Mix Examples of Relation and Function Questions in Hindi

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{(x, y) : y = e^x, x \in R\}$ और $B = \{(x, y) : y = x, x \in R\}$ हैं।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हमें यह जांचना होगा कि क्या कोई ऐसा बिंदु $(x, y)$ है जो $y = e^x$ और $y = x$ दोनों को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है $e^x = x$,या $e^x - x = 0$।
माना $f(x) = e^x - x$ है। अवकलन $f'(x) = e^x - 1$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का न्यूनतम मान $f(0) = e^0 - 0 = 1$ है।
चूंकि $e^x - x$ का न्यूनतम मान $1$ है,जो $0$ से बड़ा है,इसलिए समीकरण $e^x = x$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,समुच्चय $A$ और $B$ के बीच कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है।
इस प्रकार,$A \cap B = \phi$।

(B) सर्वनिष्ठ $A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$-मानों को बराबर रखते हैं:
$e^x = e^{-x}$
दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{2x} = 1$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2x = 0 \implies x = 0$
$x = 0$ को किसी भी समीकरण में रखने पर:
$y = e^0 = 1$
अतः,बिंदु $(0, 1)$ समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में है।
इसलिए,$A \cap B = \{(0, 1)\}$,जिसका अर्थ है कि $A \cap B \neq \phi$.

(B) माना $(x, z) \in (S \circ R)^{-1}$ है।
तब $(z, x) \in S \circ R$ होगा।
संबंधों के संयोजन की परिभाषा के अनुसार,एक अवयव $y \in B$ ऐसा विद्यमान है कि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in S$ है।
इसका अर्थ है कि $(y, x) \in R^{-1}$ और $(z, y) \in S^{-1}$ है।
चूंकि $(z, y) \in S^{-1}$ और $(y, x) \in R^{-1}$ है,संयोजन की परिभाषा से,हमें $(z, x) \in R^{-1} \circ S^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1}$ है।

(C) संबंधों का संयोजन $RoS$ उन सभी युग्मों $(x, z)$ का समुच्चय है जिनके लिए $y \in A$ मौजूद है जहाँ $(x, y) \in S$ और $(y, z) \in R$ हो।
दिया गया है $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$ और $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\}$.
हम $S$ के प्रत्येक अवयव $(x, y)$ की जाँच करते हैं:
$1$. $(2, 1) \in S$ के लिए,हम $(1, z) \in R$ देखते हैं। हमें $(1, 3) \in R$ मिलता है,इसलिए $(2, 3) \in RoS$ है।
$2$. $(3, 2) \in S$ के लिए,हम $(2, z) \in R$ देखते हैं। हमें $(2, 2) \in R$ मिलता है,इसलिए $(3, 2) \in RoS$ है।
$3$. $(2, 3) \in S$ के लिए,हम $(3, z) \in R$ देखते हैं। हमें $(3, 2) \in R$ मिलता है,इसलिए $(2, 2) \in RoS$ है।
अतः,$RoS = \{(2, 3), (3, 2), (2, 2)\}$।

(D) माना $P(x) = bx^2 + ax + c$ है।
$P(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $c = 0$ है।
$P(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $a + b = 1$,जिसका अर्थ है $b = 1 - a$ है।
अतः,$P(x) = (1 - a)x^2 + ax$ है।
अवकलन करने पर,$P'(x) = 2(1 - a)x + a$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $P'(x) > 0$ है।
$x = 0$ पर,$P'(0) = a > 0$ है।
$x = 1$ पर,$P'(1) = 2(1 - a) + a = 2 - a > 0$ है,जिसका अर्थ है $a < 2$ है।
चूंकि $P'(x)$ एक रैखिक फलन है,यदि यह अंतराल $(0, 1)$ के अंत बिंदुओं पर धनात्मक है,तो यह सभी $x \in (0, 1)$ के लिए धनात्मक होगा।
अतः,$0 < a < 2$ है।
इसलिए,$S = \{ax + (1 - a)x^2 : a \in (0, 2)\}$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = \cos (\log x)$.
अतः $f(y) = \cos (\log y)$.
हमें $f(x)f(y) - \frac{1}{2}[f(x/y) + f(xy)]$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $\log(a/b) = \log a - \log b$ और $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करते हुए:
$f(x/y) = \cos(\log(x/y)) = \cos(\log x - \log y)$
$f(xy) = \cos(\log(xy)) = \cos(\log x + \log y)$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x)f(y) - \frac{1}{2}[\cos(\log x - \log y) + \cos(\log x + \log y)]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \log x$ और $B = \log y$ है:
$= \cos(\log x)\cos(\log y) - \frac{1}{2}[2\cos(\log x)\cos(\log y)]$
$= \cos(\log x)\cos(\log y) - \cos(\log x)\cos(\log y) = 0$.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin \log x$.
सबसे पहले,$f(xy)$ की गणना करें:
$f(xy) = \sin \log(xy) = \sin(\log x + \log y)$.
इसके बाद,$f\left( \frac{x}{y} \right)$ की गणना करें:
$f\left( \frac{x}{y} \right) = \sin \log\left( \frac{x}{y} \right) = \sin(\log x - \log y)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \log x$ और $B = \log y$ है:
$f(xy) + f\left( \frac{x}{y} \right) = \sin(\log x + \log y) + \sin(\log x - \log y) = 2 \sin(\log x) \cos(\log y)$.
चूंकि $f(x) = \sin \log x$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$f(xy) + f\left( \frac{x}{y} \right) = 2 f(x) \cos \log y$.
अतः,व्यंजक का मान:
$2 f(x) \cos \log y - 2 f(x) \cos \log y = 0$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cos(\log x)$.
हमें $E = f(x^2)f(y^2) - \frac{1}{2}\left[ f\left( \frac{x^2}{y^2} \right) + f(x^2y^2) \right]$ का मान ज्ञात करना है।
फलन की परिभाषा रखने पर:
$E = \cos(\log x^2)\cos(\log y^2) - \frac{1}{2}\left[ \cos(\log(x^2/y^2)) + \cos(\log(x^2y^2)) \right]$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a/b) = \log a - \log b$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$E = \cos(2\log x)\cos(2\log y) - \frac{1}{2}\left[ \cos(2\log x - 2\log y) + \cos(2\log x + 2\log y) \right]$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर:
माना $A = 2\log x$ और $B = 2\log y$.
तब $\cos(2\log x)\cos(2\log y) = \frac{1}{2}[\cos(2\log x - 2\log y) + \cos(2\log x + 2\log y)]$.
इस मान को $E$ में रखने पर:
$E = \frac{1}{2}[\cos(2\log x - 2\log y) + \cos(2\log x + 2\log y)] - \frac{1}{2}[\cos(2\log x - 2\log y) + \cos(2\log x + 2\log y)] = 0$.
अतः,मान $0$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \log \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
हमें $f\left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
फलन $f(x)$ में $x$ के स्थान पर $\frac{2x}{1 + x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) = \log \left[ \frac{1 + \frac{2x}{1 + x^2}}{1 - \frac{2x}{1 + x^2}} \right]$
लघुगणक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= \log \left[ \frac{\frac{1 + x^2 + 2x}{1 + x^2}}{\frac{1 + x^2 - 2x}{1 + x^2}} \right]$
$= \log \left[ \frac{1 + x^2 + 2x}{1 + x^2 - 2x} \right]$
वर्गों को पहचानने पर:
$= \log \left[ \frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^2} \right]$
$= \log \left[ \frac{1 + x}{1 - x} \right]^2$
गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \log \left[ \frac{1 + x}{1 - x} \right]$
$= 2f(x)$.

(C) दिया गया है $f(x) = \cos(\log x)$.
माना व्यंजक $E = f(x)f(4) - \frac{1}{2}\left[ f\left( \frac{x}{4} \right) + f(4x) \right]$ है।
फलन की परिभाषा प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \cos(\log x) \cos(\log 4) - \frac{1}{2}\left[ \cos(\log(x/4)) + \cos(\log(4x)) \right]$.
लघुगणक के गुणों $\log(a/b) = \log a - \log b$ और $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos(\log x) \cos(\log 4) - \frac{1}{2}\left[ \cos(\log x - \log 4) + \cos(\log x + \log 4) \right]$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \log x$ और $B = \log 4$ है:
$E = \cos(\log x) \cos(\log 4) - \frac{1}{2} \left[ 2 \cos(\log x) \cos(\log 4) \right]$.
$E = \cos(\log x) \cos(\log 4) - \cos(\log x) \cos(\log 4) = 0$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x - |x|}{|x|}$ है।
$f(-1)$ ज्ञात करने के लिए,फलन में $x = -1$ प्रतिस्थापित करें:
$f(-1) = \frac{-1 - |-1|}{|-1|}$
चूंकि $|-1| = 1$,इसलिए:
$f(-1) = \frac{-1 - 1}{1} = \frac{-2}{1} = -2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$।
फलन में $x$ के स्थान पर $\frac{1}{x}$ रखने पर:
$f\left( \frac{1}{x} \right) = 4\left( \frac{1}{x} \right)^3 + 3\left( \frac{1}{x} \right)^2 + 3\left( \frac{1}{x} \right) + 4$
$f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$
अब,$x^3$ से गुणा करने पर:
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = x^3 \left( \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4 \right)$
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4 = f(x)$।

(B) दिया गया है $f(x) = 2x + |x|$।
$f(2x)$ की गणना करें:
$f(2x) = 2(2x) + |2x| = 4x + 2|x|$।
$f(-x)$ की गणना करें:
$f(-x) = 2(-x) + |-x| = -2x + |x|$।
अब,इन मानों को व्यंजक $f(2x) + f(-x) - f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$= (4x + 2|x|) + (-2x + |x|) - (2x + |x|)$
$= 4x + 2|x| - 2x + |x| - 2x - |x|$
$= (4x - 2x - 2x) + (2|x| + |x| - |x|)$
$= 0x + 2|x|$
$= 2|x|$।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2\sqrt{2x - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2\sqrt{2x - 4}}}$.
$x = 11$ का मान रखने पर:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 2\sqrt{2(11) - 4}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{2(11) - 4}}}$
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 2\sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{18}}}$
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}}$
यहाँ $11 + 6\sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$ और $11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$ है।
$f(11) = \frac{1}{3 + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$f(11) = \frac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} + \frac{3 + \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{6}{7}$.

(A) दिया गया है ${e^{f(x)}} = \frac{{10 + x}}{{10 - x}}$,दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = \ln \left( \frac{10 + x}{10 - x} \right)$.
अब,$f\left( \frac{200x}{100 + x^2} \right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f\left( \frac{200x}{100 + x^2} \right) = \ln \left( \frac{10 + \frac{200x}{100 + x^2}}{10 - \frac{200x}{100 + x^2}} \right)$
$= \ln \left( \frac{10(100 + x^2) + 200x}{10(100 + x^2) - 200x} \right)$
$= \ln \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \ln \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \ln \left( \frac{(x + 10)^2}{(10 - x)^2} \right)$
$= 2 \ln \left( \frac{10 + x}{10 - x} \right) = 2f(x)$.
दिया गया है $f(x) = k f\left( \frac{200x}{100 + x^2} \right)$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = k \cdot 2f(x)$.
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $f(x) \neq 0$ है,इसलिए $1 = 2k$,जिसका अर्थ है $k = 0.5$.

(C) दिए गए फलन $f(x) = 2\sin x$ और $g(x) = \cos^2 x$ हैं।
हमें $(f + g)\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ज्ञात करना है।
परिभाषा के अनुसार,$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$।
अतः,$(f + g)\left(\frac{\pi}{3}\right) = f\left(\frac{\pi}{3}\right) + g\left(\frac{\pi}{3}\right)$।
फलनों में $x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।
$g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
इसलिए,$(f + g)\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} + \frac{1}{4}$।

(B) एक फलन $y = f(x)$ रेखा $x = a$ के परितः सममित होता है यदि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(a + x) = f(a - x)$ हो।
चूंकि ग्राफ रेखा $x = 2$ के परितः सममित है,इसलिए हम शर्त में $a = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$f(2 + x) = f(2 - x)$ प्राप्त होता है।

(B) विकल्प $A$,$C$,और $D$ में दिए गए कथन समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक के फलन $f$ के प्रांत और सह-प्रांत का वर्णन करते हैं।
विशेष रूप से,$f: A \to B$,'$f$,$A$ से $B$ में एक प्रतिचित्रण है',और '$f$,$A$ से $B$ में एक फलन है',ये तीनों समुच्चय $A$ और $B$ के बीच के संबंध को परिभाषित करते हैं।
हालाँकि,विकल्प $B$ में दिया गया कथन,$f: x \to f(x)$,समुच्चयों के बीच फलन को परिभाषित करने के बजाय,किसी विशिष्ट अवयव $x$ को उसके प्रतिबिंब $f(x)$ से जोड़ने के नियम को दर्शाता है।
इसलिए,विकल्प $B$ दूसरों से भिन्न है।

(C) यह जाँचने के लिए कि क्या फलन एकैकी है,मान लीजिए $f(x) = f(y)$.
$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \frac{y^2 - 4}{y^2 + 4}$
$\frac{x^2 + 4 - 8}{x^2 + 4} = \frac{y^2 + 4 - 8}{y^2 + 4}$
$1 - \frac{8}{x^2 + 4} = 1 - \frac{8}{y^2 + 4}$
$\frac{8}{x^2 + 4} = \frac{8}{y^2 + 4}$
$x^2 + 4 = y^2 + 4$
$x^2 = y^2 \Rightarrow x = \pm y$.
चूँकि $f(2) = f(-2) = 0$,फलन बहु-एक है।
यह जाँचने के लिए कि क्या यह आच्छादक है,मान लीजिए $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$.
$y(x^2 + 4) = x^2 - 4$
$yx^2 + 4y = x^2 - 4$
$4y + 4 = x^2(1 - y)$
$x^2 = \frac{4(1 + y)}{1 - y}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$,जिसका अर्थ है $y \in (-1, 1)$.
हालाँकि,$|x| \ge 2$ के लिए,$x^2 \ge 4$.
$\frac{4(1 + y)}{1 - y} \ge 4 \Rightarrow 1 + y \ge 1 - y \Rightarrow 2y \ge 0 \Rightarrow y \ge 0$.
अतः,परिसर $[0, 1)$ है,जो सह-प्रांत $(-1, 1)$ का एक उचित उपसमुच्चय है।
इसलिए,फलन अंतःक्षेपी है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = 2x$ और $g(x) = x$ (तत्समक फलन)।
सबसे पहले,$(fog)(x)$ की गणना करें:
$(fog)(x) = f(g(x)) = f(x) = 2x$।
इसके बाद,$(g + g)(x)$ की गणना करें:
$(g + g)(x) = g(x) + g(x) = x + x = 2x$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $(fog)(x) = 2x$ और $(g + g)(x) = 2x$।
अतः,$(fog)(x) = (g + g)(x)$।

(C) किसी भी उपसमुच्चय $A \subseteq X$ के लिए,हमारे पास $A \subseteq f^{-1}(f(A))$ होता है। समानता $f^{-1}(f(A)) = A$ केवल तभी सत्य है यदि $f$ एकैकी (injective) फलन हो।
किसी भी उपसमुच्चय $B \subseteq Y$ के लिए,हमारे पास $f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)$ होता है।
अतः,$f(f^{-1}(B)) = B$ केवल तभी सत्य है यदि $B \subseteq f(X)$ हो।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) हमें फलन $f(x) = \begin{cases} -1 & \text{for } -2 \le x \le 0 \\ x - 1 & \text{for } 0 < x \le 2 \end{cases}$ दिया गया है।
हमें $x \in (-2, 2)$ ज्ञात करना है ताकि $x \le 0$ और $f(|x|) = x$ हो।
चूंकि $x \le 0$,इसलिए $|x| = -x$ है। चूंकि $x \in (-2, 2)$ और $x \le 0$,इसलिए $|x| \in [0, 2)$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(|0|) = f(0) = -1$ है। लेकिन $x = 0$ है,इसलिए $f(0) \neq 0$ है।
यदि $x \in (-2, 0)$ है,तो $|x| \in (0, 2)$ है।
$|x| \in (0, 2)$ के लिए,फलन $f(|x|) = |x| - 1$ के रूप में परिभाषित है।
हम $f(|x|) = x$ रखते हैं,जिससे $|x| - 1 = x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$,अतः $-x - 1 = x$ है।
इसे सरल करने पर $2x = -1$,या $x = -1/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1/2 \in (-2, 0)$,यह एक मान्य समाधान है।
अतः,समुच्चय $\{-1/2\}$ है।

(A) चूंकि $f$ एक सम फलन है,इसलिए सभी $x \in (-5, 5)$ के लिए $f(-x) = f(x).$
दिया गया है कि $f(x) = f\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right).$
चूंकि $f(x) = f(-x)$,समीकरण $f(x) = f\left( \frac{x + 1}{x + 2} \right)$ तब संतुष्ट होता है यदि $x = \frac{x + 1}{x + 2}$ या $-x = \frac{x + 1}{x + 2}.$
स्थिति $1$: $x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow x^2 + 2x = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0.$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$
स्थिति $2$: $-x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow -x^2 - 2x = x + 1 \Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 0.$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}.$
अतः,$x$ के चार मान $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ और $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।

(D) फलन को $f(x) = |px - q| + r|x|$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम इसे $f(x) = p|x - \frac{q}{p}| + r|x|$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं।
यह दो मापांक फलनों का योग है। $f(x)$ का ग्राफ एक उत्तल फलन है।
$f(x) = a|x - x_1| + b|x - x_2|$ रूप के फलन के लिए,न्यूनतम मान एक ही बिंदु पर प्राप्त होता है यदि रैखिक खंडों की ढाल इस तरह बदलती है कि न्यूनतम मान अद्वितीय हो।
विशेष रूप से,$f(x) = |px - q| + r|x|$ के लिए,क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{q}{p}$ हैं।
यदि $p \neq r$ है,तो फलन गुणांकों के आधार पर एक अंतराल पर या एक बिंदु पर न्यूनतम मान रखेगा।
यदि $p = r$ है,तो $f(x) = p|x - \frac{q}{p}| + p|x| = p(|x - \frac{q}{p}| + |x|)$।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|x - \frac{q}{p}| + |x| \geq |x - \frac{q}{p} - x| = |-\frac{q}{p}| = \frac{q}{p}$।
न्यूनतम मान $\frac{pq}{p} = q$ अंतराल $[0, \frac{q}{p}]$ के सभी $x$ के लिए प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न उस स्थिति के बारे में पूछता है जहाँ न्यूनतम मान केवल एक बिंदु पर प्राप्त होता है।
फलन की संरचना को देखते हुए,यदि $p \neq r$ है,तो फलन अलग तरह से व्यवहार करता है। विकल्पों की जाँच करने पर,$p=q=r$ एक ऐसी स्थिति की ओर ले जाता है जहाँ न्यूनतम मान अद्वितीय होता है।

(B) अंतराल $[0, 1]$ से $[-1, 1]$ तक का विषम विस्तार $g(x)$ को शर्त $g(-x) = -g(x)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$x \in (0, 1]$ के लिए,विषम विस्तार $g(x) = -f(-x)$ द्वारा परिभाषित होता है।
दिया गया है $f(x) = x^2 + x + \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$.
अतः $f(-x) = (-x)^2 + (-x) + \sin(-x) - \cos(-x) + \log(1 + |-x|)$.
हम जानते हैं कि $\sin(-x) = -\sin x$,$\cos(-x) = \cos x$ और $|-x| = |x|$,इसलिए:
$f(-x) = x^2 - x - \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$.
अब,$x \in (0, 1]$ के लिए विषम विस्तार $g(x)$ इस प्रकार होगा:
$g(x) = -f(-x) = -(x^2 - x - \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)) = -x^2 + x + \sin x + \cos x - \log(1 + |x|)$.
यह परिणाम विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) सही विकल्प $(c)$ है।
$1$. $g(x) = |f(x)| \ge 0$ सभी $x \in R$ के लिए। चूँकि $g$ का परिसर $[0, \infty)$ का उपसमुच्चय है,इसलिए यदि सह-प्रांत $R$ है तो $g$ आच्छादक नहीं हो सकता।
$2$. यदि $f(x)$ एकैकी है,तो $g(x)$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = x$ है,तो $f$ एकैकी है,लेकिन $g(x) = |x|$ एकैकी नहीं है क्योंकि $g(1) = g(-1) = 1$ है।
$3$. यदि $f(x)$ सतत है,तो $g(x) = |f(x)|$ भी सतत होता है। यह सतत फलनों का एक मानक गुण है: एक सतत फलन $f(x)$ और सतत फलन $h(u) = |u|$ का संयोजन सतत होता है।
$4$. यदि $f(x)$ अवकलनीय है,तो $g(x) = |f(x)|$ का अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है। जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,यदि $f(x)$ $x$-अक्ष को किसी बिंदु $P$ पर काटता है (जहाँ $f(P) = 0$),तो $g(x) = |f(x)|$ का उस बिंदु पर एक तीक्ष्ण कोना होगा,जिससे वह उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं रहेगा।

(B) माना कि $(x, z) \in (SoR)^{-1}$ है।
तब $(z, x) \in SoR$ होगा।
संबंधों के संयोजन की परिभाषा के अनुसार,एक ऐसा अवयव $y \in B$ विद्यमान है कि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in S$ है।
यह दर्शाता है कि $(y, x) \in R^{-1}$ और $(z, y) \in S^{-1}$ है।
चूंकि $(z, y) \in S^{-1}$ और $(y, x) \in R^{-1}$ है,संयोजन की परिभाषा के अनुसार,हमें $(z, x) \in R^{-1}oS^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(SoR)^{-1} = R^{-1}oS^{-1}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$.
गुणनखंड करने पर,$f(x) = (x - 1)(x^2 - 7x + 13)$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के अभाज्य होने के लिए,दोनों गुणनखंडों में से एक का मान $1$ होना चाहिए (क्योंकि दूसरा गुणनखंड एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए)।
स्थिति $1$: $x - 1 = 1 \implies x = 2$.
यदि $x = 2$ है,तो $f(2) = (2 - 1)(2^2 - 7(2) + 13) = 1 \times 3 = 3$,जो अभाज्य है।
स्थिति $2$: $x^2 - 7x + 13 = 1 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies (x - 3)(x - 4) = 0 \implies x = 3$ या $x = 4$.
यदि $x = 3$ है,तो $f(3) = (3 - 1)(1) = 2$,जो अभाज्य है।
यदि $x = 4$ है,तो $f(4) = (4 - 1)(1) = 3$,जो अभाज्य है।
अतः,$x$ के मान $2, 3, 4$ हैं।
ऐसे धनात्मक पूर्णांकों की संख्या $3$ है।

(D) हमारे पास $f(x) = \frac{\sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + 1 - 2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x-1} - 1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}}{\sqrt{x-1} - 1} = \frac{|\sqrt{x-1} - 1|}{\sqrt{x-1} - 1}$ है।
$x \in [1, 2)$ के लिए,$\sqrt{x-1} < 1$,इसलिए $\sqrt{x-1} - 1 < 0$,जो $f(x) = -1$ देता है। अतः $x \in (1, 2)$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
$x > 2$ के लिए,$\sqrt{x-1} > 1$,इसलिए $\sqrt{x-1} - 1 > 0$,जो $f(x) = 1$ देता है। अतः $x > 2$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
यह फलन $x=1$ (शून्य से विभाजन) और $x=2$ (अवकलज का अस्तित्व नहीं है) पर अपरिभाषित है। चूंकि $f(x)$,$(2, \infty)$ पर अचर है,इसलिए सही कथन यह है कि $x > 2$ के लिए $f(x)$ एक अचर फलन है।

(A) फलन $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi} \tan^{-1}(nx)$ का ग्राफ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के विभिन्न मानों के लिए सीमा (limit) का विश्लेषण करते हैं:
$1$. यदि $x > 0$ है,तो जैसे $n \to \infty$,$nx \to \infty$ होता है। इसलिए,$\tan^{-1}(nx) \to \frac{\pi}{2}$।
अतः,$f(x) = \frac{2}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 1$।
$2$. यदि $x = 0$ है,तो सभी $n$ के लिए $nx = 0$ होता है। इसलिए,$\tan^{-1}(0) = 0$।
अतः,$f(x) = \frac{2}{\pi} \times 0 = 0$।
$3$. यदि $x < 0$ है,तो जैसे $n \to \infty$,$nx \to -\infty$ होता है। इसलिए,$\tan^{-1}(nx) \to -\frac{\pi}{2}$।
अतः,$f(x) = \frac{2}{\pi} \times (-\frac{\pi}{2}) = -1$।
इन सबको मिलाने पर,फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
यह सिग्नम फलन (signum function) के अनुरूप है,जिसे उस ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $x>0$ के लिए $y=1$,$x=0$ पर $y=0$,और $x < 0$ के लिए $y=-1$ होता है। यह विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ और $g(x) = \frac{\ln x}{x}$।
$f(x)$ के लिए,प्रांत $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ है।
$g(x)$ के लिए,प्रांत $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ है।
$(A)$ की जाँच करें: $\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\frac{\ln x}{x}} = \frac{x}{\ln x} = f(x)$। चूँकि दोनों का प्रांत समान $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ है,इसलिए वे समान फलन हैं।
$(B)$ की जाँच करें: $\frac{1}{f(x)} = \frac{\ln x}{x} = g(x)$। हालाँकि,$f(x)$,$x=1$ पर अपरिभाषित है,इसलिए $\frac{1}{f(x)}$ भी $x=1$ पर अपरिभाषित है,जबकि $g(1) = 0$ है। अतः,वे समान नहीं हैं।
$(C)$ और $(D)$ की जाँच करें: $f(x) \cdot g(x) = \frac{x}{\ln x} \cdot \frac{\ln x}{x} = 1$। यह केवल $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ के लिए मान्य है,सभी $x > 0$ के लिए नहीं (क्योंकि $x=1$ को बाहर रखा गया है)। इसलिए,$(A)$ सही कथन है।

(C) दिया गया है कि $g(x) = x - [x] = \{x\}$,जो $x$ का भिन्नात्मक भाग दर्शाता है।
चूँकि $f(x)$ सतत है और $f(0) = f(1)$ है,संयुक्त फलन $h(x) = f(\{x\})$ सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित है।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,जैसे ही $x \to n^+$,$g(x) \to 0^+$,इसलिए $h(x) \to f(0)$।
जैसे ही $x \to n^-$,$g(x) \to 1^-$,इसलिए $h(x) \to f(1)$।
चूँकि $f(0) = f(1)$,किसी भी पूर्णांक $n$ पर बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर हैं और $f(0)$ के बराबर हैं,जो कि $h(n) = f(0)$ का मान भी है।
अतः,$h(x)$ सभी पूर्णांकों $n$ पर सतत है,और चूँकि यह अंतरालों $(n, n+1)$ पर सतत फलनों का संयोजन है,इसलिए यह $R$ पर सतत है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा फलन परिबद्ध नहीं है,हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$(A)$ $f(x) = 2^{\frac{1}{x-1}}$ के लिए अंतराल $(0, 1)$ पर:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2^{\frac{1}{0-1}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2^{-\infty} = 0$.
चूंकि फलन $(0, 1)$ पर सतत और एकदिष्ट है,यह $(0, \frac{1}{2})$ में परिबद्ध है.
$(B)$ $g(x) = x \cos \frac{1}{x}$ के लिए अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर:
जैसे $x \to \infty$,$g(x) = x \cos \frac{1}{x} \approx x(1) = x$,जो $\infty$ की ओर जाता है.
अतः,$g(x)$,$(-\infty, \infty)$ पर परिबद्ध नहीं है.
$(C)$ $h(x) = x e^{-x}$ के लिए अंतराल $(0, \infty)$ पर:
$\lim_{x \to 0^+} h(x) = 0$ और $\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$.
अवकलज $h'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1-x)$,$x=1$ पर शून्य होता है.
अधिकतम मान $h(1) = 1/e$ है. इसलिए,यह परिबद्ध है.
$(D)$ $l(x) = \tan^{-1} 2^x$ के लिए अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर:
जैसे $x \to -\infty$,$l(x) \to \tan^{-1}(0) = 0$.
जैसे $x \to \infty$,$l(x) \to \tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,यह $(0, \frac{\pi}{2})$ में परिबद्ध है.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है.

(D) माना $g(x) = \frac{1}{\ln(x^2 + e)}$ है। चूँकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $x^2 + e \ge e$,अतः $\ln(x^2 + e) \ge \ln(e) = 1$ है।
इस प्रकार,$0 < \frac{1}{\ln(x^2 + e)} \le 1$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $\frac{1}{\ln(e)} = 1$,इसलिए $[g(0)] = [1] = 1$ है।
यदि $x \ne 0$ है,तो $x^2 > 0$,इसलिए $x^2 + e > e$,जिसका अर्थ है कि $\ln(x^2 + e) > 1$ है। अतः $0 < \frac{1}{\ln(x^2 + e)} < 1$,इसलिए $[g(x)] = 0$ है।
अब,$f(x) = [g(x)] + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = [g(0)] + \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1 + 1 = 2$ है।
यदि $x \ne 0$ है,तो $f(x) = 0 + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ है। चूँकि $x^2 > 0$,इसलिए $1 + x^2 > 1$,अतः $0 < \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} < 1$ है।
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to 0$,और जैसे $x \to 0$,$f(x) \to 1$ है।
इस प्रकार,$x \ne 0$ के लिए,परिसर $(0, 1)$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$f(x)$ का परिसर $(0, 1) \cup \{2\}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रत्येक युग्म का विश्लेषण करते हैं:
$1$. विकल्प $A$ के लिए: $g(x) = \cot^2 x - \cos^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2 x = \cos^2 x \left( \frac{1}{\sin^2 x} - 1 \right) = \cos^2 x \left( \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \right) = \cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \cdot \cot^2 x = f(x)$। चूंकि प्रांत भी समान हैं $(x \neq n\pi)$,ये फलन समान हैं।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $f(x) = \tan(\tan^{-1} x) = x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए। $g(x) = \cot(\cot^{-1} x) = x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए। चूंकि दोनों फलन $y = x$ हैं,इसलिए वे समान हैं।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $f(x) = \text{sgn}(x)$। $g(x) = \text{sgn}(\text{sgn}(x))$। यदि $x > 0$,तो $f(x) = 1$ और $g(x) = \text{sgn}(1) = 1$। यदि $x = 0$,तो $f(x) = 0$ और $g(x) = \text{sgn}(0) = 0$। यदि $x < 0$,तो $f(x) = -1$ और $g(x) = \text{sgn}(-1) = -1$। अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = g(x)$।
चूंकि सभी युग्म समान हैं,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $f(x) = [|x|] - |[x]|$.
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$,तो $|x| = x$ और $[x] \geq 0$,इसलिए $|[x]| = [x]$. अतः,$f(x) = [x] - [x] = 0$.
स्थिति $2$: यदि $x < 0$,तो $x = -n - f$ लें,जहाँ $n \geq 0$ एक पूर्णांक है और $0 \leq f < 1$.
यदि $f = 0$,तो $x = -n$ (एक पूर्णांक)। तब $f(x) = [|-n|] - |[-n]| = [n] - |-n| = n - n = 0$.
यदि $0 < f < 1$,तो $x = -n - f$. $[x] = -n - 1$. $|[x]| = |-n - 1| = n + 1$.
$|x| = n + f$. $[|x|] = [n + f] = n$.
अतः,$f(x) = n - (n + 1) = -1$.
इस प्रकार,$x \geq 0$ और $x \in \mathbb{Z}$ के लिए $f(x) = 0$,और $x < 0$ के लिए $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ के लिए $f(x) = -1$.
चूंकि फलन अंतरालों पर स्थिर है लेकिन $x < 0$ के लिए पूर्णांकों पर कूदता है,इसलिए यह सभी ऋणात्मक पूर्णांकों पर असतत है।
परिसर $\{0, -1\}$ है,जो एक परिमित समुच्चय है।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \text{sgn}(x) \cdot \sin x$.
हम जानते हैं कि $\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} \sin x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -\sin x, & x < 0 \end{cases}$.
$1$. सांतत्य: $x = 0$ पर,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin x = 0$,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-\sin x) = 0$,और $f(0) = 0$. चूँकि $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$,फलन हर जगह संतत है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. सम फलन: $f(-x) = \text{sgn}(-x) \cdot \sin(-x) = (-\text{sgn}(x)) \cdot (-\sin x) = \text{sgn}(x) \cdot \sin x = f(x)$. चूँकि $f(-x) = f(x)$,फलन एक सम फलन है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. आवर्तता: यह फलन $|\sin x|$ है,जो $\pi$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है। इसलिए,यह अनावर्ती नहीं है।
चूँकि $A$ और $B$ दोनों सही हैं,विकल्प $D$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^{\frac{1}{\ln x}}$ है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $x > 0$ और $x \neq 1$ होना चाहिए (क्योंकि $\ln x$ हर में है और $\ln x \neq 0$ होना चाहिए)।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(f(x)) = \ln(x^{\frac{1}{\ln x}}) = \frac{1}{\ln x} \cdot \ln x = 1$.
अतः,$\ln(f(x)) = 1$,जिसका अर्थ है कि $f(x) = e^1 = e$.
अपने प्रांत $(0, 1) \cup (1, \infty)$ में सभी $x$ के लिए $f(x) = e$ होने के कारण,यह एक अचर फलन है।
साथ ही,$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} e = e$,इसलिए सीमा का अस्तित्व है।
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया है कि सभी $x_1 > x_2$ के लिए $f(x_1) > f(x_2)$,इसलिए $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
दिया गया है कि सभी $x_1 > x_2$ के लिए $g(x_1) < g(x_2)$,इसलिए $g$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
चूंकि $f$ वर्धमान है,असमिका $f(g(\alpha^2 - 2\alpha)) > f(g(3\alpha - 4))$ का अर्थ है $g(\alpha^2 - 2\alpha) > g(3\alpha - 4)$।
चूंकि $g$ ह्रासमान है,असमिका $g(\alpha^2 - 2\alpha) > g(3\alpha - 4)$ का अर्थ है $\alpha^2 - 2\alpha < 3\alpha - 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha^2 - 5\alpha + 4 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,$(\alpha - 1)(\alpha - 4) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\alpha$,$1$ और $4$ के बीच स्थित हो।
अतः,हल समुच्चय $\alpha \in (1, 4)$ है।

(A) दिया गया है कि $f$ एक वर्धमान फलन है और $g$ एक ह्रासमान फलन है $[0, \infty)$ पर।
मान लीजिए $x_1, x_2 \in [0, \infty)$ इस प्रकार हैं कि $x_1 < x_2$ है।
चूंकि $g$ ह्रासमान है,इसलिए $g(x_1) \geq g(x_2)$ होगा।
चूंकि $f$ वर्धमान है,इसलिए $f(g(x_1)) \geq f(g(x_2))$,जिसका अर्थ है कि $h(x_1) \geq h(x_2)$ है।
अतः,$h(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
दिया गया है $h(0) = 0$ है। चूंकि $h$ ह्रासमान है और इसका प्रांत $0$ से शुरू होता है,किसी भी $x \geq 0$ के लिए,$h(x) \leq h(0) = 0$ होगा।
साथ ही,$f$ और $g$ का परिसर $[0, \infty)$ है,इसलिए $h(x) = f(g(x)) \geq 0$ है।
इसलिए,सभी $x \geq 0$ के लिए $h(x) = 0$ होगा।
परिणामस्वरूप,$h(x) - h(1) = 0 - 0 = 0$।

(D) दिया गया है $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$ जहाँ $x \neq 2$ है।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y(x - 2) = 2x - 1$
$xy - 2y = 2x - 1$
$xy - 2x = 2y - 1$
$x(y - 2) = 2y - 1$
$x = \frac{2y - 1}{y - 2}$.
चूँकि प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 2}$ का रूप मूल फलन $f(x)$ के समान है,इसलिए यह फलन स्वयं का प्रतिलोम है।
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$y' = \frac{(x - 2)(2) - (2x - 1)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x + 1}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}$.
सभी $x \neq 2$ के लिए $(x - 2)^2 > 0$ है,इसलिए डोमेन के सभी $x$ के लिए $y' < 0$ है। अतः,फलन अपने डोमेन में सभी $x$ के लिए ह्रासमान (घटता हुआ) है।
चूँकि $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(C) समीकरण $|x^2 - 2|x|| = 2^x$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = |x^2 - 2|x||$ और $g(x) = 2^x$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. फलन $f(x) = |x^2 - 2|x||$ एक सम फलन है,जिसका अर्थ है कि यह $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$2$. $x \ge 0$ के लिए,$f(x) = |x^2 - 2x|$ है। इसके शून्य $x=0$ और $x=2$ पर हैं।
$3$. $x < 0$ के लिए,$f(x) = |x^2 + 2x|$ है। इसके शून्य $x=0$ और $x=-2$ पर हैं।
$4$. $g(x) = 2^x$ एक वर्धमान घातांकीय फलन है।
$5$. दोनों फलनों के ग्राफ को देखने पर,हम पाते हैं कि वक्र $g(x) = 2^x$,वक्र $f(x)$ को तीन अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।
$6$. अतः,हलों की कुल संख्या $3$ है।

(C) समीकरण $2^x = x^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम फलनों $f(x) = 2^x$ और $g(x) = x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करते हैं।
$1$. $x < 0$ के लिए: जैसे $x \to -\infty$,$2^x \to 0$ और $x^2 \to \infty$ होता है। $x = -1$ पर,$2^{-1} = 0.5$ और $(-1)^2 = 1$ है। $x < 0$ के लिए $2^x$ वर्धमान है और $x^2$ ह्रासमान है,इसलिए अंतराल $(-\infty, 0)$ में ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$2$. $x > 0$ के लिए:
- $x = 2$ पर,$2^2 = 4$ और $2^2 = 4$ है। अतः,$x = 2$ एक हल है।
- $x = 4$ पर,$2^4 = 16$ और $4^2 = 16$ है। अतः,$x = 4$ एक हल है।
इस प्रकार,कुल $3$ हल हैं।

(A) एक फलन $f(x)$ बिंदु $(a, b)$ के सापेक्ष सममित होता है यदि $f(a+x) + f(a-x) = 2b$ हो।
यहाँ,सममिति का बिंदु $(3, 4)$ है,इसलिए $a=3$ और $b=4$ है।
अतः,$f(3+x) + f(3-x) = 2(4) = 8$ होगा।
हमें $S = \sum\limits_{r = 0}^6 f(r) + f(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(3)$ का मान ज्ञात करना है।
सममिति के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$x=3$ के लिए,$f(3+3) + f(3-3) = f(6) + f(0) = 8$।
$x=2$ के लिए,$f(3+2) + f(3-2) = f(5) + f(1) = 8$।
$x=1$ के लिए,$f(3+1) + f(3-1) = f(4) + f(2) = 8$।
साथ ही,सममिति के बिंदु $x=3$ पर,$f(3) = 4$ है।
इन मानों को योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = [f(0) + f(6)] + [f(1) + f(5)] + [f(2) + f(4)] + f(3) + f(3)$
$S = 8 + 8 + 8 + 4 + 4 = 32$।

(A) दिया गया है कि $f'(x) > 0$,इसलिए फलन $f$ निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है।
दिया गया है कि $g'(x) < 0$,इसलिए फलन $g$ निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) है।
चूंकि $g$ निरंतर ह्रासमान है,इसलिए $x < x+1$ के लिए,हमें $g(x) > g(x+1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ निरंतर वर्धमान है,असमिका $g(x) > g(x+1)$ के दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता है।
इसलिए,$f(g(x)) > f(g(x+1))$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है कि $h(y) = f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं।
इसका अर्थ है कि विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ है।
$D = a^2 - 4f(x)g(x) \geq 0 \Rightarrow a^2 \geq 4f(x)g(x)$।
चूंकि $f(x) = \max(\sin x, \cos x)$ और $g(x) = \min(\sin x, \cos x)$ है,उनका गुणनफल $f(x)g(x) = \sin x \cos x$ है।
अतः,$a^2 \geq 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x)$।
सभी $x \in R$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$a^2$ को $2 \sin(2x)$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$2 \sin(2x)$ का अधिकतम मान $2$ है।
इसलिए,$a^2 \geq 2$,जिसका अर्थ है कि $|a| \geq \sqrt{2}$।
अतः,$a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2\sin(\pi x)}{x}$.
तब $g(x) = f(1 - x) + f(x) = \frac{2\sin(\pi(1 - x))}{1 - x} + \frac{2\sin(\pi x)}{x}$.
चूंकि $\sin(\pi - \pi x) = \sin(\pi x)$,इसलिए $g(x) = 2\sin(\pi x) \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x} \right) = 2\sin(\pi x) \left( \frac{x + 1 - x}{x(1 - x)} \right) = \frac{2\sin(\pi x)}{x(1 - x)}$.
सर्वसमिका $\sin(\pi x) = 2\sin(\frac{\pi x}{2})\cos(\frac{\pi x}{2}) = 2\sin(\frac{\pi x}{2})\sin(\frac{\pi(1 - x)}{2})$ का उपयोग करने पर:
$g(x) = \frac{2 \cdot 2\sin(\frac{\pi x}{2})\sin(\frac{\pi(1 - x)}{2})}{x(1 - x)} = 4 \cdot \frac{\sin(\frac{\pi x}{2})}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi(1 - x)}{2})}{1 - x}$.
चूंकि $f(\frac{x}{2}) = \frac{2\sin(\pi x / 2)}{x/2} = \frac{4\sin(\pi x / 2)}{x}$,इसलिए $\frac{\sin(\pi x / 2)}{x} = \frac{1}{4} f(\frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\frac{\sin(\pi(1 - x) / 2)}{1 - x} = \frac{1}{4} f(\frac{1 - x}{2})$.
इन मानों को $g(x)$ में रखने पर:
$g(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{4} f(\frac{x}{2}) \right) \cdot \left( \frac{1}{4} f(\frac{1 - x}{2}) \right) = \frac{1}{4} f(\frac{x}{2}) f(\frac{1 - x}{2})$.
अतः,$k = 1/4$.

(A) $f(x)$ का अधिकतम मान $x = 1$ पर होने के लिए,डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(1) \geqslant f(x)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(1) = 5 - (1)^2 = 4$ है।
$x \geqslant 1$ के लिए,$f(x) = 5 - x^2$ एक ह्रासमान फलन है,इसलिए $f(x) \leqslant f(1) = 4$ सभी $x \geqslant 1$ के लिए संतुष्ट होता है।
$a \leqslant x < 1$ के लिए,हमें $f(x) = 3x + |a^2 - 4| \leqslant 4$ की आवश्यकता है।
चूंकि $3x + |a^2 - 4|$,$x$ का एक वर्धमान फलन है,इसलिए $[a, 1)$ पर इसका उच्चतम मान $3(1) + |a^2 - 4| = 3 + |a^2 - 4|$ होगा।
अतः,$3 + |a^2 - 4| \leqslant 4$,जिसका अर्थ है $|a^2 - 4| \leqslant 1$।
यह असमिका $-1 \leqslant a^2 - 4 \leqslant 1$ के बराबर है,जिसे सरल करने पर $3 \leqslant a^2 \leqslant 5$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$a \in [-\sqrt{5}, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \sqrt{5}]$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $[\alpha, \beta] \cup [\gamma, \delta]$ से करने पर,$\alpha = -\sqrt{5}, \beta = -\sqrt{3}, \gamma = \sqrt{3}, \delta = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{5} = 0$।

(B) माना $t = \ln(x/e)$. तब $h(x) = [t] + [-t]$.
महत्तम पूर्णांक फलन के गुण का उपयोग करते हुए,$[t] + [-t] = 0$ यदि $t$ एक पूर्णांक है,और $[t] + [-t] = -1$ यदि $t$ पूर्णांक नहीं है।
अतः,$h(x) = 0$ यदि $\ln(x/e) = k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए,जिसका अर्थ है $x/e = e^k$,या $x = e^{k+1}$।
$h(x) = -1$ यदि $\ln(x/e) \notin \mathbb{Z}$।
चूंकि $e$ एक ट्रांसेंडेंटल संख्या है,$e^{k+1}$ सभी पूर्णांकों $k$ के लिए अपरिमेय है सिवाय जब $k+1 = 0$ (अर्थात $x=1$,जो परिमेय है)। अतः,$h(x)=0$ परिमेय और अपरिमेय दोनों $x$ के लिए हो सकता है।
विकल्प $A$ सत्य है (परिसर $\{-1, 0\}$ है)।
विकल्प $B$ असत्य है क्योंकि $h(x)$ आवर्ती फलन नहीं है।
विकल्प $C$ सत्य है क्योंकि यदि $h(x) = -1$ है,तो $x$ कोई भी मान हो सकता है जिसके लिए $\ln(x/e)$ पूर्णांक नहीं है,जिसमें परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल हैं।
विकल्प $D$ असत्य है क्योंकि यदि $h(x) = 0$ है,तो $x = e^{k+1}$। $k = -1$ के लिए,$x = e^0 = 1$,जो परिमेय है। इसलिए,$x$ का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - f^2(x)}$.
वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए,$f(x) - f^2(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $f(x)(1 - f(x)) \geq 0$,इसलिए $0 \leq f(x) \leq 1$.
साथ ही,$f(x + a) \geq \frac{1}{2}$.
माना $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}$. तब $g(x + a) = \sqrt{\frac{1}{4} - g^2(x)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$g^2(x + a) = \frac{1}{4} - g^2(x)$,जिसका अर्थ है $g^2(x + a) + g^2(x) = \frac{1}{4}$.
$x$ को $x + a$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g^2(x + 2a) + g^2(x + a) = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$g^2(x + 2a) = g^2(x)$.
चूंकि $g(x) \geq 0$ (क्योंकि $f(x) \geq \frac{1}{2}$),इसलिए $g(x + 2a) = g(x)$.
मान वापस रखने पर,$f(x + 2a) - \frac{1}{2} = f(x) - \frac{1}{2}$,इसलिए $f(x + 2a) = f(x)$.
अतः,$f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $2a$ है।