Binary Operation Questions in Hindi

(N/A) समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: S \times S \rightarrow S$ है।
$1$. योग $(+)$ के लिए: किसी भी $a, b \in R$ के लिए, $a+b$ एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है। अतः, $+: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
$2$. व्यवकलन $(-)$ के लिए: किसी भी $a, b \in R$ के लिए, $a-b$ एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है। अतः, $-: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
$3$. गुणन $(\times)$ के लिए: किसी भी $a, b \in R$ के लिए, $a \times b$ एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है। अतः, $\times: R \times R \rightarrow R$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
$4$. भाग $(div)$ के लिए: $a, b \in R$ के लिए, संक्रिया $a \div b = \frac{a}{b}$ तब परिभाषित नहीं है जब $b=0$ हो। चूँकि $0 \in R$, भाग की संक्रिया $R \times R$ से $R$ तक एक फलन नहीं है। अतः, यह $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
$5$. $R_*$ (शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के लिए: किसी भी $a, b \in R_*$ के लिए, $a \neq 0$ और $b \neq 0$ है। भागफल $\frac{a}{b}$ हमेशा एक परिभाषित वास्तविक संख्या है, और चूँकि $a, b \neq 0$, इसलिए $\frac{a}{b} \neq 0$ है। अतः, $\frac{a}{b} \in R_*$ है। इसलिए, भाग $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: S \times S \rightarrow S$ है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक युग्म $(a, b) \in S \times S$ के लिए,परिणाम $a * b$ भी $S$ में होना चाहिए।
$1$. $N$ पर घटाव $(-)$ के लिए:
मान लीजिए अवयव $a = 3$ और $b = 5$ हैं,जहाँ $3, 5 \in N$ है।
संक्रिया $a - b$ करने पर $3 - 5 = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-2 \notin N$,इसलिए घटाव $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
$2$. $N$ पर भाग $(\div)$ के लिए:
मान लीजिए अवयव $a = 3$ और $b = 5$ हैं,जहाँ $3, 5 \in N$ है।
संक्रिया $a \div b$ करने पर $3 \div 5 = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{3}{5} \notin N$,इसलिए भाग $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।

(N/A) समुच्चय $R$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: R \times R \rightarrow R$ है।
किसी भी युग्म $(a, b) \in R \times R$ के लिए,व्यंजक $a + 4b^{2}$ एक सुपरिभाषित वास्तविक संख्या है क्योंकि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ योग और गुणन के अंतर्गत संवृत है।
चूंकि प्रत्येक युग्म $(a, b) \in R \times R$ के लिए,एक अद्वितीय अवयव $a + 4b^{2} \in R$ विद्यमान है,इसलिए $*$ समुच्चय $R$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

(N/A) एक समुच्चय $S$ पर द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: S \times S \rightarrow S$ है।
संघ संक्रिया $\cup: P \times P \rightarrow P$ के लिए,किन्हीं दो उपसमुच्चयों $A, B \in P$ के लिए,उनका संघ $A \cup B$ भी $X$ का एक उपसमुच्चय है,जिसका अर्थ है कि $A \cup B \in P$। चूंकि प्रत्येक युग्म $(A, B)$ का $P$ में एक अद्वितीय अवयव $A \cup B$ से संबंध है,इसलिए $\cup$ समुच्चय $P$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।
इसी प्रकार,सर्वनिष्ठ संक्रिया $\cap: P \times P \rightarrow P$ के लिए,किन्हीं दो उपसमुच्चयों $A, B \in P$ के लिए,उनका सर्वनिष्ठ $A \cap B$ भी $X$ का एक उपसमुच्चय है,जिसका अर्थ है कि $A \cap B \in P$। चूंकि प्रत्येक युग्म $(A, B)$ का $P$ में एक अद्वितीय अवयव $A \cap B$ से संबंध है,इसलिए $\cap$ समुच्चय $P$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

(N/A) समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ एक फलन $\ast: S \times S \rightarrow S$ होती है।
$(a, b) \rightarrow \max\{a, b\}$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $\vee: R \times R \rightarrow R$ के लिए,किसी भी युग्म $(a, b) \in R \times R$ के लिए,$\max\{a, b\}$ का मान एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है जो $R$ में स्थित है।
चूंकि प्रत्येक युग्म $(a, b)$ एक अद्वितीय अवयव पर मैप होता है,इसलिए $\vee$ एक द्विआधारी संक्रिया है।
इसी प्रकार,$(a, b) \rightarrow \min\{a, b\}$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $\wedge: R \times R \rightarrow R$ के लिए,किसी भी युग्म $(a, b) \in R \times R$ के लिए,$\min\{a, b\}$ का मान एक अद्वितीय वास्तविक संख्या है जो $R$ में स्थित है।
चूंकि प्रत्येक युग्म $(a, b)$ एक अद्वितीय अवयव पर मैप होता है,इसलिए $\wedge$ भी एक द्विआधारी संक्रिया है।

(N/A) समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ क्रमविनिमेय कहलाती है यदि सभी $a, b \in S$ के लिए $a \ast b = b \ast a$ हो।
$R$ पर योग $(+)$ के लिए: चूँकि सभी $a, b \in R$ के लिए $a + b = b + a$ है,इसलिए $+$ एक क्रमविनिमेय संक्रिया है।
$R$ पर गुणन $(\times)$ के लिए: चूँकि सभी $a, b \in R$ के लिए $a \times b = b \times a$ है,इसलिए $\times$ एक क्रमविनिमेय संक्रिया है।
$R$ पर घटाव $(-)$ के लिए: चूँकि सामान्यतः $a - b \neq b - a$ होता है (उदाहरण के लिए,$3 - 4 = -1$ और $4 - 3 = 1$),इसलिए $-$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$R_*$ पर भाग $(\div)$ के लिए: चूँकि सामान्यतः $a \div b \neq b \div a$ होता है (उदाहरण के लिए,$3 \div 4 = 0.75$ और $4 \div 3 = 1.33$),इसलिए $\div$ क्रमविनिमेय नहीं है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय है,हमें यह सत्यापित करना होगा कि क्या सभी $a, b \in \mathbb{R}$ के लिए $a * b = b * a$ है।
दिया गया है कि $a * b = a + 2b$.
आइए दो वास्तविक संख्याएँ $a = 3$ और $b = 4$ लें।
तब,$a * b = 3 * 4 = 3 + 2(4) = 3 + 8 = 11$.
अब,$b * a = 4 * 3 = 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10$ की गणना करें।
चूँकि $a * b \neq b * a$ है (क्योंकि $11 \neq 10$),इसलिए संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय नहीं है।

किसी भी $a, b, c \in R$ के लिए,योग साहचर्य है क्योंकि $(a + b) + c = a + (b + c)$।
गुणन साहचर्य है क्योंकि $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$।
घटाव साहचर्य नहीं है क्योंकि $(8 - 5) - 3 = 3 - 3 = 0$,जबकि $8 - (5 - 3) = 8 - 2 = 6$। चूंकि $0 \neq 6$,इसलिए घटाव साहचर्य नहीं है।
भाग $R_*$ (जहां $R_* = R \setminus \{0\}$) पर साहचर्य नहीं है क्योंकि $(8 \div 5) \div 3 = \frac{8}{5} \div 3 = \frac{8}{15}$,जबकि $8 \div (5 \div 3) = 8 \div \frac{5}{3} = \frac{24}{5}$। चूंकि $\frac{8}{15} \neq \frac{24}{5}$,इसलिए भाग साहचर्य नहीं है।

(N/A) एक संक्रिया $*$ साहचर्य होती है यदि सभी $a, b, c \in R$ के लिए $(a * b) * c = a * (b * c)$ हो।
सबसे पहले,$(a * b) * c$ की गणना करें:
$(a * b) * c = (a + 2b) * c = (a + 2b) + 2c = a + 2b + 2c$.
इसके बाद,$a * (b * c)$ की गणना करें:
$a * (b * c) = a * (b + 2c) = a + 2(b + 2c) = a + 2b + 4c$.
चूंकि $a + 2b + 2c \neq a + 2b + 4c$ सभी $a, b, c \in R$ के लिए,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।
उदाहरण के लिए,यदि $a = 8, b = 5, c = 3$ लें:
$(8 * 5) * 3 = (8 + 2(5)) * 3 = 18 * 3 = 18 + 2(3) = 18 + 6 = 24$.
$8 * (5 * 3) = 8 * (5 + 2(3)) = 8 * (5 + 6) = 8 * 11 = 8 + 2(11) = 8 + 22 = 30$.
चूंकि $24 \neq 30$,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।

(N/A) योग के लिए,सभी $a \in R$ के लिए $a+0 = 0+a = a$ है। अतः,$0$ योग के लिए तत्समक अवयव है।
गुणन के लिए,सभी $a \in R$ के लिए $a \times 1 = 1 \times a = a$ है। अतः,$1$ गुणन के लिए तत्समक अवयव है।
व्यवकलन (घटाव) के लिए,एक तत्समक अवयव $e$ को सभी $a \in R$ के लिए $a-e = a$ और $e-a = a$ को संतुष्ट करना चाहिए। पहला समीकरण $e=0$ देता है,लेकिन दूसरा समीकरण $e=2a$ देता है,जो सभी $a$ के लिए स्थिर नहीं है। अतः,कोई तत्समक अवयव मौजूद नहीं है।
भाग के लिए,एक तत्समक अवयव $e$ को सभी $a \in R_*$ के लिए $a \div e = a$ और $e \div a = a$ को संतुष्ट करना चाहिए। पहला समीकरण $e=1$ देता है,लेकिन दूसरा समीकरण $e=a^2$ देता है,जो सभी $a$ के लिए स्थिर नहीं है। अतः,कोई तत्समक अवयव मौजूद नहीं है।

(N/A) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर योग संक्रिया '$+$' के लिए,तत्समक अवयव $0$ है।
चूंकि $a + (-a) = 0$ और $(-a) + a = 0$ होता है,इसलिए $-a$,$a$ का योज्य प्रतिलोम है।
शून्यतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R \setminus \{0\}$ पर गुणन संक्रिया '$\times$' के लिए,तत्समक अवयव $1$ है।
चूंकि $a \neq 0$ के लिए $a \times \frac{1}{a} = 1$ और $\frac{1}{a} \times a = 1$ होता है,इसलिए $\frac{1}{a}$,$a$ का गुणात्मक प्रतिलोम है।

(A) $N$ पर योग संक्रिया $+$ के लिए,तत्समक अवयव $0$ है। हालाँकि,$0 \notin N$ है। भले ही हम शर्त $a + (-a) = 0$ पर विचार करें,प्रतिलोम होने के लिए $-a$ का समुच्चय $N$ में होना आवश्यक है। किसी भी $a \in N$ के लिए,$-a$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है,इसलिए $-a \notin N$ है। अतः,$-a$,$N$ में $a$ का प्रतिलोम नहीं है।
$N$ पर गुणन संक्रिया $\times$ के लिए,तत्समक अवयव $1$ है। किसी अवयव $a \in N$ का प्रतिलोम $b \in N$ होने के लिए,$a \times b = 1$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $b = \frac{1}{a}$। किसी भी $a \in N$ जहाँ $a \neq 1$ है,$\frac{1}{a}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $\frac{1}{a} \notin N$ है। इस प्रकार,$a = 1$ को छोड़कर $N$ के किसी भी अवयव $a$ का $N$ में गुणन प्रतिलोम मौजूद नहीं है।

(B) धन पूर्णांकों के समुच्चय $Z^{+}$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: S \times S \to S$ है।
संक्रिया के द्विआधारी होने के लिए,प्रत्येक युग्म $(a, b) \in Z^{+} \times Z^{+}$ के लिए,परिणाम $a * b$ का $Z^{+}$ में होना आवश्यक है।
मान लीजिए $a = 1$ और $b = 2$,जहाँ $1, 2 \in Z^{+}$.
तब $a * b = 1 * 2 = 1 - 2 = -1$.
चूँकि $-1 \notin Z^{+}$,इसलिए संक्रिया $*$ समुच्चय $Z^{+}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।

(A) $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = ab$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
यह देखा गया है कि किन्हीं भी दो अवयवों $a, b \in Z^{+}$ के लिए,उनका गुणनफल $ab$ भी एक धनात्मक पूर्णांक है,जिसका अर्थ है $ab \in Z^{+}$।
चूंकि दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक अद्वितीय धनात्मक पूर्णांक होता है,इसलिए संक्रिया $*$ प्रत्येक युग्म $(a, b)$ को $Z^{+}$ में एक अद्वितीय अवयव $a * b = ab$ पर ले जाती है।
अतः,$*$ समुच्चय $Z^{+}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

(A) $R$ पर,$*$ संक्रिया $a * b = ab^2$ द्वारा परिभाषित है।
किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं $a, b \in R$ के लिए,उनका गुणनफल $ab^2$ भी एक वास्तविक संख्या ही होती है क्योंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ गुणन संक्रिया के अंतर्गत संवृत (closed) है।
चूंकि प्रत्येक युग्म $(a, b) \in R \times R$ के लिए,$R$ में एक अद्वितीय अवयव $ab^2$ विद्यमान है,इसलिए $*$ द्वि-आधारी संक्रिया की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
अतः,$*$ समुच्चय $R$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया है।

(B) $Z^+$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = |a - b|$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
किन्हीं दो अवयवों $a, b \in Z^+$ के लिए,$*$ के द्विआधारी संक्रिया होने हेतु परिणाम $|a - b|$ का $Z^+$ का अवयव होना आवश्यक है।
मान लीजिए $a = 1$ और $b = 1$ है। दोनों $1, 1 \in Z^+$.
तब $a * b = |1 - 1| = 0$.
चूंकि $0 \notin Z^+$ (क्योंकि $Z^+$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय ${1, 2, 3, ...}$ है),इसलिए संक्रिया $*$ प्रत्येक युग्म $(a, b)$ को $Z^+$ के किसी अवयव पर प्रतिचित्रित नहीं करती है।
अतः,$*$ समुच्चय $Z^+$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।

(A) $Z^{+}$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = a$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
किन्हीं भी दो अवयवों $a, b \in Z^{+}$ के लिए,संक्रिया $a * b$ का परिणाम $a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$,$Z^{+}$ का एक अवयव है,इसलिए प्रत्येक युग्म $(a, b) \in Z^{+} \times Z^{+}$ के लिए,$Z^{+}$ में एक अद्वितीय अवयव $a * b$ विद्यमान है।
परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $S \times S$ से $S$ तक का एक फलन है।
चूंकि सभी $a, b \in Z^{+}$ के लिए $a * b = a \in Z^{+}$ है,इसलिए संक्रिया $*$ द्विआधारी संक्रिया होने की शर्त को पूरा करती है।
अतः,$*$ $Z^{+}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

$Z$ पर,$^*$ को $a ^* b = a - b$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
यह देखा जा सकता है कि $1 ^* 2 = 1 - 2 = -1$ और $2 ^* 1 = 2 - 1 = 1$ है।
$\therefore 1 ^* 2 \neq 2 ^* 1$,जहाँ $1, 2 \in Z$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
साथ ही,हमारे पास है:
$(1 ^* 2) ^* 3 = (1 - 2) ^* 3 = -1 ^* 3 = -1 - 3 = -4$ है।
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2 - 3) = 1 ^* (-1) = 1 - (-1) = 2$ है।
$\therefore (1 ^* 2) ^* 3 \neq 1 ^* (2 ^* 3)$,जहाँ $1, 2, 3 \in Z$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

(A) $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = ab + 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता के लिए:
हम जानते हैं कि सभी $a, b \in Q$ के लिए $ab = ba$ होता है।
इसलिए,सभी $a, b \in Q$ के लिए $ab + 1 = ba + 1$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि सभी $a, b \in Q$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए:
हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in Q$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है।
$(1 ^* 2) ^* 3 = (1 \times 2 + 1) ^* 3 = 3 ^* 3 = 3 \times 3 + 1 = 10$ लें।
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2 \times 3 + 1) = 1 ^* 7 = 1 \times 7 + 1 = 8$ लें।
चूँकि $(1 ^* 2) ^* 3 \neq 1 ^* (2 ^* 3)$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

(N/A) $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = \frac{ab}{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता:
हम जानते हैं कि सभी $a, b \in Q$ के लिए $ab = ba$ होता है।
इसलिए,$\frac{ab}{2} = \frac{ba}{2}$,जिसका अर्थ है कि सभी $a, b \in Q$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता:
सभी $a, b, c \in Q$ के लिए,हमारे पास है:
$(a ^* b) ^* c = (\frac{ab}{2}) ^* c = \frac{(\frac{ab}{2})c}{2} = \frac{abc}{4}$.
साथ ही,$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{bc}{2}) = \frac{a(\frac{bc}{2})}{2} = \frac{abc}{4}$.
चूंकि सभी $a, b, c \in Q$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य है।

(A) $Z^+$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = 2^{ab}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता के लिए:
हम जांचते हैं कि क्या सभी $a, b \in Z^+$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
$a ^* b = 2^{ab}$
$b ^* a = 2^{ba}$
चूंकि सभी $a, b \in Z^+$ के लिए $ab = ba$ होता है,इसलिए $2^{ab} = 2^{ba}$ होगा।
अतः,$a ^* b = b ^* a$ है।
इसलिए,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए:
हम जांचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in Z^+$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है।
मान लीजिए $a=1, b=2, c=3$:
$(1 ^* 2) ^* 3 = (2^{1 \times 2}) ^* 3 = 4 ^* 3 = 2^{4 \times 3} = 2^{12} = 4096$.
$1 ^* (2 ^* 3) = 1 ^* (2^{2 \times 3}) = 1 ^* 2^6 = 1 ^* 64 = 2^{1 \times 64} = 2^{64}$.
चूंकि $2^{12} \neq 2^{64}$,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।

(NONE) $Z^+$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = a^b$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$1$. क्रमविनिमेयता:
हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b \in Z^+$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
$a = 1$ और $b = 2$ लें।
$1 ^* 2 = 1^2 = 1$
$2 ^* 1 = 2^1 = 2$
चूँकि $1 \neq 2$,इसलिए $1 ^* 2 \neq 2 ^* 1$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$2$. साहचर्यता:
हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in Z^+$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है।
$a = 2, b = 3, c = 4$ लें।
$(2 ^* 3) ^* 4 = (2^3) ^* 4 = 8 ^* 4 = 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$
$2 ^* (3 ^* 4) = 2 ^* (3^4) = 2 ^* 81 = 2^{81}$
चूँकि $2^{12} \neq 2^{81}$,इसलिए $(2 ^* 3) ^* 4 \neq 2 ^* (3 ^* 4)$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

द्विआधारी संक्रिया $a, b \in R - \{-1\}$ के लिए $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. क्रमविनिमेयता (Commutativity):
यह जांचने के लिए कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है,हम $a ^* b$ और $b ^* a$ की तुलना करते हैं।
$a ^* b = \frac{a}{b+1}$
$b ^* a = \frac{b}{a+1}$
चूंकि सामान्यतः $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ (उदाहरण के लिए,$a=1, b=2$ लेने पर,$1 ^* 2 = \frac{1}{3}$ और $2 ^* 1 = \frac{2}{2} = 1$),इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$2$. साहचर्यता (Associativity):
यह जांचने के लिए कि क्या $^*$ साहचर्य है,हम $(a ^* b) ^* c$ और $a ^* (b ^* c)$ की तुलना करते हैं।
$(a ^* b) ^* c = (\frac{a}{b+1}) ^* c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{b}{c+1}) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a}{\frac{b+c+1}{c+1}} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
चूंकि सामान्यतः $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$ (उदाहरण के लिए,$a=1, b=2, c=3$ लेने पर,$(1 ^* 2) ^* 3 = \frac{1}{(3)(4)} = \frac{1}{12}$ और $1 ^* (2 ^* 3) = \frac{1(4)}{2+3+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$),इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

(N/A) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर द्विआधारी संक्रिया $\wedge$ को $a \wedge b = \min\{a, b\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $a, b \in S$ है।
संक्रिया सारणी बनाने के लिए,हम प्रत्येक युग्म $(a, b)$ के लिए $a \wedge b$ की गणना करते हैं,जहाँ $a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है। प्रत्येक सेल में मान संबंधित पंक्ति और स्तंभ शीर्षों का न्यूनतम मान है।

$\wedge$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$
$3$	$1$	$2$	$3$	$3$	$3$
$4$	$1$	$2$	$3$	$4$	$4$
$5$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

(N/A) $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ का मान ज्ञात करने के लिए:
सारणी से,$2 \,^* \,3 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(2 \,^* \,3) \,^* \,4 = 2 \,^* \,4 = 2$ होगा।
$2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ का मान ज्ञात करने के लिए:
सारणी से,$3 \,^* \,4 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 \,^* \,(3 \,^* \,4) = 2 \,^* \,3 = 2$ होगा।

(A) किसी समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय होती है यदि सभी $a, b \in S$ के लिए $a \,^*\, b = b \,^*\, a$ हो।
यह जांचने के लिए कि क्या संक्रिया क्रमविनिमेय है,हम देखते हैं कि क्या सारणी मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित (symmetric) है।
सारणी को देखने पर:
- $1 \,^*\, 2 = 1$ और $2 \,^*\, 1 = 1$. अतः,$1 \,^*\, 2 = 2 \,^*\, 1$.
- $1 \,^*\, 3 = 1$ और $3 \,^*\, 1 = 1$. अतः,$1 \,^*\, 3 = 3 \,^*\, 1$.
- $2 \,^*\, 3 = 2$ और $3 \,^*\, 2 = 2$. अतः,$2 \,^*\, 3 = 3 \,^*\, 2$.
- $2 \,^*\, 4 = 2$ और $4 \,^*\, 2 = 2$. अतः,$2 \,^*\, 4 = 4 \,^*\, 2$.
- $3 \,^*\, 4 = 3$ और $4 \,^*\, 3 = 3$. अतः,$3 \,^*\, 4 = 4 \,^*\, 3$.
- $1 \,^*\, 5 = 1$ और $5 \,^*\, 1 = 1$. अतः,$1 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 1$.
- $2 \,^*\, 5 = 2$ और $5 \,^*\, 2 = 2$. अतः,$2 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 2$.
- $3 \,^*\, 5 = 3$ और $5 \,^*\, 3 = 3$. अतः,$3 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 3$.
- $4 \,^*\, 5 = 4$ और $5 \,^*\, 4 = 4$. अतः,$4 \,^*\, 5 = 5 \,^*\, 4$.
चूंकि सभी $a, b \in \{1,2,3,4,5\}$ के लिए $a \,^*\, b = b \,^*\, a$ है,इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।

(B) दी गई सारणी से:
$1$. $(2 \,^* \,3)$ का मान ज्ञात करें। $2$ की पंक्ति और $3$ के स्तंभ को देखने पर,हमें $(2 \,^* \,3) = 2$ प्राप्त होता है।
$2$. $(4 \,^* \,5)$ का मान ज्ञात करें। $4$ की पंक्ति और $5$ के स्तंभ को देखने पर,हमें $(4 \,^* \,5) = 4$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,अंतिम व्यंजक की गणना करें: $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5) = 2 \,^* \,4$।
$4$. सारणी में $2$ की पंक्ति और $4$ के स्तंभ को देखने पर,हमें $2 \,^* \,4 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम परिणाम $2$ है।

(B) समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर द्विआधारी संक्रिया $*^{\prime}$ को $a *^{\prime} b = a$ और $b$ का म.स.प. के रूप में परिभाषित किया गया है।
संक्रिया $*^{\prime}$ के लिए संक्रिया सारणी नीचे दी गई है:

$*^{\prime}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$1$	$3$	$1$	$1$
$4$	$1$	$2$	$1$	$4$	$1$
$5$	$1$	$1$	$1$	$1$	$5$

अभ्यास $4$ में,संक्रिया $*$ को $a * b = \min\{a, b\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सारणियों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि संक्रियाओं $*$ और $*^{\prime}$ के लिए संक्रिया सारणियाँ अलग-अलग हैं।
अतः,संक्रिया $*^{\prime}$ संक्रिया $*$ के समान नहीं है।

(A) $N$ पर द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \,b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$5 \,^* \,7$ के लिए:
$5 \,^* \,7 = 5 \text{ और } 7 \text{ का ल.स.प.} = 35$।
$20 \,^* \,16$ के लिए:
$20 \,^* \,16 = 20 \text{ और } 16 \text{ का ल.स.प.}$।
चूंकि $20 = 2^2 \times 5$ और $16 = 2^4$ है,इसलिए ल.स.प. $2^4 \times 5 = 16 \times 5 = 80$ होगा।
अतः,$5 \,^* \,7 = 35$ और $20 \,^* \,16 = 80$ है।

(A) द्विआधारी संक्रिया $^*$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ के रूप में परिभाषित है।
किसी भी $a, b \in N$ के लिए,हम जानते हैं कि $a$ और $b$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ वही होता है जो $b$ और $a$ का लघुत्तम समापवर्त्य होता है।
इसलिए,$a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.} = b \text{ और } a \text{ का ल.स.प.} = b \, ^* \, a$।
चूंकि सभी $a, b \in N$ के लिए $a \, ^* \, b = b \, ^* \, a$ है,इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।

(A) $a, b, c \in N$ के लिए,
$(a \,^*\, b) \,^*\, c = (a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}) \,^*\, c = a, b, \text{ और } c \text{ का ल.स.प.}$
$a \,^*\, (b \,^*\, c) = a \,^*\, (b \text{ और } c \text{ का ल.स.प.}) = a, b, \text{ और } c \text{ का ल.स.प.}$
$\therefore (a \,^*\, b) \,^*\, c = a \,^*\, (b \,^*\, c)$
अतः,संक्रिया $^*$ साहचर्य है।

(A) समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव $e$ वह अवयव है जिसके लिए सभी $a \in N$ के लिए $a \, ^* \, e = a = e \, ^* \, a$ हो।
यहाँ दिया गया है कि $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$.
हम जानते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $1$ का ल.स.प. $a$ होता है,अर्थात $\text{L.C.M.}(a, 1) = a$ और $\text{L.C.M.}(1, a) = a$।
इसलिए,सभी $a \in N$ के लिए $a \, ^* \, 1 = a = 1 \, ^* \, a$ होता है।
अतः,$1$ समुच्चय $N$ में $^*$ के लिए तत्समक अवयव है।

(A) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में एक अवयव $a$,संक्रिया $^*$ के सापेक्ष व्युत्क्रमणीय है यदि $N$ में एक ऐसा अवयव $b$ विद्यमान हो कि $a ^* b = e = b ^* a$ हो,जहाँ $e$ तत्समक अवयव है।
$N$ पर $L.C.M.$ की संक्रिया के लिए,तत्समक अवयव $e$ को सभी $a \in N$ के लिए $L.C.M.(a, e) = a$ को संतुष्ट करना चाहिए। यह $e = 1$ के लिए सत्य है।
अतः,हमें $b \in N$ ज्ञात करना है ताकि $L.C.M.(a, b) = 1$ हो।
चूँकि सभी $a, b \in N$ के लिए $L.C.M.(a, b) \geq a$ और $L.C.M.(a, b) \geq b$ होता है,इसलिए $L.C.M.(a, b) = 1$ की स्थिति केवल तभी संभव है जब $a = 1$ और $b = 1$ हो।
इसलिए,$1$ ही $N$ का एकमात्र अवयव है जो संक्रिया $^*$ के सापेक्ष व्युत्क्रमणीय है।

(D) एक समुच्चय $A$ पर द्विआधारी संक्रिया $^*$ एक फलन $^*: A \times A \to A$ है। इसका अर्थ है कि सभी $a, b \in A$ के लिए,परिणाम $a \,^*\, b$ भी $A$ का एक अवयव होना चाहिए।
मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है। संक्रिया को $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
संक्रिया के द्विआधारी होने के लिए,सभी $a, b \in A$ के लिए $a \,^*\, b$ का $A$ में होना आवश्यक है।
आइए इसे समुच्चय $A$ के कुछ अवयवों के साथ जाँचें:
मान लीजिए $a = 2$ और $b = 3$ है। दोनों $2, 3 \in A$ हैं।
$2 \,^*\, 3 = 2 \text{ और } 3 \text{ का ल.स.प.} = 6$ है।
चूँकि $6 \notin \{1, 2, 3, 4, 5\}$,संक्रिया का परिणाम समुच्चय $A$ में नहीं है।
इसी प्रकार,$2 \,^*\, 5 = 10 \notin A$,$3 \,^*\, 4 = 12 \notin A$,आदि।
चूँकि ऐसे अवयव $a, b \in A$ मौजूद हैं जिनके लिए $a \,^*\, b \notin A$,इसलिए संक्रिया $^*$ समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।

(N/A) $N$ पर द्वि-आधारी संक्रिया $^*$ इस प्रकार परिभाषित है: $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}$
$1$. क्रमविनिमेयता:
हम जानते हैं कि सभी $a, b \in N$ के लिए $a$ और $b$ का $\text{म.स.प.}$ वही होता है जो $b$ और $a$ का $\text{म.स.प.}$ होता है।
इसलिए,$a \,^*\, b = b \,^*\, a$.
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्यता:
$a, b, c \in N$ के लिए,हमारे पास है:
$(a \,^*\, b) \,^*\, c = (a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}) \,^*\, c = a, b, c \text{ का म.स.प.}$
$a \,^*\, (b \,^*\, c) = a \,^*\, (b \text{ और } c \text{ का म.स.प.}) = a, b, c \text{ का म.स.प.}$
चूंकि $(a \,^*\, b) \,^*\, c = a \,^*\, (b \,^*\, c)$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य है।
$3$. तत्समक अवयव:
एक अवयव $e \in N$,$^*$ के लिए तत्समक होगा यदि सभी $a \in N$ के लिए $a \,^*\, e = a = e \,^*\, a$ हो।
इसका अर्थ है $\text{म.स.प.}(a, e) = a$,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $a \in N$ के लिए $a$ को $e$ का विभाजक होना चाहिए। चूंकि $N$ में ऐसा कोई निश्चित अवयव $e$ नहीं है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का गुणज हो,इसलिए इस संक्रिया के लिए कोई तत्समक अवयव मौजूद नहीं है।

$Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = a - b$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. क्रमविनिमेयता (Commutativity):
संक्रिया के क्रमविनिमेय होने के लिए,सभी $a, b \in Q$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ होना चाहिए।
$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$ लें।
$\frac{1}{2} ^* \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} ^* \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{6},$ इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$2$. साहचर्य (Associativity):
संक्रिया के साहचर्य होने के लिए,सभी $a, b, c \in Q$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ होना चाहिए।
$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ लें।
$(a ^* b) ^* c = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$
$a ^* (b ^* c) = \frac{1}{2} ^* (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} ^* \frac{1}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6 - 1}{12} = \frac{5}{12}$
चूंकि $-\frac{1}{12} \neq \frac{5}{12},$ इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

(B) $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a \,^* \,b = a^{2} + b^{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$a, b \in Q$ के लिए,हमारे पास है:
$a \,^* \,b = a^{2} + b^{2} = b^{2} + a^{2} = b \,^* \,a$.
इसलिए,$a \,^* \,b = b \,^* \,a$,जिसका अर्थ है कि संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
अब,साहचर्यता के लिए जाँच करते हैं:
$(1 \,^* \,2) \,^* \,3 = (1^{2} + 2^{2}) \,^* \,3 = (1 + 4) \,^* \,3 = 5 \,^* \,3 = 5^{2} + 3^{2} = 25 + 9 = 34$.
$1 \,^* \,(2 \,^* \,3) = 1 \,^* \,(2^{2} + 3^{2}) = 1 \,^* \,(4 + 9) = 1 \,^* \,13 = 1^{2} + 13^{2} = 1 + 169 = 170$.
चूँकि $(1 \,^* \,2) \,^* \,3 \neq 1 \,^* \,(2 \,^* \,3)$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है।

(D) $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a * b = a + ab$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता की जाँच करने के लिए:
$1 * 2 = 1 + (1 \times 2) = 1 + 2 = 3$
$2 * 1 = 2 + (2 \times 1) = 2 + 2 = 4$
चूँकि $1 * 2 \neq 2 * 1$,इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता की जाँच करने के लिए:
$(1 * 2) * 3 = (1 + 1 \times 2) * 3 = 3 * 3 = 3 + (3 \times 3) = 3 + 9 = 12$
$1 * (2 * 3) = 1 * (2 + 2 \times 3) = 1 * 8 = 1 + (1 \times 8) = 1 + 8 = 9$
चूँकि $(1 * 2) * 3 \neq 1 * (2 * 3)$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।
अतः,संक्रिया $^*$ न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य है।

(B) समुच्चय $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a * b = (a - b)^2$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता के लिए,हम जांचते हैं कि क्या सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = b * a$ है:
$a * b = (a - b)^2$
$b * a = (b - a)^2 = [-(a - b)]^2 = (a - b)^2$
चूंकि $a * b = b * a$,इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
साहचर्य के लिए,हम जांचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in Q$ के लिए $(a * b) * c = a * (b * c)$ है:
मान लीजिए $a = 1, b = 2, c = 3$:
$(1 * 2) * 3 = (1 - 2)^2 * 3 = (-1)^2 * 3 = 1 * 3 = (1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$
$1 * (2 * 3) = 1 * (2 - 3)^2 = 1 * (-1)^2 = 1 * 1 = (1 - 1)^2 = 0$
चूंकि $(1 * 2) * 3 \neq 1 * (2 * 3)$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

(C) समुच्चय $Q$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = \frac{ab}{4}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता के लिए,$a, b \in Q$ लें:
$a * b = \frac{ab}{4} = \frac{ba}{4} = b * a$.
चूंकि $a * b = b * a$,इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए,$a, b, c \in Q$ लें:
$(a * b) * c = (\frac{ab}{4}) * c = \frac{(\frac{ab}{4})c}{4} = \frac{abc}{16}$.
$a * (b * c) = a * (\frac{bc}{4}) = \frac{a(\frac{bc}{4})}{4} = \frac{abc}{16}$.
चूंकि $(a * b) * c = a * (b * c)$,इसलिए संक्रिया साहचर्य है।
अतः,संक्रिया क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है।

समुच्चय $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a \,^*\, b = a b^{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता की जाँच करने के लिए,हम $a \,^*\, b$ और $b \,^*\, a$ की तुलना करते हैं।
$Q$ में $a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$ लें।
$\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$.
$\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
चूँकि $\frac{1}{18} \neq \frac{1}{12}$,इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता की जाँच करने के लिए,हम $(a \,^*\, b) \,^*\, c$ और $a \,^*\, (b \,^*\, c)$ की तुलना करते हैं।
$Q$ में $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ लें।
$(\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3}) \,^*\, \frac{1}{4} = (\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2}) \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \times (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{18 \times 16} = \frac{1}{288}$.
$\frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4})^{2}) = \frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{48} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{48})^{2} = \frac{1}{2 \times 2304} = \frac{1}{4608}$.
चूँकि $\frac{1}{288} \neq \frac{1}{4608}$,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।

(N/A) एक अवयव $e \in Q$ किसी द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव होगा यदि सभी $a \in Q$ के लिए $a * e = a = e * a$ हो।
परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर परिभाषित छह संक्रियाओं के लिए,हम $a * e = a$ की स्थिति की जाँच करते हैं।
प्रत्येक संक्रिया के लिए $a * e = a$ को हल करने पर,हम पाते हैं कि $e$ का मान $a$ पर निर्भर करता है या सभी $a$ के लिए $Q$ में मौजूद नहीं है।
चूँकि ऐसा कोई एक अवयव $e \in Q$ नहीं है जो इन सभी संक्रियाओं के लिए $a * e = a = e * a$ की शर्त को पूरा करता हो,इसलिए इनमें से किसी भी संक्रिया का कोई तत्समक अवयव नहीं है।

(A) दिया गया है कि $A = N \times N$ और द्विआधारी संक्रिया $^*$ जो $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ द्वारा परिभाषित है।
$1$. क्रमविनिमेयता (Commutativity):
किसी भी $(a, b), (c, d) \in A$ के लिए,हमारे पास है:
$(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$
$(c, d) \,^*\, (a, b) = (c + a, d + b) = (a + c, b + d)$
चूंकि $N$ में योग क्रमविनिमेय है,इसलिए $(a, b) \,^*\, (c, d) = (c, d) \,^*\, (a, b)$। अतः,$^*$ क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्य (Associativity):
किसी भी $(a, b), (c, d), (e, f) \in A$ के लिए,हमारे पास है:
$[(a, b) \,^*\, (c, d)] \,^*\, (e, f) = (a + c, b + d) \,^*\, (e, f) = (a + c + e, b + d + f)$
$(a, b) \,^*\, [(c, d) \,^*\, (e, f)] = (a, b) \,^*\, (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)$
चूंकि $N$ में योग साहचर्य है,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य है।
$3$. तत्समक अवयव (Identity Element):
मान लीजिए $e = (e_1, e_2) \in A$ तत्समक अवयव है। तब $(a, b) \,^*\, (e_1, e_2) = (a, b)$,जिसका अर्थ है $(a + e_1, b + e_2) = (a, b)$।
इसके लिए $a + e_1 = a$ और $b + e_2 = b$ होना आवश्यक है,इसलिए $e_1 = 0$ और $e_2 = 0$।
चूंकि $0 \notin N$,इसलिए $A$ में कोई तत्समक अवयव नहीं है।

(B) यह कथन असत्य है।
इसे सिद्ध करने के लिए,एक प्रति-उदाहरण (counterexample) पर विचार करें।
मान लीजिए कि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \,b = a + b$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $a, b \in N$ है।
अब,एक अवयव $a = 3 \in N$ पर विचार करें।
दी गई शर्त के अनुसार,$3 \,^* \,3 = 3$ होना चाहिए।
हालाँकि,हमारी परिभाषित संक्रिया का उपयोग करने पर,हमें $3 \,^* \,3 = 3 + 3 = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $6 \neq 3$ है,इसलिए $N$ पर सभी द्विआधारी संक्रियाओं के लिए $a \,^* \,a = a$ की शर्त लागू नहीं होती है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(A) दिया गया है कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है,जिसका अर्थ है कि सभी $x, y \in N$ के लिए $x ^* y = y ^* x$ होता है।
दायां पक्ष $(RHS)$ लीजिए:
$RHS = (c ^* b) ^* a$
चूंकि $^*$ क्रमविनिमेय है,हम $(c ^* b) = (b ^* c)$ लिख सकते हैं।
अतः,$RHS = (b ^* c) ^* a$।
अब,क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करते हुए,हम संक्रिया $^*$ के चारों ओर तत्वों को बदल सकते हैं:
$(b ^* c) ^* a = a ^* (b ^* c)$।
इस प्रकार,$RHS = a ^* (b ^* c) = LHS$।
इसलिए,यह कथन सत्य है।

(C) $N$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = a^{3} + b^{3}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$a, b \in N$ के लिए,हमारे पास है:
$a * b = a^{3} + b^{3} = b^{3} + a^{3} = b * a$ (चूंकि $N$ में योग क्रमविनिमेय है)।
अतः,संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय है।
अब,साहचर्यता की जाँच करते हैं:
$(1 * 2) * 3 = (1^{3} + 2^{3}) * 3 = (1 + 8) * 3 = 9 * 3 = 9^{3} + 3^{3} = 729 + 27 = 756$.
$1 * (2 * 3) = 1 * (2^{3} + 3^{3}) = 1 * (8 + 27) = 1 * 35 = 1^{3} + 35^{3} = 1 + 42875 = 42876$.
चूंकि $(1 * 2) * 3 \neq 1 * (2 * 3)$,इसलिए संक्रिया $*$ साहचर्य नहीं है।
अतः,संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है। सही उत्तर $C$ है।

(A) $1$. क्रमविनिमेयता: समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ क्रमविनिमेय होती है यदि सभी $a, b \in N$ के लिए $a \ast b = b \ast a$ हो। यहाँ,$a \ast b = 1$ और $b \ast a = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए यह संक्रिया क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्यता: समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $\ast$ साहचर्य होती है यदि सभी $a, b, c \in N$ के लिए $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$ हो। यहाँ,$(a \ast b) \ast c = 1 \ast c = 1$ है। साथ ही,$a \ast (b \ast c) = a \ast 1 = 1$ है। चूँकि $1 = 1$ है,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य है।
अतः,यह संक्रिया साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है।

(N/A) क्रमविनिमेयता के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b \in N$ के लिए $a * b = b * a$ है।
$a * b = \frac{a+b}{2} = \frac{b+a}{2} = b * a$.
चूँकि $a * b = b * a$ है,इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या सभी $a, b, c \in N$ के लिए $(a * b) * c = a * (b * c)$ है।
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{2}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2} = \frac{a+b+2c}{4}$.
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{2}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{2}}{2} = \frac{2a+b+c}{4}$.
चूँकि सामान्यतः $\frac{a+b+2c}{4} \neq \frac{2a+b+c}{4}$ है,इसलिए संक्रिया साहचर्य नहीं है।

(A) $\{1, 2\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ समुच्चय $\{1, 2\} \times \{1, 2\}$ से $\{1, 2\}$ तक का एक फलन है,अर्थात $\{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$ से $\{1, 2\}$ तक का एक फलन है।
चूंकि $1$ द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक है,इसलिए $1 * 1 = 1$,$1 * 2 = 2$ और $2 * 1 = 2$ होना चाहिए।
यह $(1, 1)$,$(1, 2)$ और $(2, 1)$ युग्मों के मान निर्धारित करता है।
युग्म $(2, 2)$ के लिए,हमें दिया गया है कि $2$ का प्रतिलोम $2$ है। प्रतिलोम की परिभाषा के अनुसार,$2 * 2$ तत्समक अवयव के बराबर होना चाहिए,जो कि $1$ है।
अतः,$2 * 2 = 1$ होगा।
चूंकि फलन $^*$ के सभी मान अद्वितीय रूप से निर्धारित हैं,इसलिए ऐसी द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या केवल एक है।

(A) यह दिया गया है कि द्वि-आधारी संक्रिया $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ सभी $A, B \in P(X)$ के लिए $A \,^*\, B = A \cap B$ द्वारा परिभाषित है।
हम जानते हैं कि किसी भी समुच्चय $A \in P(X)$ के लिए,$A \cap X = A$ और $X \cap A = A$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि सभी $A \in P(X)$ के लिए $A \,^*\, X = A$ और $X \,^*\, A = A$ है।
अतः,$X$ दी गई द्वि-आधारी संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव है।
अब,एक अवयव $A \in P(X)$ व्युत्क्रमणीय है यदि कोई ऐसा अवयव $B \in P(X)$ मौजूद हो कि $A \,^*\, B = X$ और $B \,^*\, A = X$ हो (चूंकि $X$ तत्समक अवयव है)।
इसका अर्थ है $A \cap B = X$ और $B \cap A = X$।
चूंकि $A \subseteq X$ और $B \subseteq X$,इसलिए सर्वनिष्ठ $A \cap B$ केवल तभी $X$ के बराबर हो सकता है जब $A = X$ और $B = X$ हो।
इसलिए,$X$ दी गई संक्रिया $^*$ के सापेक्ष $P(X)$ में एकमात्र व्युत्क्रमणीय अवयव है।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।