Types of Relations Questions in Hindi

(A) संबंध $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर $\{(a, b) : |a - b| = 3\}$ के रूप में परिभाषित है।
इसका अर्थ है $a - b = 3$ या $b - a = 3$।
यदि $a - b = 3$ है,तो $a = b + 3$। $b = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,युग्म $(4, 1), (5, 2), (6, 3), \dots$ प्राप्त होते हैं।
यदि $b - a = 3$ है,तो $b = a + 3$। $a = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,युग्म $(1, 4), (2, 5), (3, 6), \dots$ प्राप्त होते हैं।
अतः,पूर्ण संबंध $\{(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3), \dots\}$ है।

(B) संबंध $R$ को $R = \{(a, b) : a = 2b, a, b \in \mathbb{N}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$R$ के अवयवों को लिखने पर,हमें $R = \{(2, 1), (4, 2), (6, 3), \dots\}$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम संबंध $R^{-1}$ को $R$ में क्रमित युग्मों के अवयवों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है,ताकि $R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$ हो।
अतः,$R^{-1} = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6), \dots\}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) $1$. यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ है,तो संबंध $R$ स्वतुल्य है। यहाँ,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ है,तो संबंध $R$ सममित है। यहाँ,$(1, 2) \in R$ है लेकिन $(2, 1) \notin R$ है,इसलिए $R$ सममित नहीं है।
$3$. यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ है,तो संबंध $R$ संक्रामक है। सभी युग्मों की जाँच करने पर: $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R \implies (1, 3) \in R$ है। चूंकि यह सभी युग्मों के लिए सत्य है,इसलिए $R$ संक्रामक है।
$4$. अतः,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

(B) मान लीजिए $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर परिभाषित "से छोटा" $( < )$ संबंध है।
$1$. स्वतुल्यता: एक संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $xRx$ सत्य होना चाहिए। चूंकि किसी भी प्राकृत संख्या $x$ के लिए $x < x$ असत्य है,इसलिए यह संबंध स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: एक संबंध के सममित होने के लिए,$xRy$ का अर्थ $yRx$ होना चाहिए। यदि $x < y$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $y < x$ (उदाहरण के लिए,$1 < 2$ लेकिन $2 \not < 1$)। अतः,यह संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: एक संबंध के संक्रामक होने के लिए,$xRy$ और $yRz$ का अर्थ $xRz$ होना चाहिए। यदि $x < y$ और $y < z$ है,तो यह हमेशा सत्य है कि $x < z$। इसलिए,यह संबंध संक्रामक है।
निष्कर्ष: "से छोटा" संबंध केवल संक्रामक है।

(B) चूंकि $R$ समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध है,इसलिए इसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
स्वतुल्य संबंध की परिभाषा के अनुसार,प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए,क्रमित युग्म $(a, a)$ का $R$ में होना आवश्यक है।
चूंकि समुच्चय $A$ में $n$ अवयव हैं,इसलिए $R$ में $(a, a)$ रूप के कम से कम $n$ क्रमित युग्म होंगे।
अतः,$R$ में क्रमित युग्मों की कुल संख्या $n$ से अधिक या उसके बराबर होगी।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,हमारे पास $x - x + \sqrt{2} = \sqrt{2}$ है। चूंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $xRx$ सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,$xRy$ से $yRx$ प्राप्त होना चाहिए। मान लीजिए $x = \sqrt{2}$ और $y = 1$ है। तो $x - y + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$,जो अपरिमेय है। अतः,$\sqrt{2}R1$ सत्य है। हालाँकि,$yRx$ के लिए,हम $y - x + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 1$ की जाँच करते हैं,जो एक परिमेय संख्या है। अतः,$1\not R\sqrt{2}$। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,$xRy$ और $yRz$ से $xRz$ प्राप्त होना चाहिए। यदि हम $x = \sqrt{2}$,$y = 1$,और $z = 1 + \sqrt{2}$ लेते हैं,तो $xRy$ अपरिमेय है और $yRz = 1 - (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0$ है,जो परिमेय है। अतः,संक्रामकता का गुणधर्म यहाँ लागू नहीं होता है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

(B) संबंध $R$ समुच्चयों के परिवार $X$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $A R B$ यदि $A \cap B = \emptyset$ हो।
$1$. स्वतुल्य: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $A \in X$ के लिए $A R A$ सत्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A \cap A = \emptyset$. यह केवल तभी सत्य है यदि $A = \emptyset$ हो। चूंकि यह सभी $A \in X$ के लिए सत्य नहीं है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: यदि $A R B$ है,तो $A \cap B = \emptyset$ है। चूंकि सर्वनिष्ठ (intersection) क्रमविनिमेय है,इसलिए $B \cap A = \emptyset$,जिसका अर्थ है $B R A$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $A R B$ और $B R C$ है,तो $A \cap B = \emptyset$ और $B \cap C = \emptyset$ है। इसका अर्थ यह नहीं है कि $A \cap C = \emptyset$ होगा ही। उदाहरण के लिए,मान लीजिए $A = \{1\}$,$B = \{2\}$,और $C = \{1\}$। यहाँ $A \cap B = \emptyset$ और $B \cap C = \emptyset$ है,लेकिन $A \cap C = \{1\} \neq \emptyset$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,यह संबंध सममित है।

(D) संबंध $R$ समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $R = \{(x, y) : |x^2 - y^2| < 16\}$ के रूप में परिभाषित है।
हम $A \times A$ से उन सभी संभावित युग्मों $(x, y)$ की जाँच करते हैं जिनके लिए $|x^2 - y^2| < 16$ है।
$x=1$ के लिए: $|1-1|=0 < 16, |1-4|=3 < 16, |1-9|=8 < 16, |1-16|=15 < 16, |1-25|=24 > 16$. युग्म: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)$.
$x=2$ के लिए: $|4-1|=3 < 16, |4-4|=0 < 16, |4-9|=5 < 16, |4-16|=12 < 16, |4-25|=21 > 16$. युग्म: $(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$.
$x=3$ के लिए: $|9-1|=8 < 16, |9-4|=5 < 16, |9-9|=0 < 16, |9-16|=7 < 16, |9-25|=16 \not< 16$. युग्म: $(3,1), (3,2), (3,3), (3,4)$.
$x=4$ के लिए: $|16-1|=15 < 16, |16-4|=12 < 16, |16-9|=7 < 16, |16-16|=0 < 16, |16-25|=9 < 16$. युग्म: $(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5)$.
$x=5$ के लिए: $|25-1|=24 > 16, |25-4|=21 > 16, |25-9|=16 \not< 16, |25-16|=9 < 16, |25-25|=0 < 16$. युग्म: $(5,4), (5,5)$.
समुच्चय $R$ में विकल्प $A, B,$ या $C$ में दिए गए तत्वों की तुलना में बहुत अधिक तत्व हैं। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को स्वतुल्य कहा जाता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
समुच्चय $A$ पर तत्समक संबंध $I$ को $I = \{(a, a) : a \in A\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि स्वतुल्य संबंध की परिभाषा के अनुसार $I$ का प्रत्येक अवयव $(a, a)$,$R$ में भी होना चाहिए,इसलिए $I \subseteq R$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य कहलाता है यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। चूँकि $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R$,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
संबंध $R$ सममित कहलाता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यहाँ $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$,तथा $(3, 1) \in R$ और $(1, 3) \in R$ है। अतः,$R$ सममित है।
संबंध $R$ संक्रामक कहलाता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। यहाँ $(3, 1) \in R$ और $(1, 2) \in R$ है,लेकिन $(3, 2) \notin R$ है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,$R$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है,इसलिए यह तुल्यता संबंध नहीं है। सही विकल्प $A$ (स्वतुल्य) है।

(B) माना संबंध $R$ पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $(m, n) \in R$ यदि $m$,$n$ का गुणज है,अर्थात $n | m$।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी पूर्णांक $n \in Z$ के लिए,$n$,$n$ का गुणज है (क्योंकि $n = n \times 1$)। अतः,सभी $n \in Z$ के लिए $(n, n) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $m = 6$ और $n = 2$ लें। यहाँ,$6$,$2$ का गुणज है,इसलिए $(6, 2) \in R$ है। हालाँकि,$2$,$6$ का गुणज नहीं है। इसलिए,$(2, 6) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: माना $(m, n) \in R$ और $(n, p) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $n | m$ और $p | n$ है। विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार,$m = kn$ और $n = lp$ कुछ पूर्णांकों $k, l$ के लिए। $n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = k(lp) = (kl)p$ प्राप्त होता है। चूँकि $kl$ एक पूर्णांक है,$m$,$p$ का गुणज है,इसलिए $(m, p) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in N$ के लिए,$a$ संख्या $a$ से विभाज्य है (क्योंकि $a = a \times 1$)। अतः,सभी $a \in N$ के लिए $aRa$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $a=1$ और $b=2$ है। यहाँ,$1|2$ सत्य है,इसलिए $1R2$ मान्य है। हालाँकि,$2|1$ असत्य है,इसलिए $2R1$ मान्य नहीं है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $aRb$ और $bRc$ है। इसका अर्थ है कि $a|b$ और $b|c$ है। चूँकि $a|b$,तो एक $k_1 \in N$ मौजूद है जिससे $b = a \times k_1$। चूँकि $b|c$,तो एक $k_2 \in N$ मौजूद है जिससे $c = b \times k_2$। $b$ का मान रखने पर,$c = (a \times k_1) \times k_2 = a \times (k_1 \times k_2)$। चूँकि $k_1 \times k_2 \in N$,इसलिए $a|c$ सत्य है,अतः $aRc$ मान्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ सममित कहलाता है यदि $(x, y) \in R \implies (y, x) \in R$ हो। यहाँ,$R = \{(a, a)\}$ है। चूँकि $(a, a) \in R$,इसलिए इसका उल्टा $(a, a)$ भी $R$ में है। अतः,$R$ सममित है।
एक संबंध $R$ प्रतिसममित कहलाता है यदि $(x, y) \in R$ और $(y, x) \in R \implies x = y$ हो। यहाँ,यदि $(a, a) \in R$ और $(a, a) \in R$ है,तो $a = a$ होता है,जो सत्य है। अतः,$R$ प्रतिसममित है।
इसलिए,$R$ सममित और प्रतिसममित दोनों है।

(B) संबंध $R$ को $P(A)$ के सभी $A, B$ के लिए $A R B$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि $A \subseteq B$ है।
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $A \in P(A)$ के लिए $A \subseteq A$ है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. प्रति-सममित: यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$ है,तो समुच्चय समानता की परिभाषा के अनुसार $A = B$ होता है। अतः,संबंध प्रति-सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq C$ है,तो $A \subseteq C$ होता है। अतः,संबंध संक्रामक है।
चूंकि संबंध स्वतुल्य,प्रति-सममित और संक्रामक है,यह एक आंशिक क्रम संबंध है,न कि तुल्यता संबंध। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को प्रतिसममित कहा जाता है यदि सभी $a, b \in A$ के लिए,$(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य $a = b$ है।
यह परिभाषा तार्किक रूप से इस कथन के बराबर है: यदि $a \neq b$ है,तो यह स्थिति नहीं है कि $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ दोनों सत्य हों।
दूसरे शब्दों में,यदि $a \neq b$ है,तो हमारे पास एक साथ $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ नहीं हो सकते।
अतः,विकल्प $C$ प्रतिसममितता की शर्त का सही वर्णन करता है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और संबंध $R = \{(x, y) | x, y \in A, x < y\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। चूंकि किसी भी $x \in A$ के लिए $x < x$ असत्य है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यदि $x < y$ है,तो इसका अर्थ यह नहीं है कि $y < x$ है। उदाहरण के लिए,$(1, 2) \in R$ लेकिन $(2, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यदि $x < y$ और $y < z$ है,तो असमिका के गुणधर्म के अनुसार $x < z$ होता है। इसलिए,$(x, z) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि $R$ वह संबंध है जहाँ $xRy$ का अर्थ है कि $x, y$ का भाई है।
$1$. स्वतुल्य: कोई व्यक्ति स्वयं का भाई नहीं हो सकता। अतः,$xRx$ असत्य है। इसलिए,यह स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: यदि $x, y$ का भाई है,तो यह आवश्यक नहीं है कि $y, x$ का भाई हो (यदि $y$ एक बहन है)। इसलिए,यह सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $x, y$ का भाई है और $y, z$ का भाई है,तो $x, z$ का भाई होगा।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यह संबंध न तो स्वतुल्य है,न ही सममित और न ही तुल्यता संबंध है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 1) \notin R$,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यहाँ,$(1, 2) \in R$ लेकिन $(2, 1) \notin R$,इसलिए $R$ सममित नहीं है।
एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो।
अवयवों की जाँच करने पर:
$(1, 2) \in R$ के लिए,$(2, 2) \in R$ के अलावा कोई अन्य अवयव $(2, c) \in R$ नहीं है। चूँकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 2) \in R$,इसलिए $(1, 2) \in R$ होना चाहिए,जो सत्य है।
अन्य सभी युग्म $(2, 2), (3, 3), (4, 4)$ इस शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,$R$ संक्रामक है।

(B) समुच्चय $A$ पर रिक्त संबंध $R$ को $R = \emptyset \subseteq A \times A$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
किसी संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $R$ रिक्त है,$(a, a) \notin R$,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।
एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। चूंकि $R$ में कोई अवयव नहीं है,यह शर्त रिक्त रूप से (vacuously) सत्य है।
एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। चूंकि $R$ में कोई अवयव नहीं है,यह शर्त भी रिक्त रूप से सत्य है।
अतः,रिक्त संबंध सममित और संक्रामक है।

(B) किसी भी $a \in R$ के लिए,हमारे पास $a \ge a$ है,इसलिए $(a, a) \in R_1$ है। अतः,$R_1$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए,मान लीजिए $(2, 1) \in R_1$ क्योंकि $2 \ge 1$ है। हालाँकि,$(1, 2) \notin R_1$ क्योंकि $1 \not\ge 2$ है। अतः,$R_1$ सममित नहीं है।
संक्रामकता के लिए,मान लीजिए $(a, b) \in R_1$ और $(b, c) \in R_1$ है। इसका अर्थ है कि $a \ge b$ और $b \ge c$ है। असमिका के संक्रामक गुण के कारण,$a \ge c$ है,जिसका अर्थ है कि $(a, c) \in R_1$ है। अतः,$R_1$ संक्रामक है।
इसलिए,$R_1$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।

(A) एक संबंध $R$ तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य (reflexive),सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) हो।
$R_1$ के लिए: $a R_1 b \Leftrightarrow |a| = |b|$.
$1$. स्वतुल्य: सभी $a \in R$ के लिए $|a| = |a|$ सत्य है,अतः $(a, a) \in R_1$.
$2$. सममित: यदि $|a| = |b|$ है,तो $|b| = |a|$ होगा,अतः यदि $(a, b) \in R_1$ है,तो $(b, a) \in R_1$.
$3$. संक्रामक: यदि $|a| = |b|$ और $|b| = |c|$ है,तो $|a| = |c|$ होगा,अतः यदि $(a, b) \in R_1$ और $(b, c) \in R_1$ है,तो $(a, c) \in R_1$.
चूंकि $R_1$ तीनों गुणों को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$R_2$ सममित नहीं है ($2 \ge 1$ लेकिन $1 \not\ge 2$)।
$R_3$ सममित नहीं है ($2, 4$ को विभाजित करता है लेकिन $4, 2$ को विभाजित नहीं करता)।
$R_4$ स्वतुल्य नहीं है ($a < a$ असत्य है)।

(B) दिया गया है,$m R n$ यदि और केवल यदि $mn \ge 0$ है।
स्वतुल्यता:
किसी भी वास्तविक संख्या $m$ के लिए,हम जानते हैं कि $m^2 \ge 0$ होता है।
चूंकि $mm = m^2$,इसलिए $mm \ge 0$,जो दर्शाता है कि $m R m$ है।
अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता:
मान लीजिए $m R n$ सत्य है,जिसका अर्थ है $mn \ge 0$ है।
चूंकि वास्तविक संख्याओं का गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,इसलिए $nm = mn \ge 0$ है।
यह दर्शाता है कि $n R m$ है।
अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता:
मान लीजिए $m R n$ और $n R p$ सत्य हैं,जिसका अर्थ है $mn \ge 0$ और $np \ge 0$ है।
यदि $n = 0$ है,तो $m R 0$ और $0 R p$ हमेशा सत्य हैं $(0 \ge 0)$,लेकिन $m R p$ $(mp \ge 0)$ हमेशा सत्य नहीं होता है (उदाहरण के लिए,$m=1, n=0, p=-1$)।
इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष:
चूंकि $R$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(D) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ को तुल्यता संबंध कहा जाता है यदि और केवल यदि यह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:
$1$. स्वतुल्य (Reflexive): प्रत्येक $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ होना चाहिए।
$2$. सममित (Symmetric): यदि $(a, b) \in R$ है,तो सभी $a, b \in A$ के लिए $(b, a) \in R$ होना चाहिए।
$3$. संक्रामक (Transitive): यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो सभी $a, b, c \in A$ के लिए $(a, c) \in R$ होना चाहिए।
चूंकि एक तुल्यता संबंध को तीनों शर्तों को पूरा करना आवश्यक है,इसलिए विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
दिया गया है कि $R$ और $S$ समुच्चय $A$ पर तुल्यता संबंध हैं।
चूंकि $R \subseteq A \times A$ और $S \subseteq A \times A$,इसलिए $R \cap S \subseteq A \times A$,अतः $R \cap S$ समुच्चय $A$ पर एक संबंध है।
$1.$ स्वतुल्यता: मान लीजिए $a \in A$ है। चूंकि $R$ और $S$ स्वतुल्य हैं,इसलिए $(a, a) \in R$ और $(a, a) \in S$ है। अतः,सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R \cap S$ है। इसलिए,$R \cap S$ स्वतुल्य है।
$2.$ सममितता: मान लीजिए $(a, b) \in R \cap S$ है। तब $(a, b) \in R$ और $(a, b) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ सममित हैं,इसलिए $(b, a) \in R$ और $(b, a) \in S$ है। अतः,$(b, a) \in R \cap S$ है। इसलिए,$R \cap S$ सममित है।
$3.$ संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b) \in R \cap S$ और $(b, c) \in R \cap S$ है। तब $(a, b) \in R, (b, c) \in R$ और $(a, b) \in S, (b, c) \in S$ है। चूंकि $R$ और $S$ संक्रामक हैं,इसलिए $(a, c) \in R$ और $(a, c) \in S$ है। अतः,$(a, c) \in R \cap S$ है। इसलिए,$R \cap S$ संक्रामक है।
चूंकि $R \cap S$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह $A$ पर एक तुल्यता संबंध है।

(B) संबंध $R$ को एक समतल में सभी सीधी रेखाओं के समुच्चय $L$ पर $\alpha R\beta \Leftrightarrow \alpha \perp \beta$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. स्वतुल्य: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $\alpha \in L$ के लिए $\alpha R\alpha$ सत्य होना चाहिए। इसका अर्थ है $\alpha \perp \alpha$,जो असत्य है क्योंकि कोई रेखा स्वयं के लंबवत नहीं हो सकती। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममित: $R$ के सममित होने के लिए,$\alpha R\beta$ का अर्थ $\beta R\alpha$ होना चाहिए। यदि $\alpha \perp \beta$ है,तो स्पष्ट रूप से $\beta \perp \alpha$ होगा। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: $R$ के संक्रामक होने के लिए,$\alpha R\beta$ और $\beta R\gamma$ का अर्थ $\alpha R\gamma$ होना चाहिए। यदि $\alpha \perp \beta$ और $\beta \perp \gamma$ है,तो $\alpha$ और $\gamma$ दोनों $\beta$ के लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $\alpha \parallel \gamma$ है। अतः,$\alpha R\gamma$ असत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ सममित है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in N \times N$ के लिए,हमारे पास $a + b = b + a$ है,जो दर्शाता है कि $(a, b)R(a, b)$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b)R(c, d)$ है। तो $a + d = b + c$ है। इसे $c + b = d + a$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दर्शाता है कि $c + b = d + a$ है,इसलिए $(c, d)R(a, b)$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $(a, b)R(c, d)$ और $(c, d)R(e, f)$ है। तो $a + d = b + c$ और $c + f = d + e$ है। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $a + d + c + f = b + c + d + e$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से $c + d$ को हटाने पर,हमें $a + f = b + e$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $(a, b)R(e, f)$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर संबंध $R$ को $aRb \Leftrightarrow n | (a - b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in Z$ के लिए,$(a - a) = 0$ होता है। चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n | 0$ होता है,इसलिए $aRa$ सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $aRb$ है,तो $n | (a - b)$,जिसका अर्थ है कि $(a - b) = nk$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तब $(b - a) = -(a - b) = -nk = n(-k)$ होता है। चूंकि $-k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n | (b - a)$,अतः $bRa$ है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $aRb$ और $bRc$ है,तो $n | (a - b)$ और $n | (b - c)$ होता है। इसका अर्थ है कि $(a - b) = nk_1$ और $(b - c) = nk_2$ किन्हीं पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। इनका योग करने पर,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = n(k_1 + k_2)$ प्राप्त होता है। चूंकि $(k_1 + k_2)$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n | (a - c)$,अतः $aRc$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) $1$. स्वतुल्यता की जाँच: समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो। यहाँ,$(3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता की जाँच: संबंध $R$ सममित होता है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो। यहाँ,$(3, 6) \in R$ है,लेकिन $(6, 3) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता की जाँच: संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ हो। युग्मों की जाँच करने पर: $(3, 6) \in R$ और $(6, 12) \in R \implies (3, 12) \in R$ (उपस्थित है)। ऐसे सभी संयोजन शर्त को पूरा करते हैं। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: यह संबंध केवल स्वतुल्य और संक्रामक है।

(B) माना कि संबंध $R$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर $xRy \iff x^2 = xy$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $xRx$ सत्य है। $xRx \iff x^2 = x \cdot x$,जो $x^2 = x^2$ है। यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है। अतः,यह संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए,यदि $xRy$ है,तो $x^2 = xy$ है। क्या इसका अर्थ यह है कि $yRx$,अर्थात $y^2 = yx$? यदि हम $x=0, y=1$ लें,तो $0^2 = 0 \cdot 1$ अर्थात $0=0$ (सत्य),लेकिन $y^2 = yx$ अर्थात $1^2 = 1 \cdot 0$ अर्थात $1=0$ (असत्य)। अतः,यह सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $xRy$ और $yRz$ है,तो $x^2 = xy$ और $y^2 = yz$ है। यदि हम $x=2, y=2, z=4$ लें,तो $2^2 = 2 \cdot 2$ (सत्य),लेकिन $2^2 = 2 \cdot 4$ (असत्य)। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
अतः,यह संबंध स्वतुल्य है।

(C) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $R = \{(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)\}$।
$1$. संबंध $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(2, 3) \in R$ है लेकिन $(3, 2) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$2$. संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 1) \notin R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$3$. संबंध $R$ के फलन होने के लिए,समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए। यहाँ,$2$ का प्रतिबिंब $4$ और $3$ दोनों है (अर्थात $(2, 4) \in R$ और $(2, 3) \in R$),इसलिए $R$ फलन नहीं है।
$4$. संबंध $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 3) \in R$ और $(3, 1) \in R$ है,लेकिन $(1, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,सही कथन यह है कि $R$ सममित नहीं है।

(D) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ हो।
कार्तीय गुणन $A \times A$ में कुल $n^2$ क्रमित युग्म होते हैं।
संबंध को स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a)$ रूप के सभी $n$ युग्मों का संबंध में होना आवश्यक है।
शेष $n^2 - n$ क्रमित युग्म संबंध में हो सकते हैं या नहीं,जिससे $2^{n^2 - n}$ संभावनाएं प्राप्त होती हैं।
$n = 4$ अवयवों वाले समुच्चय के लिए,स्वतुल्य संबंधों की संख्या $2^{4^2 - 4} = 2^{16 - 4} = 2^{12}$ है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in S$ के लिए,हमारे पास $1 + a \cdot a = 1 + a^2$ है। चूँकि $a^2 \ge 0$,इसलिए $1 + a^2 \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in S$ के लिए $(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $1 + ab > 0$ है। चूँकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $a = 1$,$b = -1/2$,और $c = -1$ लें।
$(a, b) = (1, -1/2)$ के लिए,$1 + (1)(-1/2) = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$,इसलिए $(1, -1/2) \in R$ है।
$(b, c) = (-1/2, -1)$ के लिए,$1 + (-1/2)(-1) = 1 + 0.5 = 1.5 > 0$,इसलिए $(-1/2, -1) \in R$ है।
हालाँकि,$(a, c) = (1, -1)$ के लिए,$1 + (1)(-1) = 1 - 1 = 0$,जो $> 0$ नहीं है। अतः,$(1, -1) \notin R$ है।
इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$|a - a| = 0 \le 1$ है। अतः,सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $a \ R \ a$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $a \ R \ b$ है,तो $|a - b| \le 1$ है। चूँकि $|a - b| = |b - a|$,इसलिए $|b - a| \le 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $b \ R \ a$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $a = 1, b = 2, c = 3$ पर विचार करें। यहाँ,$|1 - 2| = 1 \le 1$ और $|2 - 3| = 1 \le 1$ है,लेकिन $|1 - 3| = 2 > 1$ है। अतः,$1 \ R \ 2$ और $2 \ R \ 3$ होने के बावजूद $1 \ R \ 3$ नहीं है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और सममित है।

(D) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $n \in N$ के लिए,$n, n$ का एक गुणनखंड है (क्योंकि $n = n \times 1$)। अतः,सभी $n \in N$ के लिए $nRn$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $n=2$ और $m=6$ पर विचार करें। चूंकि $2|6$,इसलिए $2R6$ सत्य है। हालाँकि,$6, 2$ का गुणनखंड नहीं है $(6 \nmid 2)$,इसलिए $6R2$ असत्य है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $nRm$ और $mRp$ है। इसका अर्थ है $n|m$ और $m|p$। विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार,ऐसे पूर्णांक $k_1, k_2$ मौजूद हैं कि $m = nk_1$ और $p = mk_2$। $m$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$p = (nk_1)k_2 = n(k_1k_2)$ प्राप्त होता है। चूंकि $k_1k_2$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n|p$,जिसका अर्थ है $nRp$। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा कथन असत्य है,हम प्रत्येक गुण का विश्लेषण करते हैं:
$(a)$ मान लीजिए $A = \{1, 2, 3\}$ है। $R = \{(1, 2)\}$ और $S = \{(2, 3)\}$ लें। $R$ और $S$ दोनों संक्रामक हैं। हालाँकि,$R \cup S = \{(1, 2), (2, 3)\}$ है। यहाँ $(1, 2) \in R \cup S$ और $(2, 3) \in R \cup S$ है,लेकिन $(1, 3) \notin R \cup S$,इसलिए $R \cup S$ संक्रामक नहीं है। अतः,कथन $(a)$ असत्य है।
$(b)$ यदि $R$ और $S$ संक्रामक हैं,तो किसी भी $(x, y) \in R \cap S$ और $(y, z) \in R \cap S$ के लिए,$(x, z) \in R \cap S$ होता है। यह कथन सत्य है।
$(c)$ यदि $R$ और $S$ सममित हैं,तो उनका संघ $R \cup S$ भी सममित होता है। यह कथन सत्य है।
$(d)$ यदि $R$ और $S$ स्वतुल्य हैं,तो उनका प्रतिच्छेदन $R \cap S$ भी स्वतुल्य होता है। यह कथन सत्य है।
इसलिए,असत्य कथन $(a)$ है।

(D) संबंध $R$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $N$ पर $R = \{(x, y) : x, y \in N, 2x + y = 41\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in N$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $2x + x = 41$,यानी $3x = 41$,जिससे $x = 41/3$ प्राप्त होता है। चूँकि $41/3 \notin N$,इसलिए संबंध स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। हमारे पास $(1, 39) \in R$ है क्योंकि $2(1) + 39 = 41$ है। हालाँकि,$(39, 1)$ के $R$ में होने के लिए $2(39) + 1 = 79$ होना चाहिए,जो $41$ के बराबर नहीं है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 39) \in R$ और $(20, 1) \in R$ है। संक्रामकता के लिए,$(1, 1) \in R$ होना चाहिए,लेकिन $2(1) + 1 = 3 \neq 41$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,$R$ इनमें से कोई भी नहीं है।

(C) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ को समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ पर स्वतुल्य होने के लिए,इसमें $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ का होना आवश्यक है। चूंकि ये $R$ में नहीं हैं,हमें $3$ युग्म जोड़ने होंगे।
$2$. सममितता: $(1, 2) \in R$ दिया गया है,इसलिए हमें $(2, 1)$ जोड़ना होगा। $(2, 3) \in R$ दिया गया है,इसलिए हमें $(3, 2)$ जोड़ना होगा।
$3$. संक्रामकता: $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$ दिया गया है,इसलिए संक्रामकता के लिए हमें $(1, 3)$ जोड़ना होगा। चूंकि $(1, 3) \in R$ है,तो सममितता के नियम से हमें $(3, 1)$ भी जोड़ना होगा।
अतः,जोड़े जाने वाले कुल युग्म $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\}$ हैं।
इसलिए,जोड़े जाने वाले कुल क्रमित युग्मों की संख्या $7$ है।

(D) संबंध $R$,$N \times N$ पर $(a, b) R (c, d) \iff ad(b + c) = bc(a + d)$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $(a, b) \in N \times N$ के लिए,$ab(b + a) = ba(a + b)$ होता है,जो सत्य है। अतः,$(a, b) R (a, b)$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$। तो $ad(b + c) = bc(a + d)$। इसका अर्थ है $bc(a + d) = ad(b + c)$,जिसे $cb(d + a) = da(c + b)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$(c, d) R (a, b)$। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ और $(c, d) R (e, f)$। तो $ad(b + c) = bc(a + d)$ और $cf(d + e) = de(c + f)$।
क्रमशः $abcd$ और $cdef$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{b+c}{bc} = \frac{a+d}{ad} \implies \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{d} + \frac{1}{a} \implies \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\frac{1}{c} - \frac{1}{d} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f}$।
अतः,$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{e} - \frac{1}{f} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{f} = \frac{1}{e} + \frac{1}{b} \implies \frac{a+f}{af} = \frac{b+e}{be} \implies af(b + e) = be(a + f)$।
अतः,$(a, b) R (e, f)$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) एक तुल्यता संबंध को स्वतुल्य (reflexive),सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) होना चाहिए।
$A = \{p, q, r\}$ पर एक संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,इसमें $(p, p), (q, q),$ और $(r, r)$ का होना आवश्यक है।
$R_1$ में $(q, q)$ और $(r, r)$ नहीं हैं,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।
$R_2$ में $(p, p)$ नहीं है,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।
$R_3$ में $(p, p), (q, q),$ और $(r, r)$ हैं,इसलिए यह स्वतुल्य है। हालाँकि,यह सममित नहीं है क्योंकि $(p, q) \in R_3$ है लेकिन $(q, p) \notin R_3$ है।
अतः,दिए गए संबंधों में से कोई भी तुल्यता संबंध नहीं है।

(D) संबंध $R$ को $l_1 R l_2$ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि $l_1 \parallel l_2$ है।
$1$. स्वतुल्य: चूँकि कोई भी रेखा $l_1$ स्वयं के समांतर होती है $(l_1 \parallel l_1)$,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $l_1 \parallel l_2$ है,तो $l_2 \parallel l_1$ होगा। अतः,संबंध सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $l_1 \parallel l_2$ और $l_2 \parallel l_3$ है,तो $l_1 \parallel l_3$ होगा। अतः,संबंध संक्रामक है।
चूँकि संबंध स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध (equivalence relation) है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) समुच्चय $A$ में $n(A) = 3$ अवयव हैं।
कार्तीय गुणन $A \times A$ में $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 3 \times 3 = 9$ अवयव होते हैं।
समुच्चय $A$ पर एक संबंध,$A \times A$ का कोई भी उपसमुच्चय होता है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,$A$ पर संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A \times A)} = 2^9 = 512$ है।

(C) संबंध $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर $R = \{(a, b) : a, b \in N, |a - b| = 3\}$ के रूप में परिभाषित है।
इसका अर्थ है कि $a$ और $b$ के बीच का अंतर $3$ है।
यदि $b = 1$ है,तो $|a - 1| = 3 \implies a = 4$ (चूंकि $a \in N$)।
यदि $b = 2$ है,तो $|a - 2| = 3 \implies a = 5$।
यदि $b = 3$ है,तो $|a - 3| = 3 \implies a = 6$।
यदि $a = 1$ है,तो $|1 - b| = 3 \implies b = 4$।
यदि $a = 2$ है,तो $|2 - b| = 3 \implies b = 5$।
इस प्रकार,संबंध $R$ में $(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3), \dots$ जैसे युग्म शामिल हैं।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(C) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ तुल्यता संबंध कहलाता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
$1$. स्वतुल्यता के लिए,$R$ में $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ होने चाहिए।
$2$. दिया गया है $R = \{(1, 2), (2, 3)\}$।
$3$. सममितता के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R$,इसलिए $(2, 1)$ जोड़ना होगा। चूंकि $(2, 3) \in R$,इसलिए $(3, 2)$ जोड़ना होगा।
$4$. अब,$R = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$ हो जाता है।
$5$. संक्रामकता के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R$,इसलिए $(1, 3) \in R$ होना चाहिए। सममितता बनाए रखने के लिए $(3, 1)$ भी जोड़ना होगा।
$6$. अंतिम संबंध $R$ समुच्चय $A$ पर सार्वत्रिक संबंध बन जाता है,जो $A \times A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)\}$ है।
$7$. मूल संबंध में $2$ अवयव थे। सार्वत्रिक संबंध में $3^2 = 9$ अवयव हैं।
$8$. जोड़े जाने वाले अवयवों की कुल संख्या = $9 - 2 = 7$।

(A) $1$. स्वतुल्यता: चूँकि $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$,अतः संबंध $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: हम देखते हैं कि $(1, 2) \in R$,लेकिन $(2, 1) \notin R$ है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: किसी भी $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $(a, c) \in R$ है।
- $(1, 2) \in R$ और $(2, 3) \in R \implies (1, 3) \in R$ (जो संबंध में मौजूद है)।
- अन्य सभी युग्म इस शर्त को पूरा करते हैं। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,$|a - a| = 0 \le 1$. अतः,$a \, R \, a$ सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $a \, R \, b$ है,तो $|a - b| \le 1$. चूँकि $|a - b| = |b - a|$,इसलिए $|b - a| \le 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $b \, R \, a$ है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: मान लीजिए $a = 1, b = 1.8, c = 2.6$. यहाँ $|1 - 1.8| = 0.8 \le 1$ $(1 \, R \, 1.8)$ और $|1.8 - 2.6| = 0.8 \le 1$ $(1.8 \, R \, 2.6)$ है,लेकिन $|1 - 2.6| = 1.6 > 1$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और सममित है।

(B) माना $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर "से कम" संबंध है।
किसी भी $x, y, z \in N$ के लिए,यदि $x < y$ और $y < z$ है,तो $x < z$ होगा।
इसका अर्थ है कि यदि $xRy$ और $yRz$ है,तो $xRz$ होगा। अतः,यह संबंध संक्रमक है।
चूँकि $x < y$ होने पर $y < x$ सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए,$1 < 2$ लेकिन $2 \not< 1$),इसलिए यह संबंध सममित नहीं है।
चूँकि किसी भी $x \in N$ के लिए $x < x$ असत्य है,इसलिए यह संबंध स्वतुल्य नहीं है।
अतः,यह संबंध केवल संक्रमक है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{2, 4, 6, 8\}$ है और संबंध $R = \{(2, 4), (4, 2), (4, 6), (6, 4)\}$ है।
एक संबंध $R$ सममित कहलाता है यदि प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$(b, a) \in R$ हो।
$R$ के अवयवों की जाँच करने पर:
$1$. $(2, 4) \in R$ और $(4, 2) \in R$.
$2$. $(4, 6) \in R$ और $(6, 4) \in R$.
चूँकि प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,संगत $(b, a)$ भी $R$ में मौजूद है,इसलिए यह संबंध सममित है।

(B) एक संबंध $P$ स्वतुल्य है यदि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $(x, x) \in P$ हो। यहाँ,$x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$। चूँकि यह सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है,इसलिए $P$ स्वतुल्य नहीं है।
एक संबंध $P$ सममित है यदि $(x, y) \in P \Rightarrow (y, x) \in P$ हो। दिया गया है कि $x^2 + y^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $y^2 + x^2 = 1$। अतः,यदि $(x, y) \in P$ है,तो $(y, x) \in P$ है। इसलिए,$P$ सममित है।
एक संबंध $P$ संक्रामक है यदि $(x, y) \in P$ और $(y, z) \in P \Rightarrow (x, z) \in P$ हो। मान लीजिए $(x, y) = (1, 0)$ और $(y, z) = (0, 1)$। दोनों $P$ में हैं क्योंकि $1^2 + 0^2 = 1$ और $0^2 + 1^2 = 1$। हालाँकि,$(x, z) = (1, 1)$,$P$ में नहीं है क्योंकि $1^2 + 1^2 = 2 \neq 1$। अतः,$P$ संक्रामक नहीं है।

(D) चूँकि सभी $n \in N$ के लिए $n|n$ सत्य है,अतः $R$ स्वतुल्य है।
चूँकि $2|6$ सत्य है लेकिन $6$ का $2$ विभाजक नहीं है,अतः $R$ सममित नहीं है।
माना $nRm$ तथा $mRp$ है। इसका अर्थ है कि $n|m$ तथा $m|p$ है। विभाज्यता के गुणधर्म से $n|p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $nRp$। इसलिए,$R$ संक्रामक है।
अतः,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है,परन्तु सममित नहीं है।

(B) चूँकि $R$ समुच्चय $A$ पर एक तुल्यता संबंध है,इसलिए इसे स्वतुल्य (reflexive) होना चाहिए।
स्वतुल्यता की परिभाषा के अनुसार,सभी $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होता है।
चूँकि समुच्चय $A$ में $n$ अवयव हैं,इसलिए $R$ में $(a, a)$ रूप के कम से कम $n$ क्रमित युग्म अवश्य होने चाहिए।
अतः,$R$ में क्रमित युग्मों की संख्या $n$ के बराबर या उससे अधिक होती है।