Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(B) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તારની પ્રતિ $cm$ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને નળાકારની અંદર રહેલા તારની લંબાઈ $1 \, m = 100 \, cm$ છે.
તેથી, નળાકારની અંદર ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = 100 \times Q = 100 \, Q$ થશે.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા, આપણને $\phi = \frac{100 \, Q}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુત ફલક્સ $\phi$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
સપાટી $YZ$-સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 2\hat{i} \text{ m}^2$.
વિદ્યુત ફલક્સ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (5\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot (2\hat{i})$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$),આપણને મળે છે $\phi = 5 \times 2 = 10 \text{ N}\,\text{m}^2/\text{C}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ નળાકારમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ થાય છે.
કુલ ફલક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્રસપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફલક્સનો સરવાળો છે: $\phi_{total} = \phi_A + \phi_C + \phi_B$.
નળાકાર સંમિત હોવાથી,બંને સમતલ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફલક્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\phi_A = \phi_C$. ધારો કે આ ફલક્સ $\phi_{plane}$ છે.
વક્રસપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $\phi_B = \phi$ આપેલું છે.
આ કિંમતોને ગોસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $2\phi_{plane} + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
$\phi_{plane}$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $2\phi_{plane} = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_{plane} = \frac{1}{2} \left[ \frac{q}{\epsilon_0} - \phi \right]$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi = \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0}$ છે.
$80 \ \mu C$ વિદ્યુતભાર ઉમેર્યા પછી,કુલ વિદ્યુતભાર $q_{total} = 20 \ \mu C + 80 \ \mu C = 100 \ \mu C$ થાય છે.
નવું ફ્લક્સ $\phi' = \frac{100 \ \mu C}{\epsilon_0}$ થશે.
ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi' - \phi = \frac{100 \ \mu C}{\epsilon_0} - \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0} = \frac{80 \ \mu C}{\epsilon_0}$ છે.
આમ,$\phi = \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\Delta \phi = 4 \times \left( \frac{20 \ \mu C}{\epsilon_0} \right) = 4 \phi$.

(A) ગાઉસના નિયમ મુજબ,$q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફલક્સ $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ ફલક્સ માત્ર તેમાં રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે અને તે સપાટીના આકાર કે કદ પર આધાર રાખતું નથી.
અહીં $10 \ cm$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળા માટે ફલક્સ $20 \ Vm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{q}{\varepsilon_0} = 20 \ Vm$.
જેમ કે $20 \ cm$ ત્રિજ્યાવાળી સપાટી પણ તેટલો જ વિદ્યુતભાર $q$ ઘેરે છે,તેથી ફલક્સમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
તેથી,$20 \ cm$ ત્રિજ્યાવાળી સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $20 \ Vm$ રહેશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓની ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ બિંદુઓ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો અનુક્રમે $E_A$ અને $E_B$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ આગળ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર અનુક્રમે $d_A$ અને $d_B$ છે.
આકૃતિ પરથી,$A$ આગળનું અંતર $x$ છે અને $B$ આગળનું અંતર $y$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $y \approx 2x$.
ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા તેમની વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{d_B}{d_A} = \frac{y}{x}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{40}{E_B} = \frac{2x}{x} = 2$.
આમ,$E_B = \frac{40}{2} = 20 \ N/C$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફલક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
ચોરસ એ ગોળીય પૃષ્ઠની અંદર હોવાથી અને ચારેય વિદ્યુતભારો ચોરસના ખૂણા પર હોવાથી,આ તમામ વિદ્યુતભારો ગોળીય પૃષ્ઠની અંદર જ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = (2 - 5 - 3 + 6) \times 10^{-6} \ C = 0 \times 10^{-6} \ C = 0 \ C$.
તેથી,કુલ ફલક્સ $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0 \ N \cdot m^2/C$ થાય.

(D) જ્યારે ધાતુના ગોળાને સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી વાહકની અંદરનું કુલ વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય છે.
સ્થિર વિધુત સંતુલનમાં વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા વાહકની સપાટીને લંબ હોય છે.
ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીને લંબ હોવી જોઈએ અને અંદરના ભાગમાં કોઈ ક્ષેત્ર હોવું જોઈએ નહીં,તેથી ક્ષેત્ર રેખાઓ વળી જાય છે અને ગોળાની સપાટી પર સમાપ્ત થાય છે.
આપેલા માર્ગોમાંથી,માર્ગ $4$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર રેખાઓ ગોળાની સપાટીને લંબ રૂપે પ્રવેશે છે અને બહાર નીકળે છે,જ્યારે વાહકના આંતરિક ભાગને ટાળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
બિંદુ $A$ અને $C$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાની નજીક છે,જે ક્ષેત્ર રેખાઓની વધુ ઘનતા સૂચવે છે.
બિંદુ $B$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાથી દૂર છે,જે ક્ષેત્ર રેખાઓની ઓછી ઘનતા સૂચવે છે.
તેથી,$A$ અને $C$ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ કરતા વધારે છે.
આમ,$E_A = E_C > E_B$.

(D) $1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભારમાં સમાપ્ત થાય છે.
$2$. આકૃતિમાં,ક્ષેત્ર રેખાઓ $Q$ માં પ્રવેશે છે અને $q$ માંથી બહાર નીકળે છે. તેથી,$Q$ ઋણ વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ અને $q$ ધન વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ.
$3$. વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અથવા તેમાં સમાપ્ત થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા વિદ્યુતભારના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.
$4$. $Q$ અને $q$ સાથે સંકળાયેલી રેખાઓ ગણતા: $Q$ માં $6$ રેખાઓ સમાપ્ત થાય છે અને $q$ માંથી $12$ રેખાઓ ઉદ્ભવે છે (અનંત તરફ જતી રેખાઓને પણ ગણતા).
$5$. $Q$ કરતા $q$ સાથે વધુ રેખાઓ સંકળાયેલી હોવાથી,$q$ નું મૂલ્ય $Q$ ના મૂલ્ય કરતા વધારે છે,એટલે કે $|q| > |Q|$ અથવા $|Q| < |q|$.
$6$. આમ,$Q$ ઋણ છે અને $|Q| < |q|$.

(B) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = Q \text{ C/cm}$ આપેલ છે.
નળાકારની લંબાઈ $L = 1 \ m = 100 \ cm$ હોવાથી,નળાકાર દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enc} = \lambda \times L = Q \text{ C/cm} \times 100 \ cm = 100 Q \text{ C}$ થાય.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$ છે.
$Q_{enc}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{100 Q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે $Q$ વિદ્યુતભારને સમઘનના ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણ રીતે આવરી લેવા માટે આવા $8$ સમાન સમઘનનો ઉપયોગ કરવો પડે છે.
તેથી,આખા સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{cube} = \frac{1}{8} \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ થાય.
વિદ્યુતભાર ખૂણા પર હોવાથી,તે ખૂણા પર મળતી ત્રણ બાજુઓમાંથી પસાર થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સમાંતર હોય છે,તેથી તે ત્રણ બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય થાય છે.
બાકીની $3$ બાજુઓ સમાન રીતે કુલ ફ્લક્સ વહેંચે છે.
તેથી,એક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{1}{3} \times \phi_{cube} = \frac{1}{3} \times \frac{Q}{8\varepsilon_0} = \frac{Q}{24\varepsilon_0}$ થાય.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enc}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સૌ પ્રથમ,ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enc}$ શોધો:
$q_{enc} = (+2 - 5 - 3 + 6) \times 10^{-6} \ C$
$q_{enc} = (8 - 8) \times 10^{-6} \ C = 0 \ C$
અહીં ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોવાથી,ગોળામાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0$ થશે.

(D) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta$
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ કાગળના સમતલમાં છે.
કાગળના સમતલમાં રહેલી સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ એ કાગળના સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = ES \cos 90^{\circ} = ES(0) = 0$.

(D) કોઈપણ સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\phi_E = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (સપાટીને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ પ્રશ્નમાં,ચોરસ સપાટી કાગળના સમતલમાં છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ કાગળના સમતલને લંબ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ પણ કાગળના સમતલમાં જ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ કાગળના સમતલને લંબ હોવાથી અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ કાગળના સમતલમાં હોવાથી,$\vec{E}$ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = EA \cos(90^\circ) = EA(0) = 0$ થાય છે.
આમ,સપાટીમાંથી કોઈ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ પસાર થતી નથી,તેથી વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(C) સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec E$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી $xy$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હોય છે.
તેથી,$\vec A = 100 \hat k \ m^2$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = \hat i + \sqrt 2 \hat j + \sqrt 3 \hat k \ V/m$ આપેલ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\phi = \vec E \cdot \vec A = (\hat i + \sqrt 2 \hat j + \sqrt 3 \hat k) \cdot (100 \hat k)$
$\phi = 100 \times \sqrt 3 \ V-m$
$\sqrt 3 \approx 1.732$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\phi = 100 \times 1.732 = 173.2 \ V-m$.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનંત વિદ્યુતભારીત શીટ ગોળીય ગૌસિયન સપાટીને છેદે છે,જેનાથી ગોળાની અંદર વિદ્યુતભારનો એક વર્તુળાકાર આડછેદ બને છે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ભૂમિતિ પરથી,આ વર્તુળાકાર આડછેદની ત્રિજ્યા $a$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ અને અંતર $x$ સાથે પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા સંબંધિત છે: $a^2 + x^2 = R^2$,જે આપણને $a^2 = R^2 - x^2$ આપે છે.
આ વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi a^2 = \pi(R^2 - x^2)$ છે.
ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}} = \sigma A = \sigma \pi(R^2 - x^2)$ છે.
આ કિંમતને ગૌસના નિયમમાં મૂકતા,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{\sigma \pi(R^2 - x^2)}{\epsilon_0}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુત ફ્લક્સ $(\Phi_E)$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને તેમાંથી પસાર થતા ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\Phi_E = E \cdot A$.
રીત $1$: વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$E = -dV/dx$. વિદ્યુત ક્ષેત્રનો એકમ $V/m$ છે. તેથી,ફ્લક્સનો એકમ $(V/m) \cdot m^2 = V \cdot m$ થાય.
રીત $2$: વ્યાખ્યા $E = F/q$ નો ઉપયોગ કરતા. વિદ્યુત ક્ષેત્રનો એકમ $N/C$ છે. તેથી,ફ્લક્સનો એકમ $(N/C) \cdot m^2 = N \cdot m^2 / C$ થાય.
$V \cdot m$ અને $N \cdot m^2 / C$ બંને વિદ્યુત ફ્લક્સ માટે માન્ય એકમો છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$V \cdot m$ એ પ્રમાણિત રજૂઆત છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઉર્જા $U = u \times V$,જ્યાં $V$ એ ઘનનું કદ છે.
આપેલ છે $U = 8.85 \ \mu J = 8.85 \times 10^{-6} \ J$ અને બાજુ $a = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
કદ $V = a^3 = (10^{-2})^3 = 10^{-6} \ m^3$.
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/N-m^2$ લેતા:
$8.85 \times 10^{-6} = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times E^2 \times 10^{-6}$.
$1 = \frac{1}{2} \times 10^{-12} \times E^2 \implies E^2 = 2 \times 10^{12} \implies E = \sqrt{2} \times 10^6 \ V/m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ચાર બાજુઓને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે તે બાકીની બે બાજુઓને લંબ છે.
ફ્લક્સ $\phi = E \times A$,જ્યાં $A = a^2 = (10^{-2})^2 = 10^{-4} \ m^2$.
$\phi = (\sqrt{2} \times 10^6) \times 10^{-4} = 100\sqrt{2} \ V-m$.

(A) ગાઉસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાઉસિયન સપાટી $S_1$ માટે,બંધિત વિદ્યુતભાર ફક્ત બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેથી,$\phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
ગાઉસિયન સપાટી $S_2$ માટે,જે વાહક કવચના પદાર્થની અંદર (ત્રિજ્યા $R_1$ કરતા સહેજ વધારે) આવેલી છે,આ સપાટી કેન્દ્રમાં રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ અને વાહક કવચની આંતરિક સપાટી પર પ્રેરિત થયેલા $-q$ વિદ્યુતભાર બંનેને આવરી લે છે. કુલ બંધિત વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = q + (-q) = 0$ થાય છે.
તેથી,$\phi_2 = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$ અને $\phi_2 = 0$,જે સૂચવે છે કે $\phi_1 > \phi_2$.

(B) $1$. સુવાહક ગોળો વિદ્યુતભારરહિત છે,જેનો અર્થ છે કે ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ છે.
$2$. જ્યારે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$ ને પોલા ભાગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલન જાળવવા માટે પોલાણની અંદરની સપાટી પર $-Q$ જેટલો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે.
$3$. ગોળો વિદ્યુતભારરહિત હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $0$ રહે તે માટે ગોળાની બહારની સપાટી પર $+Q$ વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થવો જોઈએ.
$4$. ગોળાની બહારના કોઈપણ બિંદુ માટે (જેમ કે $r = 4a$ પરનું બિંદુ $P$),વિદ્યુતક્ષેત્ર $P$ માંથી પસાર થતી ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર દ્વારા નક્કી થાય છે.
$5$. $4a$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર એ પોલાણમાં રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$ અને સુવાહકની બહારની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $+Q$ નો સરવાળો છે.
$6$. કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = (+Q) + (-Q) + (+Q) = +Q$.
$7$. ગાઉસના નિયમ મુજબ,કેન્દ્રથી $r = 4a$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q_{net}}{r^2} = \frac{k Q}{(4a)^2} = \frac{kQ}{16a^2}$ થાય.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi _S = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,માત્ર $+Q_1$ વિદ્યુતભાર ગોળાકાર સપાટીની અંદર છે. તેથી,$\Phi _S = \frac{Q_1}{\epsilon_0}$.
આમ,માત્ર $+Q_1$ વિદ્યુતભાર જ કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં ફાળો આપે છે.
જોકે,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E_P$ એ આસપાસના તમામ વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
તેથી,$\vec E_P = \vec E_1 + \vec E_2$,જ્યાં $\vec E_1$ એ $+Q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર છે અને $\vec E_2$ એ $+Q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર છે.
બંને વિદ્યુતભારો બિંદુ $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને અર્ધગોળાના સપાટ વર્તુળાકાર પાયાના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
કારણ કે વિદ્યુતભાર અર્ધગોળાકાર સપાટીની સીમા પર છે,તેથી આપણે સંપૂર્ણ ગોળો બનાવવા માટે સપાટ પાયાની બીજી બાજુએ એક સમાન અર્ધગોળાકાર સપાટીની કલ્પના કરી શકીએ છીએ.
હવે,વિદ્યુતભાર $q$ આ ગૌસિયન ગોળાના કેન્દ્રમાં છે.
આખા ગોળામાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમાનતાને કારણે,મૂળ અર્ધગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અને કાલ્પનિક અર્ધગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,મૂળ અર્ધગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = \frac{1}{2} \Phi_{total} = \frac{q}{2\varepsilon_0}$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{net}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનના કોઈ એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારનું માત્ર $\frac{1}{8}$ ફ્લક્સ ઘનમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{8\epsilon_0}$ થાય.
આપેલ તંત્ર માટે,ખૂણાઓ પરના કુલ વિદ્યુતભારનો સરવાળો $q_{\text{net}}$:
$q_{\text{net}} = (+1 - 2 + 3 - 4 - 6 + 7 + 5 - 8) \text{ C} = -4 \text{ C}$.
દરેક વિદ્યુતભાર ખૂણા પર હોવાથી,ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi$:
$\phi = \frac{1}{8\epsilon_0} \sum q_i = \frac{1}{8\epsilon_0} (1 - 2 + 3 - 4 - 6 + 7 + 5 - 8)$
$\phi = \frac{-4}{8\epsilon_0} = -\frac{1}{2\epsilon_0}$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
પાયાના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને બંધ કરવા માટે,આપણે હાલના પિરામિડની ઉપર એક સમાન પિરામિડને ઉલટો મૂકીને એક બંધ ચોરસ ડાયપિરામિડની કલ્પના કરી શકીએ છીએ.
આ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર સામાન્ય પાયા પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,ફ્લક્સ બંને પિરામિડ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,એક પિરામિડમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{2\varepsilon_0}$ છે.
આ ફ્લક્સ પિરામિડની $4$ સમાન ત્રિકોણાકાર બાજુઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે.
આમ,ચાર સમાન ઉપરની બાજુઓમાંથી એકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{1}{4} \times \frac{Q}{2\varepsilon_0} = \frac{Q}{8\varepsilon_0}$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઉર્જા $U = u \times V$,જ્યાં $V$ એ સમઘનનું કદ છે.
આપેલ છે $V = (1 \ cm)^3 = (10^{-2} \ m)^3 = 10^{-6} \ m^3$.
$8.85 \times 10^{-6} \ J = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times E^2 \times 10^{-6}$.
$1 = \frac{1}{2} \times 10^{-12} \times E^2 \implies E^2 = 2 \times 10^{12} \implies E = \sqrt{2} \times 10^6 \ V/m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ચાર બાજુઓને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે તે બાકીની બે બાજુઓને લંબ છે.
આ બાજુઓમાંથી એકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = E \times A$,જ્યાં $A = (1 \ cm)^2 = 10^{-4} \ m^2$.
$\phi = (\sqrt{2} \times 10^6) \times 10^{-4} = 100\sqrt{2} \ V \cdot m$.

(C) ગોસના નિયમ અનુસાર,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \frac{q_{en}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{en}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વીજભાર છે.
આકૃતિ પરથી,ગોસીયન સપાટી બે વીજભારોને ઘેરે છે. પ્રશ્નના વર્ણન મુજબ,આ $+1$ અને $-1$ વીજભાર છે.
તેથી,ઘેરાયેલો કુલ વીજભાર $q_{en} = (+1) + (-1) = 0$ થાય છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0$ મળે છે.
આમ,ગોળાકાર ગોસીયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(A) $1$. પોલા વાહક ગોળાની અંદર,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની અંદરની સપાટીને લંબરૂપે સમાપ્ત થવી જોઈએ કારણ કે વાહકની સપાટી સમસ્થિતિમાન સપાટી હોય છે.
$2$. કારણ કે વિદ્યુતભાર $q$ કેન્દ્ર પર નથી,તેથી પોલાણની અંદર ક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે સપ્રમાણ રહેશે નહીં; તે વિદ્યુતભારની નજીકની બાજુએ વધુ ગીચ હશે.
$3$. વાહક કવચના દ્રવ્યની અંદર કોઈ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ હોઈ શકે નહીં,કારણ કે સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$4$. કવચની બહાર,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એવી રીતે દેખાય છે કે જાણે તે ગોળાના કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી હોય,જે કવચની બહારની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારના વિતરણને કારણે છે.
$5$. આ સિદ્ધાંતોના આધારે,વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ ભાત સાચી રીતે અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થતી રેખાઓ અને કવચની બહાર ત્રિજ્યાવર્તી સપ્રમાણ ક્ષેત્ર દર્શાવે છે.

(D) $1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખાઓ $Q_1$ માંથી ઉદ્ભવે છે અને $Q_2$ પર સમાપ્ત થાય છે. આ સૂચવે છે કે $Q_1$ ધન વિદ્યુતભાર છે અને $Q_2$ ઋણ વિદ્યુતભાર છે.
$2$. વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અથવા તેના પર સમાપ્ત થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા વિદ્યુતભારના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓ ગણતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $Q_1$ સાથે $Q_2$ કરતા વધુ રેખાઓ જોડાયેલી છે. ખાસ કરીને,$12$ રેખાઓ $Q_1$ માંથી ઉદ્ભવે છે,જ્યારે માત્ર $6$ રેખાઓ $Q_2$ પર સમાપ્ત થાય છે. આમ,$|Q_1| > |Q_2|$.
$3$. વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર,નાના મૂલ્ય ધરાવતા વિદ્યુતભારની નજીકના બિંદુએ શૂન્ય હોય છે. કારણ કે $|Q_1| > |Q_2|$ છે,તેથી શૂન્ય ક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ $Q_2$ ની જમણી બાજુએ હશે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{net}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
કુલ ફ્લક્સ એ સપાટીમાંથી બહાર નીકળતા ફ્લક્સ અને સપાટીમાં દાખલ થતા ફ્લક્સના તફાવત જેટલું હોય છે:
$\phi_{net} = \phi_{out} - \phi_{in} = \phi_2 - \phi_1$
ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$
કુલ ફ્લક્સની કિંમત મૂકતા:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
તેથી, સપાટીની અંદરનો વિદ્યુતભાર $q$ નીચે મુજબ થશે:
$q = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તાર નળાકારમાંથી પસાર થાય છે. નળાકારની અંદર બંધાયેલા તારની લંબાઈ નળાકારની ઊંચાઈ જેટલી છે,જે $L = 4\,m$ છે.
બંધાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = \lambda \times L = 8.85 \times 10^{-6}\,C/m \times 4\,m = 35.4 \times 10^{-6}\,C$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\,C^2/(N\cdot m^2)$ છે.
તેથી,$\phi = \frac{35.4 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^6\,V\cdot m$.

(B) જ્યારે ધાતુના કવચના ગોળાકાર પોલાણના કેન્દ્રમાં $Q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કવચની આંતરિક સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર $-Q$ પ્રેરિત થાય છે,જેથી વાહક પદાર્થની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આંતરિક સપાટી માટે,વિદ્યુતભાર $-Q$ છે અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $4\pi R_1^2$ છે.
તેથી,આંતરિક સપાટી પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1 = \frac{\text{Charge}}{\text{Area}} = \frac{-Q}{4\pi R_1^2}$ થશે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ $\phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0$,જેનો અર્થ છે કે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે $(q_{\text{enclosed}} = 0)$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ એ સપાટીમાંથી પસાર થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની ચોખ્ખી સંખ્યા દર્શાવે છે.
કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોવાથી,સપાટીમાં પ્રવેશતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા સપાટીમાંથી બહાર નીકળતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યાને બરાબર હોવી જોઈએ.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બધી સપાટીઓ $S_1, S_2, S_3,$ અને $S_4$ સમાન વિદ્યુતભાર $q_1$ ને ઘેરે છે,તેથી દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = \frac{q_1}{\epsilon_0}$ થશે.
આમ,વિદ્યુત ફ્લક્સ એ ગોસિયન સપાટીના આકાર અને કદ પર આધારિત નથી અને તે બધી સપાટીઓ માટે સમાન રહે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{inside}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{inside}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વીજભાર છે.
સમઘન માટે,જેની બાજુની લંબાઈ $a$ છે,વિકર્ણની લંબાઈ $L_{\text{cube}} = a\sqrt{3}$ છે. તેથી,ઘેરાયેલો વીજભાર $q_{\text{cube}} = \lambda a\sqrt{3}$ છે. સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{cube}} = \frac{\lambda a\sqrt{3}}{\epsilon_0}$ છે.
ગોળા માટે,જેની ત્રિજ્યા $a$ છે (વ્યાસ $2a$),ઘેરાયેલો વીજભાર $q_{\text{sphere}} = \lambda (2a)$ છે. તેથી,ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{sphere}} = \frac{2\lambda a}{\epsilon_0}$ છે.
સમઘન અને ગોળાના ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_{\text{cube}}}{\phi_{\text{sphere}}} = \frac{\lambda a\sqrt{3}}{\lambda (2a)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.

(D) $1$. ધાતુના વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કવચના દ્રવ્યની અંદર હોઈ શકે નહીં.
$2$. જ્યારે કોઈ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને ધાતુના કવચની પોલાણમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે કવચની અંદરની સપાટી પર $-q$ અને બહારની સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
$3$. બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માંથી નીકળતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કવચની અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થવી જોઈએ.
$4$. કવચની બહારની સપાટી પરથી નીકળતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોવી જોઈએ,જાણે કે તે કેન્દ્ર પરના બિંદુવત વિદ્યુતભારમાંથી નીકળતી હોય.
$5$. આકૃતિ $D$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર રેખાઓ અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થાય છે અને બહારની સપાટી પરથી ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહાર નીકળે છે,જ્યારે ધાતુની અંદર ક્ષેત્ર શૂન્ય રહે છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,દરેક સપાટી $(S_1, S_2, S_3, S_4)$ સમાન વિદ્યુતભાર $q_1$ ને ઘેરે છે.
કારણ કે બધી સપાટીઓ માટે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર સમાન છે,તેથી સપાટીના આકાર કે કદને ધ્યાનમાં લીધા વગર દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન હશે.
તેથી,$S_1$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ એ $S_2, S_3,$ અને $S_4$ માંથી પસાર થતા વિદ્યુત ફ્લક્સ જેટલું જ છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $B$ ની સરખામણીમાં બિંદુ $A$ પાસે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વધુ ગીચ (ઘટ્ટ) છે.
જેમ કે $A$ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા $B$ કરતા વધારે છે,તેથી $A$ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ કરતા વધારે છે.
તેથી,$E_A > E_B$.

(A) ગોસના નિયમ અનુસાર,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$.
આ પ્રશ્નમાં,$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો કાલ્પનિક ગોળો એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાને ઘેરે છે,જેનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
તેથી,કાલ્પનિક ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}} = Q$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.

(C) ફલક $BCGF$ માંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે.
ઘન માટે ગૉસના નિયમ અને સંમિતિના તર્કનો ઉપયોગ કરતા:
$\phi_{BCGF} = \phi_{\text{due to } q} + \phi_{\text{due to } 3q} + \phi_{\text{due to } 2q}$
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારને ઘનના ખૂણા પર મૂકવામાં આવે,ત્યારે તેની સાથે જોડાયેલા ત્રણ ફલકોમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $0$ હોય છે અને બાકીના ત્રણ સામેના ફલકોમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{q}{24\epsilon_0}$ હોય છે.
ખૂણા $E$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ માટે,ફલક $BCGF$ એ સામેનું ફલક છે,તેથી $\phi_{\text{due to } q} = \frac{q}{24\epsilon_0}$.
ખૂણા $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $3q$ માટે,ફલક $BCGF$ એ સામેનું ફલક છે,તેથી $\phi_{\text{due to } 3q} = \frac{3q}{24\epsilon_0}$.
વિદ્યુતભાર $2q$ એ ફલક $BCGF$ ના સમતલમાં હોવાથી,આ ફલકમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $0$ થશે.
તેથી,$\phi_{BCGF} = \frac{q}{24\epsilon_0} + \frac{3q}{24\epsilon_0} + 0 = \frac{4q}{24\epsilon_0} = \frac{q}{6\epsilon_0}$.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
આ પ્રશ્નમાં,ઘનાકાર બોક્સનું ઉપરનું પડ ખુલ્લું છે,એટલે કે તે સંપૂર્ણપણે બંધ સપાટી નથી. ફ્લક્સની ગણતરી કરવા માટે,આપણે કલ્પના કરી શકીએ કે વિદ્યુતભાર $q$ ને સંપૂર્ણપણે બંધ કરવા માટે હાલના બોક્સની ઉપર એક સમાન બીજું ઘનાકાર બોક્સ મૂકવામાં આવ્યું છે.
હવે,વિદ્યુતભાર $q$ એ બે બોક્સ દ્વારા બનેલા મોટા બંધ ઘનાકાર કદના કેન્દ્રમાં છે. આ સંયુક્ત બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સંમિતિને કારણે,મૂળ બોક્સની $5$ બંધ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ એ બે બોક્સની બંધ સિસ્ટમમાંથી પસાર થતા કુલ ફ્લક્સના અડધા જેટલું હશે.
તેથી,મૂળ બોક્સની $5$ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = \frac{1}{2} \times \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{2\varepsilon_0}$ થશે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,નળાકારની બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{Total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે: $\phi_{\text{Total}} = \phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\epsilon_0}$.
આપેલ છે કે વિદ્યુતભાર નળાકારની અંદર છે,તેથી સંમિતિને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હશે,ધારો કે $\phi_A = \phi_C = \phi'$.
આપણને આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2\phi' + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$.
$\phi'$ માટે ઉકેલતા: $2\phi' = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$,તેથી $\phi' = \frac{1}{2} \left( \frac{q}{\epsilon_0} - \phi \right)$.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{S}$ ના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S}$
અહીં $\vec{E} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{S} = 10\hat{j}$ આપેલ છે.
$\phi = (2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (10\hat{j})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (2 \times 0) + (4 \times 10) + (7 \times 0)$
$\phi = 0 + 40 + 0 = 40 \text{ એકમો}$.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સના ખ્યાલ મુજબ,સપાટીમાંથી પસાર થતા ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ લાઇન (ક્ષેત્ર રેખાઓ) ની સંખ્યાને તે સપાટી સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ માંથી નીકળતી ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ લાઇનોનો સમાન સમૂહ સપાટી $S_1$ અને સપાટી $S_2$ બંનેમાંથી પસાર થાય છે.
જેহেতু બંને સપાટીઓમાંથી પસાર થતી ફિલ્ડ લાઇનોની સંખ્યા સમાન છે,તેથી બંને સપાટીઓ સાથે સંકળાયેલ ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$\phi_1 = \phi_2$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{total} = q/\varepsilon_0$ છે.
આ પ્રશ્નમાં,સમઘન બોક્સની એક બાજુ ખુલ્લી છે,એટલે કે તે સંપૂર્ણ બંધ સપાટી નથી. જોકે,વિદ્યુતભાર $q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે. સંમિતિને કારણે,આખા સમઘનમાંથી (જો તે બંધ હોત તો) પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $q/\varepsilon_0$ થાય.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ હોય છે અને વિદ્યુતભાર કેન્દ્રમાં હોવાથી,દરેક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{face} = \frac{1}{6} \Phi_{total} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ થાય.
તેથી,પાંચ બંધ સપાટીઓમાંથી કોઈપણ એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $q/(6\varepsilon_0)$ છે.

(D) ચોરસમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને એક ગૌસિયન સપાટીની કલ્પના કરી શકીએ.
ધારો કે આ ચોરસ $a$ બાજુવાળા એક સમઘન (cube) ની એક બાજુ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ એ ચોરસના કેન્દ્રથી બરાબર ઉપર $\frac{a}{2}$ અંતરે હોવાથી,તે આ કાલ્પનિક સમઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં સ્થિત છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,સમઘનની સમગ્ર બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ હોય છે અને વિદ્યુતભાર કેન્દ્રમાં હોવાથી,દરેક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હશે.
તેથી,ચોરસ (સમઘનની એક બાજુ) માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ થાય.

(D) નળાકારની ત્રણ સપાટીઓ છે: બે વર્તુળાકાર છેડાઓ ($A$ અને $B$) અને એક વક્ર સપાટી $(C)$.
$1$. ડાબી વર્તુળાકાર સપાટી $(A)$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે. તેથી,$\phi_{A} = E \cdot A \cdot \cos(180^{\circ}) = -E \cdot \pi R^2$.
$2$. જમણી વર્તુળાકાર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે. તેથી,$\phi_{B} = E \cdot A \cdot \cos(0^{\circ}) = +E \cdot \pi R^2$.
$3$. વક્ર સપાટી $(C)$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: વક્ર સપાટી પરના દરેક બિંદુએ,ક્ષેત્રફળ સદિશ $dS$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને લંબ છે (ખૂણો $90^{\circ}$ છે). તેથી,$\phi_{C} = \int E \cdot dS \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_{A} + \phi_{B} + \phi_{C} = -E \pi R^2 + E \pi R^2 + 0 = 0$.

(B) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\oint\limits_S {\vec E \cdot d\vec A = \frac{{{Q_{enc}}}}{{{\epsilon _0}}}}$.
આપેલ આકૃતિમાં,ગોલીય ગૌસિયન સપાટી $S$ દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q_1, q_2$ અને $q_3$ છે. વિદ્યુતભાર $q_4$ સપાટીની બહાર છે.
તેથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એ બધા જ વિદ્યુતભારો (અંદરના અને બહારના) દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે,એટલે કે $\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + \vec E_4$.
જોકે,સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ ફક્ત ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર પર જ આધાર રાખે છે: $\oint\limits_S {\vec E \cdot d\vec A = \frac{{{q_1} + {q_2} + {q_3}}}{{{\epsilon _0}}}}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. આકૃતિમાં,રેખાઓ $A$ માંથી ઉદ્ભવે છે અને $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી $A$ ધન $(+ve)$ છે અને $B$ ઋણ $(-ve)$ છે.
વધુમાં,વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અથવા તેના પર સમાપ્ત થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે વિદ્યુતભારના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે. રેખાઓની ગણતરી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B$ પર સમાપ્ત થતી રેખાઓ કરતા $A$ માંથી ઉદ્ભવતી રેખાઓની સંખ્યા વધારે છે. તેથી,વિદ્યુતભાર $A$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતભાર $B$ ના મૂલ્ય કરતા વધારે છે,એટલે કે $|A| > |B|$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
આપેલી આકૃતિમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બંને વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ તરફ જતી દેખાય છે.
જેથી ક્ષેત્ર રેખાઓ બંને વિદ્યુતભારો પર સમાપ્ત થતી હોવાથી,$q_1$ અને $q_2$ બંને ઋણ વિદ્યુતભારો હોવા જોઈએ.
તેથી,$q_1$ અને $q_2$ બંને ઋણ છે.