Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(B) $SI$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા અથવા ચુંબકીય પ્રેરણ $(B)$ નો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે. એક ટેસ્લા એટલે પ્રતિ ચોરસ મીટર દીઠ એક વેબર $(1 \ T = 1 \ Wb/m^2)$. તેથી,ટેસ્લા એ ચુંબકીય પ્રેરણ માપવા માટેનો એકમ છે.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin(\theta)}{r^2}$
પરમિએબિલિટી $\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\mu_0 = \frac{B \cdot r^2}{I \cdot dl \cdot \sin(\theta)}$
$SI$ એકમો મૂકતા:
$B$ નો એકમ $Wb/m^2$ છે,
$r$ નો એકમ $m$ છે,
$I$ નો એકમ $A$ છે,
$dl$ નો એકમ $m$ છે.
તેથી,$\mu_0$ નો એકમ:
$\text{એકમ} = \frac{(Wb/m^2) \cdot m^2}{A \cdot m} = \frac{Wb}{A \cdot m} = Wb\;m^{-1}\;A^{-1}$

(C) $N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,$L = 2\pi r_1 N_1 = 2\pi r_2 N_2$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$N_1 = 1$,તેથી $L = 2\pi r_1$,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = \frac{L}{2\pi}$.
બીજા કિસ્સામાં,$N_2 = 2$,તેથી $L = 2\pi r_2 \times 2$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{r_1}{2}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2r_1}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_2} = \frac{\mu_0 (2) I}{2(r_1/2)} = \frac{4 \mu_0 I}{2r_1} = 4 B_1$ થાય.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના પ્રથમ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું થાય છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બિંદુ $P$ અને $Q$ બંને વાહકથી સમાન અંતર $r$ પર આવેલા હોવાથી,બંને બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન રહેશે.
તેથી,$P$ આગળનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Q$ આગળના ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું જ હશે.

(D) બાયો-સાવરના નિયમ મુજબ,$idl$ પ્રવાહ ખંડને લીધે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નું મૂલ્ય: $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{idl \sin \theta}{r^2}$ છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \widehat{r})}{r^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
એકમ સદિશ $\widehat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^2 \cdot r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^3}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) $n$ આવૃત્તિ સાથે વર્તુળમાં ફરતા $q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = q \times n$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$ લેતા, આપણને $\frac{\mu_0}{2} = 2\pi \times 10^{-7}$ મળે છે.
આમ, $B = (2\pi \times 10^{-7}) \times \frac{i}{r}$.
$i = nq$ મૂકતા, $B = \frac{2\pi nq}{r} \times 10^{-7} \text{ N/A} \cdot \text{m}$ મળે છે.

(B) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર બે ભાગોને કારણે છે: સીધો તાર અને વર્તુળાકાર લૂપ.
$1$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $i$ પ્રવાહ વહેવડાવતી વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\pi i}{r}$ છે,જે કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
$2$. $r$ અંતરે રહેલા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}$ છે,જે કાગળના સમતલની બહારની તરફ છે.
$3$. બંને ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,$O$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{loop} - B_{wire} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\pi i}{r} - \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}(\pi - 1)$ થશે.

(D) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi R}$
અહીં,ચાપ દ્વારા આંતરવામાં આવેલ ખૂણો $\theta = 3\pi / 2$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i (3\pi / 2)}{4\pi R}$
$B = \frac{3\mu_0 i \pi}{8\pi R}$
$B = \frac{3\mu_0 i}{8R}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) બાયો-સાવરના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $i d\vec{l}$ ને કારણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ ધારિત તારની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,પ્રવાહ ખંડ $d\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એકરેખસ્થ હોય છે (એટલે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે).
બે એકરેખસ્થ સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,તારની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
આ પ્રશ્નમાં,બિંદુ $x = a$ એ $X$-અક્ષ પર આવેલું છે,જે તે જ અક્ષ છે જેના પર તાર $PQ$ મૂકવામાં આવ્યો છે.
તેથી,$x = a$ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(B) હિલિયમ ન્યુક્લિયસનો વીજભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$ છે.
પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = 2 \ s$ છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{2} = 1.6 \times 10^{-19} \ A$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$B = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 10^{-19} \mu_0 \ T$ મળે છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અચળ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$.
આપેલ છે: $B_1 = 10^{-8} \, T$,$r_1 = 4 \, cm$,અને $r_2 = 12 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^{-8}}{B_2} = \frac{12}{4}$.
$\frac{10^{-8}}{B_2} = 3$.
$B_2 = \frac{10^{-8}}{3} = 3.33 \times 10^{-9} \, T$.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ તારથી અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B$ છે.
ધારો કે $r_2 = \frac{r}{2}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $B_1 r_1 = B_2 r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot r = B_2 \cdot \frac{r}{2}$.
$B_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B_2 = 2B$ મળે છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $B \propto I$ (વિદ્યુતપ્રવાહના સમપ્રમાણમાં) અને $B \propto \frac{1}{r}$ (ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં).
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $N$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{{\mu _0}Ni}{2r}$
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.1\, A$
ત્રિજ્યા $r = 5\, cm = 5 \times 10^{-2}\, m$
પરમીએબિલિટી $\mu _0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.1}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{10^{-1}}$
$B = 4\pi \times 10^{-5}\, T$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહન કરતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0}i}{{4R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પ્રવાહ $R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યાના બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગોમાંથી વહે છે.
સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગોને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે આ વિભાગો માટે બિંદુ $O$ નો સ્થાન સદિશ પ્રવાહ ખંડ $idl$ ને સમાંતર છે.
$R_1$ ત્રિજ્યાના અંદરના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે અને તેનું મૂલ્ય $B_1 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}}$ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યાના બહારના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ કાગળના સમતલની બહારની તરફ $(\odot)$ છે અને તેનું મૂલ્ય $B_2 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}}$ છે.
$R_1$ < $R_2$ હોવાથી,મૂલ્ય $B_1$ > $B_2$ થશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2$ થશે જે કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હશે.
$B_{net} = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}} - \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}} = \frac{{\mu _0}i}{4}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)$.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $idl$ ને કારણે કોઈ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(dl \times r)}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે.
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ અને $\sin(180^\circ) = 0$ થાય છે,તેથી આવા કોઈપણ ખંડ દ્વારા મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $O$ એ ભાગ $AB$ ને લંબાવતા મળતી સીધી રેખા પર આવેલું છે. તેથી,ભાગ $AB$ માં વહેતા પ્રવાહને કારણે $O$ પર ચુંબકીય પ્રેરણ શૂન્ય છે.

(C) વાહક ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$,અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ $BC$.
સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ માટે,બિંદુ $O$ એ પ્રવાહધારિત તારની અક્ષ પર આવેલું છે. બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i dl \sin \theta}{r^2}$ છે. આ વિભાગો માટે,પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે,તેથી $\sin \theta = 0$ થાય. આમ,$AB$ અને $CD$ ને કારણે ચુંબકીય પ્રેરણ શૂન્ય છે.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ $BC$ માટે,કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i}{2r} \right) = \frac{\mu_0 i}{4r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$O$ પર કુલ ચુંબકીય પ્રેરણ $\frac{\mu_0 i}{4r}$ છે.

(C) $i$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0 i}}{{4r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યાના બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ છે. બંને ચાપમાં વિદ્યુતપ્રવાહ એવી રીતે વહે છે કે બંને દ્વારા કેન્દ્ર $O$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
તેથી,કેન્દ્ર $O$ પર કુલ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ એ બંને ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{{\mu _0 i}}{{4r_1}} + \frac{{\mu _0 i}}{{4r_2}}$
$B = \frac{{\mu _0 i}}{4} \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$
$B = \frac{{\mu _0 i}}{4} \left( \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} \right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે બે તાર આડા સમતલમાં એકબીજાને સમાંતર $d$ અંતરે રાખેલા છે. બંને તારમાંથી સમાન દિશામાં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે.
તારની વચ્ચે બરાબર મધ્યમાં આવેલા કોઈપણ બિંદુ $P$ પર, પ્રથમ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અને બીજા તારને કારણે $B_2$ ને જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
તાર સમાંતર હોવાથી અને સમાન દિશામાં સમાન પ્રવાહ વહેતો હોવાથી, મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ શિરોલંબ ઉપરની તરફ (અથવા પ્રવાહની દિશા મુજબ નીચેની તરફ) અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)}$.
તેમના મૂલ્યો સમાન અને દિશા વિરુદ્ધ હોવાથી, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય છે.
આ બિંદુએ, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી, ચુંબકીય સોય પર કોઈ ટોર્ક લાગશે નહીં અને તેનું અભિમુખન વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના મૂલ્યથી સ્વતંત્ર રહેશે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + r^2)^{3/2}}$
શરત $r \gg R$ આપેલ હોવાથી,આપણે છેદમાં $R^2$ ને અવગણી શકીએ છીએ:
$B \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2(r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R^2}{2r^3}$
અહીં $\mu_0$,$i$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$B \propto \frac{1}{r^3}$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, પ્રવાહ $I = q \times \nu$, જ્યાં $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $\nu = 6.6 \times 10^{15} \, Hz$ એ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે।
ત્રિજ્યા $r = 0.53 \, \text{\AA} = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (1.6 \times 10^{-19} \times 6.6 \times 10^{15})}{2 \times 0.53 \times 10^{-10}}$
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 1.6 \times 6.6 \times 10^{-4}}{0.53 \times 10^{-10}}$
$B \approx 12.5 \, Wb/m^2$.

(A) બાયો-સાવર્ટના નિયમ અથવા એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,અનંત લંબાઈના સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
આ સૂત્રને $\frac{\mu_0}{4\pi}$ અચળાંકના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$B = \frac{\mu_0 i \times 2}{2\pi r \times 2} = \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \right) \frac{2i}{r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે. પ્રવાહની ચુંબકીય અસરની શોધ ડેનિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી હંસ ક્રિશ્ચિયન ઓર્સ્ટેડ દ્વારા $1820$ માં કરવામાં આવી હતી.
તેમણે અવલોકન કર્યું કે વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા તારની નજીક રાખેલી ચુંબકીય હોકાયંત્રની સોય કોણાવર્તન અનુભવે છે.
આ અવલોકન સાબિત કરે છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આ ઘટના વિદ્યુતચુંબકત્વ માટે પાયારૂપ છે અને તેને ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) $N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $N = 10$,$r_1 = 0.2 \ m$,$i_1 = 0.2 \ A$,$r_2 = 0.4 \ m$,$i_2 = 0.3 \ A$.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ક્ષેત્રોના તફાવત જેટલું થશે:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{\mu_0 N i_1}{2r_1} - \frac{\mu_0 N i_2}{2r_2}|$
$B_{net} = \frac{\mu_0 \times 10}{2} |\frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4}|$
$B_{net} = 5 \mu_0 |1 - 0.75|$
$B_{net} = 5 \mu_0 \times 0.25 = 1.25 \mu_0 = \frac{5}{4} \mu_0 \ Wb/m^2$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહન કરતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર વાહકના બે ભાગો કોષ સાથે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે.
ધારો કે $l_1$ અને $l_2$ લંબાઈ ધરાવતા બે ભાગોના અવરોધ $R_1$ અને $R_2$ છે. તેથી $V = i_1 R_1 = i_2 R_2$.
$R = \rho \frac{l}{A}$ હોવાથી,$i_1 \rho \frac{l_1}{A} = i_2 \rho \frac{l_2}{A}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $i_1 l_1 = i_2 l_2$.
પ્રથમ ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i_1 \theta_1}{4\pi r}$ અને બીજા ભાગને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 \theta_2}{4\pi r}$ છે.
$l_1 = r \theta_1$ અને $l_2 = r \theta_2$ હોવાથી,$i_1 r \theta_1 = i_2 r \theta_2$ મળે,તેથી $i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$.
આમ,$B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi r} (i_1 \theta_1)$ અને $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi r} (i_2 \theta_2)$.
$i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$ હોવાથી,મૂલ્યો સમાન છે $(B_1 = B_2)$.
પ્રવાહો કેન્દ્રની આસપાસ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી,બે ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(D) ધારો કે બે ચાપની લંબાઈ $l_1 = r\theta$ અને $l_2 = r(2\pi - \theta)$ છે.
રીંગ સમાન હોવાથી,તેના અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A}$ અને $R_2 = \rho \frac{l_2}{A}$ થશે.
જ્યારે બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને ચાપ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે. તેથી,$i_1 R_1 = i_2 R_2$,જેનો અર્થ છે કે $i_1 l_1 = i_2 l_2$.
$i$ પ્રવાહ ધરાવતા $l$ લંબાઈના ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r^2} l$ છે.
બંને ચાપ માટે,$B_1 = \frac{\mu_0 i_1 l_1}{4\pi r^2}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 l_2}{4\pi r^2}$ મળે.
$i_1 l_1 = i_2 l_2$ હોવાથી,$B_1 = B_2$ થાય.
પ્રવાહ કેન્દ્રની આસપાસ વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે,તેથી બંને ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય છે,જે $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા કોઈ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ મળે છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ અનુસાર,$Id\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડને કારણે $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીધા તારની અક્ષ પર આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,પ્રવાહ ખંડ $Id\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એકરેખસ્થ હોય છે (એટલે કે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે).
કારણ કે એકરેખસ્થ સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે $(d\vec{l} \times \vec{r} = 0)$,તેથી તારની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(B) $1$. $L = \pi^2 \, m$ લંબાઈના સીધા તાર માટે જેમાંથી $i = 2 \, A$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,$d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi d} = \frac{\mu_0 \times 2}{2\pi \times 10^{-2}} = \frac{\mu_0}{\pi \times 10^{-2}}$.
$2$. જ્યારે તારને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે તેનો પરિઘ $2\pi R = L = \pi^2$ થાય. તેથી,$R = \frac{\pi^2}{2\pi} = \frac{\pi}{2} \, m$.
$3$. આ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2R} = \frac{\mu_0 \times 2}{2 \times (\pi/2)} = \frac{\mu_0}{\pi/2} = \frac{2\mu_0}{\pi}$.
$4$. કેન્દ્ર પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પ્રથમ કિસ્સાના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{B_2}{B_1} = \frac{2\mu_0 / \pi}{\mu_0 / (\pi \times 10^{-2})} = 2 \times 10^{-2} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$.
$5$. તેથી,ગુણોત્તર $1:50$ છે.

(C) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જ્યારે કોઈ સીધા વાહકમાંથી પ્રવાહ $i$ વહે છે,ત્યારે તેની આસપાસ ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમકેન્દ્રી વર્તુળો બનાવે છે. આ વર્તુળો વાહકની અક્ષને લંબ હોય તેવા સમતલમાં આવેલા હોય છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા પ્રવાહની દિશા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(A) અનંત લંબાઈના સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2i}{r}$
આપેલ છે:
$B = 10^{-5}\,Wb/m^2$
$r = 10\,cm = 0.1\,m = 10^{-1}\,m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,T\cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{2i}{10^{-1}}$
$10^{-5} = 10^{-7} \times 2i \times 10^1$
$10^{-5} = 2i \times 10^{-6}$
$2i = \frac{10^{-5}}{10^{-6}}$
$2i = 10$
$i = 5\,A$
તેથી,વાહકમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $5\,A$ છે.

(C) $N$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ છે.
આપેલ કિંમતો: પ્રવાહ $I = 10 \ A$,ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.14 \times 10^{-3} \ Wb/m^2$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times N \times 10}{2 \times 0.1}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times N \times 10}{0.2}$.
$3.14 \times 10^{-3} = 20 \times 3.14 \times 10^{-6} \times N$.
$10^{-3} = 20 \times 10^{-6} \times N$.
$N = \frac{10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1000}{20} = 50$.
આમ,કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા $50$ છે.

(D) તારમાં $Q$ થી $P$ તરફ વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉગમબિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા શોધવા માટે,આપણે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$1$. તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં,એટલે કે ધન $Z$-અક્ષની દિશામાં ($Q$ થી $P$ તરફ) રાખો.
$2$. તમારી આંગળીઓને તારની આસપાસ વાળો. ઉગમબિંદુ $O$ પર,જે તારની ડાબી બાજુએ છે (તારની સાપેક્ષમાં ઋણ $X$-અક્ષની દિશામાં),આંગળીઓ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ નિર્દેશ કરશે.
$3$. આપેલી યામ પદ્ધતિમાં,$Y$-અક્ષ સમતલની બહારની તરફ અને $Y'$-અક્ષ સમતલની અંદરની તરફ છે.
$4$. તેથી,ઉગમબિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઋણ $Y$-અક્ષની દિશામાં,એટલે કે $OY'$ તરફ હશે.

(B) $n$ આંટાવાળા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{n \mu_0 I}{2R}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$n_1 = 1$. લૂપનો પરિઘ $L = 2 \pi R_1$ છે,તેથી $R_1 = \frac{L}{2 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{1 \cdot \mu_0 I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તારને $n_2 = 4$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે. તારની કુલ લંબાઈ $L = n_2 (2 \pi R_2)$ છે,તેથી $R_2 = \frac{L}{2 \pi n_2} = \frac{L}{8 \pi}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{n_2 \mu_0 I}{2 R_2} = \frac{4 \mu_0 I}{2 (L / 8 \pi)} = \frac{4 \mu_0 I \cdot 8 \pi}{2 L} = 16 \left( \frac{\mu_0 I \pi}{L} \right) = 16 B$ થાય.

(D) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $B = 12.56 \, T$,$r = 5.2 \times 10^{-11} \, m$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$12.56 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times i}{2 \times 5.2 \times 10^{-11}}$
$12.56 = \frac{2\pi \times 10^{-7} \times i}{5.2 \times 10^{-11}}$
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$2\pi \approx 6.28$ થાય.
$12.56 = \frac{6.28 \times 10^{-7} \times i}{5.2 \times 10^{-11}}$
$i = \frac{12.56 \times 5.2 \times 10^{-11}}{6.28 \times 10^{-7}}$
$i = 2 \times 5.2 \times 10^{-4} \, A$
$i = 10.4 \times 10^{-4} \, A = 1.04 \times 10^{-3} \, A$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવડાવતા વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણાને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi R}$
અહીં આપેલ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{\pi}{2}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{8R}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લાંબા સીધા પ્રવાહધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તરને $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
અહીં $B_1 = 0.04\, T$,$r_1 = 10\, cm$,અને $r_2 = 40\, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{0.04}{B_2} = \frac{40}{10}$.
$\frac{0.04}{B_2} = 4$.
$B_2 = \frac{0.04}{4} = 0.01\, T$.

(A) ધારો કે બે ચાપની લંબાઈ $l_1$ (ચાપ $ABC$) અને $l_2$ (ચાપ $ADC$) છે. આ ચાપના અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_{cross}}$ અને $R_2 = \rho \frac{l_2}{A_{cross}}$ છે.
આ ચાપ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે: $V = I_1 R_1 = I_2 R_2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $I_1 l_1 = I_2 l_2$,અથવા $\frac{I_1}{I_2} = \frac{l_2}{l_1}$.
$i$ પ્રવાહ ધરાવતી $l$ લંબાઈની ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4\pi R} = \frac{\mu_0 i l}{4\pi R^2}$ છે.
બે ચાપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4\pi R^2}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 l_2}{4\pi R^2}$ છે.
$I_1 l_1 = I_2 l_2$ હોવાથી,$B_1 = B_2$ મળે છે.
પ્રવાહો કેન્દ્રની આસપાસ વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે,તેથી બે ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_1 - B_2| = 0$ થાય છે.

(B) $i$ પ્રવાહ વહેતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ એ તારથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(B \propto \frac{1}{r})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
આપેલ છે કે,$B = 7 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$ અને $R = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \ T \cdot m/A$,તેથી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$7 \times 10^{-5} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times I}{2 \times 0.05}$
$7 \times 10^{-5} = \frac{2\pi \times 10^{-7} \times I}{0.05}$
$I = \frac{7 \times 10^{-5} \times 0.05}{2 \times 3.14159 \times 10^{-7}}$
$I = \frac{0.35 \times 10^{-5}}{6.283 \times 10^{-7}} = \frac{35}{6.283} \approx 5.57 \ A \approx 5.6 \ A$.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 Ni}{2r}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
આંટાની સંખ્યા $N = 1000$
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 0.1\, A$
ત્રિજ્યા $r = 0.1\, m$
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 0.1}{2 \times 0.1}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{0.2}$
$B = 2\pi \times 10^{-4}\, T$
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$B = 2 \times 3.14 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-4}\, T$.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 Ni}{2r}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
આંટાની સંખ્યા $N = 50$
ત્રિજ્યા $r = 0.5\, m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 2\, A$
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T\cdot m/A$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 50 \times 2}{2 \times 0.5}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 100}{1}$
$B = 12.566 \times 10^{-5} = 1.2566 \times 10^{-4}\, T$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $1.25 \times 10^{-4}\, T$ મળે છે.

(D) $I$ પ્રવાહ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
ગૂંચળા $A$ માટે: $B_A = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $B_B = \frac{\mu_0 (2I)}{2(2R)} = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $B_A = B_B$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $B_A : B_B = 1:1$ થાય છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0.4 \ T$ છે.
આપણે $r_2 = 2r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ શોધવાનું છે.
વ્યસ્ત પ્રમાણના સંબંધ $B_1 r_1 = B_2 r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.4 \times r = B_2 \times (2r)$.
$B_2 = \frac{0.4 \times r}{2r} = 0.2 \ T$.

(A) $n$ આંટા ધરાવતા,$i$ પ્રવાહ વહેતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક આંટા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
$n$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = n \times \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0 ni}{2r}$ થાય છે.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i}{r}$ છે.
અહીં,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$i$ એ તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $r$ એ તારથી લંબ અંતર છે.
સૂત્ર મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ અને તારથી અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે.
તે તારની ત્રિજ્યા કે વ્યાસથી સ્વતંત્ર છે.
જેથી વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન રહે છે અને અંતર $r$ દૂરનું બિંદુ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) જ્યારે તારમાંથી સ્થાયી વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય,ત્યારે તારની ચોખ્ખી વિદ્યુતભાર ઘનતા શૂન્ય રહે છે કારણ કે તારના કોઈ પણ ભાગમાં દાખલ થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા તેમાંથી બહાર નીકળતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે.
તાર વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી,તે તેની આસપાસના વિસ્તારમાં કોઈ વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું નથી.
જોકે,વિદ્યુતભારોના વહન (વિદ્યુતપ્રવાહ) ને કારણે તારની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે,જે બાયો-સાવર્ટના નિયમ અથવા એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
તેથી,માત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \times \frac{2i}{r}$
આપેલ છે:
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 1\,A$
અંતર $r = 1\,cm = 10^{-2}\,m$
અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\,T\cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1}{10^{-2}}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 10^2$
$B = 2 \times 10^{-5}\,T$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લંબાઈના સીધા તારને કારણે તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2l$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $r = l$ છે. કેન્દ્ર પરના ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ છે.
તેથી,એક બાજુને કારણે ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi l} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{4 \pi l}$ છે.
ચોરસની $4$ બાજુઓ હોવાથી,એક આંટા માટે કુલ ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{\pi l}$ થાય.
$n$ આંટા માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = n \times B = \frac{\sqrt{2} \mu_0 n i}{\pi l}$ થાય.

(C) બાયોટ-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$i \Delta l$ જેટલા નાના પ્રવાહ ખંડને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i \Delta l \sin \theta}{r^2}$
જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$\Delta l$ એ ખંડની લંબાઈ છે,$\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $r$ એ ખંડથી અવલોકન બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.