Type of Functions based on Mapping Questions in Hindi

(D) एक फलन $f: R \to R$ एकैकी (injection) कहलाता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो।
$f(x) = x^2$ के लिए,$f(1) = 1^2 = 1$ और $f(-1) = (-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
एक फलन $f: R \to R$ आच्छादक (surjection) कहलाता है यदि प्रत्येक $y \in R$ के लिए,एक ऐसा $x \in R$ मौजूद हो कि $f(x) = y$ हो।
$f(x) = x^2$ के लिए,इसका परिसर $[0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है।
सह-प्रांत में ऐसी ऋणात्मक संख्याएँ हैं जिनका प्रांत में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है (उदाहरण के लिए,$y = -1$),इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(B) एक रैखिक फलन $f(x) = ax + b$ के रूप में होता है।
हम अंतराल $[-1, 1]$ को $[0, 2]$ पर प्रतिचित्रित करना चाहते हैं।
स्थिति $1$: $f(-1) = 0$ और $f(1) = 2$.
$-a + b = 0 \implies a = b$.
$a + b = 2 \implies 2a = 2 \implies a = 1, b = 1$.
अतः,$f(x) = x + 1$.
स्थिति $2$: $f(-1) = 2$ और $f(1) = 0$.
$-a + b = 2$.
$a + b = 0 \implies b = -a$.
$-a - a = 2 \implies -2a = 2 \implies a = -1, b = 1$.
अतः,$f(x) = -x + 1$.
इस प्रकार,ऐसे दो रैखिक फलन हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + x$ है।
चरण $1$: एकैकी या बहु-एक की जाँच करें।
यहाँ $f(0) = 0^2 + 0 = 0$ और $f(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ है।
चूँकि $f(0) = f(-1)$ है लेकिन $0 \neq -1$,इसलिए फलन बहु-एक है।
चरण $2$: आच्छादक या अंतःक्षेपी की जाँच करें।
पूर्ण वर्ग बनाकर फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $f(x) = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$।
सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $f(x) \ge -\frac{1}{4}$ होगा।
अतः फलन का परिसर $[-\frac{1}{4}, \infty)$ है।
चूँकि परिसर सह-प्रांत $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन अंतःक्षेपी है।
निष्कर्ष: फलन बहु-एक अंतःक्षेपी है।

(A) मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ है। तब $f(x_1) = \cos x_1$ और $f(x_2) = \cos x_2$ होगा।
फलन के एकैकी (one-one) होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए।
हालाँकि,$\cos x_1 = \cos x_2$ का अर्थ है $x_1 = 2n\pi \pm x_2$,जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।
चूंकि $x_1$ आवश्यक रूप से $x_2$ के बराबर नहीं है (उदाहरण के लिए,$\cos(0) = \cos(2\pi) = 1$),इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
फलन के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत $R$ के बराबर होना चाहिए।
$f(x) = \cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,जो $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है।
चूंकि परिसर $\neq$ सह-प्रांत,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,यह मैपिंग न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(B) हमारे पास $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$ है।
सबसे पहले,एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें:
$f(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 3) = 0$
$f(2) = (2 - 1)(2 - 2)(2 - 3) = 0$
$f(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 3) = 0$
चूँकि $f(1) = f(2) = f(3) = 0$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है क्योंकि अलग-अलग अवयवों का प्रतिबिंब समान है।
अब,आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें:
$f(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है। किसी भी विषम घात वाले बहुपद फलन $f: R \to R$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ होता है,जो कि सह-प्रांत $R$ के बराबर है।
इसलिए,प्रत्येक $y \in R$ के लिए,कम से कम एक $x \in R$ ऐसा मौजूद है कि $f(x) = y$ हो।
अतः,फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(D) फलन $f: R \to R$ के लिए $f(x) = |x|$ दिया गया है।
$1$. एकैकी (one-one) की जाँच: एक फलन एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। यहाँ,$f(-1) = |-1| = 1$ और $f(1) = |1| = 1$ है। चूँकि $f(-1) = f(1)$ है लेकिन $-1 \neq 1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक फलन है)।
$2$. आच्छादक (onto) की जाँच: एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत के बराबर हो। यहाँ सह-प्रांत $R$ है। $f(x) = |x|$ का परिसर $[0, \infty)$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है $([0, \infty) \neq R)$,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक। सही विकल्प $(d)$ है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ एकैकी (one-one) है,मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$ है।
$x^2 + x + 1 = y^2 + y + 1$
$x^2 - y^2 + x - y = 0$
$(x - y)(x + y) + (x - y) = 0$
$(x - y)(x + y + 1) = 0$
चूँकि $x, y \in N$ है,इसलिए $x + y + 1 > 0$ होगा,अतः हमारे पास $x - y = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = y$। इस प्रकार,$f$ एकैकी है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $f$ आच्छादक (onto) है,हम $f$ के परिसर (range) को देखते हैं। $x = 1$ के लिए,$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$ है। $x = 2$ के लिए,$f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 7$ है। चूँकि $f(x) = x^2 + x + 1$ है,$x \in N$ के लिए न्यूनतम मान $3$ है। $1, 2, 4, 5, 6$ जैसे मान परिसर में नहीं हैं। इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) एक फलन $f: X \to Y$ एकैकी होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो,सभी $x_1, x_2 \in X$ के लिए।
$f(x) = x^2$ के लिए,यदि $X = R^+$ है,तो $x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2$ (चूँकि $x_1, x_2 > 0$),इसलिए $f$ एकैकी है।
एक फलन आच्छादक होता है यदि $f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $Y$ के बराबर हो।
यहाँ,$f$ का परिसर $R^+$ है। यदि $Y = R$ है,तो परिसर $R^+ \subset R$ है,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$X = R^+$ और $Y = R$ के लिए,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) समुच्चय $A$ (जिसमें $n$ अवयव हैं) से समुच्चय $B$ (जिसमें $m$ अवयव हैं) तक एक एकैकी फलन (injective function) तब संभव है यदि $n \le m$ हो।
ऐसे एकैकी फलनों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $^mP_n = \frac{m!}{(m-n)!}$ है।
यहाँ,$n = 3$ और $m = 4$ है।
अतः,एकैकी फलनों की संख्या $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1!} = 24$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) किसी भी $x, y \in R \setminus \{n\}$ के लिए,हमारे पास $f(x) = f(y)$ है।
$\frac{x - m}{x - n} = \frac{y - m}{y - n}$
$(x - m)(y - n) = (y - m)(x - n)$
$xy - nx - my + mn = xy - ny - mx + mn$
$-nx - my = -ny - mx$
$mx - nx = my - ny$
$x(m - n) = y(m - n)$
चूँकि $m \ne n$,इसलिए $x = y$ प्राप्त होता है।
अतः,$f$ एकैकी है।
अब,मान लीजिए $f(x) = y$ जहाँ $y \in R$ है।
$y = \frac{x - m}{x - n} \Rightarrow y(x - n) = x - m$
$yx - yn = x - m \Rightarrow x(y - 1) = yn - m$
$x = \frac{yn - m}{y - 1}$.
$y = 1$ के लिए,ऐसा कोई $x \in R$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 1$ हो। इस प्रकार,$f$ का परिसर $R \setminus \{1\} \neq R$ है।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है। इसलिए,$f$ एकैकी अंतःक्षेपी है।

(D) फलन $f:R \to R$ को $f(x) = e^x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$।
तब $e^{x_1} = e^{x_2}$,जिसका अर्थ है $x_1 = x_2$।
अतः,फलन एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: $f(x) = e^x$ का परिसर $(0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उपसमुच्चय है।
चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है (उदाहरण के लिए,ऋणात्मक संख्याओं और शून्य का कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है),इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(A) एक फलन $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ को बाइजेक्टिव (bijective) कहा जाता है यदि वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों हो।
$1$. $f(x) = |x|$ के लिए,$f(1) = 1$ और $f(-1) = 1$ है। चूँकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$2$. $f(x) = x^2$ के लिए,$f(1) = 1$ और $f(-1) = 1$ है। चूँकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$3$. $f(x) = x^2 + 1$ के लिए,$f(1) = 2$ और $f(-1) = 2$ है। चूँकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
$4$. $f(x) = 2x - 5$ के लिए:
- एकैकी: मान लीजिए $f(x) = f(y)$ है। तब $2x - 5 = 2y - 5$,जिसका अर्थ है $2x = 2y$,अतः $x = y$ है। इसलिए,यह एकैकी है।
- आच्छादक: मान लीजिए $y = 2x - 5$ है। तब $x = \frac{y + 5}{2}$ है। प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,$x = \frac{y + 5}{2} \in \mathbb{R}$ का अस्तित्व है ताकि $f(x) = y$ हो। इसलिए,यह आच्छादक है।
चूँकि $f(x) = 2x - 5$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह एक बाइजेक्टिव फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है,जहाँ $x \in R$ है।
एकैकी (one-to-one) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$।
चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $f'(x) = 2 + \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$ है।
चूँकि $f'(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है,जिसका अर्थ है कि यह एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच करने के लिए,हम $f(x)$ का परिसर देखते हैं। चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ तथा $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है।
चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(C) दिया गया फलन $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ -\frac{n}{2}, & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$
आइए पहली कुछ प्राकृत संख्याओं के प्रतिबिंबों की गणना करें:
$f(1) = \frac{1-1}{2} = 0$
$f(2) = -\frac{2}{2} = -1$
$f(3) = \frac{3-1}{2} = 1$
$f(4) = -\frac{4}{2} = -2$
$f(5) = \frac{5-1}{2} = 2$
$f(6) = -\frac{6}{2} = -3$
$1$. एकैकी जाँच: प्रत्येक भिन्न $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ के लिए,हमें $\mathbb{Z}$ में भिन्न प्रतिबिंब प्राप्त होते हैं। अतः,फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक जाँच: फलन का परिसर $\{0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \dots\}$ है,जो सभी पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbb{Z}$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x}$,जहाँ $x \in [0, \infty)$.
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$,तो $\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$.
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1) \implies x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2 \implies x_1 = x_2$.
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: $f(x) = \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ का परिसर ज्ञात करते हैं।
जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बदलता है,$1+x$,$1$ से $\infty$ तक बदलता है,इसलिए $\frac{1}{1+x}$,$1$ से $0$ तक बदलता है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $1-1=0$ से $1-0=1$,अर्थात $[0, 1)$ प्राप्त होता है।
यहाँ सह-प्रांत $[0, \infty)$ है और परिसर $[0, 1)$ है,इसलिए परिसर $\neq$ सह-प्रांत।
अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।
इसलिए,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) माना $f(x_1) = f(x_2)$ है।
इसका तात्पर्य है कि $[x_1] = [x_2]$,जो आवश्यक रूप से $x_1 = x_2$ नहीं दर्शाता है।
उदाहरण के लिए,यदि $x_1 = 1.4$ और $x_2 = 1.5$ है,तो $[1.4] = 1$ और $[1.5] = 1$ होता है।
चूँकि $f(1.4) = f(1.5)$ है लेकिन $1.4 \neq 1.5$ है,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
साथ ही,महत्तम पूर्णांक फलन $f(x) = [x]$ का परिसर पूर्णांकों का समुच्चय $Z$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है।
चूँकि परिसर $\neq$ सह-प्रांत है,इसलिए फलन $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,यह फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x + \sqrt{x^2} = x + |x|$ है।
हम इस फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} x + x = 2x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ x - x = 0, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
$1$. एकैकी (Injectivity) की जाँच:
जब $x < 0$ है,तो $f(x) = 0$ है। उदाहरण के लिए,$f(-1) = 0$ और $f(-2) = 0$ है। चूँकि $f(-1) = f(-2)$ है लेकिन $-1 \neq -2$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
$2$. आच्छादक (Surjectivity) की जाँच:
$f(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है। चूँकि सह-प्रांत $R$ (सभी वास्तविक संख्याएँ) है और परिसर सह-प्रांत के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
चूँकि फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक,इसलिए यह बाइजेक्टिव (Bijective) नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) फलन $f: (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \times (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \to \mathbb{R}$ को $f(x, y) = \frac{x}{y}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
किसी भी वास्तविक संख्या $c \in \mathbb{R}$ के लिए,हम $x = c$ और $y = 1$ चुन सकते हैं। तब $f(c, 1) = \frac{c}{1} = c$ प्राप्त होता है। चूँकि सह-प्रांत के प्रत्येक $c$ के लिए प्रांत में कम से कम एक युग्म $(x, y)$ ऐसा मौजूद है कि $f(x, y) = c$,इसलिए यह फलन आच्छादक (surjective) है।
हालाँकि,यह फलन एकैकी (one-one) नहीं है क्योंकि $f(2, 1) = 2$ और $f(4, 2) = 2$ है। चूँकि $f(2, 1) = f(4, 2)$ है लेकिन $(2, 1) \neq (4, 2)$,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
चूँकि यह एकैकी नहीं है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (bijection) नहीं हो सकता है।
अतः,सही वर्गीकरण आच्छादक फलन है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin (\log (x + \sqrt {x^2 + 1}))$.
यह जांचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = \sin (\log (-x + \sqrt {(-x)^2 + 1})) = \sin (\log (\sqrt {x^2 + 1} - x))$.
लघुगणक के तर्क को $(\sqrt {x^2 + 1} + x)$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(-x) = \sin \left( \log \left( (\sqrt {x^2 + 1} - x) \cdot \frac{\sqrt {x^2 + 1} + x}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right) \right)$.
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = \sin \left( \log \left( \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right) \right) = \sin \left( \log \left( \frac{1}{x + \sqrt {x^2 + 1}} \right) \right)$.
$\log(1/a) = -\log(a)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$f(-x) = \sin (-\log (x + \sqrt {x^2 + 1}))$.
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$:
$f(-x) = -\sin (\log (x + \sqrt {x^2 + 1})) = -f(x)$.
अतः,$f(x)$ एक विषम फलन है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \log (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {(-x)^2 + 1} )$
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {x^2 + 1} )$
हम लघुगणक के तर्क को उसके संयुग्मी $(\sqrt {x^2 + 1} + x)$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt {x^2 + 1} - x)(\sqrt {x^2 + 1} + x)}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{1}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$\log(1/a) = -\log(a)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$f(-x) = -\log (x + \sqrt {x^2 + 1} )$
$f(-x) = -f(x)$
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।

(B) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
अतः,$g(x) = 1 + \{x\}$।
चूँकि $0 \le \{x\} < 1$,इसलिए $1 \le g(x) < 2$ होता है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(x) > 0$ है।
अब,$f(g(x))$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(g(x)) = \begin{cases} -1, & g(x) < 0 \\ 0, & g(x) = 0 \\ 1, & g(x) > 0 \end{cases}$।
चूँकि सभी $x$ के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f(g(x)) = 1$ होगा।

(A) माना $h(x) = (f - g)(x)$.
जब $x \in \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.
जब $x \notin \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x = -x$.
अतः,$h(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ -x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ एकैकी है: माना $h(x_1) = h(x_2)$। यदि $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ है,तो $x_1 = x_2$। यदि $x_1, x_2 \notin \mathbb{Q}$ है,तो $-x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,$h(x)$ एक एकैकी फलन है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ आच्छादक है: किसी भी $y \in \mathbb{R}$ के लिए,यदि $y \in \mathbb{Q}$ है,तो $h(y) = y$। यदि $y \notin \mathbb{Q}$ है,तो $h(-y) = -(-y) = y$। अतः,प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,एक ऐसा $x$ मौजूद है कि $h(x) = y$। इसलिए,यह एक आच्छादक फलन है।

(A) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक फलनों की संख्या का सूत्र $(n(B))^{n(A)}$ होता है।
यहाँ $n(A) = 5$ और $n(B) = 8$ दिया गया है।
अतः,संभव फलनों की संख्या $8^5$ होगी।
$8^5 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 32768$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = |x| + |x - 1|$ है।
अंतराल $0 \leq x \leq 1$ के लिए,हमारे पास $x \geq 0$ और $x - 1 \leq 0$ है।
इसलिए,$|x| = x$ और $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ होगा।
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = x + (1 - x) = 1$.
चूंकि अंतराल $[0, 1]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x) = 1$ है,इसलिए यह फलन एक अचर फलन है।

(B) जब $x \in (1, 2)$ है,तब $x - 1 > 0$ और $x - 2 < 0$ होता है।
अतः,फलन $f(x) = 2(x - 1) - 3(x - 2)$ हो जाता है।
इसे सरल करने पर,$f(x) = 2x - 2 - 3x + 6 = -x + 4$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x + 4) = -1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $f'(x) = -1 < 0$ होने के कारण,अंतराल $(1, 2)$ में फलन $f(x)$ एकदिष्ट ह्रासमान फलन है।

(C) यह जाँचने के लिए कि $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + \sin x$ एकैकी है या नहीं,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 3x^2 + 2x + 3 + \cos x$.
हम जानते हैं कि $-1 \leq \cos x \leq 1$.
अतः,$f'(x) \geq 3x^2 + 2x + 3 - 1 = 3x^2 + 2x + 2$.
द्विघात समीकरण $3x^2 + 2x + 2$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(2) = 4 - 24 = -20 < 0$.
चूँकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है और $D < 0$ है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $3x^2 + 2x + 2 > 0$ है।
इस प्रकार,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि $f'(x) > 0$ है,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान फलन हमेशा एक एकैकी फलन होता है।
इसलिए,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ कहता है कि $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है,जो असत्य है क्योंकि $f'(x) > 0$ यह दर्शाता है कि यह एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + 5x + 1.$
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 3x^2 + 5.$
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ होगा।
सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होने के कारण,फलन $f(x)$ $R$ पर निरंतर वर्धमान है।
एक निरंतर वर्धमान फलन हमेशा एक-एक होता है।
अगला,हम जांचते हैं कि क्या फलन आच्छादक है। चूंकि $f(x)$ विषम घात का बहुपद है,इसलिए इसका परिसर $(-\infty, \infty)$ है।
विशेष रूप से,$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.$
चूंकि $f(x)$ सतत है और इसका परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ एक-एक और आच्छादक दोनों है।

(D) दिया गया है $f:R \to \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$ जहाँ $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ है।
सबसे पहले,एकैकी (injective) की जाँच करें:
$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(1) - x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}$.
चूँकि $f'(x)$ का मान $x = 1$ और $x = -1$ पर अपना चिह्न बदलता है,फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
अब,आच्छादक (surjective) की जाँच करें:
माना $y = \frac{x}{1 + x^2}$ है। तब $yx^2 - x + y = 0$ होगा।
$x$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) = 1 - 4y^2 \ge 0$.
$4y^2 \le 1 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4} \Rightarrow y \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$.
चूँकि परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं,जहाँ $n = 10$ है।
फलन $f: A \to A$ के लिए,प्रांत $A$ के प्रत्येक $10$ अवयव को सह-प्रांत $A$ के किसी भी $10$ अवयव से जोड़ा जा सकता है।
चूँकि प्रत्येक अवयव के पास $10$ विकल्प हैं,इसलिए कुल भिन्न फलनों की संख्या $n^n = 10^{10}$ है।

(A) समुच्चय $E$ (जिसमें $n$ अवयव हैं) से समुच्चय $F$ (जिसमें $m$ अवयव हैं) तक कुल फलनों की संख्या $m^n$ होती है।
यहाँ,$n = |E| = 4$ और $m = |F| = 2$ है।
अतः,कुल फलनों की संख्या $2^4 = 16$ है।
एक आच्छादक फलन (onto function) का अर्थ है कि सह-प्रांत $F$ के प्रत्येक अवयव का प्रांत $E$ में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होना चाहिए।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं,वे वे फलन हैं जहाँ $E$ के सभी अवयव या तो ${1}$ पर या ${2}$ पर मैप होते हैं।
ऐसे कुल $2$ अचर फलन हैं: $f(x) = 1$ सभी $x \in E$ के लिए और $f(x) = 2$ सभी $x \in E$ के लिए।
इसलिए,आच्छादक फलनों की संख्या $16 - 2 = 14$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 3x^2 - 16x + 20$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^2 - 16x + 20 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{6} = \frac{16 \pm 4}{6}$.
अतः,$x_1 = 2$ और $x_2 = \frac{10}{3}$.
चूंकि $x < 2$ और $x > 10/3$ के लिए $f'(x) > 0$ है,और $2 < x < 10/3$ के लिए $f'(x) < 0$ है,फलन एकदिष्ट नहीं है,इसलिए यह बहु-एक है।
त्रिघात बहुपद का परिसर $(-\infty, \infty)$ होता है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अब,$f(2) = 8 - 32 + 40 - 13 = 3$ की गणना करें।
$f(10/3) = (1000/27) - 8(100/9) + 20(10/3) - 13 = \frac{1000 - 2400 + 1800 - 351}{27} = \frac{49}{27}$ की गणना करें।
चूंकि $f(2) \cdot f(10/3) = 3 \cdot \frac{49}{27} = \frac{49}{9} > 0$,विकल्प $D$ गलत है।
चूंकि $f(2) > 0$ और $f(10/3) > 0$ है,और स्थानीय न्यूनतम मान धनात्मक है,ग्राफ $x$-अक्ष को केवल एक बार काटता है। अतः,इसका केवल $1$ वास्तविक मूल है।
इसलिए,फलन बहु-एक और आच्छादक है।

(D) एक फलन $f: R \to R$ आच्छादक होता है यदि उसका परिसर $R$ हो। सम घात वाले बहुपद जिसका मुख्य गुणांक धनात्मक हो,उसका परिसर $[c, \infty)$ होता है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
$f(x) = x^3 + x + 1$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$,इसलिए यह निरंतर वर्धमान है,जो इसे एकैकी और आच्छादक (bijective) बनाता है।
$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$ के लिए,परिसर $[1, \infty)$ है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
$f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ के लिए,घात विषम है,इसलिए परिसर $R$ है (आच्छादक)।
हालाँकि,$f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$ है। विविक्तकर $D = 16 - 4(3)(-1) = 28 > 0$,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न बदलता है,जिसका अर्थ है कि फलन एकदिष्ट नहीं है और इसलिए यह एकैकी नहीं है।
अतः,$f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(D) जो फलन बीजगणितीय (algebraic) नहीं होते हैं,उन्हें ट्रांससेंडेंटल फलन कहा जाता है।
बीजगणितीय फलन वे होते हैं जिन्हें बहुपद गुणांकों वाले बहुपद समीकरण के मूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
त्रिकोणमितीय,घातांकीय या लघुगणकीय पदों वाले फलन आमतौर पर ट्रांससेंडेंटल होते हैं।
विकल्प $A$ में,$f(x) = 5 \sin \sqrt{x}$ में एक त्रिकोणमितीय फलन शामिल है।
विकल्प $B$ में,$f(x) = \frac{2 \sin 3x}{x^2 + 2x - 1}$ में एक त्रिकोणमितीय फलन शामिल है।
विकल्प $C$ में,$f(x) = (x^2 + 3) \cdot 2^x$ में एक घातांकीय फलन शामिल है।
चूंकि ये सभी फलन गैर-बीजगणितीय हैं,इसलिए ये सभी ट्रांससेंडेंटल फलन हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $f(x)$ का प्रांत $x-2 \ge 0$ और $4-x \ge 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जो $x \in [2,4]$ देता है।
परिसर ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = (x-2) + (4-x) + 2\sqrt{(x-2)(4-x)} = 2 + 2\sqrt{-x^2+6x-8}$।
पद $-x^2+6x-8$ का अधिकतम मान $x=3$ पर $1$ है। अतः,$y^2 \in [2, 4]$,जिसका अर्थ है $y \in [\sqrt{2}, 2]$।
$f(x)$ को एकैकी होने के लिए,फलन को एकदिष्ट (monotonic) होना चाहिए। फलन $f(x)$ अंतराल $[2,3]$ पर वर्धमान और $[3,4]$ पर ह्रासमान है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $[2,3]$ या $[3,4]$ पर एकैकी है।
दोनों अंतरालों $[2,3]$ और $[3,4]$ पर,फलन का परिसर $[\sqrt{2}, 2]$ है।
अतः,$f(x)$ के एकैकी और आच्छादक दोनों होने के लिए,$X$ का मान $[2,3]$ या $[3,4]$ हो सकता है,और $Y$ का मान $[\sqrt{2}, 2]$ होना चाहिए।
विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है $f(x) = 3^{-|x|} - 3^x + \operatorname{sgn}(e^{-x}) + 2$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $\operatorname{sgn}(e^{-x}) = 1$ है।
अतः,$f(x) = 3^{-|x|} - 3^x + 1 + 2 = 3^{-|x|} - 3^x + 3$.
स्थिति $1$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = 3^x - 3^x + 3 = 3$.
चूंकि सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = 3$ है,फलन बहु-एक है,इसलिए यह एकैकी नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = 3^{-x} - 3^x + 3$.
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to -\infty$,और $x = 0$ पर,$f(0) = 3^0 - 3^0 + 3 = 3$.
$x \ge 0$ के लिए $f(x)$ का परिसर $(-\infty, 3]$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$f$ का परिसर $(-\infty, 3]$ प्राप्त होता है।
चूंकि परिसर $(-\infty, 3] \neq R$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) दिया गया है $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$.
हम जानते हैं कि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तनांक $\frac{\pi}{2}$ है।
आइए $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करें:
$f(x)^2 = (|\sin x| + |\cos x|)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2|\sin x \cos x| = 1 + |\sin 2x|$.
चूंकि $0 \le |\sin 2x| \le 1$,इसलिए $1 \le f(x)^2 \le 2$,जिसका अर्थ है $1 \le f(x) \le \sqrt{2}$.
अब,$h(x) = g(f(x)) = [f(x)]$.
चूंकि $1 \le f(x) \le \sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $[f(x)]$ का मान सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा $1$ होता है।
अतः,$h(x) = 1$,जो एक अचर फलन है।
एक अचर फलन आवर्ती होता है,लेकिन इसका मूल आवर्तनांक परिभाषित नहीं है क्योंकि यह प्रत्येक वास्तविक संख्या $T > 0$ के लिए दोहराता है।

(C) दिया गया है $f(x) = 5x - 3\cos x - 4\sin x$.
अवकलन ज्ञात करने पर: $f'(x) = 5 + 3\sin x - 4\cos x$.
हम जानते हैं कि $a\sin x + b\cos x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$3\sin x - 4\cos x$ का परिसर $[-\sqrt{3^2 + (-4)^2}, \sqrt{3^2 + (-4)^2}] = [-5, 5]$ है।
अतः,$f'(x) = 5 + (3\sin x - 4\cos x) \geq 5 - 5 = 0$.
चूंकि $f'(x) \geq 0$ सभी $x \in R$ के लिए है और $f'(x)$ किसी भी अंतराल पर शून्य नहीं है,इसलिए $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow \infty$ और जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -\infty$।
चूंकि फलन सतत और निरंतर वर्धमान है,इसका परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत $R$ के बराबर है।
अतः,फलन एकैकी और आच्छादक (bijective) है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$.
हम फलन को $f(x) = \frac{e^x + 1 - 2}{e^x + 1} = 1 - \frac{2}{e^x + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एकैकी (one-one) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(e^x + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(e^x + 1)^{-2} \cdot e^x = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है। अतः,$f(x)$ निरंतर वर्धमान है और इसलिए यह एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच करने के लिए,हम परिसर देखते हैं। जैसे $x \rightarrow \infty$,$f(x) \rightarrow 1$। जैसे $x \rightarrow -\infty$,$f(x) \rightarrow -1$। चूँकि फलन सतत और निरंतर वर्धमान है,परिसर $(-1, 1)$ है,जो कि सह-प्रांत के बराबर है।
इसलिए,यह फलन एकैकी और आच्छादक है।

(B) हमें शर्त $|f(\alpha) - \alpha| \leqslant 1$ प्रत्येक $\alpha \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए दी गई है।
इसका अर्थ है कि $f(\alpha) \in \{\alpha - 1, \alpha, \alpha + 1\} \cap \{1, 2, 3, 4\}$।
$\alpha = 1$ के लिए: $f(1) \in \{1-1, 1, 1+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{0, 1, 2\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2\}$। ($2$ विकल्प)
$\alpha = 2$ के लिए: $f(2) \in \{2-1, 2, 2+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3\}$। ($3$ विकल्प)
$\alpha = 3$ के लिए: $f(3) \in \{3-1, 3, 3+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{2, 3, 4\}$। ($3$ विकल्प)
$\alpha = 4$ के लिए: $f(4) \in \{4-1, 4, 4+1\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{3, 4\}$। ($2$ विकल्प)
चूंकि प्रत्येक $\alpha$ के लिए विकल्प स्वतंत्र हैं,इसलिए ऐसे कुल फलनों की संख्या $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$ है।

(B) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \geqslant |e^x - e^y|$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।
मान लीजिए कि किसी $x \neq y$ के लिए $f(x) = f(y)$ है।
तब $|f(x) - f(y)| = 0$ होगा।
इस मान को असमिका में रखने पर,हमें $0 \geqslant |e^x - e^y|$ प्राप्त होता है।
चूंकि मापांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसका अर्थ है कि $|e^x - e^y| = 0$,जिसका अर्थ है $e^x = e^y$।
चूंकि चरघातांकी फलन $e^x$ एकैकी (one-one) है,इसलिए $e^x = e^y$ का अर्थ है $x = y$।
यह हमारी धारणा $x \neq y$ का खंडन करता है।
अतः,$f(x)$ एकैकी (one-one) फलन है।

(D) हमें दिया गया है कि $f: A \to B$ एक आच्छादक फलन है जहाँ $|A| = 7$ और $|B| = 3$ है।
यह दिया गया है कि $A$ के ठीक तीन अवयव $y_2 \in B$ पर मैप होते हैं।
इन $3$ अवयवों को $7$ में से चुनने के तरीके $^7C_3$ हैं।
अब,$A$ के शेष $4$ अवयवों को $B$ के शेष $2$ अवयवों (अर्थात ${y_1, y_3}$) पर इस प्रकार मैप होना चाहिए कि फलन आच्छादक हो।
फलन के आच्छादक होने के लिए,$y_1$ और $y_3$ दोनों को शेष $4$ अवयवों में से कम से कम एक अवयव द्वारा मैप किया जाना चाहिए।
$4$ अवयवों के समुच्चय से $2$ अवयवों के समुच्चय पर फलनों की कुल संख्या $2^4 = 16$ है।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं (अर्थात केवल एक अवयव पर मैप होते हैं) उनकी संख्या $^2C_1 = 2$ है।
अतः,शेष $4$ अवयवों से ${y_1, y_3}$ पर आच्छादक फलनों की संख्या $2^4 - 2 = 16 - 2 = 14$ है।
इसलिए,ऐसे आच्छादक फलनों की कुल संख्या $^7C_3 \times 14 = 14(^7C_3)$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{ax^2 + ax + b}{ax + b}$.
$f$ को सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित होने के लिए,हर $ax + b$ किसी भी $x \in R$ के लिए शून्य नहीं होना चाहिए। इसका अर्थ है $a = 0$ और $b \neq 0$.
फलन में $a = 0$ रखने पर,हमें $f(x) = \frac{0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + b}{0 \cdot x + b} = \frac{b}{b} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है,इसलिए यह फलन एक अचर फलन है।
एक अचर फलन प्रांत के प्रत्येक अवयव को सह-प्रांत के एक ही अवयव से जोड़ता है,इसलिए यह बहु-एक फलन है।
अतः,$f$ बहु-एक है।

(A) प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$. यदि $A$ एक परिमित समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं,तो फलन $f: A \to A$ एकैकी है यदि और केवल यदि यह आच्छादक है (पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार)। अतः,यह कथन सत्य है।
$B$. मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,यदि एक सतत फलन $x_1$ और $x_2$ के बीच चिह्न बदलता है,तो वहां कम से कम एक मूल होता है। हालाँकि,यह विषम संख्या में मूल होने की गारंटी नहीं देता; यदि फलन अक्ष को कई बार काटता है तो सम संख्या में भी मूल हो सकते हैं।
$C$. यदि $A$ एक अनंत समुच्चय है (उदाहरण के लिए,$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ जहाँ $f(x) = x + 1$),तो फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है। अतः,यह गलत है।
$D$. स्थानीय उच्चिष्ठ और वैश्विक निम्निष्ठ एक ही बिंदु पर नहीं हो सकते जब तक कि फलन अचर न हो,जो स्थानीय उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ की परिभाषा के विपरीत है। अतः,यह गलत है।
इसलिए,सही कथन $A$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x|x| + x^3|x|$.
हम इसे $f(x) = |x|(x + x^3)$ के रूप में लिख सकते हैं।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$. अतः,$f(x) = x(x + x^3) = x^2 + x^4$.
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$. अतः,$f(x) = -x(x + x^3) = -x^2 - x^4$.
इस प्रकार,$f(x) = \begin{cases} x^4 + x^2, & x \geq 0 \\ -(x^4 + x^2), & x < 0 \end{cases}$.
$x \geq 0$ के लिए,$f'(x) = 4x^3 + 2x > 0$ जब $x > 0$. चूंकि $f(0) = 0$,$f(x)$ $x \geq 0$ के लिए निरंतर वर्धमान फलन है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = -(4x^3 + 2x) > 0$ जब $x < 0$. चूंकि $f(0) = 0$,$f(x)$ $x < 0$ के लिए निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि फलन अपने पूरे प्रांत $R$ पर निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एक एकैकी फलन है।
जैसे $x \to \infty, f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty, f(x) \to -\infty$. चूंकि $f(x)$ सतत है,परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है।
चूंकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एकैकी और आच्छादक है।

(A) एक फलन $f: A \to B$ एकैकी (injective) होता है यदि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ हो। यह आच्छादक (surjective) होता है यदि इसका परिसर इसके सह-प्रांत के बराबर हो।
विकल्प $A$ के लिए: $f: N \to N$,$f(x) = 2x + 3$.
एकैकी: $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,यह एकैकी है।
आच्छादक: $y \in N$ के लिए,$2x + 3 = y \implies x = \frac{y-3}{2}$। यदि $y=4$ हो,तो $x = 0.5 \notin N$। अतः,यह आच्छादक नहीं है।
विकल्प $B$ के लिए: $f: R \to R$,$f(x) = \frac{4x+3}{5}$। यह एक रैखिक फलन है,जो एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।
विकल्प $C$ के लिए: $f(x) = x^3 - x$। $f(0) = 0$,$f(1) = 0$,$f(-1) = 0$। चूँकि $f(0) = f(1)$,यह एकैकी नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $f(x) = \ln(|x| + 1)$। $f(1) = \ln(2)$,$f(-1) = \ln(2)$। चूँकि $f(1) = f(-1)$,यह एकैकी नहीं है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{x^2} + \cos x$ है।
चूंकि $f(-x) = e^{(-x)^2} + \cos(-x) = e^{x^2} + \cos x = f(x)$,इसलिए यह एक सम फलन है।
$R$ पर परिभाषित किसी भी सम फलन के लिए,सभी $x \neq 0$ के लिए $f(x) = f(-x)$ होता है,जिसका अर्थ है कि फलन बहु-एक है।
अब,हम फलन का परिसर (range) ज्ञात करते हैं।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = e^0 + \cos(0) = 1 + 1 = 2$ है।
चूंकि $e^{x^2} \ge 1$ और $\cos x \ge -1$,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $x=0$ पर $2$ है।
चूंकि $f(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है,जो कि सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन अंतःक्षेपी है।
अतः,$f$ बहु-एक अंतःक्षेपी है।

(C) एक फलन $f(x)$ सम फलन कहलाता है यदि $f(-x) = f(x)$ हो।
आइए विकल्प $C$ की जाँच करें:
$f(x) = \frac{x}{2^x - 1} + \frac{x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{-x}{2^{-x} - 1} + \frac{-x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{-x}{\frac{1}{2^x} - 1} - \frac{x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{-x \cdot 2^x}{1 - 2^x} - \frac{x}{2} + 1$
$f(-x) = \frac{x \cdot 2^x}{2^x - 1} - \frac{x}{2} + 1$
चूंकि $\frac{x \cdot 2^x}{2^x - 1} = \frac{x(2^x - 1 + 1)}{2^x - 1} = x + \frac{x}{2^x - 1}$,
$f(-x) = x + \frac{x}{2^x - 1} - \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{2^x - 1} + \frac{x}{2} + 1 = f(x)$।
अतः,$f(x)$ एक सम फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
हमें फलन $h(x) = (f - g)(x) = f(x) - g(x)$ ज्ञात करना है।
किसी भी $x \in \mathbb{Q}$ के लिए,$h(x) = f(x) - g(x) = x - x = 0$ है।
किसी भी $x \notin \mathbb{Q}$ के लिए,$h(x) = f(x) - g(x) = 0 - 0 = 0$ है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $h(x) = 0$ है।
यह एक अचर फलन है।
एक अचर फलन न तो एकैकी होता है (क्योंकि $h(1) = h(2) = 0$) और न ही आच्छादक होता है (क्योंकि इसका परिसर ${0}$ है,जो सह-प्रांत $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है)।
इसलिए,फलन $(f - g)$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) दिया गया है $f(x) = 2x + \cos x$।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 - \sin x$।
चूँकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $1 \le 2 - \sin x \le 3$।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूँकि अवकलज धनात्मक है,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,जिसका अर्थ है कि $f$ एकैकी है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए,हम सीमाएँ देखते हैं: $\lim_{x \to \infty} (2x + \cos x) = \infty$ और $\lim_{x \to -\infty} (2x + \cos x) = -\infty$।
चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है और इसका परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक है।