Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
$a$ બાજુવાળી ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શોધવા માટે,આપણે આ ચોરસને $a$ બાજુવાળા સમઘનની એક બાજુ તરીકે કલ્પી શકીએ છીએ.
ચાર્જ $Q$ ચોરસના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,તે આ કાલ્પનિક સમઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં છે.
સંમિતિ દ્વારા,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ સમઘનની $6$ બાજુઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે.
તેથી,આપેલી ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ કુલ ફ્લક્સના $1/6$ ભાગનું હશે.
ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ = $\frac{Q}{6\varepsilon_0}$.

(C) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સપાટી $S_1$ માટે: ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $2q$ છે. તેથી,$\phi_1 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $S_2$ માટે: ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q, q, q, -q$ છે. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q + q + q - q = 2q$ છે. તેથી,$\phi_2 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $S_3$ માટે: ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q, q$ છે. વિદ્યુતભાર $5q$ સપાટીની બહાર છે,તેથી તે ફ્લક્સમાં ફાળો આપતું નથી. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q + q = 2q$ છે. તેથી,$\phi_3 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $S_4$ માટે: ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $8q, -2q, -4q$ છે. વિદ્યુતભાર $3q$ સપાટીની બહાર છે. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $8q - 2q - 4q = 2q$ છે. તેથી,$\phi_4 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\phi_1 = \phi_2 = \phi_3 = \phi_4 = \frac{2q}{\varepsilon_0}$.
આમ,બધી સપાટીઓ માટે કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન છે.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રક્ષેપણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$.
જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે શંકુમાં દાખલ થતું ફ્લક્સ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ સમતલ પર શંકુના પ્રક્ષેપણમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ સમતલ પર શંકુનું પ્રક્ષેપણ $2R$ પાયો અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આ ત્રિકોણાકાર પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2R) \times h = Rh$ છે.
આમ,શંકુમાં દાખલ થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = E \times A = E \times (Rh) = EhR$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 \hat{i} + 2E_0 \hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 100 \, N/C$,તેથી $\overrightarrow{E} = 100 \hat{i} + 200 \hat{j} \, N/C$.
વર્તુળાકાર સપાટી $Y-Z$ સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં હશે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.02)^2 = 3.14159 \times 0.0004 \approx 1.256 \times 10^{-3} \, m^2$.
તેથી,$\overrightarrow{A} = 1.256 \times 10^{-3} \hat{i} \, m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = (100 \hat{i} + 200 \hat{j}) \cdot (1.256 \times 10^{-3} \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી $\phi = 100 \times 1.256 \times 10^{-3} = 0.1256 \, Nm^2/C$.
આમ,ફ્લક્સ આશરે $0.125 \, Nm^2/C$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ, અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તેવી બંધ સપાટી માટે કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.
$\phi_{\text{net}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{base}} = 0$
તેથી, $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$.
સપાટ પાયામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{base}} = \vec{E} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{A}$ એ પાયાનો ક્ષેત્રફળ સદિશ છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ શિરોલંબ નીચેની તરફ (પાયાને લંબ) હોય છે, જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ છે.
$\phi_{\text{base}} = E A \cos(135^{\circ}) = E (\pi a^2) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$, તેથી $\phi_{\text{curved}} = \frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$.

(C) ધન વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતી વિદ્યુત બળરેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોય છે અને તે ગોલીય સંમિત હોય છે. ત્રણેય વિદ્યુતભારો ધન અને સમાન મૂલ્યના હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે. પરિણામે,વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ દરેક વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને એકબીજાથી દૂર જાય છે. વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં કોઈ વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ પ્રવેશી શકતી નથી કારણ કે ત્રણેય વિદ્યુતભારોના ક્ષેત્રો એકબીજાને અપાકર્ષે છે,જેનાથી ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર એક તટસ્થ બિંદુ રચાય છે. પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓની ભાત આપેલ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની હોય છે.

(B) ડાયપોલનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે,તેથી આંતરિક સપાટી પર પ્રેરિત થતો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ થાય છે. કવચ વાહક હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બાહ્ય સપાટી પર રહે છે.
ડાયપોલ કેન્દ્રમાં હોવાથી,તે પોલાણની અંદર અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આના કારણે કવચની આંતરિક સપાટી પર અસમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ થાય છે.
જોકે,કવચની બહારના કોઈપણ બિંદુ $(r > b)$ માટે,આંતરિક સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારો અને ડાયપોલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત અને સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકના ગુણધર્મોને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,કવચની બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર બાહ્ય સપાટી પર સમાન રીતે વિતરિત થયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે હોય છે,જે કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ના વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ ને સમાન છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = \frac{3}{5}E_0\hat i + \frac{4}{5}E_0\hat j$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 2 \times 10^3 \, N/C$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = \frac{3}{5}(2 \times 10^3)\hat i + \frac{4}{5}(2 \times 10^3)\hat j = 1200\hat i + 1600\hat j \, N/C$ થાય.
સપાટી $y-z$ સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે: $\vec A = 0.2\hat i \, m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ ડોટ ગુણાકાર $\phi = \vec E \cdot \vec A$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = (1200\hat i + 1600\hat j) \cdot (0.2\hat i) = 1200 \times 0.2 = 240 \, N \cdot m^2/C$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$.
આ પ્રશ્નમાં,$2R$ ત્રિજ્યાનો કાલ્પનિક ગોળો એ $R$ ત્રિજ્યાના ગોળાને ઘેરે છે,જેનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
તેથી,કાલ્પનિક ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = Q$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = 8\hat i + 4\hat j + 3\hat k$ છે.
સપાટી $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ એ $x-y$ સમતલને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે $z$-અક્ષની દિશામાં છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A = 100\hat k$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો ડોટ ગુણાકાર છે: $\Phi = \vec E \cdot \vec A$.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi = (8\hat i + 4\hat j + 3\hat k) \cdot (100\hat k)$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\Phi = (8 \times 0) + (4 \times 0) + (3 \times 100) = 300 \text{ units}$.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\epsilon_0}$ ગણું હોય છે.
જ્યારે $+Q$ વિદ્યુતભારને ઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણ રીતે બંધ કરવા માટે $8$ સમાન ઘનની જરૂર પડે છે.
તેથી,એક ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ કુલ ફ્લક્સ $\frac{Q}{\epsilon_0}$ નો $\frac{1}{8}$ ભાગ હશે.
આમ,ઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{Q}{8\epsilon_0}$ થાય.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\varepsilon_0}$ ગણું હોય છે.
જ્યારે $Q$ વિદ્યુતભારને ઘનના ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $8$ સમાન ઘનો દ્વારા ઘેરાયેલી એક મોટી સંમિત બંધ સપાટી (ગોસિયન સપાટી) બનાવે છે.
તેથી,સમગ્ર ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ થાય.
આ વિદ્યુતભાર $8$ ઘનોમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોવાથી,એક ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ કુલ ફ્લક્સના $\frac{1}{8}$ ભાગનું હોય છે.
આમ,ઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
નોંધો કે વિદ્યુત ફ્લક્સ એ બંધ સપાટીના પરિમાણો (કદ અથવા આકાર) પર આધારિત નથી.
શરૂઆતમાં,ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે બાજુની લંબાઈ $2l$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમઘનનું કદ બદલાય છે,પરંતુ ફ્લક્સ આ પરિમાણથી સ્વતંત્ર રહે છે.
જ્યારે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર અડધો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q' = \frac{q}{2}$ થાય છે.
તેથી,નવું ફ્લક્સ $\phi'$ એ $\phi' = \frac{q'}{\varepsilon_0} = \frac{q/2}{\varepsilon_0} = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{\phi}{2}$ થશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 2 \times 10^2 \hat{k} \ Vm^{-1} = 200 \hat{k} \ Vm^{-1}$ છે.
લંબચોરસ કોઈલ $xy$-સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $xy$-સમતલને લંબ એટલે કે $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \ cm \times 20 \ cm = 0.1 \ m \times 0.2 \ m = 0.02 \ m^2 = 2 \times 10^{-2} \ m^2$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = 2 \times 10^{-2} \hat{k} \ m^2$ થશે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$.
જો આપણે પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો ગણતરી મુજબ $\phi = 200 \times 0.02 = 4 \ Vm$ મળે છે. પરંતુ વિકલ્પો મુજબ,જો વિદ્યુતક્ષેત્ર $2 \times 10^3 \ Vm^{-1}$ હોય,તો જવાબ $40 \ Vm$ આવે. તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ એ $X, Y-$ સમતલમાં ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
વિદ્યુત બળરેખા એ એવો માર્ગ દર્શાવે છે કે જેના પર ધન વિદ્યુતભાર બળ અનુભવે છે અને જો તે મુક્ત હોય તો તે દિશામાં ગતિ કરે છે.
કણ આ બળરેખા પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,તે તે બિંદુએ બળરેખાને સ્પર્શકની દિશામાં વિદ્યુત બળ અનુભવશે.
તેથી,કણ વર્તુળાકાર બળરેખા પર ગતિ કરશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{en}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{en}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ આકૃતિમાં,માત્ર વિદ્યુતભારો $q_3$ અને $q_4$ જ બંધ સપાટી $S$ ની અંદર આવેલા છે.
તેથી,સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{en} = q_3 + q_4$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,સપાટી $S$ માંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_3 + q_4}{\epsilon_0}$ મળે છે.
આ ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારો ($q_3$ અને $q_4$) પર આધાર રાખે છે અને સપાટીની બહાર રહેલા વિદ્યુતભારો ($q_1$ અને $q_2$) થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,સપાટી $S$ માંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ એ વિદ્યુતભારો $q_3$ અને $q_4$ ને કારણે મળતા ફ્લક્સ જેટલું જ હોય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = a\hat i + b\hat j$ તરીકે આપેલ છે.
$y-z$ સમતલને સમાંતર $l$ બાજુવાળા ચોરસ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec S$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,તેથી $\vec S = l^2\hat i$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશના અદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\phi = \vec E \cdot \vec S$.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = (a\hat i + b\hat j) \cdot (l^2\hat i)$.
કારણ કે $\hat i \cdot \hat i = 1$ અને $\hat j \cdot \hat i = 0$,તેથી આપણને $\phi = a \cdot l^2 + 0 = al^2$ મળે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભાર,$+e$ અને $-e$ ધરાવે છે.
એક ડાયપોલનો કુલ વીજભાર $q_{dipole} = (+e) + (-e) = 0$ થાય છે.
ગોળાની અંદર આવા ચાર ડાયપોલ હોવાથી,કુલ બંધિત વીજભાર $q_{enclosed} = 4 \times (0) = 0$ થાય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ મળે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી $S_2$ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
આકૃતિ પરથી,સપાટી $S_2$ વિદ્યુતભારો $q_2$ અને $q_3$ ને ઘેરે છે.
તેથી,$q_{\text{enclosed}} = q_2 + q_3 = 2\,\mu C + (-3\,\mu C) = -1\,\mu C = -1 \times 10^{-6}\,C$.
સંબંધ $\frac{1}{\epsilon_0} = 4\pi k$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ છે:
$\phi = 4\pi k \times q_{\text{enclosed}}$
$\phi = 4\pi \times (9 \times 10^9) \times (-1 \times 10^{-6})$
$\phi = -36\pi \times 10^3\,N\cdot m^2/C$.

(B) આકૃતિમાં એક બંધ ગાળાની ક્ષેત્ર રેખા દર્શાવેલ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. તે બંધ ગાળા રચી શકતી નથી કારણ કે સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બંધ ગાળા પર સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન શૂન્ય હોય છે $(\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ અને પ્રેરિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર (સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન) બંધ ગાળા રચી શકે છે.
તેથી, બંધ ગાળાની ક્ષેત્ર રેખા સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રને દર્શાવી શકતી નથી.

(D) ચોરસને $y-z$ સમતલમાં મૂકવામાં આવ્યો છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર છે.
વિદ્યુતભારો $(a, 0, 0)$ અને $(-a, 0, 0)$ બિંદુઓ પર સ્થિત છે,જે $x-$અક્ષ પર આવેલા છે.
ચોરસ $y-z$ સમતલમાં હોવાથી,$(a, 0, 0)$ અને $(-a, 0, 0)$ પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ચોરસની સાપેક્ષમાં સંમિત (symmetric) છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$(a, 0, 0)$ પરના વિદ્યુતભારની ક્ષેત્ર રેખાઓ ચોરસમાંથી એક દિશામાં પસાર થાય છે,અને $(-a, 0, 0)$ પરના વિદ્યુતભારની ક્ષેત્ર રેખાઓ ચોરસમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં પસાર થાય છે.
આ ગોઠવણીની સંમિતિને કારણે,ચોરસમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ બંને વિદ્યુતભારોના ફ્લક્સનો સરવાળો છે.
બંને વિદ્યુતભારો સમાન હોવાથી અને ચોરસના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોવાથી,એક વિદ્યુતભારને કારણે મળતું ફ્લક્સ બીજા વિદ્યુતભારને કારણે મળતા ફ્લક્સ જેટલું જ પરંતુ વિરુદ્ધ દિશાનું હોય છે.
તેથી,ચોરસમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $0$ થાય છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બધી સપાટીઓ $S_1, S_2, S_3,$ અને $S_4$ સમાન વિદ્યુતભાર $q_1$ ને ઘેરે છે,તેથી દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = \frac{q_1}{\epsilon_0}$ થશે.
આમ,વિદ્યુત ફ્લક્સ એ ગોસિયન સપાટીના આકાર અને કદ પર આધારિત નથી અને તે આપેલી તમામ સપાટીઓ માટે સમાન છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec E = \frac{E_0 x}{a} \hat i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનની છાયાંકિત સપાટી $x = a$ પર સ્થિત છે અને $yz$-સમતલમાં છે.
છાયાંકિત સપાટી પર $(x = a)$,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec E = \frac{E_0 (a)}{a} \hat i = E_0 \hat i$ છે.
આ સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A = a^2 \hat i$ છે (કારણ કે સપાટી $a$ બાજુ ધરાવતો ચોરસ છે અને લંબ $+x$ દિશામાં છે).
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \int \vec E \cdot d\vec A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સપાટી પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,$\phi = \vec E \cdot \vec A = (E_0 \hat i) \cdot (a^2 \hat i) = E_0 a^2$.

(A) $1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી બહાર નીકળે છે અને ઋણ વિદ્યુતભારમાં દાખલ થાય છે. આકૃતિમાં,રેખાઓ $A$ માંથી બહાર નીકળે છે અને $B$ માં દાખલ થાય છે,તેથી $A$ ધન છે અને $B$ ઋણ છે.
$2$. વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અથવા તેમાં સમાપ્ત થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે વિદ્યુતભારના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B$ માં દાખલ થતી રેખાઓ કરતા $A$ માંથી બહાર નીકળતી રેખાઓની સંખ્યા વધારે છે. તેથી,વિદ્યુતભાર $A$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતભાર $B$ ના મૂલ્ય કરતા વધારે છે,એટલે કે $|A| > |B|$.

(A) ધારો કે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ અનુક્રમે $\phi_A$ અને $\phi_C$ છે, અને વક્ર સપાટી $B$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે.
સમાનતાને કારણે, બંને સમાન સમતલ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે, તેથી $\phi_A = \phi_C$.
ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ નળાકારમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ એ બધી સપાટીઓમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_{\text{total}} = \phi_A + \phi_C + \phi_B$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\frac{q}{\varepsilon_0} = \phi_A + \phi_A + \phi$.
$\frac{q}{\varepsilon_0} = 2\phi_A + \phi$.
$\phi_A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
તેથી, $\phi_A = \frac{1}{2}\left( \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi \right)$.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ સાથે $\Phi_E = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પરિસ્થિતિ $1$ માટે:
કુલ બહાર જતું ફ્લક્સ = $6$ એકમ.
કુલ અંદર આવતું ફ્લક્સ = $2 + 7 + 15 + 8 = 32$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{E1} = \text{બહાર} - \text{અંદર} = 6 - 32 = -26$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ ઋણ હોવાથી,અંદરનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે.
પરિસ્થિતિ $2$ માટે:
કુલ બહાર જતું ફ્લક્સ = $9$ એકમ.
કુલ અંદર આવતું ફ્લક્સ = $7 + 6 + 5 + 3 + 2 = 23$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{E2} = \text{બહાર} - \text{અંદર} = 9 - 23 = -14$ એકમ.
કુલ ફ્લક્સ ઋણ હોવાથી,અંદરનો વિદ્યુતભાર ઋણ છે.

(B) ધારો કે કેન્દ્ર $O$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને બહારનો વિદ્યુતભાર $q_2 = q$ છે।
સંમિતિ મુજબ, કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_1 = q / (6\varepsilon_0)$ છે, કારણ કે વિદ્યુતભાર સમઘનના કેન્દ્રમાં છે અને ફ્લક્સ $6$ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે।
હવે $O$ થી $L$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_2$ નો વિચાર કરો। $BGFC$ સપાટી કેન્દ્ર $O$ થી $L/2$ અંતરે આવેલી છે। વિદ્યુતભાર $q_2$ એ $BGFC$ સપાટીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા પર $O$ થી $L$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે।
જોકે, આને સમજવાની એક સરળ રીત સંમિતિ છે। વિદ્યુતભાર $q_2$ માંથી નીકળતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ $BGFC$ સપાટીમાં પ્રવેશે છે અને સામેની સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે।
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, $BGFC$ સપાટી માટે, આંતરિક વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે ફ્લક્સ $q / (6\varepsilon_0)$ છે।
બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q_2$ માટે, સમગ્ર બંધ સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતભાર બહાર છે।
ચોક્કસ ભૂમિતિને કારણે, $q_2$ ને લીધે $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $-q / (6\varepsilon_0)$ છે।
તેથી, $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = q / (6\varepsilon_0) - q / (6\varepsilon_0) = 0$ થાય છે।

(A) વિદ્યુત બળ રેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
જો બે વિદ્યુત બળ રેખાઓ એક બિંદુએ એકબીજાને છેદે,તો તે બિંદુએ બે અલગ સ્પર્શકો મળે,જેનો અર્થ એ થાય કે તે જ સ્થાને વિદ્યુતક્ષેત્રની બે અલગ દિશાઓ છે.
જોકે,કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ તમામ વ્યક્તિગત ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે,જે એક અનન્ય પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ આપે છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ બહુવિધ ક્ષેત્રો જોડાઈને એક પરિણામી ક્ષેત્ર બનાવે છે,તેથી બે બળ રેખાઓનું છેદવું ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે. તેથી,ફ્લક્સ માત્ર $q_1$ અને $q_2$ પર આધાર રાખે છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
જો કે,ગૌસિયન સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ અવકાશમાં હાજર તમામ વિદ્યુતભારો ($q_1, q_2, q_3$ અને $q_4$) દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર અંદરના વિદ્યુતભારો પર જ નહીં,પરંતુ તમામ વિદ્યુતભારો પર આધાર રાખે છે. આમ,કારણ ખોટું છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો, $+q$ અને $-q$ નો બનેલો હોય છે.
અહીં, વિદ્યુતભારો $+3 \times 10^{-6} \; C$ અને $-3 \times 10^{-6} \; C$ છે.
ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = (+3 \times 10^{-6}) + (-3 \times 10^{-6}) = 0 \; C$ છે.
તેથી, કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0 \; \text{N m}^2 / \text{C}$ થાય.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 4x \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી $ABCD$ એ $z = 2$ પર $xy$-સમતલમાં આવેલી છે. આ સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{S}_I = S \hat{k}$ છે. કારણ કે $\overrightarrow{E} \cdot \hat{k} = 0$,તેથી ફ્લક્સ $\phi_I = 0$ થાય.
સપાટી $BCGF$ એ $x = 3$ પર $yz$-સમતલમાં આવેલી છે. આ સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{S}_{II} = 4 \hat{i}$ છે (ક્ષેત્રફળ = $2 \times 2 = 4$).
$x = 3$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 4(3) \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j} = 12 \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j}$ છે.
ફ્લક્સ $\phi_{II} = \int \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} (12 \hat{i} - (y^2 + 1) \hat{j}) \cdot (dy dz \hat{i}) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} 12 \, dy dz = 12 \times 4 = 48 \text{ Nm}^2/C$.
આમ,$\phi_I - \phi_{II} = 0 - 48 = -48 \text{ Nm}^2/C$.

(N/A) ડાબી સપાટી $(x = -10 \; cm)$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -200 \hat{i} \; N/C$ છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\Delta S = -\Delta S \hat{i}$ છે. બહાર આવતું ફ્લક્સ:
$\phi_{L} = E \cdot \Delta S = (-200 \hat{i}) \cdot (-\Delta S \hat{i}) = 200 \Delta S$
$\phi_{L} = 200 \times \pi (0.05)^2 = 1.57 \; N \cdot m^2/C$
જમણી સપાટી $(x = +10 \; cm)$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 200 \hat{i} \; N/C$ છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\Delta S = \Delta S \hat{i}$ છે. બહાર આવતું ફ્લક્સ:
$\phi_{R} = E \cdot \Delta S = (200 \hat{i}) \cdot (\Delta S \hat{i}) = 200 \Delta S = 1.57 \; N \cdot m^2/C$
$(b)$ નળાકારની વક્ર સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સપાટીને સમાંતર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\Delta S$ ને લંબ છે. તેથી,$E \cdot \Delta S = 0$. વક્ર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
$(c)$ કુલ બહાર આવતું ફ્લક્સ $\phi$ એ બધી સપાટીઓમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે:
$\phi = \phi_{L} + \phi_{R} + \phi_{side} = 1.57 + 1.57 + 0 = 3.14 \; N \cdot m^2/C$
$(d)$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,નળાકારની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$:
$q = \varepsilon_{0} \phi = (8.854 \times 10^{-12} \; C^2/N \cdot m^2) \times (3.14 \; N \cdot m^2/C) \approx 2.78 \times 10^{-11} \; C$

(N/A) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખા એક સત્ય વક્ર છે કારણ કે જ્યારે સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં કોઈ વિદ્યુતભારને ટ્રેસ કરવામાં આવે ત્યારે તે સતત બળ અનુભવે છે. ક્ષેત્ર રેખામાં અચાનક ભંગાણ હોઈ શકે નહીં કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા અવકાશમાં સતત બદલાતી રહે છે,અને એક પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ કૂદકો માર્યા વગર સતત માર્ગ પર ગતિ કરશે.
$(b)$ જો બે ક્ષેત્ર રેખાઓ એક બિંદુએ એકબીજાને છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે ચોક્કસ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા એકસાથે બે અલગ-અલગ દિશાઓ દર્શાવશે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ હોવાથી,કોઈપણ આપેલ બિંદુએ તેની દિશા અનન્ય હોવી જોઈએ,જે આ કિસ્સામાં શક્ય નથી. તેથી,બે ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા,$E = 3 \times 10^{3} \hat{i} \; N/C$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય,$|E| = 3 \times 10^{3} \; N/C$.
ચોરસની બાજુ,$s = 10 \; cm = 0.1 \; m$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ,$A = s^{2} = 0.01 \; m^{2}$.
ચોરસનું સમતલ $yz$ સમતલને સમાંતર છે. તેથી,સમતલને લંબ એકમ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
સમતલમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $(\phi)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે,$\phi = |E| A \cos \theta = 3 \times 10^{3} \times 0.01 \times \cos 0^{\circ} = 30 \; N \cdot m^{2}/C$.
$(b)$ સમતલનો લંબ $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.
ફ્લક્સ,$\phi = |E| A \cos \theta = 3 \times 10^{3} \times 0.01 \times \cos 60^{\circ}$.
$\phi = 30 \times \frac{1}{2} = 15 \; N \cdot m^{2}/C$.

$(A)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને તે $E = 3 \times 10^{3} \hat{i} \; N/C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘનની બાજુઓ યામ સમતલોને સમાંતર હોવાથી, વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ એક બાજુમાંથી અંદર પ્રવેશે છે અને સામેની બાજુમાંથી બહાર નીકળે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કોઈ બંધ સપાટી (જેમ કે સમઘન) માંથી સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર પસાર થાય છે અને અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી, ત્યારે સપાટીમાં પ્રવેશતું ફ્લક્સ અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, $x = 0$ પરની બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{in} = -E \cdot A = -(3 \times 10^{3}) \times (0.2)^{2} = -120 \; N \cdot m^{2}/C$ છે.
$x = 0.2 \; m$ પરની બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{out} = +E \cdot A = +(3 \times 10^{3}) \times (0.2)^{2} = +120 \; N \cdot m^{2}/C$ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_{in} + \phi_{out} = -120 + 120 = 0 \; N \cdot m^{2}/C$ થાય છે.

(A) બોક્સની સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ ફ્લક્સ,$\phi = 8.0 \times 10^{3} \; N m^{2} / C$.
ગોસના નિયમ મુજબ,ફ્લક્સ $\phi$ અને સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
અહીં,$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; N^{-1} C^{2} m^{-2}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
તેથી,$q = \varepsilon_{0} \phi = (8.854 \times 10^{-12}) \times (8.0 \times 10^{3}) \; C$.
$q = 7.0832 \times 10^{-8} \; C \approx 0.07 \; \mu C$.
આમ,બોક્સની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $0.07 \; \mu C$ છે.
$(b)$ ના.
જો સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે (કારણ કે $\phi = q_{net} / \varepsilon_{0}$). આનો અર્થ એ નથી કે અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી; તેનો અર્થ માત્ર એટલો જ છે કે બોક્સની અંદરના તમામ વિદ્યુતભારોનો કુલ બેઝિક સરવાળો શૂન્ય છે. બોક્સમાં સમાન માત્રામાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો હોઈ શકે છે.

(C) આ ચોરસને $10 \; cm$ બાજુવાળા સમઘનના એક ફલક તરીકે ગણી શકાય,જેના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતભાર $q$ મૂકેલો છે. ગૌસના પ્રમેય મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{Total}} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
વિદ્યુતભાર સમઘનના કેન્દ્ર પર હોવાથી,કુલ ફ્લક્સ તેના છ ફલકો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,એક ફલક (ચોરસ) માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ:
$\phi = \frac{\phi_{\text{Total}}}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
આપેલ છે:
$q = 10 \; \mu C = 10 \times 10^{-6} \; C$
$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; C^{2} \; N^{-1} \; m^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{1}{6} \times \frac{10 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{1}{6} \times 1.129 \times 10^{6}$
$\phi \approx 1.88 \times 10^{5} \; N \; m^{2} \; C^{-1}$

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $(\phi_{\text{Net}})$ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર $(q)$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_{0})$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\phi_{\text{Net}} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 2.0 \; \mu C = 2.0 \times 10^{-6} \; C$
$\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; N^{-1} m^{-2} C^{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi_{\text{Net}} = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi_{\text{Net}} \approx 0.22588 \times 10^{6} \; N \; m^{2} C^{-1}$
$\phi_{\text{Net}} \approx 2.26 \times 10^{5} \; N \; m^{2} C^{-1}$
આમ,સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $2.26 \times 10^{5} \; N \; m^{2} C^{-1}$ છે.

(B) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે અને ગૌસિયન સપાટીના કદ કે આકાર પર આધાર રાખતું નથી. તેથી,જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો પણ ફ્લક્સ $-1.0 \times 10^{3} \; N \cdot m^{2} / C$ જેટલું જ રહેશે.
$(b)$ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિદ્યુતભાર $q$ ને $q = \phi \varepsilon_{0}$ તરીકે શોધી શકીએ છીએ.
અહીં $\phi = -1.0 \times 10^{3} \; N \cdot m^{2} / C$ અને $\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \; C^{2} / (N \cdot m^{2})$ આપેલ છે:
$q = (-1.0 \times 10^{3}) \times (8.854 \times 10^{-12}) = -8.854 \times 10^{-9} \; C = -8.854 \; nC$.
આમ,બિંદુવત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $-8.854 \; nC$ છે.

(N/A) ગોળાનો વ્યાસ,$d = 2.4\; m$.
ગોળાની ત્રિજ્યા,$r = 1.2\; m$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા,$\sigma = 80.0\; \mu C/m^2 = 80 \times 10^{-6}\; C/m^2$.
ગોળાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર,$Q = \text{વિદ્યુતભાર ઘનતા} \times \text{સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} = \sigma \times 4\pi r^2 = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times (1.2)^2 \approx 1.447 \times 10^{-3}\; C$.
તેથી,ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $1.447 \times 10^{-3}\; C$ છે.
$(b)$ કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા ગોળાની સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $(\phi_{\text{total}})$ ગૌસના નિયમ દ્વારા મળે છે,$\phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$.
જ્યાં,$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\; C^2 N^{-1} m^{-2}$.
$\phi_{\text{total}} = \frac{1.447 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.634 \times 10^8\; N C^{-1} m^2$.
તેથી,ગોળાની સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $1.634 \times 10^8\; N C^{-1} m^2$ છે.

(A, B, D, E) આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ ક્ષેત્ર રેખાઓ સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની સપાટીને લંબ હોવી જોઈએ.
$(b)$ આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ ક્ષેત્ર રેખાઓ સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ ઋણ વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવી શકતી નથી અને ધન વિદ્યુતભાર પર અંત પામી શકતી નથી.
$(c)$ આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવેલ ક્ષેત્ર રેખાઓ માન્ય સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કારણ કે તે ધન વિદ્યુતભારોમાંથી ઉદ્ભવે છે અને એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
$(d)$ આકૃતિ $(d)$ માં દર્શાવેલ ક્ષેત્ર રેખાઓ સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને છેદતી નથી.
$(e)$ આકૃતિ $(e)$ માં દર્શાવેલ ક્ષેત્ર રેખાઓ સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી કારણ કે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવી શકતી નથી.

(A) ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અનંત સુધી બહારની તરફ વિસ્તરે છે.
આનું કારણ એ છે કે કોઈપણ બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ ધન વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે,કારણ કે ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ અપાકર્ષી હોય છે.
આ રેખાઓ વિદ્યુતભારની આસપાસ બધી દિશાઓમાં સંમિત હોય છે.

(B) ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અંદરની તરફ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રને ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલા એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર દ્વારા અનુભવાતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ આકર્ષાય છે,તેથી ક્ષેત્ર રેખાઓ ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશ કરે છે.
દ્રશ્ય રીતે,આને ઋણ વિદ્યુતભારના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરતા તીર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) વિદ્યુતભાર અથવા વિદ્યુતભારોના તંત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્રની ચિત્રાત્મક રજૂઆત એટલે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ.
આને સમજવા માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં સદિશો દોરો,જેની લંબાઈ દરેક બિંદુએ ક્ષેત્રની પ્રબળતાના પ્રમાણમાં હોય.
જેમ કે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય તે બિંદુના વિદ્યુતભારથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે,તેથી જેમ વિદ્યુતભારથી દૂર જઈએ તેમ સદિશ ટૂંકો થતો જાય છે. તે હંમેશા ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં હોય છે (જો વિદ્યુતભાર ધન હોય તો બહારની તરફ અને જો ઋણ હોય તો અંદરની તરફ),જે $E = \frac{kQ}{r^{2}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં,દરેક તીર વિદ્યુત ક્ષેત્ર સૂચવે છે,એટલે કે તે તીરની પૂંછડી પર મૂકેલા એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ. એક દિશામાં નિર્દેશ કરતા તીરોને જોડવાથી મળતી આકૃતિ ક્ષેત્ર રેખા દર્શાવે છે.
ક્ષેત્રનું મૂલ્ય ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભારની નજીક $\overrightarrow{E}$ પ્રબળ હોય છે,તેથી વિદ્યુતભારની નજીક ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વધારે હોય છે અને રેખાઓ એકબીજાની નજીક હોય છે. વિદ્યુતભારથી દૂર જતાં,ક્ષેત્ર નબળું પડે છે અને ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા ઘટે છે,જેના પરિણામે રેખાઓ એકબીજાથી દૂર જણાય છે.

(N/A) આકૃતિ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માંથી ઉદ્ભવતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનો સમૂહ દર્શાવે છે.
બિંદુઓ $R$ અને $S$ પર મૂકવામાં આવેલા બે નાના ક્ષેત્રફળના ખંડોનો વિચાર કરો,જે ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ છે.
કોઈ આપેલ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે સ્થાને વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આકૃતિ દર્શાવે છે કે $R$ પાસેનું ક્ષેત્ર $S$ કરતા પ્રબળ છે કારણ કે $R$ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓ વધુ ગીચ છે.
ત્રિ-પરિમાણમાં,વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે આવેલા ક્ષેત્રફળ ખંડ $\Delta S$ દ્વારા આંતરાતો ઘનકોણ $\Delta \Omega = \frac{\Delta S}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta S = r^2 \Delta \Omega$.
નિશ્ચિત ઘનકોણ $\Delta \Omega$ માટે,ક્ષેત્રફળ ખંડમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે.
વિદ્યુતભારથી $r_1$ અને $r_2$ અંતરે આવેલા બે બિંદુઓ $P_1$ અને $P_2$ માટે,સમાન ઘનકોણ $\Delta \Omega$ આંતરતા ક્ષેત્રફળ ખંડો અનુક્રમે $A_1 = r_1^2 \Delta \Omega$ અને $A_2 = r_2^2 \Delta \Omega$ છે.
આ ક્ષેત્રફળ ખંડોને છેદતી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા $n$ સમાન છે. તેથી,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા (જે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ દર્શાવે છે) નીચે મુજબ છે:
$E_1 = \frac{n}{A_1} = \frac{n}{r_1^2 \Delta \Omega}$
$E_2 = \frac{n}{A_2} = \frac{n}{r_2^2 \Delta \Omega}$
અહીં $n$ અને $\Delta \Omega$ અચળ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓનો ખ્યાલ ફેરાડે દ્વારા વિદ્યુતભારીત ગોઠવણીઓની આસપાસના વિદ્યુતક્ષેત્રોને સમજવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. ફેરાડે તેમને બળ રેખાઓ કહેતા હતા.
આકૃતિઓ વિવિધ સરળ વિદ્યુતભાર ગોઠવણીઓની આસપાસની ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. જોકે આકૃતિઓ તેમને $2$-પરિમાણીય સમતલમાં દર્શાવે છે,પરંતુ આ ક્ષેત્ર રેખાઓ વાસ્તવમાં $3$-પરિમાણીય અવકાશમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$1$. ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર $(q > 0)$ માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોય છે.
$2$. ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $(q < 0)$ માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે અંદરની તરફ હોય છે.
$3$. બે ધન વિદ્યુતભારો માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
$4$. વિદ્યુત ડાયપોલ (ધન અને ઋણ વિદ્યુતભાર) માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$5$. બે ઋણ વિદ્યુતભારો માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ બે ધન વિદ્યુતભારો જેવી જ હોય છે પરંતુ તીર અંદરની તરફ હોય છે.
$6$. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાંતર અને સમાન અંતરે હોય છે.
$7$. જ્યારે ધાતુના ગોળાને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની સપાટીને લંબ હોય છે અને તેની અંદર પ્રવેશતી નથી.
$8$. જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્ર રેખાઓ તેમાંથી પસાર થાય છે પરંતુ ધ્રુવીભવનને કારણે તેમાં ફેરફાર થાય છે.

(N/A) $(i)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.
$(ii)$ બે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી. જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુએ બે સ્પર્શકો મળે,જેનો અર્થ એ થાય કે એક જ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ છે,જે શક્ય નથી. તેથી,બે ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને ઓળંગી શકતી નથી.
$(iii)$ કોઈપણ વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા તે વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા દર્શાવે છે.
$(iv)$ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રની ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાથી સમાન અંતરે અને સમાંતર હોય છે.
$(v)$ સ્થિર વિદ્યુતભારની ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવતી નથી.
$(vi)$ કોઈપણ બિંદુએ ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.

(N/A) ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને અનંત સુધી ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ જાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને એકમ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી ધન સ્ત્રોત વિદ્યુતભારની નજીક મૂકવામાં આવેલ ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર અપાકર્ષણ અનુભવશે.
તેથી,ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી બધી દિશાઓમાં દૂર જાય છે.
આ રેખાઓ વિદ્યુતભારની આસપાસ સંમિત હોય છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.