Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$ છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર $Q$ વિદ્યુતભાર મૂકતા,છ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$ થાય.
સમઘન સંમિત હોવાથી,દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: $\phi_{one} = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$.
બે સામસામેની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_{0}} = \frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$.
આમ,એક સપાટી અને બે સામસામેની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અનુક્રમે $\frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$ અને $\frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$ છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\varepsilon_{0}}$ ગણું હોય છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને ઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $8$ સમાન ઘન દ્વારા વહેંચાય છે જેથી એક સંમિત બંધ ગોસિયન સપાટી બને છે.
તેથી,એક ઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ $q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા કુલ ફ્લક્સના $\frac{1}{8}$ ભાગનું હોય છે.
આમ,ઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{8 \varepsilon_{0}}$ થાય છે.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય તેમાંથી ઉદ્ભવતી અથવા તેના પર સમાપ્ત થતી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આકૃતિ પરથી,આપણે દરેક વિદ્યુતભાર સાથે સંકળાયેલી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા ગણી શકીએ છીએ:
- વિદ્યુતભાર $A$ પાસે $6$ રેખાઓ છે.
- વિદ્યુતભાર $B$ પાસે $6$ રેખાઓ છે.
- વિદ્યુતભાર $C$ પાસે $12$ રેખાઓ છે.
- વિદ્યુતભાર $D$ પાસે $6$ રેખાઓ છે.
જેহেতু વિદ્યુતભાર $C$ મહત્તમ સંખ્યામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સાથે સંકળાયેલ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય સૌથી વધુ હોવું જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{k} \text{ N C}^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસનું સમતલ $yz$-સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $yz$-સમતલને લંબ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તે $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = A \hat{i} = (0.2 \text{ m})^2 \hat{i} = 0.04 \hat{i} \text{ m}^2$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = (3 \times 10^3 \hat{k}) \cdot (0.04 \hat{i})$.
પરસ્પર લંબ એકમ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ હોવાથી,ફ્લક્સ $\phi = 0 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$ મળે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q = 10 \mu C$ છે,તેથી $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad ... (1)$.
જ્યારે બીજો $10 \mu C$ નો વિદ્યુતભાર અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q = 10 \mu C + 10 \mu C = 20 \mu C = 2q$ થાય છે.
સપાટીમાંથી પસાર થતું નવું ફ્લક્સ $\phi' = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{2q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi' = 2 \phi$ મળે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સપાટી $P$ માટે:
ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+q, -q, -q$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{P} = (+q) + (-q) + (-q) = -q$.
તેથી,ફ્લક્સ $\phi_{P} = \frac{-q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $Q$ માટે:
ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+q, -q, +q$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{Q} = (+q) + (-q) + (+q) = +q$.
તેથી,ફ્લક્સ $\phi_{Q} = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
આમ,$P$ અને $Q$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ અનુક્રમે $\frac{-q}{\varepsilon_0}$ અને $\frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે,આપણે એવી ગૌસિયન સપાટી પસંદ કરીએ છીએ કે જેથી સપાટીના દરેક બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અચળ રહે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ તથા ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો અચળ રહે.
આ વીજભાર વિતરણની સંમિતિને અનુરૂપ એક સંમિત બંધ સપાટી પસંદ કરીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન રહે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 1 \hat{j} \ N/C$ તરીકે આપેલ છે.
ચોરસ $XY$-સમતલમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $XY$-સમતલને લંબ એટલે કે $Z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 1 \hat{k} \ m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\phi = (1 \hat{j}) \cdot (1 \hat{k})$
કારણ કે લંબ એકમ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$ થાય છે,તેથી ફ્લક્સ:
$\phi = 0 \ Nm^2/C$ થાય.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર છે.
ગોલીય ગૌસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા ગમે તે હોય,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન રહે છે,તેથી સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ અચળ રહે છે.
તેથી,ગૌસિયન સપાટીની ત્રિજ્યાને $3$ ગણી કરવા છતાં ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
આમ,ફ્લક્સ $-1.0 \times 10^3 \ Nm^2 \ C^{-1}$ જ રહેશે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ બંધિત વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{N}^{-1} \text{m}^{-2})$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = 1.9 \times 10^5 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.
વિદ્યુતભાર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $q = \phi \varepsilon_0$.
કિંમતો મૂકતા: $q = (1.9 \times 10^5) \times (8.854 \times 10^{-12})$.
$q = 16.8226 \times 10^{-7} \text{ C}$.
$q \approx 1.68 \times 10^{-6} \text{ C} = 1.68 \mu \text{C}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$q \approx 2.0 \mu \text{C}$ મળે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમઘન એ $6$ સમાન બાજુઓ ધરાવતી સંમિત બંધ સપાટી હોવાથી,ફ્લક્સ બધી બાજુઓ પર સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોય છે.
તેથી,સમઘનની દરેક સપાટી સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ થાય.

(B) વિદ્યુત ફ્લક્સને સૂત્ર $\Phi = E \cdot A$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
આમ,વિદ્યુત ફ્લક્સનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \times [L^2] = [M^1 L^3 T^{-3} A^{-1}]$ થાય છે.

(D) ગૌસના નિયમમાં,ગૌસિયન સપાટી એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં એક કાલ્પનિક બંધ સપાટી છે,જેના દ્વારા સદિશ ક્ષેત્રનું ફ્લક્સ ગણવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ગૌસિયન સપાટી પરના કોઈપણ સપાટીના ખંડ $d\vec{S}$ ને સદિશ રાશિ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જ્યાં તેનું મૂલ્ય તે ખંડનું ક્ષેત્રફળ છે અને દિશા સપાટીને લંબ હોય છે.
કારણ કે ફ્લક્સ $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}$ માં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર સામેલ છે,તેથી સપાટીનો ખંડ પોતે મૂળભૂત રીતે સદિશ છે.
તેથી,ગણતરીમાં વપરાતા સપાટીના ખંડનું સ્વરૂપ સદિશ છે.

(B) સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકોના ગુણધર્મો અનુસાર,ધાતુના વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે $R$ ત્રિજ્યાના ધાતુના ગોળાની અંદર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય છે,તેથી આ ગોળાના દ્રવ્યની અંદર દોરેલી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \oint E \cdot dA = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બીજા ગોળા પરના બાહ્ય વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $R$ ત્રિજ્યાના ધાતુના ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વીજભાર છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ગોળા '$A$' ની ત્રિજ્યા ' $R$ ' છે અને તે ડાયપોલના મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે. $+q$ અને $-q$ વીજભાર વચ્ચેનું અંતર $2R$ છે. તેથી,દરેક વીજભારનું કેન્દ્રથી અંતર $R$ છે.
ગોળા '$A$' ની ત્રિજ્યા ' $R$ ' હોવાથી,તે માત્ર ગોળાના કેન્દ્રમાં રહેલા $-q$ વીજભારને જ ઘેરે છે.
આમ,ગોળા '$A$' દ્વારા ઘેરાયેલો વીજભાર $q_{\text{enclosed}} = -q$ છે.
તેથી,ગોળા '$A$' માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_A = \frac{-q}{\varepsilon_0}$ થશે.

(D) ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારના $\frac{1}{\epsilon_0}$ ગણું હોય છે.
તેથી,ગોસનો નિયમ કોઈપણ બંધ સપાટી માટે માન્ય છે,પછી ભલે તેનો આકાર ગમે તે હોય અથવા તેની અંદર વિદ્યુતભારોનું વિતરણ ગમે તે હોય.
સપાટીની બહારના વિદ્યુતભારો સપાટીમાંથી પસાર થતા ચોખ્ખા ફ્લક્સમાં ફાળો આપતા નથી.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(B) આપેલ છે કે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 3 \times 10^5 \hat{j} \text{ NC}^{-1}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = 10 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \times 0.3 \text{ m} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}^2$.
કારણ કે લંબચોરસનું સમતલ $ZX$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Y$-અક્ષની દિશામાં ( $ZX$-સમતલને લંબ) હશે.
તેથી,$\vec{A} = 3 \times 10^{-2} \hat{j} \text{ m}^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = (3 \times 10^5 \hat{j}) \cdot (3 \times 10^{-2} \hat{j})$
$\phi = 9 \times 10^3 \text{ Vm}$.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારો,$+q$ અને $-q$,થી બનેલી હોય છે જે એકબીજાથી થોડા અંતરે આવેલા હોય છે.
તેથી,ગોળાકાર સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{net} = q + (-q) = 0$ થાય છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{net}}{\varepsilon_0}$ છે.
$q_{net}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ મળે છે.

(D) ઘનની બાજુની લંબાઈ $a = 10 \,cm = 0.1 \,m$ છે. દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટી $ABCD$ માંથી અંદર પ્રવેશે છે અને સપાટી $EFGH$ માંથી બહાર નીકળે છે.
સપાટી $ABCD$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = -E_1 A = -(6 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = -60 \,Nm^2C^{-1}$ છે.
સપાટી $EFGH$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = E_2 A = (9 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = 90 \,Nm^2C^{-1}$ છે.
બાકીની ચાર સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર આ સપાટીઓને સમાંતર છે.
ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_1 + \phi_2 = -60 + 90 = 30 \,Nm^2C^{-1}$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ, $\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
તેથી, $q_{enclosed} = \phi_{net} \times \varepsilon_0 = 30 \,Nm^2C^{-1} \times 9 \times 10^{-12} \,Fm^{-1} = 270 \times 10^{-12} \,C = 0.27 \times 10^{-9} \,C = 0.27 \,nC$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને સમઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણ રીતે બંધ કરવા માટે આવા $8$ સમાન સમઘન દ્વારા વહેંચાય છે.
તેથી,એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{cube} = \frac{q}{8 \varepsilon_{0}}$ થાય.
સમઘનને $6$ સપાટીઓ હોય છે. વિદ્યુતભાર $q$ એક ખૂણા પર સ્થિત છે. આ ખૂણા પર મળતી ત્રણ સપાટીઓ (આ કિસ્સામાં,જો વિદ્યુતભાર $A$ પર હોય તો $ADHE$,$ABFE$ અને $ABCD$ સપાટીઓ) વિદ્યુતભાર $q$ ને તેમના સમતલમાં સમાવે છે. આ સપાટીઓ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીને સમાંતર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. તેથી,આ $3$ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $0$ છે.
બાકીની $3$ સપાટીઓ સમપ્રમાણતાને કારણે કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{cube}$ ને સમાન રીતે વહેંચે છે.
તેથી,બાકીની દરેક $3$ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi_{face} = \frac{\Phi_{cube}}{3} = \frac{q / 8 \varepsilon_{0}}{3} = \frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ થાય.
આમ,$ABCD$ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $( \varepsilon_{0} )$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_{0}} $.
જો વિદ્યુતભાર ગોસિયન સપાટીની બહાર હોય,તો ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $( q_{\text{enclosed}} )$ $ 0 $ થાય છે,તેથી ફ્લક્સ $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = 0 $ થાય છે.
જો વિદ્યુતભાર ગોસિયન સપાટીની અંદર હોય,તો ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $ q $ થાય છે,તેથી ફ્લક્સ $ \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{q}{\varepsilon_{0}} $ થાય છે.
આ નિયમ સાચો રહે છે,પછી ભલે બ્રહ્માંડમાં માત્ર એક જ પ્રકારનો વિદ્યુતભાર હોય કે બંને પ્રકારના વિદ્યુતભારો હોય.

(D) વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ અનુક્રમે અલગ ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. જો કે,પ્રકૃતિમાં ચુંબકીય મોનોપોલ્સ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી,તેથી આ પેટર્ન ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ માટે માન્ય નથી.
વિકલ્પ $(C)$ પ્રવાહ ધારિત વાહકની આસપાસ વર્તુળાકાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ લૂપ બનાવી શકતી નથી,તેથી આ વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે માન્ય નથી.
વિકલ્પ $(D)$ ડાયપોલની ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે. આ પેટર્ન વિદ્યુત ડાયપોલ (ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવતી અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ) અને ચુંબકીય ડાયપોલ (ચુંબકની બહાર ઉત્તરથી દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ અને અંદર દક્ષિણથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ સતત લૂપ બનાવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ) બંને માટે માન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને માટે માન્ય છે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે: બળની રેખા પર કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા આપે છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓથી વિપરીત,તેઓ બંધ ગાળો બનાવતી નથી.
વિધાન $C$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $q$ ઋણ હોય,તો બળ $F$ એ $E$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે: બે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતી નથી,કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદનબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ હોય,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર અંત પામે છે.
વિધાન $(i)$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $q$ ઋણ હોય,તો બળ $F$ એ $E$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા આપે છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ હોય,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
વિધાન $(iv)$ ખોટું છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળો બનાવતી નથી કારણ કે તે ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
પ્રશ્નમાં ખોટું વિધાન પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,માત્ર $(iv)$ ખોટું છે.

(A) ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ અનંત સુધી વિસ્તરે છે. આનું કારણ એ છે કે ધન વિદ્યુતભારની આસપાસના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ હંમેશા વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ $\phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા વિદ્યુત ફ્લક્સના પ્રમાણમાં હોવાથી,$+q$ વીજભારમાંથી બહાર આવતી રેખાઓની સંખ્યા સીધી રીતે વીજભાર $q$ ના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત રેખાઓની સંખ્યા વીજભારના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
$\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$
આપેલ છે,$\overrightarrow{E} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$.
સપાટી $yz$-સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} \text{ m}^2$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\Phi = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i})$
$\Phi = (3 \times 3) (\hat{i} \cdot \hat{i}) + (5 \times 0) + (7 \times 0)$
$\Phi = 9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ગોસના પ્રમેય મુજબ,બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર '$q$' વિદ્યુતભાર હોવાથી,તેની છ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ થાય.
સમઘન સંમિત હોવાથી,દરેક છ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
તેથી,દરેક સપાટી માટે ફ્લક્સ $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ થાય.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} \ N C^{-1}$ છે.
ચોરસ ક્ષેત્રફળ $y-z$ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2 \ m) \times (2 \ m) = 4 \ m^2$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A} = 4 \hat{i} \ m^2$ થશે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (3 \times 4) \hat{i} \cdot \hat{i} + (5 \times 4) \hat{j} \cdot \hat{i}$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી:
$\phi = 12 \times 1 + 20 \times 0 = 12 \ N C^{-1} \ m^2$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને તે $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{i} \text{ N/C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બંધ સપાટી (સમઘન) માટે,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ગૌસના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\phi_{\text{net}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,એક બાજુમાંથી પ્રવેશતું ફ્લક્સ અને તેની સામેની બાજુમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે,પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
ખાસ કરીને,$x$-અક્ષને લંબ બે બાજુઓ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશો $\vec{A}_1 = -A \hat{i}$ અને $\vec{A}_2 = A \hat{i}$ છે.
આ બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A}_1 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = -EA$ અને $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A}_2 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = EA$ છે.
બાકીની ચાર બાજુઓ માટે,ક્ષેત્રફળ સદિશો વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ છે $(\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0)$,તેથી તેમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $0$ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \phi_1 + \phi_2 + 0 + 0 + 0 + 0 = -EA + EA = 0$ થાય છે.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના ડોટ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
$\overrightarrow{E} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$
$\overrightarrow{A} = 10 \hat{i} \text{ m}^2$
સૂત્ર $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\phi = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (10 \hat{i})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,અને $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ હોવાથી:
$\phi = (2 \times 10) \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1} = 20 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_{0}$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
$\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
અહીં આપેલ છે કે વિદ્યુતભાર એકમ ધન વિદ્યુતભાર છે,તેથી $q = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{1}{\varepsilon_{0}} = \left(\varepsilon_{0}\right)^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વિદ્યુતભારો $x = 0, \pm 1 \text{ cm}, \pm 2 \text{ cm}, \pm 3 \text{ cm}, \dots$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
ગોળીય સપાટીની ત્રિજ્યા $2.5 \text{ cm}$ છે અને તે ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત હોવાથી,તે $x = 0, \pm 1 \text{ cm},$ અને $\pm 2 \text{ cm}$ પર રહેલા વિદ્યુતભારોને આવરી લે છે.
આમ,કુલ આવરી લેવાયેલા વિદ્યુતભારોની સંખ્યા $1$ (ઉગમબિંદુ પર) $+ 2$ ($\pm 1 \text{ cm}$ પર) $+ 2$ ($\pm 2 \text{ cm}$ પર) $= 5$ વિદ્યુતભારો છે.
તેથી,ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}} = 5q$ થાય.
ગોસના નિયમ મુજબ,ગોળીય સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ છે.
તેથી,$\phi = \frac{5q}{\varepsilon_0}$.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{net}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સપાટી $A$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $q$,$3q$,$-2q$,અને $-5q$ છે.
તેથી,$(q_{\text{net}})_A = q + 3q - 2q - 5q = -3q$.
આમ,$\phi_A = \frac{-3q}{\varepsilon_0}$.
સપાટી $B$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $3q$,$-q$,અને $2q$ છે.
તેથી,$(q_{\text{net}})_B = 3q - q + 2q = 4q$.
આમ,$\phi_B = \frac{4q}{\varepsilon_0}$.
હવે,ફ્લક્સનો ગુણોત્તર:
$\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{-3q / \varepsilon_0}{4q / \varepsilon_0} = -\frac{3}{4}$.

(A) પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા મોટા વિદ્યુતભારીત સમતલને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\sigma = 4.9 \times 10^{-6} \text{ C m}^{-2}$ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ (સપાટીને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં છે. વર્તુળાકાર સમતલનો લંબ $z$-અક્ષ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.01 \text{ m})^2 = \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2 \varepsilon_0} = 18 \pi \times 10^9$ થાય.
તેથી,$\phi = \left( \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \right) A \cos 60^{\circ} = (\sigma \times 18 \pi \times 10^9) \times (\pi \times 10^{-4}) \times \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = (4.9 \times 10^{-6}) \times (18 \pi^2 \times 10^5) \times 0.5 = 43.56 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી $P_1$ માટે,બંધિત વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}, 1} = \frac{Q}{2}$ છે.
તેથી,$P_1$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi_1 = \frac{Q/2}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{2\varepsilon_0}$ છે.
સપાટી $P_2$ માટે,બંધિત વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}, 2} = \frac{Q}{2} + 4Q = \frac{9Q}{2}$ છે.
તેથી,$P_2$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ $\phi_2 = \frac{9Q/2}{\varepsilon_0} = \frac{9Q}{2\varepsilon_0}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\phi_2 = 9 \times \left(\frac{Q}{2\varepsilon_0}\right) = 9\phi_1$ મળે છે.

(A) સ્થિતવિદ્યુતશાસ્ત્રના ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$.
ગોસિયન સપાટી $A$ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોનો સરવાળો છે:
$q = q_1 + q_2 + q_3$
$q = (-14 + 78.85 - 56) \text{ nC} = 8.85 \text{ nC} = 8.85 \times 10^{-9} \text{ C}$.
મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને વિદ્યુત ફ્લક્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{8.85 \times 10^{-9} \text{ C}}{8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}}$
$\phi = 10^3 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-1}$.

(B) આપેલ છે: પ્લેટની ત્રિજ્યા, $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર, $E = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \,NC^{-1}$.
પ્લેટ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પ્લેટના લંબ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = EA \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (2 \sqrt{3} \times 10^5) \times (0.01 \pi) \times \cos 30^{\circ}$.
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી:
$\phi = 2 \sqrt{3} \times 10^5 \times 0.01 \pi \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\phi = 3 \times 10^3 \times \pi = 3 \times 3.14159 \times 10^3 = 9.42477 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.
આમ, $\phi \approx 9.42 \times 10^3 \,Nm^2 C^{-1}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
સપાટી $S_2$ માટે,ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ છે.
તેથી,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = (+q) + (-q) = 0$ થાય.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $\Phi_E = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ મળે છે.
આમ,સપાટી $S_2$ માંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કુલ બંધિત વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = (\frac{1}{\pi} + \frac{2}{\pi} + \frac{3}{\pi} + \frac{4}{\pi} - \frac{5}{\pi}) \times 10^{-9} \ C = \frac{5}{\pi} \times 10^{-9} \ C$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\phi = \frac{5 \times 10^{-9}}{\pi \varepsilon_0}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{\pi \varepsilon_0} = 4 \times 9 \times 10^9 = 36 \times 10^9$ થાય.
તેથી,$\phi = 5 \times 10^{-9} \times 36 \times 10^9 = 180 \ Nm^2 C^{-1}$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે,$q = 10^{-7} \text{ C}$ અને $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \cdot \text{N}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{10^{-7}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{1}{8.854} \times 10^5$
$\phi \approx 0.1129 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
$\phi \approx 1.129 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\phi \approx 1.13 \times 10^4 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-1}$ મળે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_m$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી છે.
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = 8 \ C$ છે.
માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon_m = K \varepsilon_0$ છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
અહીં $K = 4$ આપેલ છે,તેથી $\varepsilon_m = 4 \varepsilon_0$.
આ કિંમતોને ફ્લક્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{8}{4 \varepsilon_0} = \frac{2}{\varepsilon_0}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = a \hat{i} + b \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y-z$ સમતલને સમાંતર $l$ બાજુવાળા ચોરસ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,તેથી $\overrightarrow{A} = l^2 \hat{i}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi = (a \hat{i} + b \hat{j}) \cdot (l^2 \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી આપણને $\Phi = a l^2 (1) + b l^2 (0) = a l^2$ મળે છે.
આમ,કુલ ફ્લક્સ $a l^2$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $Q = \varepsilon_0 \oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ મળે છે.
તેથી,પદ $\varepsilon_0 \vec{E} \cdot \overrightarrow{ds}$ એ વિદ્યુતભાર $Q$ ના પરિમાણ ધરાવે છે.

(A) ગોલીય કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \text{પૃષ્ઠફળ} \times \text{પૃષ્ઠ ઘનતા} = (4 \pi R^2) \sigma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$Q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
$Q$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi_{\text{total}} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
સમઘન એ એક સંમિત બંધ સપાટી છે અને ગોલીય કવચ તેના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યું હોવાથી,કુલ ફ્લક્સ સમઘનની $6$ બાજુઓ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સમઘનની એક બાજુમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{4 \pi R^2 \sigma}{6 \varepsilon_0} = \frac{2 \pi R^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$ થાય.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k} \text{ NC}^{-1}$ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $yz$ સમતલ પર હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 20 \hat{i} \text{ m}^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\Phi_E = \overrightarrow{E} \cdot \vec{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi_E = (24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Phi_E = 24 \times 20 = 480 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $q = 6 \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$ સમઘનના કેન્દ્ર પર હોવાથી,ફ્લક્સ $6$ બાજુઓમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{net}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\phi_{\text{face}} = \frac{6 \times 10^{-6}}{6} \times (36 \pi \times 10^9) = 10^{-6} \times 36 \pi \times 10^9 = 36 \pi \times 10^3 \ Nm^2 / C$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સપાટીના કદ કે આકાર પર આધારિત નથી; તે ફક્ત તેની અંદર રહેલા ચોખ્ખા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
જો બાજુની લંબાઈ બદલીને $\frac{2}{3} l$ કરવામાં આવે,તો ભૌમિતિક ફેરફારને કારણે ફ્લક્સ પર કોઈ અસર થતી નથી.
જો બંધિત વિદ્યુતભાર બમણો કરવામાં આવે,તો નવો વિદ્યુતભાર $Q' = 2Q$ થાય છે.
નવું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi'$ એ $\phi' = \frac{Q'}{\varepsilon_0} = \frac{2Q}{\varepsilon_0} = 2 \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) = 2 \phi$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,નવું વિદ્યુત ફ્લક્સ $2 \phi$ થશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ છે.
જો કોઈ બંધ સપાટી કોઈ વિદ્યુતભાર ધરાવતી ન હોય $(q_{\text{net}} = 0)$,તો સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જોકે,આનો અર્થ એ નથી કે સપાટી પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીમાંથી પસાર થઈ શકે છે,જે એક બિંદુએ દાખલ થાય અને બીજા બિંદુએ બહાર નીકળે,જેના પરિણામે દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થયા વગર પણ કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય થઈ શકે છે.
તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{net enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કવચની ત્રિજ્યા કરતા મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતી સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર એ કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $(q_1)$ અને નક્કર ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $(q_2)$ નો સરવાળો છે.
$1$. કવચ પરનો વિદ્યુતભાર: $q_1 = \sigma \times A_1 = (-10^{-5} \ C/m^2) \times 4 \pi (\sqrt{0.06})^2 = -2.4 \pi \times 10^{-6} \ C$.
$2$. નક્કર ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર: $q_2 = \rho \times V_2 = (3 \times 10^{-5} \ C/m^3) \times \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{0.01})^3 = 0.4 \pi \times 10^{-6} \ C$.
કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર: $q_{\text{net}} = q_1 + q_2 = -2.0 \pi \times 10^{-6} \ C$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.