Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) કોઈ આપેલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યાને વિદ્યુત ફ્લક્સ $(\Phi_E)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, વિદ્યુત ફ્લક્સ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $(\vec{E})$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $(\vec{A})$ નો અદિશ ગુણાકાર છે, જે $\Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સપાટ સપાટીમાંથી પસાર થતા સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે, આ સમીકરણ $\Phi_E = EA \cos\theta$ બને છે.
ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા વિદ્યુત ફ્લક્સના સમપ્રમાણમાં હોવાથી, તે સાબિત થાય છે કે જો વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા અચળ રહે, તો ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) જ્યારે બે સમાન ધન વિદ્યુતભારોને એકબીજાની નજીક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દરેક ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને અનંત તરફ વિસ્તરે છે.
બંને વિદ્યુતભારો ધન હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
આ અપાકર્ષણને બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેના વિસ્તારમાં ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાથી દૂર વળીને દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે બરાબર મધ્યબિંદુ પર એક તટસ્થ બિંદુ હોય છે જ્યાં ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુમાંથી કોઈ ક્ષેત્ર રેખા પસાર થતી નથી.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
જો તેઓ બંધ ગાળાઓ બનાવે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી નથી,જે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રના ગુણધર્મથી વિપરીત છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ તે સપાટી વડે ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારના પ્રમાણમાં હોય છે.
સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રો સંરક્ષી હોવાથી,કોઈપણ બંધ માર્ગ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$.
આ ગાણિતિક શરત સુનિશ્ચિત કરે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવી શકતી નથી,જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવે છે કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(N/A) બે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે અલગ-અલગ દિશાઓ મળે.
કોઈ આપેલા બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ એક અનન્ય સદિશ રાશિ હોવાથી,તેની એકસાથે બે દિશાઓ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,બે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું છેદન ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(N/A) જો ક્ષેત્રફળ $\overrightarrow{\Delta S}$ ધરાવતા એક નાના સમતલીય ઘટકને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવે, તો તેને ઓળંગીને જતી ક્ષેત્રરેખાઓની સંખ્યા $\vec{E} \cdot \overrightarrow{\Delta S}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે આપણે ક્ષેત્રફળ ઘટકને લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમાવીએ, તો $\Delta S$ માંથી પસાર થતી ક્ષેત્રરેખાઓની સંખ્યા $E \Delta S \cos \theta$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય, ત્યારે ક્ષેત્રરેખાઓ સપાટીને સમાંતર હોય છે અને તે સપાટીને બિલકુલ ઓળંગતી નથી.
જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ હોય, ત્યારે ક્ષેત્રરેખાઓ સપાટીને લંબ હોય છે.
બંધ સપાટીના દરેક ક્ષેત્રફળ ઘટક સાથે સંકળાયેલ સદિશને બહારની તરફના લંબની દિશામાં લેવામાં આવે છે. આમ, બંધ સપાટી પરના કોઈ બિંદુએ ક્ષેત્રફળ ઘટક સદિશ $\overrightarrow{\Delta S} = \Delta S \hat{n}$ થાય છે, જ્યાં $\Delta S$ એ ક્ષેત્રફળ ઘટકનું મૂલ્ય છે અને $\hat{n}$ એ તે બિંદુએ બહારની તરફના લંબની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ એટલે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલી સપાટીમાંથી પસાર થતી અથવા તેની સાથે સંકળાયેલી વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓની સંખ્યા.
તેથી, ક્ષેત્રફળ ઘટક $\Delta \overrightarrow{S}$ માંથી પસાર થતું ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $\Delta \phi = \vec{E} \cdot \Delta \overrightarrow{S} = E \Delta S \cos \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ $\vec{E}$ અને $\overrightarrow{\Delta S}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi = \int \vec{E} \cdot d\overrightarrow{S} = E \Delta S \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સનો $SI$ એકમ $N \cdot m^{2} \cdot C^{-1}$ અથવા $V \cdot m$ છે અને તે અદિશ રાશિ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સની વ્યાખ્યા: "કોઈપણ સપાટી સાથે સંકળાયેલ ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ એટલે તે સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશનું પૃષ્ઠ સંકલન."

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં રહેલા ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{S}$ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{S} = ES \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{S}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(i)$ જો $\theta = 90^{\circ}$ હોય,તો $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય,તેથી $\phi = 0$. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ સપાટીને સમાંતર હોય (એટલે કે,ક્ષેત્રફળ સદિશ ક્ષેત્રને લંબ હોય).
(ii) જો $\theta < 90^{\circ}$ હોય,તો $\cos \theta > 0$ થાય,તેથી $\phi > 0$. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ બંધ સપાટીમાંથી બહારની તરફ જતી હોય.
(iii) જો $\theta > 90^{\circ}$ હોય,તો $\cos \theta < 0$ થાય,તેથી $\phi < 0$. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ બંધ સપાટીમાં અંદરની તરફ આવતી હોય.

(N/A) વિદ્યુત ફ્લક્સ એ આપેલ સપાટીમાંથી પસાર થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની કુલ સંખ્યાનું માપ છે. ગાણિતિક રીતે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં રહેલી સપાટી $S$ માટે,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ ને તે સપાટી પરના વિદ્યુત ક્ષેત્રના પૃષ્ઠ સંકલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{A}$. જો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સમાન હોય અને સપાટી $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સમતલ સપાટી હોય,તો ફ્લક્સ $\Phi_E = EA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec{A}$ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(B) સપાટીમાંથી પસાર થતું ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ સંકલન $\Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int E \cos \theta \, dA$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$1$. ધન ફ્લક્સ: જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડની રેખાઓ સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે (બહારની તરફનું ફ્લક્સ),ત્યારે એરિયા વેક્ટર $\vec{A}$ અને ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ $(0^\circ \le \theta < 90^\circ)$ હોય છે,જેનાથી $\cos \theta > 0$ થાય છે. આમ,ફ્લક્સ ધન છે.
$2$. ઋણ ફ્લક્સ: જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડની રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશ કરે છે (અંદરની તરફનું ફ્લક્સ),ત્યારે એરિયા વેક્ટર $\vec{A}$ અને ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$ હોય છે,જેનાથી $\cos \theta < 0$ થાય છે. આમ,ફ્લક્સ ઋણ છે.
$3$. શૂન્ય ફ્લક્સ: જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડની રેખાઓ સપાટીને સમાંતર હોય,ત્યારે ખૂણો $\theta$ એ $90^\circ$ હોય છે,જેનાથી $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે. વૈકલ્પિક રીતે,જો સપાટીમાં પ્રવેશતી રેખાઓની સંખ્યા બહાર નીકળતી રેખાઓની સંખ્યા જેટલી હોય,તો ચોખ્ખું ફ્લક્સ શૂન્ય થાય છે.

(A) વિદ્યુત ફ્લક્સને વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A}$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા અદિશ રાશિ આપે છે,તેથી વિદ્યુત ફ્લક્સ એ એક અદિશ રાશિ છે.

(N/A) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને તેમાંથી પસાર થતા ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\Phi_E = E \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નો $SI$ એકમ $\text{ન્યૂટન પ્રતિ કુલંબ}$ $(N/C)$ અથવા $\text{વોલ્ટ પ્રતિ મીટર}$ $(V/m)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નો $SI$ એકમ $\text{ચોરસ મીટર}$ $(m^2)$ છે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સનો $SI$ એકમ $(N/C) \cdot m^2 = N \cdot m^2/C$ અથવા $(V/m) \cdot m^2 = V \cdot m$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુત ફ્લક્સનો $SI$ એકમ $N \cdot m^2 \cdot C^{-1}$ અથવા $V \cdot m$ છે.

(N/A) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક ગોળો છે,જેની કેન્દ્રમાં $q$ બિંદુવત વિદ્યુતભાર રહેલો છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોળાને નાના ક્ષેત્રફળના ખંડોમાં વિભાજિત કરો.
ક્ષેત્રફળ ખંડ $\Delta \overrightarrow{S}$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ,
$\Delta \phi = \overrightarrow{E} \cdot \Delta \overrightarrow{S} = E \Delta S \cos(0^{\circ}) = E \Delta S$
$r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\Delta \overrightarrow{S}$ એક જ દિશામાં (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ) હોવાથી,
$\Delta \phi = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \right) \Delta S$
ગોળામાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi$ એ તમામ ક્ષેત્રફળ ખંડોમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે:
$\phi = \sum \Delta \phi = \sum \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \Delta S \right)$
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \sum \Delta S$
અહીં $\sum \Delta S = S = 4 \pi r^{2}$ (ગોળાનું કુલ પૃષ્ઠફળ) હોવાથી,
$\phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
આ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે ગૌસનો નિયમ છે,જે દર્શાવે છે કે કોઈપણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને $\varepsilon_{0}$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.

(N/A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જો કુલ ફ્લક્સ $\phi = 0$ હોય,તો $\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $q_{enclosed} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ. જો સપાટીની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય,તો બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે,ભલે બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર હાજર હોય,જેમ કે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં નળાકારના કિસ્સામાં દર્શાવેલ છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં તેની અક્ષને સમાંતર મૂકવામાં આવેલા નળાકાર માટે:
$1$. વક્ર સપાટી $3$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_3 = 0$ છે કારણ કે ક્ષેત્રફળ સદિશ દરેક બિંદુએ $\vec{E}$ ને લંબ છે.
$2$. સપાટી $1$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = -ES$ છે (જ્યાં $S$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને લંબ $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે).
$3$. સપાટી $2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = +ES$ છે (જ્યાં લંબ $\vec{E}$ ની દિશામાં છે).
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 = -ES + ES + 0 = 0$. આમ,કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોવાથી,ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(N/A) $(i)$ જો બંધ સપાટીમાં રહેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય,તો તે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.
$(ii)$ ગોસનો નિયમ કોઈપણ આકાર કે કદની બંધ સપાટી માટે માન્ય છે.
$(iii)$ વિદ્યુતભારો સપાટીની અંદર ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે.
$(iv)$ જ્યારે એવી સપાટી પસંદ કરવામાં આવે કે જેમાં કેટલાક વિદ્યુતભારો અંદર અને કેટલાક બહાર હોય,ત્યારે સમીકરણ $\phi = \frac{\Sigma q}{\epsilon_{0}}$ ની ડાબી બાજુનું વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદર અને બહારના તમામ વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે. જોકે,જમણી બાજુનો પદ $\Sigma q$ ફક્ત સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભારને જ દર્શાવે છે.
$(v)$ ગોસના નિયમના ઉપયોગ માટે જે સપાટી પસંદ કરવામાં આવે છે તેને ગોસિયન સપાટી કહેવામાં આવે છે.
$(vi)$ જ્યારે તંત્રમાં સંમિતિ હોય ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રની ગણતરી સરળ બનાવવા માટે ગોસનો નિયમ ઉપયોગી છે.
$(vii)$ ગોસનો નિયમ અંતર પરના વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ પર આધારિત છે.

(N/A) ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટી (ગૌસિયન સપાટી) માંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ ના $\frac{1}{\epsilon_0}$ ગણું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
જ્યાં:
- $\Phi_E$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
- $\oint_S$ એ બંધ સપાટી $S$ પરનું પૃષ્ઠ સંકલન દર્શાવે છે.
- $\vec{E}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ છે.
- $d\vec{A}$ એ સૂક્ષ્મ સપાટી ખંડનો ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
- $q_{enclosed}$ એ સપાટીની અંદર ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
- $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{net}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{net}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જો વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ શૂન્ય હોય,તો $\frac{q_{net}}{\epsilon_0} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $q_{net} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો સપાટીની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી,અથવા સપાટીની અંદરના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ નથી કે સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર નથી,કારણ કે સપાટીની બહારના વિદ્યુતભારો વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપી શકે છે પરંતુ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતા કુલ ફ્લક્સમાં નહીં.
તેથી,ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.

(N/A) ગોસિયન સપાટી એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં આવેલી કોઈપણ કાલ્પનિક બંધ સપાટી છે,જેના દ્વારા સદિશ ક્ષેત્ર (જેમ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર) નું ફ્લક્સ ગણવામાં આવે છે.
સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં,તે એક કાલ્પનિક બંધ સપાટી છે જેનો ઉપયોગ ગૌસના નિયમ સાથે કરવામાં આવે છે જેથી આપેલ વિદ્યુતભાર વિતરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્રની ગણતરી સરળ બનાવી શકાય.
આ સપાટી સામાન્ય રીતે એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેમાં વિદ્યુતભાર વિતરણની સમપ્રમાણતા (જેમ કે ગોળાકાર,નળાકાર અથવા સમતલીય) જળવાય,જેથી સપાટી પર વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અચળ રહે.

(N/A) ધારો કે ઉગમબિંદુ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ મૂકેલો છે. કુલંબના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \hat{r}$
હવે,વિદ્યુતભાર $q$ ને કેન્દ્રમાં રાખીને $r$ ત્રિજ્યાની એક ગોળીય ગૌસિયન સપાટી વિચારો. આ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ પૃષ્ઠ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\phi_E = \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s}$
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ત્રિજ્યાવર્તી છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\overrightarrow{s}$ પણ ત્રિજ્યાવર્તી (બહારની તરફ) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે. તેથી,$\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = E ds \cos(0^\circ) = E ds$.
$\phi_E = \oint E ds = E \oint ds$
ગોળીય સપાટી પર દરેક બિંદુએ $E$ અચળ છે અને $\oint ds = 4 \pi r^{2}$ (ગોળાનું પૃષ્ઠફળ) હોવાથી:
$\phi_E = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}} \right) \cdot (4 \pi r^{2})$
$\phi_E = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
આ ગૌસનો નિયમ છે: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો,$+q$ અને $-q$ નો બનેલો હોય છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = (+q) + (-q) = 0$ છે.
તેથી,સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\epsilon_{0}} = 0$ થાય.

(N/A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટી $S$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\phi = \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$.
$1$. જો સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય $(q_{enclosed} = 0)$,તો તેનો અર્થ એ છે કે સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે. જો કે,આનો અર્થ એ નથી કે સપાટી પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય છે. સપાટીની બહાર રહેલા વિદ્યુતભારોને કારણે સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય ન પણ હોય.
$2$. તેનાથી ઉલટું,જો સપાટી પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય હોય,તો સપાટીનું સંકલન $\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S}$ શૂન્ય જ હોવું જોઈએ. ગોસના નિયમ મુજબ,આ સૂચવે છે કે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ $(q_{enclosed} = 0)$.

(N/A) જો વિદ્યુતભાર $q$ ને સમઘનની એક સપાટીના કેન્દ્ર $C$ પર મૂકવામાં આવે,તો તે $2$ પાસપાસેના સમઘન દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ:
$\phi = \frac{q}{2\epsilon_{0}}$
$(b)$ જો વિદ્યુતભાર $q$ ને $BC$ ધારના મધ્યબિંદુ $D$ પર મૂકવામાં આવે,તો તે $4$ પાસપાસેના સમઘન દ્વારા વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ:
$\phi = \frac{q}{4\epsilon_{0}}$

(A) વિદ્યુતભાર $A$ અને $C$ માટેની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની તરફ જાય છે,જે દર્શાવે છે કે $A$ અને $C$ ધન વિદ્યુતભારો છે.
$(b)$ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય તેમાંથી નીકળતી અથવા તેમાં સમાપ્ત થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વિદ્યુતભાર $C$ સાથે સૌથી વધુ સંખ્યામાં ક્ષેત્ર રેખાઓ સંકળાયેલી છે. તેથી,વિદ્યુતભાર $C$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે.
$(c)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત તેવા બિંદુએ જ શૂન્ય હોઈ શકે જ્યાં વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય. આ બે સમાન પ્રકારના વિદ્યુતભારો વચ્ચે થઈ શકે છે. $A$ અને $C$ બંને ધન હોવાથી,$A$ અને $C$ ની વચ્ચેના વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે છે. વિદ્યુતભાર $C$ નું મૂલ્ય $A$ કરતા વધારે હોવાથી,તટસ્થ બિંદુ (જ્યાં ક્ષેત્ર શૂન્ય છે) નાના મૂલ્યવાળા વિદ્યુતભારની નજીક હશે,જે $A$ છે. આમ,$A$ ની નજીકના વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(A) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
આપેલ છે,$\vec{E} = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k})$.
સપાટી $Y-Z$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 20 \hat{i}$ એકમ.
વિદ્યુત ફ્લક્સની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\Phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\Phi = (5 \hat{i} + 4 \hat{j} + 9 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\Phi = 5 \times 20 = 100$ એકમ.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \frac{2}{5} E_{0} \hat{i} + \frac{3}{5} E_{0} \hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે $E_{0} = 4.0 \times 10^{3} \, N/C$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.4 \, m^{2}$ છે અને તે $Y-Z$ સમતલને સમાંતર છે.
$Y-Z$ સમતલને સમાંતર સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,તેથી $\overrightarrow{A} = 0.4 \hat{i} \, m^{2}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = (\frac{2}{5} E_{0} \hat{i} + \frac{3}{5} E_{0} \hat{j}) \cdot (0.4 \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી $\phi = \frac{2}{5} E_{0} \times 0.4$.
$E_{0} = 4.0 \times 10^{3} \, N/C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\phi = \frac{2}{5} \times (4.0 \times 10^{3}) \times 0.4$.
$\phi = 0.4 \times 4000 \times 0.4 = 1600 \times 0.4 = 640 \, N m^{2} C^{-1}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \frac{3 E_{0}}{5} \hat{i} + \frac{4 E_{0}}{5} \hat{j} \, N/C$ છે.
પ્રથમ સપાટી માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_{1} = 0.2 \hat{i} \, m^{2}$ છે (કારણ કે તે $y-z$ સમતલને સમાંતર છે).
ફ્લક્સ $\phi_{1} = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}_{1} = (\frac{3 E_{0}}{5} \hat{i} + \frac{4 E_{0}}{5} \hat{j}) \cdot (0.2 \hat{i}) = \frac{3 \times 0.2}{5} E_{0} = 0.12 E_{0} \, V \cdot m$.
બીજી સપાટી માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_{2} = 0.3 \hat{j} \, m^{2}$ છે (કારણ કે તે $x-z$ સમતલને સમાંતર છે).
ફ્લક્સ $\phi_{2} = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}_{2} = (\frac{3 E_{0}}{5} \hat{i} + \frac{4 E_{0}}{5} \hat{j}) \cdot (0.3 \hat{j}) = \frac{4 \times 0.3}{5} E_{0} = 0.24 E_{0} \, V \cdot m$.
ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{1}}{\phi_{2}} = \frac{0.12 E_{0}}{0.24 E_{0}} = \frac{1}{2}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $a : b = 1 : 2$ હોવાથી,તેથી $a = 1$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતભાર $a = 12 \,cm$ બાજુવાળા ચોરસના કેન્દ્રથી $a/2 = 6 \,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
આ ચોરસને $a = 12 \,cm$ બાજુવાળા સમઘનની એક બાજુ તરીકે ગણતા,વિદ્યુતભાર આ સમઘનના કેન્દ્ર પર છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમગ્ર સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,એક બાજુ (ચોરસ) માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ થશે.
અહીં $q = 12 \times 10^{-6} \,C$ અને $\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \,C^{2}/Nm^{2}$ આપેલ છે.
$\phi = \frac{12 \times 10^{-6}}{6 \times 8.854 \times 10^{-12}} = \frac{2 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 0.2259 \times 10^{6} \,Nm^{2}/C$.
$\phi \approx 226 \times 10^{3} \,Nm^{2}/C$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણ રીતે આવરી લેવા માટે આવા $8$ સમાન ઘન દ્વારા વહેંચાય છે.
તેથી,ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{cube}} = \frac{q}{8\varepsilon_{0}}$ છે.
ઘનની જે ત્રણ સપાટીઓ ખૂણા પર મળે છે જ્યાં વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે,તેમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ આ સપાટીઓને સમાંતર છે.
બાકીની ત્રણ સપાટીઓ વિદ્યુતભારની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આ ત્રણ સપાટીઓમાંથી દરેકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન છે.
ધારો કે છાયાંકિત ભાગ એ આ સપાટીઓમાંથી એક છે. છાયાંકિત ભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{shaded}} = \frac{1}{3} \times \phi_{\text{cube}} = \frac{1}{3} \times \frac{q}{8\varepsilon_{0}} = \frac{q}{24\varepsilon_{0}}$ થાય.

(C) સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિધાન $(a)$ સાચું છે: જ્યારે રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશતી હોય ત્યારે ફ્લક્સ ઋણ હોય છે $(\theta > 90^{\circ})$.
વિધાન $(b)$ સાચું છે: સંમિતિને કારણે,સમઘનના કેન્દ્ર પર રહેલો વિદ્યુતભાર તેની છ બાજુઓમાંથી સમાન ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે.
વિધાન $(c)$ સાચું છે: ગૌસના નિયમ મુજબ,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$. જો $q_{enclosed} = 0$ હોય,તો $\phi_{net} = 0$ થાય.
વિધાન $(d)$ ખોટું છે: જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સપાટીને સમાંતર હોય,ત્યારે તે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$). તેથી,$\phi = EA \cos 90^{\circ} = 0$. વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે તે શૂન્યતર ફ્લક્સ આપે છે,જે ખોટું છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ છે.
જ્યારે વીજભાર $q$ ને અર્ધગોળાના સપાટ વર્તુળાકાર પાયાના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વીજભાર $q$ માંથી નીકળતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટ સપાટીના દરેક બિંદુએ સપાટીને સમાંતર હોય છે.
કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ સપાટ સપાટીના ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે,$\vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos(90^{\circ}) = 0$),તેથી સપાટ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $0$ થાય છે.
જોકે,અર્ધગોળાકાર વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{q}{2 \varepsilon_{0}}$ છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માંથી અર્ધ-શિરોલંબ ખૂણા $\theta$ વાળા શંકુમાં ઉદ્ભવતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $q_{1}$ માંથી ઉદ્ભવતી ક્ષેત્ર રેખાઓ $\alpha$ ખૂણાવાળા શંકુમાં $q_{2}$ પર $\beta$ ખૂણાવાળા શંકુમાં સમાપ્ત થાય છે,તેથી ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{q_{1}}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \alpha) = \frac{q_{2}}{2\varepsilon_{0}}(1 - \cos \beta)$
આપેલ છે કે $q_{2} = \frac{3}{2} q_{1}$,તેથી:
$q_{1}(1 - \cos \alpha) = \frac{3}{2} q_{1}(1 - \cos \beta)$
$1 - \cos 30^{\circ} = \frac{3}{2}(1 - \cos \beta)$
$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}(1 - \cos \beta)$
$1 - 0.866 = 1.5(1 - \cos \beta)$
$0.134 = 1.5(1 - \cos \beta)$
$1 - \cos \beta = \frac{0.134}{1.5} \approx 0.0893$
$\cos \beta = 1 - 0.0893 = 0.9107$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} \approx 0.866$ અને $\cos \beta \approx 0.9107$ છે,તેથી આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $\beta < 30^{\circ}$.
આમ,$0^{\circ} < \beta < 30^{\circ}$.

(B) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે ગૌસનો નિયમ $(\phi = q_{\text{enclosed}} / \varepsilon_0)$ માત્ર વ્યસ્ત વર્ગના ક્ષેત્રો માટે જ માન્ય છે. જો $E = \frac{kq}{r^3} \hat{r}$ હોય, તો $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ:
$\phi = \oint E \cdot dA = \int \frac{kq}{r^3} dA = \frac{kq}{r^3} (4\pi r^2) = \frac{4\pi kq}{r} \neq \frac{q}{\varepsilon_0}$.
વિધાન $(II)$ સાચું છે. વ્યસ્ત વર્ગના ક્ષેત્રમાં, સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત કવચની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સંમિતિને કારણે શૂન્ય હોય છે. જોકે, વ્યસ્ત ઘનના ક્ષેત્ર માટે, કવચના વિવિધ ભાગોમાંથી ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો અંદરના બિંદુઓ પર શૂન્ય થતો નથી. તેથી, અંદર મૂકવામાં આવેલ વિદ્યુતભાર ચોખ્ખું બળ અનુભવશે.
તેથી, માત્ર વિધાન $(II)$ સાચું છે.

(C) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જો સપાટી દ્વારા કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરાયેલો ન હોય $(q_{enclosed} = 0)$,તો સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.
કિસ્સા $I$ અને $II$ માં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર બંધ સપાટીની અંદર છે,તેથી કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય નથી.
કિસ્સા $III$ અને $IV$ માં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર બંધ સપાટીની બહાર છે,તેથી ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે આ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
તેથી,માત્ર $I$ અને $II$ કિસ્સાઓ માટે જ કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય નથી.

(D) જો કુલંબ બળ $F \propto 1/r^3$ મુજબ બદલાતું હોય,તો બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = k q / r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા નક્કર ધાતુના ગોળા માટે,સંમિતિને કારણે,ગોળાની અંદર $(r < R)$ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ કારણ કે સપાટી પરના વિદ્યુતભારના વિતરણના વિવિધ ભાગોનું યોગદાન કોઈપણ આંતરિક બિંદુએ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
જો કે,આ બળના નિયમ માટે ગૌસનો નિયમ બદલાય છે. $r$ ત્રિજ્યા $(r < R)$ ધરાવતી ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંદર $E = 0$ હોવાથી,ફ્લક્સ $\phi = 0$ થાય છે.
પ્રમાણભૂત કિસ્સામાં $(F \propto 1/r^2)$,ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે $\oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0$. જો બળનો નિયમ $1/r^3$ માં બદલાય,તો ફ્લક્સ અને બંધિત વિદ્યુતભાર વચ્ચેનો સંબંધ બદલાય છે. ખાસ કરીને,$1/r^3$ બળ માટે,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ફક્ત બંધિત વિદ્યુતભારના પ્રમાણમાં હોતું નથી. ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે આ બળના નિયમ માટે,વાહકની અંદર વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ શૂન્ય હોતી નથી જેથી અંદર $E=0$ જળવાઈ રહે,કારણ કે પ્રમાણભૂત ગૌસનો નિયમ તે જ રીતે લાગુ પડતો નથી. આમ,સંમિતિને કારણે અંદરનું ક્ષેત્ર શૂન્ય રહે છે,પરંતુ અંદરની વિદ્યુતભાર ઘનતા શૂન્ય હોતી નથી.

(A) જ્યારે એક ધન વિદ્યુતભાર $q$ ને તટસ્થ વાહક કવચની પોલાણમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે કવચની અંદરની સપાટી પર $-q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે જેથી વાહક પદાર્થની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે. કવચ તટસ્થ હોવાથી,કવચની બહારની સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર દેખાવો જોઈએ. વિદ્યુતભારનું વિતરણ અંદરની અને બહારની બંને સપાટીઓ પર સમાન હશે,સિવાય કે ગેપની નજીક. વાહકના પદાર્થની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું આવશ્યક છે,જે આ વિતરણ દ્વારા સંતોષાય છે. સાચી રજૂઆત આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે,જ્યાં અંદરની સપાટી પર ઋણ વિદ્યુતભાર અને બહારની સપાટી પર ધન વિદ્યુતભાર છે.

(C) જ્યારે ધાતુના ગોળાને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધાતુમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી વાહકની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની સપાટી સાથેના સંપર્કના દરેક બિંદુએ લંબ હોવી જોઈએ.
જેમ જેમ ક્ષેત્ર રેખાઓ ધાતુના ગોળાની નજીક આવે છે,તેમ તે ગોળાની સપાટીને લંબ (પરપેન્ડીક્યુલર) બનવા માટે વળે છે.
ગોળામાંથી પસાર થયા પછી,તે બીજી બાજુથી બહાર આવે છે,અને ફરીથી સપાટીને લંબ રહે છે.
વિકલ્પ $(c)$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર રેખાઓ ધાતુના ગોળાની સપાટીને લંબ રૂપે મળવા માટે વળે છે અને બીજી બાજુથી લંબ રૂપે બહાર આવે છે,જ્યારે ગોળાથી દૂર સમાન ક્ષેત્રની પેટર્ન જાળવી રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સૂત્ર $\phi = E A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,સપાટી વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ સપાટીને લંબ હોય છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \,cm \times 15 \,cm = 0.1 \,m \times 0.15 \,m = 0.015 \,m^2$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 25 \,V/m$.
ફ્લક્સ $\phi = E A \cos 60^{\circ} = 25 \times 0.015 \times 0.5 = 0.1875 \,Nm^2/C$.

(A) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{E} = 10 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
સપાટી $yz$-સમતલમાં આવેલી છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં (yz-સમતલને લંબ) હશે.
તેથી,$\vec{A} = 10 \hat{i}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (10 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (10 \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ થાય છે,તેથી $\phi = 10 \times 10 = 100 \text{ units}$ મળે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
અહીં વિદ્યુત બળ રેખાઓની સંખ્યા (વિદ્યુત ફ્લક્સ) $\phi = 1000$ આપેલ છે.
$\varepsilon_0$ નું મૂલ્ય $8.854 \times 10^{-12} \, C^2 N^{-1} m^{-2}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1000 = \frac{q}{8.854 \times 10^{-12}}$
$q = 1000 \times 8.854 \times 10^{-12}$
$q = 8.854 \times 10^{-9} \, C$.

(B) $(i)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી બહાર નીકળે છે અને ઋણ વિદ્યુતભારમાં દાખલ થાય છે. આપેલી આકૃતિમાં,ક્ષેત્ર રેખાઓ $q_1$ અને $q_2$ બંનેથી દૂર જઈ રહી છે,જે દર્શાવે છે કે બંને વિદ્યુતભારો ધન છે.
$(ii)$ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય તેમાંથી નીકળતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $q_2$ કરતા $q_1$ માંથી વધુ ક્ષેત્ર રેખાઓ નીકળે છે. તેથી,$q_1$ નું મૂલ્ય $q_2$ ના મૂલ્ય કરતા વધારે છે,એટલે કે $q_1 > q_2$.

(A) સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{E} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ અને $\vec{A} = \pi R^2 \hat{i}$.
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}) \cdot (\pi R^2 \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$\phi = a \cdot \pi R^2 = a \pi R^2$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા નળાકારની વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \pi r L$ છે.
આપેલ છે: $E = 250 \,NC^{-1}$,$r = 7 \,cm = 0.07 \,m$,અને $L = 1 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = 250 \times (2 \times \pi \times 0.07 \times 1)$
$\phi = 250 \times (0.14 \pi)$
$\phi = 35 \pi$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\phi \approx 35 \times 3.14159 \approx 109.95 \,Nm^2C^{-1}$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\phi \approx 1.1 \times 10^2 \,Nm^2C^{-1}$ મળે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે,એટલે કે $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારીત પદાર્થને ધાતુના પાત્રની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સમગ્ર પાત્રને ઘેરતી ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર તે પદાર્થના મૂળ વિદ્યુતભાર જેટલો જ રહે છે (સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણને કારણે,ધાતુના પાત્રની અંદરની અને બહારની સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો પ્રેરિત થાય છે,જેનાથી બહારની ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર મૂળ વિદ્યુતભાર $q$ જેટલો જ રહે છે).
જેથી ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રહેતો હોવાથી,પાત્રની બહારની ગાઉસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi$ જેટલું જ રહેશે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,$q = 1 \,C$ વિદ્યુતભાર ગોળા અને સમઘન બંનેની અંદર રહેલો છે.
બંને સપાટીઓ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર સમાન હોવાથી,બંને સપાટીઓમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન હશે.
તેથી,ગોળામાંથી બહાર આવતા ફ્લક્સ અને સમઘનમાંથી બહાર આવતા ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{sphere}}{\phi_{cube}} = \frac{q/\epsilon_0}{q/\epsilon_0} = 1$ થશે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $\phi_E$ એ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\phi_E = E \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ નો એકમ $N/C$ અથવા $V/m$ છે. બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે અને વિદ્યુતભારનું પારિમાણિક સૂત્ર $[IT]$ છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ નું પરિમાણ $E = \frac{[MLT^{-2}]}{[IT]} = [MLT^{-3} I^{-1}]$ થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નું પરિમાણ $[L^2]$ છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $\phi_E$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\phi_E = [MLT^{-3} I^{-1}] \times [L^2] = [ML^3 T^{-3} I^{-1}]$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા વિદ્યુતભારના સ્થાન પર આંતરાતા ઘનકોણ (solid angle) પર આધાર રાખે છે.
$b$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,જેના કેન્દ્રથી $d = h/4$ ઊંચાઈ પર $q$ વિદ્યુતભાર છે,ચોરસ દ્વારા આંતરાતો ઘનકોણ $\Omega = 4 \arcsin \left( \frac{b^2}{b^2 + 4d^2} \right)$ છે.
ફ્લક્સ $\phi = \frac{q \Omega}{4\pi \epsilon_0}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં ઘનકોણ $\Omega$ એ બાજુની લંબાઈ $b$ અને ઊંચાઈ $d$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે,તેથી ફ્લક્સ બાજુની લંબાઈ $b$ પર આધાર રાખે છે. આમ,$Assertion$ ખોટું છે.
ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $q_{enclosed} / \epsilon_0$ છે,જે ગૌસિયન સપાટીના આકાર કે કદથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,$Reason$ સાચું છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 4000 x^2 \hat{i} \text{ V/m}$ છે. સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ફક્ત $x$-અક્ષને લંબ સપાટીઓમાંથી જ મળે છે.
$x = 0$ આગળની સપાટી માટે,ફ્લક્સ $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A} = (4000(0)^2 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = 0$ થાય.
$x = 0.2 \text{ m}$ આગળની સપાટી માટે,ફ્લક્સ $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A} = (4000(0.2)^2 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = 4000 \times 0.04 \times (0.2 \times 0.2) = 160 \times 0.04 = 6.4 \text{ V m}$ થાય.
તેને $\text{V cm}$ માં ફેરવતા: $6.4 \text{ V m} = 6.4 \times 100 \text{ V cm} = 640 \text{ V cm}$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\oint_s \vec{E} \cdot \overrightarrow{d S} = 0$ એ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ દર્શાવે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ એ સપાટી વડે ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$.
અહીં કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોવાથી,સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ $(q_{\text{enclosed}} = 0)$.
આનો અર્થ એ છે કે સપાટીમાં પ્રવેશતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા સપાટીમાંથી બહાર નીકળતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા જેટલી જ છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું ફ્લક્સ શૂન્ય થાય છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $4 a$ છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$5 Q$ વિદ્યુતભાર $(3 a, 0)$ પર સ્થિત છે. ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર $3 a < 4 a$ હોવાથી,આ વિદ્યુતભાર ગોળાની અંદર છે.
$-2 Q$ વિદ્યુતભાર $(-5 a, 0)$ પર સ્થિત છે. ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર $5 a > 4 a$ હોવાથી,આ વિદ્યુતભાર ગોળાની બહાર છે.
તેથી,ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = 5 Q$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{5 Q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$\vec{E} = (6 \hat{i} + 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N/C$
$\vec{A} = 30 \hat{i} \ m^2$
સૂત્ર $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (6 \hat{i} + 5 \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (30 \hat{i})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$:
$\phi = 6 \times 30 = 180 \ N \cdot m^2/C$
આમ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $180 \ N \cdot m^2/C$ છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના સમઘન $C_1$ માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_1 = 2Q$ છે. તેથી,$C_1$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = \frac{2Q}{\epsilon_0}$ થાય.
મોટા સમઘન $C_2$ માટે,તેની અંદરનો કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_2 = 2Q + 3Q = 5Q$ થાય છે. તેથી,$C_2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = \frac{5Q}{\epsilon_0}$ થાય.
$C_1$ અને $C_2$ માંથી પસાર થતા વિદ્યુત ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{2Q/\epsilon_0}{5Q/\epsilon_0} = \frac{2}{5}$ મળે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનની એક સપાટી પર મૂકવામાં આવે ત્યારે ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ ઘનની ઉપર એક સમાન બીજો ઘન એવી રીતે મૂકીએ છીએ કે જેથી વિદ્યુતભાર $q$ હવે બે ઘન દ્વારા બનેલી બંધ ગાઉસિયન સપાટીના કેન્દ્રમાં આવી જાય.
આ સંયુક્ત ગાઉસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર બંને ઘનની વચ્ચે સમાન રીતે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,દરેક ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હશે.
તેથી,એક ઘન સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{2} \phi_{total} = \frac{q}{2 \epsilon_0}$ થશે.