Domain and Range Questions in Hindi

(D) माना $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.
हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$.
चूंकि सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $x^2 + 1 \ge 1$ है।
इसका अर्थ है कि $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2$ प्राप्त होता है।
अब,$-1$ से गुणा करने पर असमिका उलट जाती है:
$-2 \le -\frac{2}{x^2 + 1} < 0$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर:
$1 - 2 \le 1 - \frac{2}{x^2 + 1} < 1 + 0$.
$-1 \le f(x) < 1$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है,जो $x = 0$ पर प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ अंतराल $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ में स्थित होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -\sqrt{3}$ है।
अतः,$\sin x - \sqrt{3} \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}, \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}] = [-\sqrt{1+3}, \sqrt{1+3}] = [-2, 2]$ है।
इस असमिका में $1$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-2 + 1 \le \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1 \le 2 + 1$.
$-1 \le f(x) \le 3$.
चूंकि फलन $f$ आच्छादक है,इसलिए सह-प्रांत $S$ फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$S = [-1, 3]$.

(B) फलन $f(x) = \frac{|x - 3|}{x - 3}$ के रूप में परिभाषित है।
फलन को परिभाषित होने के लिए हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x - 3 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 3$।
अतः,प्रांत $R - \{3\}$ है।
यदि $x > 3$ है,तो $|x - 3| = x - 3$,इसलिए $f(x) = \frac{x - 3}{x - 3} = 1$।
यदि $x < 3$ है,तो $|x - 3| = -(x - 3)$,इसलिए $f(x) = \frac{-(x - 3)}{x - 3} = -1$।
इसलिए,परिसर $\{-1, 1\}$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(D) महत्तम पूर्णांक फलन को $f(x) = [x]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ का मान हमेशा एक पूर्णांक होता है।
अतः,महत्तम पूर्णांक फलन का परिसर सभी पूर्णांकों का समुच्चय है,जिसे $\mathbb{Z}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) फलन $f(x) = \frac{\sin^{-1}(3 - x)}{\ln(|x| - 2)}$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1$. $\sin^{-1}$ का तर्क (argument) $[-1, 1]$ में होना चाहिए:
$-1 \le 3 - x \le 1$
$-4 \le -x \le -2$
$2 \le x \le 4$
अतः,अंश का प्रांत $[2, 4]$ है।
$2$. $\ln$ का तर्क धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए:
$|x| - 2 > 0 \implies |x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
साथ ही,$\ln(|x| - 2) \neq 0 \implies |x| - 2 \neq 1 \implies |x| \neq 3 \implies x \neq 3, x \neq -3$.
इन दोनों को मिलाने पर,हर का प्रांत $(-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$ प्राप्त होता है।
$3$. $f(x)$ का प्रांत इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन (intersection) है:
$[2, 4] \cap ((-\infty, -3) \cup (-3, -2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)) = (2, 3) \cup (3, 4]$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) फलन $f(x) = \log |x^2 - 9|$ तब परिभाषित होता है जब $|x^2 - 9| > 0$ हो।
चूंकि निरपेक्ष मान $|x^2 - 9|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|x^2 - 9| > 0$ की शर्त सभी $x$ के लिए संतुष्ट होती है सिवाय उन बिंदुओं के जहाँ $x^2 - 9 = 0$ हो।
$x^2 - 9 = 0$ को हल करने पर $x^2 = 9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 3$ या $x = -3$।
अतः,फलन $x = 3$ और $x = -3$ पर अपरिभाषित है।
इस प्रकार,फलन का प्रांत $R - \{-3, 3\}$ है।

(C) फलन $f(x) = \log |\log x|$ तब परिभाषित होता है जब बाहरी लघुगणक का तर्क धनात्मक हो,अर्थात $|\log x| > 0$,और आंतरिक लघुगणक का तर्क धनात्मक हो,अर्थात $x > 0$ हो।
$|\log x| > 0$ के लिए,$\log x \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x \neq 1$।
शर्तों $x > 0$ और $x \neq 1$ को मिलाने पर,हमें प्रांत $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\log_2(x + 3)}{x^2 + 3x + 2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x^2 + 3x + 2 \neq 0$.
हर का गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(x + 2) \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq -1$ और $x \neq -2$.
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-3, \infty)$ है,जिसमें $\{-1, -2\}$ बिंदु शामिल नहीं हैं।
अतः,प्रांत $(-3, \infty) - \{-1, -2\}$ है।

(B) फलन $f(x)$ तब परिभाषित होता है यदि निम्नलिखित शर्तें पूरी हों:
$1$. $\sec^{-1}x$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है,जिसे $R - (-1, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$2$. हर $\sqrt{x - [x]}$ परिभाषित और गैर-शून्य होना चाहिए। वर्गमूल के अंदर की अभिव्यक्ति धनात्मक होनी चाहिए: $x - [x] > 0$.
$3$. चूंकि $x - [x] = \{x\}$ ($x$ का भिन्नात्मक भाग),शर्त $x - [x] > 0$ का अर्थ है कि $x$ पूर्णांक नहीं हो सकता। अतः,$x \in R - Z$.
$4$. इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,फलन $x \in (R - (-1, 1)) \cap (R - Z)$ के लिए परिभाषित है।
$5$. यह प्रतिच्छेदन $R - ((-1, 1) \cup \{n \mid n \in Z\})$ के बराबर है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 6x + 7$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करने पर:
$f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 7$
$f(x) = (x - 3)^2 - 2$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x - 3)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $(x - 3)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $0 - 2 = -2$ है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$,वैसे-वैसे $f(x) \to \infty$ होता है।
इस प्रकार,फलन का परिसर $[-2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log \frac{1}{|\sin x|}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\log \frac{1}{|\sin x|} \ge 0$
चूंकि $\log 1 = 0$,इसका अर्थ है $\frac{1}{|\sin x|} \ge 1$,जिसका अर्थ है $|\sin x| \le 1$.
साथ ही,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $\frac{1}{|\sin x|} > 0$,जो $|\sin x| \neq 0$ के लिए हमेशा सत्य है।
इसके अतिरिक्त,हर शून्य नहीं हो सकता: $|\sin x| \neq 0$.
$|\sin x| \neq 0 \implies \sin x \neq 0 \implies x \neq n\pi$,जहाँ $n \in I$.
अतः,प्रांत $R - \{ n\pi : n \in I \}$ है।

(C) फलन $f(x) = \log (\sqrt {x - 4} + \sqrt {6 - x} )$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक (logarithm) के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
$1$. $\sqrt{x-4}$ को परिभाषित होने के लिए,$x - 4 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \ge 4$।
$2$. $\sqrt{6-x}$ को परिभाषित होने के लिए,$6 - x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 6$।
$3$. योग $\sqrt{x-4} + \sqrt{6-x}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। चूंकि लघुगणक धनात्मक मानों के लिए परिभाषित है,हम जांचते हैं कि क्या योग शून्य हो सकता है। योग केवल तभी शून्य होता है जब $x-4=0$ और $6-x=0$ हो,जो संभव नहीं है। अतः,$x \in [4, 6]$ के लिए योग हमेशा धनात्मक रहता है।
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in [4, 6]$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = [\log_{10}(\frac{5x - x^2}{4})]^{1/2}$ है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
सबसे पहले,$\log_{10}(\frac{5x - x^2}{4}) \ge 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\frac{5x - x^2}{4} \ge 10^0$,जो $\frac{5x - x^2}{4} \ge 1$ में सरल हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,$5x - x^2 \ge 4$,या $x^2 - 5x + 4 \le 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x - 4) \le 0$ मिलता है।
यह असमिका $x \in [1, 4]$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन का प्रांत $[1, 4]$ है।

(C) फलन $f(x) = \log_{3+x}(x^2 - 1)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
$2$. लघुगणक का आधार धनात्मक होना चाहिए और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए: $3 + x > 0 \implies x > -3$ और $3 + x \neq 1 \implies x \neq -2$.
इन शर्तों को संयोजित करने पर:
$x > -3$ और $x \neq -2$ और $(x < -1$ या $x > 1)$.
इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन:
$(-3, -2) \cup (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\sin 2x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$\sin 2x \geq 0$.
ज्या (sine) फलन प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में ऋणेतर होता है,अर्थात $[2n\pi, 2n\pi + \pi]$ अंतराल में।
अतः,$2n\pi \leq 2x \leq 2n\pi + \pi$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $n\pi \leq x \leq n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्रांत $[n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}]$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{3}{4 - x^2} + \log_{10}(x^3 - x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0$ $\Rightarrow x^2 \neq 4$ $\Rightarrow x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
असमिका का गुणनखंड करने पर: $x(x - 1)(x + 1) > 0$.
संख्या रेखा पर $-1, 0, 1$ बिंदुओं का उपयोग करके,व्यंजक $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ अंतराल में धनात्मक है।
शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ और $x \neq \pm 2$.
चूंकि $2$ अंतराल $(1, \infty)$ में स्थित है,इसलिए इसे हटाना होगा।
अतः,प्रांत $D = (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{2 - 2x - x^2}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$2 - 2x - x^2 \ge 0$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका का चिह्न बदलने पर:
$x^2 + 2x - 2 \le 0$
द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 + 2x + 1) - 1 - 2 \le 0$
$(x + 1)^2 - 3 \le 0$
$(x + 1)^2 \le 3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$-\sqrt{3} \le x + 1 \le \sqrt{3}$
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-1 - \sqrt{3} \le x \le -1 + \sqrt{3}$
अतः,प्रांत $[-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}]$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{x - 3}{(x - 1)\sqrt{x^2 - 4}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए और हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. वर्गमूल के लिए शर्त $x^2 - 4 > 0$ है,जिसका अर्थ है $x^2 > 4$,अतः $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।
$2$. हर के लिए शर्त $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$ है। इसका अर्थ है $x - 1 \neq 0$ (अर्थात $x \neq 1$) और $\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$ (अर्थात $x \neq \pm 2$)।
$3$. इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है और $x \neq 1$। चूंकि $1$ अंतराल $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ में नहीं है,इसलिए प्रांत $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ ही रहेगा।

(B) फलन $\sqrt{\log \left\{ \frac{5x - x^2}{6} \right\}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: $\log \left\{ \frac{5x - x^2}{6} \right\} \ge 0$।
इसका अर्थ है $\frac{5x - x^2}{6} \ge 10^0$,जो सरल होकर $\frac{5x - x^2}{6} \ge 1$ हो जाता है।
$6$ से गुणा करने पर,हमें $5x - x^2 \ge 6$ प्राप्त होता है,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 - 5x + 6 \le 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x - 3) \le 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x \in [2, 3]$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $[2, 3]$ है।

(C) फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर के व्यंजकों को विशिष्ट शर्तों को पूरा करना होगा:
$(i)$ $\sqrt{2 - x}$ के परिभाषित होने के लिए,$2 - x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 2$.
(ii) $\frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$ के परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए: $9 - x^2 > 0$.
इसका अर्थ है $x^2 < 9$,जिसका अर्थ है $-3 < x < 3$.
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेते हैं: $x \le 2$ और $-3 < x < 3$.
$(-\infty, 2]$ और $(-3, 3)$ का प्रतिच्छेदन $(-3, 2]$ है।
अतः,प्रांत $(-3, 2]$ है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक नहीं होना चाहिए:
$1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$
$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$
इन दोनों को मिलाने पर,$x \in [-1, 1]$ प्राप्त होता है।
$2$. हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए:
$x \neq 0$
दोनों शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $[-1, 1] \setminus \{0\}$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{x - x^2} + \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}$ परिभाषित है यदि वर्गमूल के अंदर के सभी व्यंजक अऋणात्मक हों।
$1$. $\sqrt{4 + x}$ के लिए,$4 + x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \ge -4$।
$2$. $\sqrt{4 - x}$ के लिए,$4 - x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 4$।
$3$. $\sqrt{x - x^2}$ के लिए,$x - x^2 \ge 0$,अर्थात $x(1 - x) \ge 0$। यह असमिका $0 \le x \le 1$ के लिए सत्य है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेते हैं:
$x \in [-4, \infty) \cap (- \infty, 4] \cap [0, 1] = [0, 1]$।
अतः,फलन का प्रांत $[0, 1]$ है।

(A) दिया गया प्रांत $-1 \le x \le 1$ है।
चूंकि $f(x) = \frac{1}{1 + e^x}$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है,इसलिए परिसर $[f(1), f(-1)]$ होगा।
मानों की गणना करने पर:
$f(1) = \frac{1}{1 + e^1} = \frac{1}{1 + e}$
$f(-1) = \frac{1}{1 + e^{-1}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{e}} = \frac{e}{e + 1}$
अतः,परिसर $\left[ \frac{1}{1+e}, \frac{e}{1+e} \right]$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\log({x^2} - 6x + 6)}$ तब परिभाषित होता है जब $\log({x^2} - 6x + 6) \ge 0$ हो।
इसका अर्थ है कि ${x^2} - 6x + 6 \ge 10^0$,जो सरल होकर ${x^2} - 6x + 6 \ge 1$ हो जाता है।
असमानता को व्यवस्थित करने पर,हमें ${x^2} - 6x + 5 \ge 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(x - 5)(x - 1) \ge 0$ प्राप्त होता है।
इस असमानता को हल करने पर,हमें $x \le 1$ या $x \ge 5$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $(-\infty, 1] \cup [5, \infty)$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए:
$1 - \frac{1}{x} \ge 0$
$\frac{x - 1}{x} \ge 0$
क्रांतिक बिंदुओं $x = 0$ और $x = 1$ के लिए साइन स्कीम का उपयोग करने पर:
यह व्यंजक $(-\infty, 0)$ और $[1, \infty)$ अंतरालों में धनात्मक है।
ध्यान दें कि $x = 0$ को बाहर रखा गया है क्योंकि हर (denominator) शून्य नहीं हो सकता।
अतः,प्रांत $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + x - 6}$ है।
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$।
हर का गुणनखंड करने पर: $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$।
अतः,$f(x) = \frac{(x - 2)(x - 1)}{(x + 3)(x - 2)}$।
फलन उन सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है जहाँ हर शून्य न हो।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $(x + 3)(x - 2) = 0$,जिससे $x = -3$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन का प्रांत $2$ और $-3$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
प्रांत = $\{x : x \in R, x \neq 2, x \neq -3\}$।

(A) फलन तब परिभाषित होता है जब $x^2 - 1 > 0$ हो।
इसका तात्पर्य है कि $x^2 > 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| > 1$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x < -1$ या $x > 1$ हो।
अतः,प्रांत $( - \infty, -1) \cup (1, \infty)$ है।

(A) फलन $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
हम जानते हैं कि $x \geq 0$ के लिए $|x| = x$ होता है,इसलिए $x > x$ असत्य है।
$x < 0$ के लिए $|x| = -x$ होता है,इसलिए असमिका $-x > x$ बन जाती है,जो $0 > 2x$ या $x < 0$ में सरल हो जाती है।
अतः,फलन का प्रांत $( - \infty, 0)$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x^2 + 1}$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों वर्गमूल पदों का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए।
$1$. $\sqrt{x^2 - 1}$ के लिए,हमें $x^2 - 1 \ge 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x^2 \ge 1$। यह स्थिति $x \le -1$ या $x \ge 1$ के लिए सत्य है।
$2$. $\sqrt{x^2 + 1}$ के लिए,हमें $x^2 + 1 \ge 0$ की आवश्यकता है,जो सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,प्रांत $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है,जिसे $(-\infty, \infty) - (-1, 1)$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) फलन $f(x) = \exp (\sqrt {5x - 3 - 2{x^2}} )$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक होना चाहिए:
$5x - 3 - 2{x^2} \ge 0$
$-1$ से गुणा करने और असमिका के चिह्न को बदलने पर:
$2{x^2} - 5x + 3 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$2{x^2} - 2x - 3x + 3 \le 0$
$2x(x - 1) - 3(x - 1) \le 0$
$(2x - 3)(x - 1) \le 0$
$2(x - 1)(x - 1.5) \le 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $x \in [1, 1.5]$ के लिए $\le 0$ है।
अतः,प्रांत $\left[ {1, \frac{3}{2}} \right]$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sec \left( \frac{\pi}{4} \cos^2 x \right)$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$\cos^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ होता है।
इसलिए,सेकेंट फलन का कोण $\theta = \frac{\pi}{4} \cos^2 x$,अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में स्थित है।
चूँकि सेकेंट फलन अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ पर वर्धमान है,हम सीमाओं पर मान ज्ञात करते हैं:
जब $\cos^2 x = 0$,तब $f(x) = \sec(0) = 1$ है।
जब $\cos^2 x = 1$,तब $f(x) = \sec \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$ है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[1, \sqrt{2}]$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1}$.
हम फलन को $y = \frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} = 1 + \frac{1}{x^2 + x + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $g(x) = x^2 + x + 1$ है। $g(x)$ का न्यूनतम मान $x = -1/2$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-1/2) = 3/4$ है।
चूँकि $x^2 + x + 1$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,इसका परिसर $[3/4, \infty)$ है।
इसलिए,$\frac{1}{x^2 + x + 1}$ का परिसर $(0, 4/3]$ है।
इसमें $1$ जोड़ने पर,$f(x)$ का परिसर $(1, 7/3]$ प्राप्त होता है।

(B) फलन को $f(x) = [x] - x$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x = [x] + \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ संख्या $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
इसलिए,$[x] - x = -\{x\}$ होगा।
भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ का मान अंतराल $[0, 1)$ में होता है।
अतः,$-\{x\}$ का मान अंतराल $(-1, 0]$ में होगा।
इसलिए,फलन $f(x) = [x] - x$ का परिसर $(-1, 0]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x + 2}{|x + 2|}$ है।
हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x + 2|$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$|x + 2| = \begin{cases} x + 2, & \text{यदि } x + 2 > 0 \text{ (अर्थात } x > -2) \\ -(x + 2), & \text{यदि } x + 2 < 0 \text{ (अर्थात } x < -2) \end{cases}$
जब $x > -2$ हो,तो $f(x) = \frac{x + 2}{x + 2} = 1$ होता है।
जब $x < -2$ हो,तो $f(x) = \frac{x + 2}{-(x + 2)} = -1$ होता है।
ध्यान दें कि $x = -2$ पर फलन अपरिभाषित है क्योंकि हर (denominator) शून्य हो जाता है।
अतः,फलन $f(x)$ का परिसर $\{-1, 1\}$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ है।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,अंश ऋणेतर है और हर हमेशा अंश से बड़ा है।
जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to 1$,लेकिन $f(x)$ कभी भी $1$ तक नहीं पहुँचता क्योंकि $x^2 < x^2 + 1$ है।
जब $x = 0$,तब $f(0) = \frac{0}{0 + 1} = 0$ है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 1)$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{1}{2 - \sin 3x}$.
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$\sin 3x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \le \sin 3x \le 1$.
$-1$ से गुणा करने पर,$-1 \le -\sin 3x \le 1$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $2$ जोड़ने पर,$2 - 1 \le 2 - \sin 3x \le 2 + 1$,जो सरल होकर $1 \le 2 - \sin 3x \le 3$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,असमिका के चिह्न बदल जाते हैं: $\frac{1}{1} \ge \frac{1}{2 - \sin 3x} \ge \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$\frac{1}{3} \le f(x) \le 1$.
अतः,फलन का परिसर $[\frac{1}{3}, 1]$ है।

(B) हम जानते हैं कि मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$,किसी भी वास्तविक संख्या $\theta$ के लिए सत्य है।
दिए गए फलन में,मान लीजिए $\theta = x^4$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^4$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $f(x) = \sin^2(x^4) + \cos^2(x^4) = 1$ होगा।
चूंकि फलन का मान इनपुट $x$ के बावजूद हमेशा $1$ रहता है,इसलिए फलन का परिसर $\{1\}$ है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \le \sin x \le 1$ है।
$-7$ से गुणा करने पर,हमें $-7 \le -7 \sin x \le 7$ प्राप्त होता है (असमिका का चिह्न बदल जाएगा)।
सभी भागों में $9$ जोड़ने पर,हमें $9 - 7 \le 9 - 7 \sin x \le 9 + 7$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $2 \le f(x) \le 16$ हो जाता है।
अतः,फलन का परिसर $[2, 16]$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$.
$y(x^2 + 2x - 7) = x^2 + 34x - 71$
$x^2(y - 1) + x(2y - 34) - 7y + 71 = 0$.
$x$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$:
$D = (2y - 34)^2 - 4(y - 1)(-7y + 71) \ge 0$
$4(y - 17)^2 - 4(-7y^2 + 78y - 71) \ge 0$
$y^2 - 14y + 45 \ge 0$
$(y - 5)(y - 9) \ge 0$.
अतः,$y \le 5$ या $y \ge 9$.
परिसर $( - \infty, 5] \cup [9, \infty)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
हम इसे $f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x \cdot \sin^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$,इसलिए $f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x(1 - \cos^2 x)$.
$f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x$.
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ से गुणा और भाग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{4}(4 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - \frac{1}{4} \sin^2(2x)$.
चूंकि $0 \le \sin^2(2x) \le 1$,इसलिए $1 - \frac{1}{4}(1) \le f(x) \le 1 - \frac{1}{4}(0)$.
अतः,$\frac{3}{4} \le f(x) \le 1$.
इसलिए,$f(R) \in \left[ \frac{3}{4}, 1 \right]$.

(A) फलन $f(x) = \log_e(x - [x])$ तब परिभाषित होता है जब लघुगणक का तर्क (argument) शून्य से अधिक हो।
अतः,हमें $x - [x] > 0$ की आवश्यकता है।
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) को $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
भिन्नात्मक भाग फलन का परिसर (range) $[0, 1)$ है।
$\log_e(\{x\})$ को परिभाषित होने के लिए,हमें $\{x\} > 0$ की आवश्यकता है।
जब $x$ एक पूर्णांक $(x \in Z)$ होता है,तो $\{x\} = 0$ होता है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों के लिए अपरिभाषित है।
सभी गैर-पूर्णांक मानों $(x \in R - Z)$ के लिए,$\{x\} > 0$ होता है।
इसलिए,फलन का प्रांत $R - Z$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ है।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,इसलिए अंश हमेशा गैर-ऋणात्मक है और हर हमेशा अंश से बड़ा है।
जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$,$y \to 1$ होता है,लेकिन $y$ कभी भी $1$ तक नहीं पहुँचता क्योंकि $x^2 < x^2 + 1$ है।
जब $x = 0$,तब $y = \frac{0}{0+1} = 0$ है।
चूँकि $x^2 \ge 0$ और $x^2 + 1 > 0$ है,इसलिए $y$ का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक रहता है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 1)$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1 - x)} + \sqrt{x + 2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर की संख्या ऋणेतर होनी चाहिए: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log_{10}(1 - x) \ne 0 \implies 1 - x \ne 1 \implies x \ne 0$.
इन शर्तों को मिलाने पर: $x \ge -2$ और $x < 1$ और $x \ne 0$.
अतः,प्रांत $[-2, 0) \cup (0, 1)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
हम इसे $2^y = 2 - 2^x$ के रूप में लिख सकते हैं।
$y$ के वास्तविक मान के लिए,$2^y$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,$2 - 2^x > 0$।
इसका अर्थ है कि $2 > 2^x$।
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए यह असमिका तब सत्य होती है जब घातांक $1 > x$ का पालन करते हैं।
अतः,$x$ का प्रांत $( - \infty , 1)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.
हम फलन को $f(x) = \frac{x^2 + 1 - 2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,हमारे पास $x^2 + 1 \ge 1$ है,जिसका अर्थ है $0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2$।
इस असमिका को $1$ से घटाने पर,हमें $1 - 2 \le 1 - \frac{2}{x^2 + 1} < 1 - 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$-1 \le f(x) < 1$।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $x^2 = 0$,अर्थात $x = 0$।
$f(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1$।
इसलिए,$f$ का न्यूनतम मान $-1$ है।

(B) माना $y = \frac{x}{x^2 + 4}$.
$yx^2 - x + 4y = 0$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होगा।
$D = (-1)^2 - 4(y)(4y) \ge 0$.
$1 - 16y^2 \ge 0$.
$16y^2 \le 1$.
$y^2 \le \frac{1}{16}$.
अतः,$\frac{-1}{4} \le y \le \frac{1}{4}$.

(B) फलन $f(x) = 4^{-x^2} + \cos^{-1}\left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \log(\cos x)$ तभी परिभाषित होता है जब इसके सभी घटक परिभाषित हों।
$1$. $\cos^{-1}\left( \frac{x}{2} - 1 \right)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \leq \frac{x}{2} - 1 \leq 1$ होना चाहिए।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर: $0 \leq \frac{x}{2} \leq 2$।
$2$ से गुणा करने पर: $0 \leq x \leq 4$।
$2$. $\log(\cos x)$ को परिभाषित होने के लिए,$\cos x > 0$ होना चाहिए।
अंतराल $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$\cos x > 0$ हमेशा सत्य है।
$3$. इन शर्तों को दिए गए अंतराल $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ के साथ संयोजित करने पर:
हमें $x \in [0, 4]$ और $x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ चाहिए।
चूंकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,इसलिए प्रतिच्छेदन $[0, \frac{\pi}{2})$ होगा।
अतः,सबसे बड़ा अंतराल $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right)$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ के रूप में परिभाषित है।
$f$ का प्रांत (domain):
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $0 \leq x-[x] < 1$ होता है।
साथ ही,जब $x \in \mathbb{Z}$ होता है,तब $x-[x] = 0$ होता है।
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x-[x] > 0$,जिसका अर्थ है कि $x \notin \mathbb{Z}$।
अतः,प्रांत $\mathbb{R} - \mathbb{Z}$ है।
$f$ का परिसर (range):
$x \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}$ के लिए,$0 < x-[x] < 1$ होता है।
वर्गमूल लेने पर,$0 < \sqrt{x-[x]} < 1$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}} > 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) \in (1, \infty)$।
अतः,$f$ का परिसर $(1, \infty)$ है।

(A) $y$ का वास्तविक मान होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)} \ge 0$
हम व्यंजक $f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)}$ के लिए साइन स्कीम (वेवी कर्व मेथड) का उपयोग करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = -1, 2, 3$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$. $x \in (-1, 2)$ के लिए,$x = 0$ लेने पर: $\frac{(1)(-3)}{(-2)} = \frac{3}{2} > 0$ (मान्य)।
$2$. $x \in [3, \infty)$ के लिए,$x = 4$ लेने पर: $\frac{(5)(1)}{(2)} = \frac{5}{2} > 0$ (मान्य)।
$3$. $x = -1$ पर,$y = 0$ (मान्य)।
$4$. $x = 3$ पर,$y = 0$ (मान्य)।
$5$. $x = 2$ पर,व्यंजक अपरिभाषित है।
अतः,हल $x \in [-1, 2) \cup [3, \infty)$ है।