Inverse Function Questions in Hindi

(C) प्रतिलोम संबंध ${R^{-1}}$ उन सभी क्रमित युग्मों $(y, x)$ का समुच्चय है जिनके लिए $(x, y) \in R$ होता है।
दिया गया है $R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 1)\}$।
$R$ में प्रत्येक क्रमित युग्म के तत्वों को आपस में बदलने पर हमें प्राप्त होता है:
$(1, 3) \to (3, 1)$
$(1, 5) \to (5, 1)$
$(2, 1) \to (1, 2)$
अतः,${R^{-1}} = \{(3, 1), (5, 1), (1, 2)\}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया फलन $y = f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ है।
$x$ को $y$ के पदों में ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$y(cx - a) = ax + b$
$cxy - ay = ax + b$
$cxy - ax = ay + b$
$x(cy - a) = ay + b$
$x = \frac{ay + b}{cy - a}$
चूंकि $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$,इसलिए $x$ को $y$ से प्रतिस्थापित करने पर हमें $f(y) = \frac{ay + b}{cy - a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = f(y)$।

(A) एक फलन $f: A \to B$ व्युत्क्रमणीय तब होता है जब वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) हो,अर्थात वह एक बाइजेक्शन (bijection) हो।
$1$. $f(x) = 2^x$ के लिए,यदि हम प्रांत $\mathbb{R}$ और सह-प्रांत $(0, \infty)$ लें,तो फलन निरंतर वर्धमान है (एकैकी) और सभी धनात्मक वास्तविक मानों को कवर करता है (आच्छादक)। अतः,यह व्युत्क्रमणीय है।
$2$. $f(x) = x^3 - x$ के लिए,अवकलज $f'(x) = 3x^2 - 1$ का मान $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर चिन्ह बदलता है,इसलिए यह $\mathbb{R}$ पर एकैकी नहीं है।
$3$. $f(x) = x^2$ के लिए,$f(1) = f(-1) = 1$ होता है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
अतः,$f(x) = 2^x$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया फलन $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ है।
$y$ के पदों में $x$ ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$y(x - 1) = x + 2$
$yx - y = x + 2$
$yx - x = y + 2$
$x(y - 1) = y + 2$
$x = \frac{y + 2}{y - 1}$
चूंकि $f(y) = \frac{y + 2}{y - 1}$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x = f(y)$।

(A) एक फलन $f$ स्वयं का प्रतिलोम होता है यदि उसके प्रांत के सभी $x$ के लिए $f(f(x)) = x$ हो।
विकल्प $A$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ है।
तब $f(f(x)) = f\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) = \frac{1 - \left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)}{1 + \left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)}$ है।
अंश और हर को $(1 + x)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(f(x)) = \frac{(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x) + (1 - x)} = \frac{1 + x - 1 + x}{1 + x + 1 - x} = \frac{2x}{2} = x$ है।
चूंकि $f(f(x)) = x$ है,इसलिए फलन $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ स्वयं का प्रतिलोम है।

(B) माना $y = f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + 2$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} + 2$.
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$y - 2 = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.
माना $u = e^{2x}$. तब $y - 2 = \frac{u - 1}{u + 1}$.
$(y - 2)(u + 1) = u - 1$
$yu + y - 2u - 2 = u - 1$
$u(y - 2 - 1) = -1 - y + 2$
$u(y - 3) = 1 - y$
$u = \frac{1 - y}{y - 3} = \frac{y - 1}{3 - y}$.
चूंकि $u = e^{2x}$,इसलिए $e^{2x} = \frac{y - 1}{3 - y}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$2x = \log_e \left( \frac{y - 1}{3 - y} \right)$
$x = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{y - 1}{3 - y} \right) = \log_e \left( \frac{y - 1}{3 - y} \right)^{1/2}$.
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{x - 1}{3 - x} \right)^{1/2}$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = 2^{x(x - 1)}$.
दोनों पक्षों में $\log_2$ लेने पर,हमें $\log_2 y = x(x - 1)$ प्राप्त होता है।
यह द्विघात समीकरण $x^2 - x - \log_2 y = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का प्रांत $[1, \infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए।
यदि हम ऋण चिह्न चुनते हैं,तो $y \ge 1$ के लिए $x = \frac{1 - \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2} < 1$ होता है।
अतः,हमें धनात्मक चिह्न चुनना होगा: $x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\log_2 y}}{2}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 + 4\log_2 x})$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = y$ है।
चूँकि $f(x) = 3x - 5$ है,इसलिए $y = 3x - 5$ होगा।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का मान $y$ के पदों में निकालते हैं:
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$।
परिभाषा के अनुसार,$x = f^{-1}(y)$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y + 5}{3}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x) = 3x - 5$ एक रैखिक फलन है,यह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों है,इसलिए $f$ का प्रतिलोम फलन अस्तित्व में है।

(B) दिया गया है $f(x) = 3x - 4$.
प्रतिलोम फलन ${f^{ - 1}}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$.
तब $y = 3x - 4$.
$x$ को $y$ के पदों में हल करने पर:
$y + 4 = 3x$
$x = \frac{y + 4}{3}$.
परिभाषा के अनुसार,यदि $y = f(x)$ है,तो $x = {f^{ - 1}}(y)$ होता है।
अतः,${f^{ - 1}}(y) = \frac{y + 4}{3}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${f^{ - 1}}(x) = \frac{x + 4}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1 + x}$.
मान लीजिए $y = f(x)$,तो $x = {f^{-1}}(y)$.
$f(x)$ के स्थान पर $y$ रखने पर,हमें $y = \frac{x}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $y(1 + x) = x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $y + yx = x$ मिलता है।
$x$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$y = x - yx = x(1 - y)$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{y}{1 - y}$.
चूंकि $x = {f^{-1}}(y)$,इसलिए ${f^{-1}}(y) = \frac{y}{1 - y}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${f^{-1}}(x) = \frac{x}{1 - x}$ प्राप्त होता है।

(A) एक फलन व्युत्क्रमणीय (invertible) तभी होता है जब वह एकैकी और आच्छादक (bijective) हो।
$1$. $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ के लिए,प्रांत $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ है और परिसर $y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ है। यह फलन एकैकी और आच्छादक है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
$2$. $f(x) = x^2$ के लिए,यदि यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है,तो यह एकैकी नहीं है क्योंकि $f(1) = f(-1) = 1$ है। अतः,यह व्युत्क्रमणीय नहीं है।
$3$. $f(x) = x^2$ के लिए,यदि $x \ge 0$ या $x \le 0$ की शर्त हो,तो यह अपने सीमित प्रांत पर एकैकी और आच्छादक बन जाता है,लेकिन सामान्यतः $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ व्युत्क्रमणीय फलन का एक मानक उदाहरण है।

(A) माना $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$.
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान ज्ञात करेंगे।
अंश और हर को $10^x$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1}$.
$y(10^{2x} + 1) = 10^{2x} - 1$.
$y \cdot 10^{2x} + y = 10^{2x} - 1$.
$1 + y = 10^{2x}(1 - y)$.
$10^{2x} = \frac{1+y}{1-y}$.
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$2x = \log_{10} \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1+y}{1-y} \right)$.
प्रतिलोम फलन प्राप्त करने के लिए $y$ को $x$ से बदलने पर:
$f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_{10} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

(A) दिया गया फलन $y = 2x - 3$ है।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का मान $y$ के पदों में निकालते हैं:
$y + 3 = 2x$
$x = \frac{y + 3}{2}$
अब,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ को व्यक्त करने के लिए $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें:
$f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{2x + 1}{1 - 3x}$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $y = f(x)$ मानते हैं।
$y = \frac{2x + 1}{1 - 3x}$
दोनों पक्षों को $(1 - 3x)$ से गुणा करने पर:
$y(1 - 3x) = 2x + 1$
$y - 3xy = 2x + 1$
$x$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y - 1 = 2x + 3xy$
$y - 1 = x(2 + 3y)$
$x = \frac{y - 1}{3y + 2}$
चूंकि $f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{3y + 2}$ प्राप्त होता है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3x + 2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + 1$।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = x^2 + 1$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x^2 = y - 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{y - 1}$।
अतः,$f^{-1}(y) = \pm \sqrt{y - 1}$।
$f^{-1}(17)$ के लिए,हम $y = 17$ प्रतिस्थापित करते हैं: $f^{-1}(17) = \pm \sqrt{17 - 1} = \pm \sqrt{16} = \pm 4$।
$f^{-1}(-3)$ के लिए,हम $y = -3$ प्रतिस्थापित करते हैं: $f^{-1}(-3) = \pm \sqrt{-3 - 1} = \pm \sqrt{-4}$।
चूंकि $\sqrt{-4}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए $f^{-1}(-3)$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$।
सबसे पहले,हम संयोजन $g(f(x))$ ज्ञात करते हैं:
$g(f(x)) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$
$= (\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x) - 1$
$= (1 + \sin 2x) - 1 = \sin 2x$।
किसी फलन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसे एकैकी और आच्छादक (bijective) होना चाहिए।
फलन $h(x) = \sin 2x$ उस अंतराल में व्युत्क्रमणीय है जहाँ तर्क $2x$ प्रतिलोम ज्या फलन की मुख्य शाखा में स्थित हो,अर्थात $[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$।
अतः,हमें आवश्यकता है:
$-\frac{\pi}{2} \le 2x \le \frac{\pi}{2}$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$।
इसलिए,$g(f(x))$ अंतराल $x \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ]$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(B) माना $f(x) = y$,जिसका अर्थ है $x = f^{-1}(y)$।
दिया गया है $y = \frac{2x - 1}{x + 5}$,जहाँ $x \ne -5$।
दोनों पक्षों को $(x + 5)$ से गुणा करने पर:
$y(x + 5) = 2x - 1$
$xy + 5y = 2x - 1$
$x$ को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$5y + 1 = 2x - xy$
$5y + 1 = x(2 - y)$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{5y + 1}{2 - y}$
चूँकि $x = f^{-1}(y)$ है,इसलिए:
$f^{-1}(y) = \frac{5y + 1}{2 - y}$
$y$ को $x$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{2 - x}$,जहाँ $x \ne 2$।

(C) किसी फलन $f: A \to B$ का प्रतिलोम होने के लिए,इसे एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) होना चाहिए,अर्थात इसे एक बाइजेक्शन होना आवश्यक है।
जो फलन सख्ती से मोनोटोनिक (या तो सख्ती से बढ़ रहा हो या सख्ती से घट रहा हो) होता है,वह हमेशा एकैकी होता है।
यदि कोई फलन अपने डोमेन पर सतत और सख्ती से मोनोटोनिक है,तो वह अपने डोमेन को अपने रेंज पर एकैकी रूप से मैप करता है,जो प्रतिलोम फलन $f^{-1}$ के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है।

(B) दिया गया है कि ${e^x} = y + \sqrt{1 + y^2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें ${e^x} - y = \sqrt{1 + y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $({e^x} - y)^2 = 1 + y^2$ प्राप्त होता है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,${e^{2x}} + y^2 - 2y{e^x} = 1 + y^2$।
दोनों पक्षों से $y^2$ घटाने पर,${e^{2x}} - 2y{e^x} = 1$।
$y$ के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2y{e^x} = {e^{2x}} - 1$।
$2{e^x}$ से विभाजित करने पर,$y = \frac{{e^{2x}} - 1}{2{e^x}}$।
व्यंजक को सरल करने पर,$y = \frac{1}{2} \left( \frac{e^{2x}}{e^x} - \frac{1}{e^x} \right) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$।

(D) दिया गया फलन $f:(2, 3) \to (0, 1)$ है जो $f(x) = x - [x]$ द्वारा परिभाषित है।
$x \in (2, 3)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 2$ होता है।
इसलिए,$f(x) = x - 2$ है।
मान लीजिए $y = f(x)$,तो $y = x - 2$ है।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,$x$ को $y$ के पदों में हल करें:
$x = y + 2$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${f^{ - 1}}(x) = x + 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ जहाँ $x \ge -1$ है।
समुच्चय $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $f(x) = f^{-1}(x)$ के हल $f(f(x)) = x$ के हल के समान होते हैं।
अतः,$( (x + 1)^2 - 1 + 1 )^2 - 1 = x \Rightarrow ((x + 1)^2)^2 - 1 = x$.
$(x + 1)^4 - 1 = x \Rightarrow (x + 1)^4 - (x + 1) = 0$.
$(x + 1) [ (x + 1)^3 - 1 ] = 0$.
इससे हमें $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ या $(x + 1)^3 = 1$ प्राप्त होता है।
$(x + 1)^3 = 1$ के मूल $x + 1 = 1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ है।
$x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
$x + 1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$.
$x + 1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}$.
अतः,समुच्चय $S = \{ 0, -1, \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2} \}$ है।

(B) चूँकि $g(x)$,फलन $f(x)$ का व्युत्क्रम है,इसलिए हमारे पास सभी $x$ के लिए $g(f(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[g(f(x))] = \frac{d}{dx}(x)$
$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$
यदि $f'(x) \neq 0$ है,तो हम लिख सकते हैं:
$g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$
समीकरण में $x = c$ रखने पर:
$g'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए):
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$
अतः,$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f'(x) = \frac{1}{1 + x^3}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर:
$f'(g(x)) = \frac{1}{1 + (g(x))^3}$।
इस मान को $g'(x)$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$g'(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + (g(x))^3}} = 1 + (g(x))^3$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक फलन $f: A \to B$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) यानी एकैकी-आच्छादक (bijection) हो।
वास्तविक मान वाले फलन $f(x)$ के लिए अपने प्रांत पर एकैकी-आच्छादक होने के लिए,इसे कड़ाई से एकदिष्ट (या तो कड़ाई से वर्धमान या कड़ाई से ह्रासमान) और सतत होना चाहिए।
यदि कोई फलन कड़ाई से एकदिष्ट है,तो यह सुनिश्चित करता है कि वह एकैकी है।
यदि यह अपने प्रांत पर सतत भी है,तो यह प्रांत को अपने परिसर (range) पर आच्छादित करता है,जो आच्छादक होने की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए,सही शर्त यह है कि फलन को अपने प्रांत में कड़ाई से एकदिष्ट और सतत होना चाहिए।

(A) दिया गया है कि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ होगा।
चूंकि $f'(x) = \frac{1}{1 + x^5}$,इसलिए $x$ के स्थान पर $g(x)$ रखने पर $f'(g(x)) = \frac{1}{1 + (g(x))^5}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$g'(x) = \frac{1}{\frac{1}{1 + (g(x))^5}} = 1 + (g(x))^5$ होगा।

(D) यह दर्शाने के लिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है,हमें एक फलन $g: Y \to N$ खोजना होगा ताकि $g \circ f = I_N$ और $f \circ g = I_Y$ हो।
दिया गया है $f(x) = 4x + 3$,मान लीजिए $y = f(x) = 4x + 3$ है।
$y$ के पदों में $x$ का मान निकालने पर,हमें $y - 3 = 4x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y - 3}{4}$।
एक फलन $g: Y \to N$ को $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ के रूप में परिभाषित करें।
अब,संयोजन $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = \frac{(4x + 3) - 3}{4} = \frac{4x}{4} = x = I_N(x)$ की जाँच करें।
इसके बाद,संयोजन $f \circ g(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y - 3}{4}\right) = 4\left(\frac{y - 3}{4}\right) + 3 = (y - 3) + 3 = y = I_Y(y)$ की जाँच करें।
चूंकि $g \circ f = I_N$ और $f \circ g = I_Y$ है,इसलिए फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है और इसका प्रतिलोम $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^2 - 1$ है,जहाँ $x \geq -1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $y \geq -1$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.
अतः,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$ है। चूँकि $f$ अंतराल $[-1, \infty)$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं क्योंकि $f$ एक वर्धमान फलन है।
$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,$S = \{0, -1\}$ है। कथन-$1$ सत्य है।
वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया है $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,जहाँ $x \ge 1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x - 1)^2 + 1$ लें।
अतः $y - 1 = (x - 1)^2$। चूँकि $x \ge 1$,हमारे पास $x - 1 = \sqrt{y - 1}$ है,इसलिए $x = 1 + \sqrt{y - 1}$।
इस प्रकार,$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$,जहाँ $x \ge 1$ है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं।
$(x - 1)^2 + 1 = x \implies x^2 - 2x + 1 + 1 = x \implies x^2 - 3x + 2 = 0$।
$(x - 1)(x - 2) = 0$,इसलिए $x = 1$ या $x = 2$।
चूँकि दोनों मान $x \ge 1$ को संतुष्ट करते हैं,$S = \{1, 2\}$ है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(D) $f(x)$ का ग्राफ $x \ge -1$ के लिए समीकरण $y = (x + 1)^2$ द्वारा दिया गया है।
$f(x)$ के ग्राफ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ को आपस में बदल देते हैं।
अतः,$g(x)$ के ग्राफ का समीकरण $x = (y + 1)^2$ हो जाता है,जहाँ $y \ge -1$ है।
$y$ के लिए हल करने पर:
$y + 1 = \pm\sqrt{x}$
चूंकि $y \ge -1$,इसलिए $y + 1 \ge 0$,अतः हम धनात्मक वर्गमूल लेंगे:
$y + 1 = \sqrt{x}$
$y = \sqrt{x} - 1$
चूंकि $f(x)$ का प्रांत $x \ge -1$ है और इसका परिसर $y \ge 0$ है,इसलिए $g(x)$ का प्रांत $x \ge 0$ है और इसका परिसर $y \ge -1$ है।
अतः,$g(x) = \sqrt{x} - 1, x \ge 0$।

(A) दिया गया है $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ge 1$ और $y \ge 2$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $yx = x^2 + 1$ प्राप्त होता है,जिसे द्विघात समीकरण $x^2 - yx + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का प्रांत $[1, +\infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए।
यदि हम ऋणात्मक चिह्न लेते हैं,तो $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है। $y \ge 2$ के लिए,यह मान $\le 1$ होता है।
अतः,$x \ge 1$ की शर्त को पूरा करने के लिए,हमें धनात्मक चिह्न लेना होगा: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${f^{-1}}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रतिलोम संबंध ${R^{-1}}$ उन सभी क्रमित युग्मों $(y, x)$ का समुच्चय है जिसके लिए $(x, y) \in R$ है।
दिया गया है $R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 1)\}$।
$R$ में प्रत्येक क्रमित युग्म के अवयवों को आपस में बदलने पर हमें प्राप्त होता है:
$(1, 3) \to (3, 1)$
$(1, 5) \to (5, 1)$
$(2, 1) \to (1, 2)$
अतः,${R^{-1}} = \{(3, 1), (5, 1), (1, 2)\}$।

(B) दिया गया संबंध $R = \{(a, b) : a = 2b\}$ है,जहाँ $a, b \in \mathbb{N}$.
$b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \{(2, 1), (4, 2), (6, 3), \dots\}$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम संबंध ${R^{-1}}$ को $R$ में क्रमित युग्मों के अवयवों को परस्पर बदलकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,${R^{-1}} = \{(b, a) : (a, b) \in R\} = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6), \dots\}$।

(A) संबंध $R$ को $R = \{(1, 3), (2, 5), (3, 3)\}$ द्वारा दिया गया है।
परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम संबंध $R^{-1}$ को $R$ में क्रमित युग्मों के तत्वों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
अर्थात,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R^{-1}$ होगा।
$R$ के प्रत्येक तत्व पर इसे लागू करने पर:
$(1, 3) \in R \implies (3, 1) \in R^{-1}$
$(2, 5) \in R \implies (5, 2) \in R^{-1}$
$(3, 3) \in R \implies (3, 3) \in R^{-1}$
अतः,$R^{-1} = \{(3, 1), (5, 2), (3, 3)\}$ प्राप्त होता है।
समुच्चय को व्यवस्थित करने पर,हमें $R^{-1} = \{(3, 3), (3, 1), (5, 2)\}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int\limits_2^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^4}}$.
चूंकि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(f(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} = \sqrt{1 + x^4}$.
$g'(0)$ ज्ञात करने के लिए,हमें वह $x$ खोजना होगा जिसके लिए $f(x) = 0$ हो।
$f(x) = \int\limits_2^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^4}} = 0$ का अर्थ है कि $x = 2$.
अतः,$g'(0) = g'(f(2)) = \sqrt{1 + 2^4} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.

(A) दिया गया है कि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$
हमें $f'(x) = \frac{1}{1 + x^5}$ दिया गया है। इसलिए,$f'(g(x)) = \frac{1}{1 + [g(x)]^5}$ होगा।
इस मान को अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{1 + [g(x)]^5} \cdot g'(x) = 1$
$g'(x)$ के लिए हल करने पर:
$g'(x) = 1 + [g(x)]^5$.

(B) चूंकि $g$,$f$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए हमें $f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ रखने पर,हमें $f'(g(2)) \cdot g'(2) = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g(2) = a$,इसलिए यह समीकरण $f'(a) \cdot g'(2) = 1$ बन जाता है,जिसका अर्थ है कि $g'(2) = \frac{1}{f'(a)}$।
हमें $f'(x) = \frac{x^{10}}{1 + x^2}$ दिया गया है,इसलिए $f'(a) = \frac{a^{10}}{1 + a^2}$ होगा।
अतः,$g'(2) = \frac{1}{\frac{a^{10}}{1 + a^2}} = \frac{1 + a^2}{a^{10}}$।

(C) दिया गया है $e^{f(x)} = \ln x$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $f(x) = \ln(\ln x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है,इसलिए $f(g(x)) = x$ होगा।
$f$ के व्यंजक में $g(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\ln(\ln(g(x))) = x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक (exponentiation) लेने पर,$\ln(g(x)) = e^x$ प्राप्त होता है।
पुनः घातांक लेने पर,$g(x) = e^{e^x}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{e^x}) = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = e^{e^x} \cdot e^x$।
घातांक के गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर,$g'(x) = e^{e^x + x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = e^x + x$।
हमें $(f^{-1})'(f(\ln 2))$ का मान ज्ञात करना है।
प्रतिलोम फलन के अवकलज के सूत्र के अनुसार,$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,जहाँ $y = f(x)$ है।
यहाँ,$y = f(\ln 2)$ है,इसलिए $x = \ln 2$ होगा।
सबसे पहले,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x) = e^x + 1$।
अब,$x = \ln 2$ पर $f'(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(\ln 2) = e^{\ln 2} + 1 = 2 + 1 = 3$।
अतः,$(f^{-1})'(f(\ln 2)) = \frac{1}{f'(\ln 2)} = \frac{1}{3}$।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या किसी फलन $f(x)$ का प्रतिलोम मौजूद है,हम जांचते हैं कि क्या यह सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) है (या तो सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है)।
दिया गया है $f(x) = x^3 + 8x + 3$।
अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 8x + 3) = 3x^2 + 8$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $3x^2 \ge 0$ होगा।
अतः,$f'(x) = 3x^2 + 8 \ge 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अपने पूरे प्रांत पर सख्ती से बढ़ रहा है।
एक सख्ती से एकदिष्ट फलन हमेशा एकैकी (injective) होता है और इसलिए इसका प्रतिलोम मौजूद होता है।
अतः,यह गुण कि $f'(x)$ हमेशा धनात्मक है,हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि $f(x)$ का प्रतिलोम मौजूद है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$ है।
हम फलन को $f(x) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $f(x) = (x - 1)^3 - 1$ में सरल हो जाता है।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।
अतः,$y = (x - 1)^3 - 1$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $y + 1 = (x - 1)^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\sqrt[3]{y + 1} = x - 1$।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $x = 1 + \sqrt[3]{y + 1}$।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = 1 + \sqrt[3]{x + 1}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^{11} + \sin^3(35x) + 111x$।
चूंकि $x^{11}$,$\sin^3(35x)$,और $111x$ सभी विषम (odd) फलन हैं,इसलिए इनका योग $f(x)$ भी एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$।
यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो इसका प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ भी एक विषम फलन होगा,अर्थात $f^{-1}(-y) = -f^{-1}(y)$।
हमें $S = f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{6\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) + f^{-1}(\sin \frac{8\pi}{7})$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\sin \frac{6\pi}{5} = \sin(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\sin \frac{\pi}{5}$।
इसी प्रकार,$\sin \frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin \frac{\pi}{7}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$S = f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(-\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) + f^{-1}(-\sin \frac{\pi}{7})$।
गुणधर्म $f^{-1}(-y) = -f^{-1}(y)$ का उपयोग करने पर:
$S = f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) - f^{-1}(\sin \frac{\pi}{5}) + f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) - f^{-1}(\sin \frac{\pi}{7}) = 0$।
चूंकि $f(0) = 0^{11} + \sin^3(0) + 111(0) = 0$,इसलिए परिणाम $0$,$f(0)$ के बराबर है।

(A) दिया गया है $f(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$।
चूंकि $g(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $g(f(x)) = x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$।
सबसे पहले,हम $x$ ज्ञात करते हैं ताकि $f(x) = -\frac{7}{6}$ हो। निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 1$ है,तो $f(1) = -4e^0 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -4 + 2 + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}$।
अब,$f'(x) = -4e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 + x + x^2 = 2e^{\left(\frac{1-x}{2}\right)} + 1 + x + x^2$।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 2e^0 + 1 + 1 + 1 = 2 + 3 = 5$।
अतः,$g'(-\frac{7}{6}) = g'(f(1)) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$।

(B) एक फलन $f(x)$ व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि वह अपने प्रांत पर एकदिष्ट (strictly monotonic) हो।
त्रिघात बहुपद $f(x)$ के लिए,यह तब होता है जब $f'(x) \ge 0$ या $f'(x) \le 0$ हो।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 6(a + 2)x + 12a$।
अवकलज का गुणनखंड करने पर: $f'(x) = 6(x^2 - (a + 2)x + 2a) = 6(x - a)(x - 2)$।
$f(x)$ के एकदिष्ट होने के लिए,$f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलना चाहिए। चूँकि $f'(x)$ एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $a$ और $2$ हैं,यह चिह्न बदलेगा जब तक कि दोनों मूल समान न हों।
अतः,$a = 2$ होना चाहिए।
यदि $a = 2$ है,तो $f'(x) = 6(x - 2)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और व्युत्क्रमणीय है।
अंतराल $[-4, 6]$ में $a = 2$ ही एकमात्र पूर्णांक मान है,इसलिए ऐसे मानों की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = (2x - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}x + \cos x$.
चूंकि $g$,$f$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(f(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$।
हमें $g'(2\pi)$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $f(x) = 2\pi$।
$(2x - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}x + \cos x = 2\pi$।
अवलोकन करने पर,यदि $x = \frac{3\pi}{2}$ है,तो $f(\frac{3\pi}{2}) = (2(\frac{3\pi}{2}) - 3\pi)^5 + \frac{4}{3}(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = (0)^5 + 2\pi + 0 = 2\pi$ प्राप्त होता है।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 5(2x - 3\pi)^4 \cdot 2 + \frac{4}{3} - \sin x = 10(2x - 3\pi)^4 + \frac{4}{3} - \sin x$।
$x = \frac{3\pi}{2}$ पर,$f'(\frac{3\pi}{2}) = 10(0)^4 + \frac{4}{3} - \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + \frac{4}{3} - (-1) = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$।
अतः,$g'(2\pi) = \frac{1}{f'(\frac{3\pi}{2})} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$।

(D) दिया गया है $f(x) = e^{2x^3 + 3x^2 + 6x}$.
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $g(f(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$,जिसका अर्थ है $g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$.
सबसे पहले,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = e^{2x^3 + 3x^2 + 6x} \cdot \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 + 6x) = e^{2x^3 + 3x^2 + 6x} \cdot (6x^2 + 6x + 6)$.
हमें $g'(e^{11})$ ज्ञात करना है। $f(x) = e^{11}$ रखने पर,$e^{2x^3 + 3x^2 + 6x} = e^{11}$.
इसका अर्थ है $2x^3 + 3x^2 + 6x = 11$,या $2x^3 + 3x^2 + 6x - 11 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $2(1)^3 + 3(1)^2 + 6(1) - 11 = 2 + 3 + 6 - 11 = 0$.
अतः,$f(1) = e^{11}$.
सूत्र $g'(f(1)) = \frac{1}{f'(1)}$ का उपयोग करते हुए:
$f'(1) = e^{11} \cdot (6(1)^2 + 6(1) + 6) = e^{11} \cdot (6 + 6 + 6) = 18e^{11}$.
इसलिए,$g'(e^{11}) = \frac{1}{18e^{11}}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
मान लीजिए $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
तब $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.
साथ ही,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $e^y - e^{-y} = 2x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh(y)$.
अतः,$f^{-1}(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
हमें $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है,जो $|sinh(x)| = e^{-|x|}$ है।
चूंकि दोनों पक्ष सम फलन हैं,हम $x \ge 0$ के लिए विश्लेषण कर सकते हैं: $\sinh(x) = e^{-x}$.
$x = 0$ पर,$\sinh(0) = 0$ और $e^0 = 1$,इसलिए $0 \neq 1$.
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,$\sinh(x)$ $0$ से $\infty$ तक सख्ती से बढ़ता है,और $e^{-x}$ $1$ से $0$ तक सख्ती से घटता है।
इसलिए,$x > 0$ के लिए ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समरूपता द्वारा,$x < 0$ के लिए भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = 5^{x(x - 4)} = y$.
दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log_5 y = x(x - 4)$.
$\log_5 y = x^2 - 4x$.
$x$ के लिए हल करने हेतु,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $x^2 - 4x + 4 = \log_5 y + 4$.
$(x - 2)^2 = \log_5 y + 4$.
$x - 2 = \pm \sqrt{\log_5 y + 4}$.
चूंकि प्रांत $x \in [4, \infty)$ है,इसलिए $x - 2 \ge 2$ होना चाहिए,अतः हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: $x = 2 + \sqrt{\log_5 y + 4}$.
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{4 + \log_5 x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^5 + e^{x/5}$ और $g(x) = f^{-1}(x)$।
हमें $\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})}$ का मान ज्ञात करना है।
प्रतिलोम फलन के गुणधर्म के अनुसार,$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ जहाँ $y = f(x)$ है।
यहाँ,$y = 1 + e^{1/5}$ है।
$f(x) = x^5 + e^{x/5} = 1 + e^{1/5}$ रखने पर,हम देखते हैं कि $x = 1$ समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि $1^5 + e^{1/5} = 1 + e^{1/5}$ है।
अब,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 + e^{x/5}) = 5x^4 + \frac{1}{5}e^{x/5}$।
$x = 1$ पर,$f'(1) = 5(1)^4 + \frac{1}{5}e^{1/5} = 5 + \frac{e^{1/5}}{5}$।
चूंकि $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$,इसलिए $g'(1 + e^{1/5}) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5 + \frac{e^{1/5}}{5}}$।
अतः,$\frac{1}{g'(1 + e^{1/5})} = f'(1) = 5 + \frac{e^{1/5}}{5}$।

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^3}} dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^3}}$.
चूंकि $h(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(h(x)) = x$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(h(x)) \cdot h'(x) = 1$,जिसका अर्थ है $h'(x) = \frac{1}{f'(h(x))} = \sqrt{1 + h^3(x)}$.
अब,$h'(x) = (1 + h^3(x))^{1/2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h''(x) = \frac{1}{2}(1 + h^3(x))^{-1/2} \cdot (3h^2(x) \cdot h'(x))$.
$h'(x) = \sqrt{1 + h^3(x)}$ का मान रखने पर:
$h''(x) = \frac{3h^2(x) \cdot \sqrt{1 + h^3(x)}}{2 \sqrt{1 + h^3(x)}} = \frac{3}{2} h^2(x)$.
अतः,$\frac{h''(x)}{h^2(x)} = \frac{3}{2}$.