (6 \, cm) \tan \theta = 6 \times \tan(62.8^\circ) \approx 6 \times 1.945 \approx 11.67 \, cm$.
કુલ અંતર $d = y + \Delta y = 1.22 + 11.67 = 12.89 \, cm$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $12.87 \, cm$ છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{qB}{2\pi m}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને બધા કણો માટે વેગ $v$ સમાન છે,તેથી આવૃત્તિ $f$ એ વિદ્યુતભાર અને દળના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે,એટલે કે $f \propto \frac{q}{m}$.
ચાલો આપેલા કણો માટે $q/m$ ગુણોત્તરની સરખામણી કરીએ:
$1$. ઇલેક્ટ્રોન: $q = e$,$m = m_e$. ગુણોત્તર $\approx \frac{e}{m_e}$.
$2$. પ્રોટોન: $q = e$,$m = m_p \approx 1836 m_e$. ગુણોત્તર $\approx \frac{e}{1836 m_e}$.
$3$. ડ્યુટેરોન: $q = e$,$m = 2m_p \approx 3672 m_e$. ગુણોત્તર $\approx \frac{e}{3672 m_e}$.
$4$. $\alpha -$ કણ: $q = 2e$,$m = 4m_p \approx 7344 m_e$. ગુણોત્તર $\approx \frac{2e}{7344 m_e} = \frac{e}{3672 m_e}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ઇલેક્ટ્રોનનો $q/m$ ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે કારણ કે તેનું દળ $m_e$ અન્ય કણોના દળ કરતા ઘણું ઓછું છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની પરિભ્રમણ આવૃત્તિ મહત્તમ હશે.

(B) કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશે છે અને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે.
વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કણનો વેગ છે.
ગતિ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ આપેલ હોવાથી,આપણે $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ લખી શકીએ છીએ.
ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2E}{m}} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ મળે છે.
કણ ઉપરની પ્લેટ સાથે અથડાય નહીં તે માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(r \leq d)$.
તેથી,$\frac{\sqrt{2mE}}{qB} \leq d$.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $B \geq \frac{\sqrt{2mE}}{qd}$ મળે છે.
આમ,કણ ઉપરની પ્લેટ સાથે ન અથડાય તે માટેની શરત $B > \frac{\sqrt{2mE}}{qd}$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,કોણીય વેગ $\omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m}$
આવૃત્તિ $f$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m}$
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = e$ હોવાથી,આવૃત્તિ:
$f = \frac{eB}{2\pi m}$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $q$ એ કણનો વિદ્યુતભાર છે.
$\alpha$ કણ માટે,$q_{\alpha} = +2e$ અને $m_{\alpha} \approx 4m_p$ (જ્યાં $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે).
$\beta$ કણ (ઇલેક્ટ્રોન) માટે,$q_{\beta} = -e$ અને $m_{\beta} \approx \frac{1}{1836}m_p$.
દળ અને વિદ્યુતભાર અલગ હોવાથી,ત્રિજ્યાઓ $r_{\alpha} = \frac{m_{\alpha}v}{2eB}$ અને $r_{\beta} = \frac{m_{\beta}v}{eB}$ અસમાન હશે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી ($+2e$ અને $-e$),લોરેન્ટ્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ બંને કણો માટે વિરુદ્ધ દિશામાં લાગશે,જેના કારણે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં વળાંક લેશે.

(A) આપેલ છે: વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 5 \times 10^7 \ C/kg$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times 10^{-2} \ T$,વેગ $v = 2 \times 10^5 \ m/s$.
જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે દાખલ થાય છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર:
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{v}{(\frac{q}{m})B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{2 \times 10^5}{(5 \times 10^7) \times (4 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{2 \times 10^5}{20 \times 10^5}$
$r = \frac{2}{20} = 0.1 \ m$
તેથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $0.1 \ m$ થશે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F_E = eE$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F_B = evB$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,આ બંને બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ:
$eE = evB \implies v = \frac{E}{B}$.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}$ મળે છે.
$\ell$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\ell}{v}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = \frac{\ell}{\frac{\sigma}{\varepsilon_0 B}} = \frac{\varepsilon_0 \ell B}{\sigma}$ મળે છે.