Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = A \hat{n} = 4 \left( \frac{2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}} \right) \ m^2$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
$\phi = \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 8 \hat{k}}{\sqrt{6}} \right) \cdot \left( 4 \frac{2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}} \right)$
$\phi = \frac{4}{6} \times (2 \times 2 + 6 \times 1 + 8 \times 1)$
$\phi = \frac{4}{6} \times (4 + 6 + 8)$
$\phi = \frac{4}{6} \times 18$
$\phi = 4 \times 3 = 12 \ Vm$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{in}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
આકૃતિ પરથી,સપાટી $S$ દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+q, +5q$ અને $-2q$ છે.
વિદ્યુતભારો $+3q$ અને $-4q$ સપાટી $S$ ની બહાર છે,તેથી તેઓ સપાટીમાંથી પસાર થતા વિદ્યુત ફ્લક્સમાં ફાળો આપતા નથી.
તેથી,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{in}} = (+q) + (+5q) + (-2q) = 4q$ થાય.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{4q}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 2x\hat{i} \text{ NC}^{-1}$.
સમઘન $x = 2 \text{ m}$ અને $x = 4 \text{ m}$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવ્યો છે. સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a = 2 \text{ m}$ છે,તેથી દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (2)^2 = 4 \text{ m}^2$ થાય.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \int \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2 \text{ m}$ પરની ડાબી સપાટી માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_1 = -4\hat{i} \text{ m}^2$ અને $\overrightarrow{E}_1 = 2(2)\hat{i} = 4\hat{i} \text{ NC}^{-1}$ છે.
$\phi_{\text{in}} = \overrightarrow{E}_1 \cdot \overrightarrow{A}_1 = (4\hat{i}) \cdot (-4\hat{i}) = -16 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.
$x = 4 \text{ m}$ પરની જમણી સપાટી માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_2 = 4\hat{i} \text{ m}^2$ અને $\overrightarrow{E}_2 = 2(4)\hat{i} = 8\hat{i} \text{ NC}^{-1}$ છે.
$\phi_{\text{out}} = \overrightarrow{E}_2 \cdot \overrightarrow{A}_2 = (8\hat{i}) \cdot (4\hat{i}) = 32 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.
સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \phi_{\text{in}} + \phi_{\text{out}} = -16 + 32 = 16 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$ થાય.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ડિસ્ક: ડિસ્કની ત્રિજ્યા $a/4$ છે અને કેન્દ્ર $(-a/2, 0, 0)$ પર છે. ઘન $x = -a/2$ થી $x = a/2$ સુધી વિસ્તરેલો છે. ડિસ્ક $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,માત્ર $x > -a/2$ વાળો ભાગ જ ઘનની અંદર છે. ડિસ્ક $x = -3a/4$ થી $x = -a/4$ સુધી વિસ્તરેલી છે. ઘનની અંદરનો ભાગ $x = -a/2$ થી $x = -a/4$ છે. સંમિતિ મુજબ,ડિસ્કનો બરાબર અડધો ભાગ ઘનની અંદર છે. તેથી,$Q_{\text{disk, enclosed}} = 6 \text{ C} / 2 = 3 \text{ C}$.
$2$. સળિયો: સળિયો $x = a/4$ થી $x = 5a/4$ સુધી છે. ઘનની સીમા $x = a/2$ છે. ઘનની અંદર સળિયાનો ભાગ $x = a/4$ થી $x = a/2$ છે. ઘનની અંદર સળિયાની લંબાઈ $a/4$ છે. કુલ લંબાઈ $a$ હોવાથી,અંદર રહેલા વિદ્યુતભારનો અંશ $(a/4) / a = 1/4$ છે. તેથી,$Q_{\text{rod, enclosed}} = 8 \text{ C} \times (1/4) = 2 \text{ C}$.
$3$. બિંદુવત વિદ્યુતભારો: $-7 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર $(a/4, -a/4, 0)$ પર છે,જે ઘનની અંદર છે. $3 \text{ C}$ વિદ્યુતભાર $(-3a/4, 3a/4, 0)$ પર છે,જે ઘનની બહાર છે.
$4$. કુલ બંધ વિદ્યુતભાર: $Q_{\text{enclosed}} = 3 \text{ C} + 2 \text{ C} - 7 \text{ C} = -2 \text{ C}$.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{-2 \text{ C}}{\varepsilon_0}$ છે.

(D) વિદ્યુતભાર $+Q$ ના સ્થાન પર સપાટ વર્તુળાકાર પાયા દ્વારા આંતરાતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ભૂમિતિમાં,વિદ્યુતભાર અર્ધગોળાના ધ્રુવ પર છે,તેથી વિદ્યુતભાર પાસે પાયાની ત્રિજ્યા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
આમ,$\Omega = 2\pi(1 - \cos 45^{\circ}) = 2\pi(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
સપાટ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{flat} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \times \frac{\Omega}{4\pi} = \frac{Q}{2\varepsilon_0}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
વિદ્યુતભાર બંધ અર્ધગોળાની બહાર હોવાથી,સમગ્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે. તેથી,વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{curved} = -\Phi_{flat} = -\frac{Q}{2\varepsilon_0}(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતભારને ન સમાવતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભારથી અંતર સાથે બદલાય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે સપાટ પાયાના પરિઘ પરના તમામ બિંદુઓ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$ થી સમાન અંતર $R$ પર છે,જે પરિઘ પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ ને અચળ બનાવે છે.

(A) $1$. વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે વિદ્યુતભારના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $Q_1$ માંથી વધુ રેખાઓ નીકળે છે અને $Q_2$ પર ઓછી રેખાઓ સમાપ્ત થાય છે,જે સૂચવે છે કે $|Q_1| > |Q_2|$. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. કારણ કે વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે (રેખાઓ $Q_1$ માંથી નીકળે છે અને $Q_2$ પર સમાપ્ત થાય છે),તટસ્થ બિંદુ (જ્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય) તેમની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,તેમને જોડતી રેખા પર અને નાના મૂલ્ય ધરાવતા વિદ્યુતભારની નજીક હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $|Q_1| > |Q_2|$,તટસ્થ બિંદુ $Q_2$ ની નજીક હોવું જોઈએ. તેથી,$Q_2$ ની જમણી બાજુએ એક નિશ્ચિત અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$4$. આ બંનેને જોડતા,સાચો વિકલ્પ $(A, D)$ છે.

(C) છાયાંકિત વિસ્તાર $xz$-સમતલમાં એક ચોરસ છે જે $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલો છે. ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0)$,$(0,a,0)$,$(a,a,a)$,અને $(a,0,a)$ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ નું મૂલ્ય ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે,જે $a \times a \sqrt{2} = \sqrt{2} a^2$ છે. ક્ષેત્રફળ સદિશની દિશા સપાટીને લંબ હોય છે. સપાટી $y=z$ સમતલમાં હોવાથી,લંબ સદિશ $\hat{j} - \hat{k}$ ના પ્રમાણમાં છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે બે પાસપાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા ક્ષેત્રફળ સદિશ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ: $\vec{A} = \vec{AB} \times \vec{AD}$. ધારો કે $\vec{AB} = a\hat{j}$ અને $\vec{AD} = a\hat{i} + a\hat{k}$.
તેથી $\vec{A} = (a\hat{j}) \times (a\hat{i} + a\hat{k}) = a^2(\hat{j} \times \hat{i}) + a^2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a^2\hat{k} + a^2\hat{i} = a^2\hat{i} - a^2\hat{k}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{E} = E_0 \hat{i}$,તેથી:
$\phi = (E_0 \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i} - a^2 \hat{k})$
$\phi = E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{i}) - E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{k})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$\phi = E_0 a^2$.

(C) ઘન દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}} = -q + 3q - q = q$ છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમગ્ર બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભારો $y$-અક્ષ પર $(0, -a/4, 0)$,$(0, 0, 0)$ અને $(0, a/4, 0)$ પર આવેલા છે.
વિદ્યુતભારનું વિતરણ $yz$-સમતલ $(x=0)$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,$x = +a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ $x = -a/2$ સમતલમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ હશે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વિદ્યુતભારનું વિતરણ $xz$-સમતલ $(y=0)$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત નથી. વિદ્યુતભારો $y = -a/4, 0, a/4$ પર આવેલા છે. $y = +a/2$ સમતલ એ $y = +a/4$ પરના વિદ્યુતભારની નજીક છે,જ્યારે $y = -a/2$ સમતલ $y = -a/4$ પરના વિદ્યુતભારથી દૂર છે. જોકે,ફ્લક્સની ગણતરી કરતા,વિદ્યુતભારોની ચોક્કસ ગોઠવણીને કારણે $y = +a/2$ અને $y = -a/2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન મળે છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$xy$-સમતલ $(z=0)$ ની સાપેક્ષમાં વિદ્યુતભારના વિતરણની સંમિતિને કારણે,$z = +a/2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $z = -a/2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ છે. આની સરખામણી $x = +a/2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ સાથે કરતા,તે સમાન જણાય છે. તેથી,$(D)$ સાચો છે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાકાર કવચની અંદર રહેલા તારના ભાગ $PQ$ ની લંબાઈ $L = 2R \sin(120^{\circ}/2) = 2R \sin(60^{\circ}) = 2R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$ છે.
કવચ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}} = \lambda L = \lambda R \sqrt{3}$ છે.
તેથી,કવચમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{\lambda R \sqrt{3}}{\epsilon_0}$ છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(C)$ ખોટું છે.
તાર $z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ $xy$-સમતલમાં તારથી ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ હોય છે. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનો $z$-અક્ષની દિશામાં કોઈ ઘટક હોતો નથી. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્યારે જ કવચની સપાટીને લંબ હોય જો વિદ્યુતભારનું વિતરણ ગોળીય રીતે સંમિત હોય,જે અહીં નથી. આમ,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(A-D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ છે.
$(1)$ જો $h > 2R$ અને $r > R$ હોય,તો આખું કવચ નળાકારની અંદર આવી જાય છે. તેથી,$q_{enclosed} = Q$ અને $\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$. આ સાચું છે.
$(2)$ જો $h < \frac{8R}{5}$ અને $r = \frac{3R}{5}$ હોય,તો નળાકાર સંપૂર્ણપણે કવચની અંદર છે. વિદ્યુતભારીત કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,નળાકારમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = 0$ થાય. આ સાચું છે.
$(3)$ જો $h > 2R$ અને $r = \frac{4R}{5}$ હોય,તો નળાકાર કવચને છેદે છે. ફ્લક્સ એ નળાકાર દ્વારા કપાતા ગોળાકાર ભાગો (caps) પરના વિદ્યુતભારને કારણે છે. કેપ દ્વારા બનતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$ છે,જ્યાં $\sin\theta = \frac{r}{R} = \frac{4}{5}$,તેથી $\cos\theta = \frac{3}{5}$. એક કેપમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \times \Omega = \frac{Q}{2\epsilon_0}(1 - \cos\theta)$ છે. બે કેપ માટે,$\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}(1 - \frac{3}{5}) = \frac{2Q}{5\epsilon_0}$. આ સાચું છે.
$(4)$ જો $h > 2R$ અને $r = \frac{3R}{5}$ હોય,તો $\sin\theta = \frac{3}{5}$,તેથી $\cos\theta = \frac{4}{5}$. ફ્લક્સ $\Phi = \frac{Q}{\epsilon_0}(1 - \frac{4}{5}) = \frac{Q}{5\epsilon_0}$ થાય. આ સાચું છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડિસ્ક પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = \int_0^R \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = \int_0^R \sigma_0 \left(1 - \frac{r}{R}\right) 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma_0 \int_0^R \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = 2\pi \sigma_0 \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R} \right]_0^R = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{3} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{6} \right) = \frac{\pi \sigma_0 R^2}{3}$.
તેથી,$\phi_0 = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{\pi \sigma_0 R^2}{3\varepsilon_0}$.
$r' = \frac{R}{4}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંકેન્દ્રિત ગોળીય સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$:
$q = \int_0^{R/4} \sigma(r) \cdot 2\pi r \, dr = 2\pi \sigma_0 \int_0^{R/4} \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = 2\pi \sigma_0 \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R} \right]_0^{R/4} = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{32} - \frac{R^3}{3R \cdot 64} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{R^2}{32} - \frac{R^2}{192} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{6R^2 - R^2}{192} \right) = 2\pi \sigma_0 \left( \frac{5R^2}{192} \right) = \frac{5\pi \sigma_0 R^2}{96}$.
તેથી,$\phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5\pi \sigma_0 R^2}{96\varepsilon_0}$.
ગુણોત્તર $\frac{\phi_0}{\phi}$:
$\frac{\phi_0}{\phi} = \frac{\pi \sigma_0 R^2 / 3\varepsilon_0}{5\pi \sigma_0 R^2 / 96\varepsilon_0} = \frac{1}{3} \cdot \frac{96}{5} = \frac{32}{5} = 6.40$.

(C) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા રેખીય વિદ્યુતભાર પર આંતરેલા ઘનકોણ સાથે સંબંધિત છે. વૈકલ્પિક રીતે,આપણે સંમિતિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. લંબચોરસ સપાટીની પહોળાઈ $a$ અને લંબાઈ $L$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારથી લંબચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર પર પહોળાઈ $a$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\tan(\theta/2) = \frac{a/2}{d} = \frac{a/2}{(\sqrt{3}/2)a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta/2 = 30^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
રેખીય વિદ્યુતભારની આસપાસનો કુલ ખૂણો $360^{\circ}$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવા માટે જરૂરી આવી સમાન લંબચોરસ સપાટીઓની સંખ્યા $n = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ ને આવરી લેતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારની $L$ લંબાઈ માટે,આવરી લેવાયેલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda L$ છે.
ફ્લક્સ $6$ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોવાથી,એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{\lambda L}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
આપેલ પદ $\frac{\lambda L}{n \varepsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
આ બંધ સપાટી બે ભાગોની બનેલી છે: અર્ધગોલક અને શંકુની સપાટી.
તેથી,$\phi_{\text{hemisphere}} + \phi_{\text{cone}} = \frac{q}{\epsilon_0}$.
વિદ્યુતભાર $q$ ને વર્તુળાકાર પાયાના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,જે અર્ધગોલક અને શંકુ વચ્ચેની સામાન્ય સીમા છે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાન રીતે વહેંચાયેલી છે.
અર્ધગોલક $2\pi$ સ્ટેરેડિયનનો ઘનકોણ આવરી લે છે,અને શંકુ પણ $2\pi$ સ્ટેરેડિયનનો ઘનકોણ આવરી લે છે (કારણ કે બિંદુની આસપાસનો કુલ ઘનકોણ $4\pi$ સ્ટેરેડિયન છે).
આમ,ફ્લક્સ બંને સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે:
$\phi_{\text{hemisphere}} = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\epsilon_0} \right) = \frac{q}{2\epsilon_0}$
$\phi_{\text{cone}} = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\epsilon_0} \right) = \frac{q}{2\epsilon_0}$
આપણને આપેલ છે કે શંકુની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{nq}{6\epsilon_0}$ છે.
શંકુમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{nq}{6\epsilon_0} = \frac{q}{2\epsilon_0}$
$\frac{n}{6} = \frac{1}{2}$
$n = 3$.

(C) અર્ધ-ખૂણો $\theta$ ધરાવતા શંકુ દ્વારા આંતરવામાં આવતો ઘનકોણ $\Omega = 2\pi(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળાકારની સમતલ સપાટીઓ માટે આવા બે શંકુ (ઉપર અને નીચે) હોવાથી, બે સમતલ સપાટીઓ દ્વારા આંતરવામાં આવતો કુલ ઘનકોણ $\Omega_{total} = 2 \times 2\pi(1 - \cos \theta) = 4\pi(1 - \cos \theta)$ છે.
વક્ર સપાટી દ્વારા આંતરવામાં આવતો ઘનકોણ એ કુલ ઘનકોણ $4\pi$ માંથી સમતલ સપાટીઓનો ઘનકોણ બાદ કરવાથી મળે છે:
$\Omega_{curved} = 4\pi - 4\pi(1 - \cos \theta) = 4\pi \cos \theta$.
કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q \Omega}{4\pi \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi(\theta) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} (4\pi \cos \theta) = \frac{q}{\epsilon_0} \cos \theta$ છે.
$\theta = 30^{\circ}$ માટે, $\Phi = \frac{q}{\epsilon_0} \cos 30^{\circ}$.
$\theta = 60^{\circ}$ માટે, $\Phi' = \frac{q}{\epsilon_0} \cos 60^{\circ}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Phi}{\Phi'} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
તેથી, $\Phi' = \frac{\Phi}{\sqrt{3}}$.
આને $\Phi / \sqrt{n}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 3$ મળે છે.

(A) રેખીય વીજભારની કુલ લંબાઈ $L = \frac{a}{2}$ છે.
રેખીય વીજભારનો કુલ વીજભાર $q = \lambda L = \lambda \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{\lambda a}{2}$ થાય.
આ રેખીય વીજભાર સમઘનની એક ધારના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે. એક ધાર એ સમપ્રમાણ ગોઠવણીમાં $4$ સમાન સમઘન દ્વારા વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી, આપેલ સમઘન દ્વારા ઘેરાયેલો વીજભાર એ કુલ વીજભારનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે.
આમ, સમઘન દ્વારા ઘેરાયેલો વીજભાર $q_{in} = \frac{q}{4} = \frac{\lambda a / 2}{4} = \frac{\lambda a}{8}$ થાય.
ગોસના નિયમ મુજબ, સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ છે.
$q_{in}$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $\phi = \frac{\lambda a}{8 \varepsilon_0}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતભાર $q$ ને $a$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
સંમિતિ દ્વારા,આપણે વિદ્યુતભાર $q$ ને $a$ બાજુવાળા સમઘનમાં એવી રીતે બંધ કરી શકીએ કે જેથી ચોરસ લૂપ સમઘનની એક બાજુ બનાવે.
સમગ્ર સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,ચોરસ લૂપ (જે એક બાજુ છે) માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{square} = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
ચોરસ લૂપને કેન્દ્રમાંથી ખૂણાઓ અને બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સુધી રેખાઓ દોરીને $8$ સમાન ત્રિકોણાકાર ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સંમિતિને કારણે,આ $8$ સમાન ત્રિકોણાકાર ભાગોમાંથી દરેકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન છે.
તેથી,દરેક ત્રિકોણાકાર ભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{triangle} = \frac{1}{8} \Phi_{square} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ આવા $5$ સમાન ત્રિકોણાકાર ભાગોનો બનેલો છે.
આમ,છાયાંકિત ભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{shaded} = 5 \times \Phi_{triangle} = 5 \times \frac{1}{48} \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{5}{48} \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
$q = 1 \ C$ આપેલ હોવાથી,ફ્લક્સ $\frac{5}{48} \frac{1}{\varepsilon_0}$ છે.
આને $\frac{5}{p} \times \frac{1}{\varepsilon_0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 48$ મળે છે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ બંધ સપાટીની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે:
$\phi = -2 \times 10^4 \ Nm^2 C^{-1}$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$
$q$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$q = \phi \times \epsilon_0$
$q = (-2 \times 10^4) \times (8.85 \times 10^{-12})$
$q = -17.7 \times 10^{-8} \ C$
આમ,બિંદુવત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $-17.7 \times 10^{-8} \ C$ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \times 10^3 \ N/C$ છે.
સપાટી $x-z$ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x-z$ સમતલને લંબ હશે,જેનો અર્થ છે કે તે $y$-અક્ષની દિશામાં છે. તેથી,$\vec{A} = A \hat{j}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \times 10^3 \cdot (A \hat{j}) = 4 \times 10^3 \times A$.
આપેલ છે કે $\phi = 6.0 \ N m^2 C^{-1}$,તેથી $6.0 = 4 \times 10^3 \times A$.
$A$ માટે ઉકેલતા: $A = \frac{6.0}{4 \times 10^3} = 1.5 \times 10^{-3} \ m^2$.
$cm^2$ માં રૂપાંતર કરતા: $A = 1.5 \times 10^{-3} \times (10^2 \ cm)^2 = 1.5 \times 10^{-3} \times 10^4 \ cm^2 = 15 \ cm^2$.

(D) ગાઉસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર ઘનના બે મહત્તમ અંતરે આવેલા ખૂણાઓમાંથી પસાર થાય છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઘનના મુખ્ય વિકર્ણ (body diagonal) પરથી પસાર થાય છે.
$a$ બાજુવાળા ઘનના મુખ્ય વિકર્ણની લંબાઈ $L = \sqrt{3}a$ છે.
અહીં $a = \sqrt{3} \ cm = \sqrt{3} \times 10^{-2} \ m$ આપેલ છે, તેથી ઘનની અંદર તારની લંબાઈ $L = \sqrt{3} \times (\sqrt{3} \times 10^{-2} \ m) = 3 \times 10^{-2} \ m$ થશે.
ઘન દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \lambda \cdot L = (2 \times 10^{-9} \ C/m) \times (3 \times 10^{-2} \ m) = 6 \times 10^{-11} \ C$ છે.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{\varepsilon_0} = 36 \pi \times 10^9$ મળે છે.
તેથી, ફ્લક્સ $\phi = q_{enc} \cdot \frac{1}{\varepsilon_0} = (6 \times 10^{-11}) \times (36 \pi \times 10^9) = 216 \pi \times 10^{-2} = 2.16 \pi \ Nm^2 C^{-1}$.
આમ, $x = 2.16 \pi$.

(D) આકૃતિ મુજબ,તાર નળાકારના ઉપરના વર્તુળાકાર ફલકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થઈને નીચેના વર્તુળાકાર ફલકની પરિઘ પરના બિંદુ સુધી જાય છે. નળાકારની અંદરના તારના ભાગની લંબાઈ $(L)$ એ $h = 4 \ m$ ઊંચાઈ અને $r = 3 \ m$ પાયા ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બનાવે છે.
$L = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m$.
નળાકાર દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = \lambda L = (8.85 \times 10^{-6} \ C/m) \times (5 \ m) = 44.25 \times 10^{-6} \ C$ છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/(N-m^2)$ છે.
$\phi = \frac{44.25 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} = 5 \times 10^6 \ V-m$.

(B) જ્યારે એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર '$Q$' ને પોલા વાહક ગોળાની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નીચેના સિદ્ધાંતો લાગુ પડે છે:
$1$. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભાર '$Q$' માંથી ઉદ્ભવવી જોઈએ અને વાહક ગોળાની અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થવી જોઈએ.
$3$. સ્થિત વિદ્યુત પ્રેરણને કારણે,અંદરની સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર '$-Q$' પ્રેરિત થાય છે,અને બહારની સપાટી પર '$+Q$' વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
$4$. ગોળાની બહારની વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની સપાટી પરથી ઉદ્ભવે છે અને સપાટીને લંબરૂપે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ વિસ્તરે છે.
આ શરતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે ભાતમાં રેખાઓ અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થાય છે અને બહારની સપાટી પરથી લંબરૂપે ઉદ્ભવે છે,અને વાહકના દ્રવ્યની અંદર કોઈ રેખાઓ નથી,તે સાચી રજૂઆત છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ હોય છે.
નળાકાર પાત્રમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શોધવા માટે,આપણે કલ્પના કરી શકીએ કે પ્રથમ નળાકારની બાજુમાં એક સમાન નળાકાર મૂકવામાં આવ્યો છે જેથી વિદ્યુતભાર $q$ હવે બે પાત્રો દ્વારા બનેલી મોટી બંધ નળાકાર સપાટીની અંદર આવી જાય.
આ સંયુક્ત બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ સામાન્ય ખુલ્લા છેડાના કેન્દ્ર પર સમાન રીતે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,ફ્લક્સ બંને સમાન નળાકારો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,એક નળાકાર પાત્રની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = \frac{\Phi_{total}}{2} = \frac{q}{2 \varepsilon_0}$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,નળાકારની બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
આ કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}$.
નળાકારની સંમિતિ અને વિદ્યુતભારના કેન્દ્રીય સ્થાનને કારણે,બંને સમતલ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\phi_A = \phi_C$.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi$ છે,તેથી: $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
$\phi_A$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત નળાકારો વચ્ચેના વિસ્તાર $(\sqrt{2}R < r < 2R)$ માં જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. $r < \sqrt{2}R$ માટે,ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. $r > 2R$ માટે,ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે બહારનો નળાકાર ગ્રાઉન્ડ કરેલ છે.
$r$ ત્રિજ્યા $(\sqrt{2}R < r < 2R)$ ધરાવતા નળાકાર માટે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \kappa \epsilon_0 r}$ મળે છે,જ્યાં $\lambda = Q/\ell$.
સમતલ પરના ક્ષેત્રફળના ઘટક $dS = \ell dy$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $d\phi = \vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cos \theta \ell dy$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$r = R \sec \theta$ અને $y = R \tan \theta$,તેથી $dy = R \sec^2 \theta d\theta$. વળી $\cos \theta = R/r$.
આ કિંમતો મૂકતા,$d\phi = \frac{\lambda}{2 \pi \kappa \epsilon_0 r} \cdot \frac{R}{r} \cdot \ell \cdot R \sec^2 \theta d\theta = \frac{\lambda \ell}{2 \pi \kappa \epsilon_0} d\theta$.
ક્ષેત્ર ફક્ત $AB$ અને $CD$ વિભાગો માટે જ શૂન્ય નથી જ્યાં $\sqrt{2}R < r < 2R$.
$r = \sqrt{2}R$ માટે,$\cos \theta = R/(\sqrt{2}R) = 1/\sqrt{2} \Rightarrow \theta = 45^\circ = \pi/4$.
$r = 2R$ માટે,$\cos \theta = R/(2R) = 1/2 \Rightarrow \theta = 60^\circ = \pi/3$.
એક વિભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{AB} = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\lambda \ell}{2 \pi \kappa \epsilon_0} d\theta = \frac{Q}{2 \pi \kappa \epsilon_0} (\pi/3 - \pi/4) = \frac{Q}{2 \pi \kappa \epsilon_0} (\pi/12) = \frac{Q}{24 \kappa \epsilon_0}$.
$\kappa = 5$ આપેલ હોવાથી,$\phi_{AB} = \frac{Q}{24 \times 5 \epsilon_0} = \frac{Q}{120 \epsilon_0}$.
સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_{AB} + \phi_{CD} = 2 \times \frac{Q}{120 \epsilon_0} = \frac{Q}{60 \epsilon_0}$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એ કોઈ વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રને દર્શાવવા માટે વપરાતી કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
$1$. તે ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$2$. તે ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તે છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$3$. ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.
$4$. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની અંદરથી પસાર થતી નથી કારણ કે વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,તે વાહકમાંથી પસાર થાય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) વિદ્યુત બળરેખાઓના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિદ્યુત બળરેખાઓ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને દર્શાવવા માટેની કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
$2$. તે ધન વીજભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વીજભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$3$. બળરેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
$4$. બે વિદ્યુત બળરેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતી નથી કારણ કે જો તે છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$5$. વિદ્યુત બળરેખાઓની ઘનતા વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના મૂલ્યના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,જ્યાં રેખાઓ ગીચ હોય ત્યાં ક્ષેત્ર પ્રબળ હોય છે અને જ્યાં તે છૂટીછવાઈ હોય ત્યાં ક્ષેત્ર નિર્બળ હોય છે.
$6$. સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર કોઈ વિદ્યુત બળરેખાઓ હોતી નથી.
આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને દર્શાવતી કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
$1$. તેઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે છેદબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે અશક્ય છે.
$2$. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં તેઓ વાહકની અંદરથી પસાર થતી નથી કારણ કે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$3$. તેઓ ધન વીજભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વીજભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$4$. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અવાહક (ડાયઇલેક્ટ્રિક) માંથી પસાર થઈ શકે છે,કારણ કે અવાહકોમાં ક્ષેત્રને નાબૂદ કરવા માટે મુક્ત વીજભારો હોતા નથી.
તેથી,તે અવાહકમાંથી પસાર થતી નથી તે વિધાન ખોટું છે.

(D) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 20 \ \mu C \ m^{-2} = 20 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$ છે.
ગોળાનો વ્યાસ $d = 3.5 \ cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.75 \ cm = 1.75 \times 10^{-2} \ m$ થાય.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2 = 4 \times 3.14 \times (1.75 \times 10^{-2})^2 \ m^2$.
$A = 12.56 \times 3.0625 \times 10^{-4} \approx 3.848 \times 10^{-3} \ m^2$ મળે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = \sigma \times A = (20 \times 10^{-6}) \times (3.848 \times 10^{-3}) \approx 7.696 \times 10^{-8} \ C$ થાય.
ગૌસના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = q / \epsilon_0$ છે.
$\phi = (7.696 \times 10^{-8}) / (8.85 \times 10^{-12}) \approx 0.8696 \times 10^4 \approx 8.7 \times 10^3 \ N \cdot m^2 / C$ મળે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
પોલા નળાકાર માટે,કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે.
ધારો કે સપાટી $A$,$C$ અને $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અનુક્રમે $\phi_A$,$\phi_C$ અને $\phi_B$ છે.
તેથી,$\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\epsilon_0}$.
આપેલ છે કે $\phi_B = \phi$,તેથી $\phi_A + \phi_C + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
નળાકારની સંમિતિને કારણે,બે સમતલ છેડાઓ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ,તેથી $\phi_A = \phi_C$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
$\phi_A$ માટે ઉકેલતા: $2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે, કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $B$) અને વક્ર સપાટી $(C)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C$.
અહીં $\phi_C = \phi$ આપેલ છે અને સંમિતિને કારણે, બંને સમતલ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન છે, એટલે કે $\phi_A = \phi_B$.
આ કિંમતોને ગોસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{q}{\epsilon_0} = \phi_A + \phi_A + \phi$.
$\frac{q}{\epsilon_0} - \phi = 2\phi_A$.
તેથી, સમતલ સપાટી $A$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$ થશે.

(A) ગાઉસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q_1 = 2 \mu C, q_2 = -3 \mu C, q_3 = 4 \mu C, q_4 = -4 \mu C$ અને $q_5 = -1 \mu C$ છે.
કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{net} = q_1 + q_2 + q_3 + q_4 + q_5$.
$q_{net} = (2 - 3 + 4 - 4 - 1) \mu C = -2 \mu C$.
તેથી,કુલ બહાર આવતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{-2 \mu C}{\epsilon_0} = -\frac{2}{\epsilon_0} \mu V-m$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં હોવાથી,સંમિતિને કારણે ફ્લક્સ સમઘનની તમામ $6$ બાજુઓ પર સમાન રીતે વહેંચાયેલું હશે.
તેથી,એક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{1}{6} \phi_{total} = \frac{Q}{6 \epsilon_0}$ થાય.
પ્રશ્નમાં બે સામસામેની બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ પૂછવામાં આવ્યું છે.
આમ,બે સામસામેની બાજુઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $2 \times \phi_{face} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_0} = \frac{Q}{3 \epsilon_0}$ થશે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ પ્રશ્નમાં,વિદ્યુતભાર $q$ ફુગ્ગાની સપાટી પર વિતરિત થયેલ છે. જેમ જેમ ફુગ્ગો ફુલાવવામાં આવે છે,તેમ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
કારણ કે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ બદલાતો નથી,તેથી કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
આપેલ ચારેય આકૃતિઓ $(a)$,$(b)$,$(c)$,અને $(d)$ માં,સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર સમાન છે,જે $+q$ છે.
દરેક સપાટી માટે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર સમાન હોવાથી અને $\epsilon_0$ અચળ હોવાથી,દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ સમાન જ રહેશે.
તેથી,બધી આકૃતિઓ માટે વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન છે.

(D) ગાઉસના નિયમ મુજબ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
અહીં વિદ્યુતભાર સપાટી પર સમાન રીતે વહેંચાયેલ હોવાથી,$q = \sigma \times A$,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 14 \ cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm = 7 \times 10^{-2} \ m$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = 40 \ \mu C/m^2 = 40 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{4 \pi r^2 \sigma}{\varepsilon_0}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times (7 \times 10^{-2})^2 \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times 49 \times 10^{-4} \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{2461.76 \times 10^{-10}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi \approx 278.16 \times 10^2 = 2.78 \times 10^4 \ V \cdot m$ (અથવા આશરે $280 \ kV \cdot m$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{net}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$
અહીં,સપાટીમાં દાખલ થતું ફ્લક્સ $\phi_1$ (જે ઋણ છે) અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $\phi_2$ (જે ધન છે) છે.
તેથી,કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ થશે.
આ કિંમત ગૌસના નિયમમાં મૂકતા:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$q = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે ફુગ્ગાને ફૂલાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ વધે છે,પરંતુ ફુગ્ગાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર બદલાતો ન હોવાથી,સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ લંબ વિદ્યુત પ્રેરણ ($T$.$N$.$E$.$I$.) તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારોના બેઝિક સરવાળા જેટલું હોય છે.
$\text{T.N.E.I.} = \sum q_{\text{enclosed}}$
સપાટી $A$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+2q$ અને $-q$ છે.
સપાટી $A$ માટે $\text{T.N.E.I.} = (+2q) + (-q) = +q$
સપાટી $B$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+3q$ અને $-q$ છે.
સપાટી $B$ માટે $\text{T.N.E.I.} = (+3q) + (-q) = +2q$
તેથી,સપાટી $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતું $T$.$N$.$E$.$I$. અનુક્રમે $+q$ અને $+2q$ છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{net}$ એ સપાટીમાં રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q_{in}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\Phi_{net} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
અહીં, સપાટીમાં પ્રવેશતું ફ્લક્સ $\phi_1$ (ઋણ લેવામાં આવે છે) અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $\phi_2$ (ધન લેવામાં આવે છે) છે.
તેથી, કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ થશે.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
$q_{in} = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$.
આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ પણ અચળ છે,તેથી વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ માત્ર ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર પર જ આધાર રાખે છે.
તેથી,ગોળાની ત્રિજ્યા બદલવાથી તેમાંથી પસાર થતા કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું ફ્લક્સ $\phi$ જ રહેશે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા નળાકાર માટે,કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
નળાકારની સમપ્રમાણતાને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\phi_A = \phi_C$.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{T} = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ સપાટીની અંદર રહેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ પોલા નળાકાર માટે,કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે.
ધારો કે $\phi_A$,$\phi_B$,અને $\phi_C$ એ અનુક્રમે સપાટી $A$,$B$,અને $C$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ છે.
આપેલ છે કે $\phi_B = \phi$. નળાકારની સંમિતિને કારણે,બંને સમતલ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $\phi_A = \phi_C$.
તેથી,$\phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ મળે છે.
$\phi_A$ માટે ઉકેલતા,$2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$,જેનો અર્થ છે કે $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,બંધ સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારો $2.35 \ C$,$5 \ C$,$2 \ C$ અને $-0.5 \ C$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = (2.35 + 5 + 2 - 0.5) \ C = 8.85 \ C$.
આપેલ છે કે $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\phi = \frac{8.85 \ C}{8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}} = 10^{12} \ N m^2 C^{-1}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,$Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર ઘનના કેન્દ્રમાં હોવાથી,સંમિતિને કારણે ફ્લક્સ તેની $6$ સપાટીઓ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{one} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
બે સામસામેની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ આ બંને સપાટીઓના ફ્લક્સનો સરવાળો છે,જે $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \varepsilon_0} = \frac{Q}{3 \varepsilon_0}$ થાય.

(C) ગાઉસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતો વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$
અહીં,$Q_{\text{enclosed}}$ એ ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુત ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.
તે ગાઉસિયન સપાટીના આકાર કે કદ (ત્રિજ્યા $R$) પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો ગાઉસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહે છે,અને પરિણામે,બહારની તરફનો વિદ્યુત ફ્લક્સ તેટલો જ રહેશે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
જેમ કે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટીની ત્રિજ્યાને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રહે છે,તેથી ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = q$ અચળ રહે છે.
તેથી,જ્યારે સપાટીની ત્રિજ્યા વધારવામાં આવે ત્યારે વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{\text{enclosed}}$ એ ગોળાકાર ફુગ્ગા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે ફુગ્ગો ફૂલે છે,ત્યારે તેની ત્રિજ્યા વધે છે,પરંતુ તેની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
જેથી ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ બદલાતો નથી,તેથી સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enc}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે,ગૌસિયન સપાટીના કદ કે આકાર પર નહીં. તેથી,ગોલીય ગૌસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા વધારવાથી ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારના જથ્થામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ અપરિવર્તિત રહે છે.