Domain and Range Questions in Hindi

(C) $f(x) = \sqrt{x}$ के लिए,प्रांत $[0, \infty)$ है।
$g(x) = \sqrt{1-x}$ के लिए,प्रांत $(-\infty, 1]$ है।
$f+g, f-g,$ और $g-f$ का प्रांत $f$ और $g$ के प्रांतों का सर्वनिष्ठ है,जो $[0, 1]$ है।
$f/g$ के लिए,हमें $g(x) \neq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$। प्रांत $[0, 1)$ है।
$g/f$ के लिए,हमें $f(x) \neq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $x \neq 0$। प्रांत $(0, 1]$ है।
इन सभी फलनों के लिए उभयनिष्ठ प्रांत $[0, 1], [0, 1),$ और $(0, 1]$ का सर्वनिष्ठ है,जो $(0, 1)$ है।

(D) मान लीजिए कि लघुगणक का तर्क $g(x) = 3 + \cos(\frac{3\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)$ है।
योग से गुणनफल के सूत्रों $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ और $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$g(x) = 3 + [\cos(\frac{3\pi}{4} + x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)] + [\cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x)]$
$g(x) = 3 - 2\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(x) + 2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(x)$
चूंकि $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$g(x) = 3 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\sin(x) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\cos(x) = 3 + \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$.
हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \cos x - \sin x \leq \sqrt{2}$.
अतः,$3 + \sqrt{2}(-\sqrt{2}) \leq g(x) \leq 3 + \sqrt{2}(\sqrt{2})$,
जो सरल होकर $3 - 2 \leq g(x) \leq 3 + 2$,अर्थात $1 \leq g(x) \leq 5$ हो जाता है।
चूंकि $f(x) = \log_{\sqrt{5}}(g(x))$,परिसर $[\log_{\sqrt{5}}(1), \log_{\sqrt{5}}(5)]$ है।
चूंकि $\log_{\sqrt{5}}(1) = 0$ और $\log_{\sqrt{5}}(5) = 2$ है,इसलिए परिसर $[0, 2]$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3} \geq 0$ और $|[x]|-3 \neq 0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $Y = [x]$ है। हम $\frac{|Y|-2}{|Y|-3} \geq 0$ को हल करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $|Y| = 2$ और $|Y| = 3$ हैं,जिसका अर्थ है $Y \in \{-3, -2, 2, 3\}$।
$|Y|$ के लिए अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$. यदि $|Y| < 2$ है,तो $\frac{-}{-} > 0$ (सत्य)। यह $-2 < Y < 2$ के अनुरूप है,इसलिए $[x] \in \{-1, 0, 1\}$,जिसका अर्थ है $x \in [-1, 2)$।
$2$. यदि $2 \leq |Y| < 3$ है,तो $\frac{+}{-} < 0$ (असत्य)।
$3$. यदि $|Y| > 3$ है,तो $\frac{+}{+} > 0$ (सत्य)। यह $Y > 3$ या $Y < -3$ के अनुरूप है,इसलिए $[x] \geq 4$ या $[x] \leq -4$,जिसका अर्थ है $x \in [4, \infty)$ या $x \in (-\infty, -3)$।
इन सबको मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -3) \cup [-1, 2) \cup [4, \infty)$ प्राप्त होता है।
$(-\infty, a) \cup [b, c) \cup [4, \infty)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -3$,$b = -1$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = -3 + (-1) + 2 = -2$।

(D) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए: $-1 \leq \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} \leq 1$.
$\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} - 1 \leq 0$ को हल करने पर $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} - 1 \leq 0 \implies \frac{x-2}{x+3} - 1 \leq 0 \implies \frac{-5}{x+3} \leq 0 \implies x+3 > 0 \implies x > -3$.
$\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} + 1 \geq 0$ को हल करने पर $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} + 1 \geq 0 \implies \frac{x-2}{x+3} + 1 \geq 0 \implies \frac{2x+1}{x+3} \geq 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.
प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $x \in [-\frac{1}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है (जहाँ $x=3$ को छोड़कर).
$2$. $\log_{e}$ का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^{2}-3x+2 > 0 \implies (x-1)(x-2) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $\log_{e}(x^{2}-3x+2) \neq 0 \implies x^{2}-3x+2 \neq 1 \implies x^{2}-3x+1 \neq 0 \implies x \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in [-\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty) - \{\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\}$.

(C) फलन $f(x) = \sin^{-1}[2x^2 - 3] + \log_2(\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5))$ को परिभाषित होने के लिए:
$1.$ $\sin^{-1}[2x^2 - 3]$ के लिए,$-1 \leq [2x^2 - 3] \leq 1$ होना चाहिए। अतः $-1 \leq 2x^2 - 3 < 2$,जिसका अर्थ है $2 \leq 2x^2 < 5$,जिससे $1 \leq x^2 < 2.5$ प्राप्त होता है।
$2.$ $\log_2(\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5))$ के लिए,$\log_{1/2}(x^2 - 5x + 5) > 0$ होना चाहिए। चूँकि आधार $1/2 < 1$ है,इसलिए $0 < x^2 - 5x + 5 < 1$ होगा।
$3.$ $x^2 - 5x + 5 > 0$ को हल करने पर,$x \in (-\infty, \frac{5-\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{5+\sqrt{5}}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।
$4.$ $x^2 - 5x + 5 < 1$ को हल करने पर,$x^2 - 5x + 4 < 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) < 0 \Rightarrow x \in (1, 4)$ प्राप्त होता है।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) लेने पर,प्रांत $(1, \frac{5-\sqrt{5}}{2})$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$f(x) = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$.
माना $f(x) = y$.
अतः,$y = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$.
$y(x - 3) = 16x^2 - 96x + 153$.
$16x^2 - (96 + y)x + (153 + 3y) = 0$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।
$D = (96 + y)^2 - 4(16)(153 + 3y) \geq 0$.
$9216 + 192y + y^2 - 64(153 + 3y) \geq 0$.
$9216 + 192y + y^2 - 9792 - 192y \geq 0$.
$y^2 - 576 \geq 0$.
$y^2 \geq 576$.
इससे प्राप्त होता है $y \in (-\infty, -24] \cup [24, \infty)$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम धनात्मक मान $24$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{|x|} - \log(1 + |x|)$।
चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $t \geq 0$ के लिए $g(t) = \sqrt{t} - \log(1 + t)$ पर विचार करते हैं,जहाँ $t = |x|$ है।
$g(t)$ के व्यवहार की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{1 + t} = \frac{1 + t - 2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}(1 + t)} = \frac{(\sqrt{t} - 1)^2}{2\sqrt{t}(1 + t)}$।
चूंकि सभी $t > 0$ $(t \neq 1)$ के लिए $g'(t) > 0$ है,इसलिए फलन $g(t)$,$t \geq 0$ के लिए निरंतर वर्धमान है।
जैसे $t \to \infty$,$g(t) = \sqrt{t}(1 - \frac{\log(1 + t)}{\sqrt{t}}) \to \infty$। अतः,$f(x)$ ऊपर से परिबद्ध नहीं है,इसलिए दावा $I$ असत्य है।
$t = 0$ पर,$g(0) = 0$ है। चूंकि $g(t)$,$t \geq 0$ के लिए वर्धमान है,$g(t)$ का न्यूनतम मान $g(0) = 0$ है। अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ है। इसलिए,दावा $II$ सत्य है।
अतः,$I$ असत्य है और $II$ सत्य है।

(C) दिया गया बहुपद $P(x) = 4x^3 - 3x$ है,जहाँ $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x) = 12x^2 - 3 = 3(4x^2 - 1) = 3(2x - 1)(2x + 1)$ का विश्लेषण करते हैं।
$x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,$4x^2 < 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $4x^2 - 1 < 0$ है।
अतः,दिए गए अंतराल में सभी $x$ के लिए $P'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $P(x)$ एक निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) फलन है।
चूंकि $P(x)$ सतत और निरंतर ह्रासमान है,इसलिए परिसर $(P(1/2), P(-1/2))$ होगा।
सीमा बिंदुओं पर मानों की गणना करने पर:
$P(1/2) = 4(1/8) - 3(1/2) = 1/2 - 3/2 = -1$.
$P(-1/2) = 4(-1/8) - 3(-1/2) = -1/2 + 3/2 = 1$.
चूंकि अंतराल खुला है,इसलिए परिसर $(-1, 1)$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{2-x-x^2}$ और $g(x) = \cos x$।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$2-x-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+x-2 \leq 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 1]$।
$f(g(x))$ के लिए,हमें $g(x) \in [-2, 1]$ की आवश्यकता है। चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$,यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है। अतः,$f(g(x))$ का प्रांत = $\mathbb{R}$।
$f((g(x))^2)$ के लिए,हमें $(g(x))^2 \in [-2, 1]$ की आवश्यकता है। चूँकि $0 \leq \cos^2 x \leq 1$,यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है। अतः,$f((g(x))^2)$ का प्रांत = $\mathbb{R}$।
इसलिए,$f((g(x))^2)$ का प्रांत = $f(g(x))$ का प्रांत,अतः कथन $I$ सत्य है।
$g(f(x))$ के लिए,हमें $f(x)$ को परिभाषित होने की आवश्यकता है,इसलिए $x \in [-2, 1]$। अतः,$g(f(x))$ का प्रांत = $[-2, 1]$।
चूँकि $f(g(x))$ का प्रांत = $\mathbb{R}$ और $g(f(x))$ का प्रांत = $[-2, 1]$,कथन $II$ और $III$ असत्य हैं।
$g((f(x))^3)$ के लिए,हमें $f(x)$ को परिभाषित होने की आवश्यकता है,इसलिए $x \in [-2, 1]$। अतः,$g((f(x))^3)$ का प्रांत = $[-2, 1]$। यह $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है,इसलिए कथन $IV$ असत्य है।
अतः,केवल कथन $I$ सत्य है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{4 - \sqrt{2x + 5}}$ तब परिभाषित होता है यदि वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक हों।
सबसे पहले,आंतरिक वर्गमूल के लिए: $2x + 5 \geq 0 \implies x \geq -\frac{5}{2}$।
दूसरे,बाहरी वर्गमूल के लिए: $4 - \sqrt{2x + 5} \geq 0 \implies 4 \geq \sqrt{2x + 5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (चूंकि दोनों अऋणात्मक हैं): $16 \geq 2x + 5 \implies 11 \geq 2x \implies x \leq \frac{11}{2}$।
इन शर्तों को मिलाने पर,$f(x)$ का प्रांत $x \in \left[ -\frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right]$ प्राप्त होता है।
प्रांत का मध्य-बिंदु $\frac{-\frac{5}{2} + \frac{11}{2}}{2} = \frac{\frac{6}{2}}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(C) फलन $f(x) = \log_{\{x\}}[x] + \log_{[x]}\{x\}$ निम्नलिखित शर्तों के तहत परिभाषित है:
$1$. $\log_{\{x\}}[x]$ को परिभाषित होने के लिए:
आधार $\{x\} > 0$ और $\{x\} \neq 1$ होना चाहिए। चूँकि $\{x\} = x - [x]$,$\{x\} \in [0, 1)$। अतः,$\{x\} \in (0, 1)$।
तर्क $[x] > 0$,जिसका अर्थ है $x \geq 1$। चूँकि $\{x\} \neq 0$,$x$ पूर्णांक नहीं हो सकता।
$2$. $\log_{[x]}\{x\}$ को परिभाषित होने के लिए:
आधार $[x] > 0$ और $[x] \neq 1$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $[x] \geq 2$,अतः $x \geq 2$।
तर्क $\{x\} > 0$,जिसका अर्थ है $x$ पूर्णांक नहीं है।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \geq 2$ और $x \notin \mathbb{Z}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,अंतराल $(2, 3)$ शर्त $x > 2$ और $x$ पूर्णांक नहीं है,को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) माना $y = f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = \sin x \ln(\sin x)$ प्राप्त होता है।
माना $u = \sin x$ है। चूँकि $x \in (0, \pi)$,$u$ का परिसर $(0, 1]$ है।
हम $g(u) = u^u$ को $u \in (0, 1]$ के लिए परिभाषित करते हैं।
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $g(u)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$g'(u) = u^u (1 + \ln u)$।
$g'(u) = 0$ रखने पर,$1 + \ln u = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln u = -1$,अतः $u = e^{-1} = \frac{1}{e}$।
$u = \frac{1}{e}$ पर,$g(\frac{1}{e}) = (e^{-1})^{e^{-1}} = e^{-1/e}$ प्राप्त होता है।
जब $u \to 0^+$,तब $g(u) = u^u \to 1$ (सीमा $\lim_{u \to 0^+} u^u = 1$ का उपयोग करते हुए)।
$u = 1$ पर,$g(1) = 1^1 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $e^{-1/e}$ और अधिकतम मान $1$ है।
इसलिए,परिसर $[e^{-1/e}, 1]$ है।

(A) हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \sin x - \cos x \leq \sqrt{2}$ होता है।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें $-2 \leq \sqrt{2}(\sin x - \cos x) \leq 2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $k = \sqrt{2}(\sin x - \cos x)$,इसलिए $-2 \leq k \leq 2$ है।
फलन $f(x) = \log_{\sqrt{m}}(k + m - 2)$ है।
दिया गया है कि $f$ का परिसर $[0, 2]$ है,इसलिए $0 \leq \log_{\sqrt{m}}(k + m - 2) \leq 2$ है।
इसका अर्थ है कि $(\sqrt{m})^0 \leq k + m - 2 \leq (\sqrt{m})^2$,जो सरल होकर $1 \leq k + m - 2 \leq m$ हो जाता है।
$k$ के लिए हल करने पर,हमें $3 - m \leq k \leq 2$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $-2 \leq k \leq 2$ से करने पर,हम निचली सीमाओं की तुलना करते हैं: $3 - m = -2$।
अतः,$m = 5$।

(B) $f(x) = \frac{\log_{(x+1)}(x-2)}{x^2 - 2x - 3}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
$2$. लघुगणक का आधार धनात्मक और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$ और $x + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$.
$3$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x^2 - 2x - 3 \neq 0$.
हर का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 1) \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 3$ और $x \neq -1$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x > 2$ और $x \neq 3$.
अतः,प्रांत $(2, \infty) - \{3\}$ है।

(A) माना $y = \sqrt{3-x} + \sqrt{2+x}$। प्रांत $-2 \le x \le 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = 5 + 2\sqrt{6+x-x^2}$ प्राप्त होता है।
$g(x) = 6+x-x^2$ का अधिकतम मान $x = 1/2$ पर $25/4$ है और न्यूनतम मान $0$ है।
अतः,$5 \le y^2 \le 10$।
इस प्रकार,परिसर $[\sqrt{5}, \sqrt{10}]$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{[x]}{1+x^2}$,जहाँ $x \in (2, 6)$ है।
अंतराल $[2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,अतः $f(x) = \frac{2}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}]$।
अंतराल $[3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,अतः $f(x) = \frac{3}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{3}{17}, \frac{3}{10}]$।
अंतराल $[4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$,अतः $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{2}{13}, \frac{4}{17}]$।
अंतराल $[5, 6)$ के लिए,$[x] = 5$,अतः $f(x) = \frac{5}{1+x^2}$। परिसर: $(\frac{5}{37}, \frac{5}{26}]$।
इन सभी अंतरालों का संघ $(\frac{5}{37}, \frac{2}{5}]$ है।

(A) मान लीजिए $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2-8x+12}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर:
$y(x^2-8x+12) = x^2+2x+1$
$x^2(y-1) - x(8y+2) + (12y-1) = 0$.
स्थिति $1$: यदि $y \neq 1$,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (-(8y+2))^2 - 4(y-1)(12y-1) \geq 0$
$16y^2 + 84y \geq 0$
$4y(4y + 21) \geq 0$.
इससे $y \in (-\infty, -\frac{21}{4}] \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $y = 1$,तो $x^2+2x+1 = x^2-8x+12$,जो $10x = 11$ अर्थात $x = \frac{11}{10}$ देता है।
चूंकि यह मान प्रांत (domain) में है,इसलिए $y=1$ परिसर में शामिल होगा।
अतः,परिसर $(-\infty, -\frac{21}{4}] \cup [0, \infty)$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\lceil x \rceil - x}}$ द्वारा दिया गया है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $\lceil x \rceil - x > 0$,जिसका अर्थ है $\lceil x \rceil > x$.
यह असमिका सभी $x \notin \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है। यदि $x \in \mathbb{Z}$ है,तो $\lceil x \rceil = x$,इसलिए $\lceil x \rceil - x = 0$,जो हर (denominator) को शून्य बना देता है।
अतः,प्रांत $A = \mathbb{R} - \mathbb{Z}$.
$x \notin \mathbb{Z}$ के लिए,हम जानते हैं कि $\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$. इसलिए,$\lceil x \rceil - x = \lfloor x \rfloor + 1 - x = 1 - (x - \lfloor x \rfloor) = 1 - \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।
चूंकि $x \notin \mathbb{Z}$,$0 < \{x\} < 1$,जिसका अर्थ है $0 < 1 - \{x\} < 1$.
तब,$0 < \sqrt{1 - \{x\}} < 1$,और परिणामस्वरूप $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \{x\}}} > 1$.
अतः,परिसर $B = (1, \infty)$.
अब,$A \cap B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cap (1, \infty) = (1, \infty) - \mathbb{Z}$. चूंकि $(1, \infty)$ के साथ प्रतिच्छेदन में केवल धनात्मक पूर्णांक शामिल हैं,इसलिए $(1, \infty) - \mathbb{Z} = (1, \infty) - \mathbb{N}$. अतः,$(S1)$ सत्य है।
$A \cup B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cup (1, \infty) = \mathbb{R} - \{0, -1, -2, \dots\}$. यह $(1, \infty)$ के बराबर नहीं है। इसलिए,$(S2)$ असत्य है।
अतः,केवल $(S1)$ सत्य है।

(A) फलन को परिभाषित होने के लिए,दोनों भागों का मान्य होना आवश्यक है।
$1$. $\log_e\left(\frac{6x^2+5x+1}{2x-1}\right)$ के लिए,$\frac{6x^2+5x+1}{2x-1} > 0$ होना चाहिए।
$\frac{(3x+1)(2x+1)}{2x-1} > 0$।
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = -1/2, -1/3, 1/2$ हैं।
असमिका $x \in (-1/2, -1/3) \cup (1/2, \infty) \dots (A)$ के लिए सत्य है।
$2$. $\cos^{-1}\left(\frac{2x^2-3x+4}{3x-5}\right)$ के लिए,$-1 \le \frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \le 1$ और $3x-5 \neq 0$ होना चाहिए।
$\frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \le 1$ को हल करने पर $\implies \frac{2x^2-6x+9}{3x-5} \le 0$। चूंकि $2x^2-6x+9$ के लिए $D < 0$ है,यह हमेशा धनात्मक है। अतः,$3x-5 < 0 \implies x < 5/3 \dots (B)$।
$\frac{2x^2-3x+4}{3x-5} \ge -1$ को हल करने पर $\implies \frac{2x^2-1}{3x-5} \ge 0$।
क्रांतिक बिंदु $x = -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 5/3$ हैं।
असमिका $x \in [-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}] \cup (5/3, \infty) \dots (C)$ के लिए सत्य है।
सर्वनिष्ठ (Intersection) $A \cap B \cap C = (-1/2, -1/3) \cup (1/2, 1/\sqrt{2}]$।
यहाँ $\alpha = -1/2, \beta = -1/3, \gamma = 1/2, \delta = 1/\sqrt{2}$।
$18(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2) = 18(1/4 + 1/9 + 1/4 + 1/2) = 18(1/2 + 1/9 + 1/2) = 18(1 + 1/9) = 18 + 2 = 20$।

(C) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - 3[x] - 10}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - 3[x] - 10 > 0$
माना $t = [x]$ है। तब $t^2 - 3t - 10 > 0$।
गुणनखंड करने पर: $(t - 5)(t + 2) > 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $t < -2$ या $t > 5$ हो।
चूँकि $t = [x]$ है,इसलिए $[x] < -2$ या $[x] > 5$।
यदि $[x] < -2$ है,तो $[x] \leq -3$,जिसका अर्थ है कि $x < -2$।
यदि $[x] > 5$ है,तो $[x] \geq 6$,जिसका अर्थ है कि $x \geq 6$।
अतः,प्रांत $(-\infty, -2) \cup [6, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$\sin^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए और लघुगणक का आधार धनात्मक और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए।
सबसे पहले,$\frac{6+2 \log_3 x}{-5x} > 0$ और $x > 0, x \neq \frac{1}{3}$. चूँकि $x > 0$,हमें $6+2 \log_3 x < 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $\log_3 x < -3$,जिसका अर्थ है $x < 3^{-3} = \frac{1}{27}$. अतः,$x \in (0, \frac{1}{27})$.
इसके बाद,$-1 \leq \log_{3x} \left(\frac{6+2 \log_3 x}{-5x}\right) \leq 1$. चूँकि $x < \frac{1}{27}$,$3x < \frac{1}{9} < 1$,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका उलट जाएगी: $(3x)^1 \leq \frac{6+2 \log_3 x}{-5x} \leq (3x)^{-1}$.
$15x^2 + 6 + 2 \log_3 x \geq 0$ और $6 + 2 \log_3 x + \frac{5}{3} \geq 0$ को हल करने पर $x \in [3^{-23/6}, \frac{1}{27})$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $D = [3^{-23/6}, \frac{1}{27})$.
चूँकि $3^{-23/6} < x < \frac{1}{27}$,इसलिए $[x] = 0$,अतः $g(x) = x$. परिसर $(\alpha, \beta) = (3^{-23/6}, \frac{1}{27})$ है।
तब $\alpha = 3^{-23/6}$ और $\beta = \frac{1}{27}$.
$\alpha^2 + \frac{5}{\beta} = (3^{-23/6})^2 + 5(27) = 3^{-23/3} + 135$. चूँकि $3^{-23/3}$ बहुत छोटा मान है,इसलिए उत्तर लगभग $135$ है।

(B) $f(x)$ का प्रांत इसके तीनों घटकों के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) है।
$(i)$ $\log_e(4x^2 + 11x + 6)$ के लिए,$4x^2 + 11x + 6 > 0$ आवश्यक है।
गुणनखंड करने पर $(4x + 3)(x + 2) > 0$ प्राप्त होता है,अतः $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{3}{4}, \infty)$।
(ii) $\sin^{-1}(4x + 3)$ के लिए,$-1 \le 4x + 3 \le 1$ आवश्यक है।
$-4 \le 4x \le -2$,जिसका अर्थ है $x \in [-1, -\frac{1}{2}]$।
(iii) $\cos^{-1}\left(\frac{10x + 6}{3}\right)$ के लिए,$-1 \le \frac{10x + 6}{3} \le 1$ आवश्यक है।
$-3 \le 10x + 6 \le 3$,अतः $-9 \le 10x \le -3$,जिसका अर्थ है $x \in [-\frac{9}{10}, -\frac{3}{10}]$।
तीनों अंतरालों का सर्वनिष्ठ लेने पर:
$x \in ((-\infty, -2) \cup (-\frac{3}{4}, \infty)) \cap [-1, -\frac{1}{2}] \cap [-\frac{9}{10}, -\frac{3}{10}]$।
$[-1, -\frac{1}{2}]$ और $[-\frac{9}{10}, -\frac{3}{10}]$ का सर्वनिष्ठ $[-\frac{9}{10}, -\frac{1}{2}]$ है।
अब,इसका $(-\infty, -2) \cup (-\frac{3}{4}, \infty)$ के साथ सर्वनिष्ठ लेने पर:
चूंकि $-\frac{9}{10} < -\frac{3}{4}$,सर्वनिष्ठ $(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}]$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = -\frac{3}{4}$ और $\beta = -\frac{1}{2}$।
इसलिए $|\alpha + \beta| = |-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}| = |-\frac{5}{4}| = \frac{5}{4}$।
अंत में,$36|\alpha + \beta| = 36 \times \frac{5}{4} = 9 \times 5 = 45$।

(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right) + (\log_e(3-x))^{-1}$ के लिए,हमें दोनों भागों के लिए प्रांत की शर्तों को संतुष्ट करना होगा।
$1$. $\cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right)$ के लिए,तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए:
$-1 \leq \frac{2-|x|}{4} \leq 1$
$-4 \leq 2-|x| \leq 4$
$-6 \leq -|x| \leq 2$
चूंकि $|x| \geq 0$,इसलिए $-|x| \leq 2$ हमेशा सत्य है। अतः,$|x| \leq 6$,जिसका अर्थ है $x \in [-6, 6]$।
$2$. $(\log_e(3-x))^{-1}$ के लिए,हमें $\log_e(3-x) \neq 0$ और $3-x > 0$ की आवश्यकता है:
$3-x > 0 \Rightarrow x < 3$.
$\log_e(3-x) \neq 0 \Rightarrow 3-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
इन शर्तों को मिलाने पर:
$x \in [-6, 6] \cap (-\infty, 3) \setminus \{2\} = [-6, 3) \setminus \{2\}$।
इसकी तुलना $[-\alpha, \beta) \setminus \{\gamma\}$ से करने पर,हमें $\alpha = 6$,$\beta = 3$,और $\gamma = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 3 + 2 = 11$।

(B) फलन को परिभाषित होने के लिए,हमें निम्नलिखित शर्तों का पालन करना होगा:
$1$) $\frac{2x+3}{4x^2+x-3} > 0$
$2$) $-1 \leq \frac{2x-1}{x+2} \leq 1$
चरण $1$: $\frac{2x+3}{(4x-3)(x+1)} > 0$ को हल करें।
क्रांतिक बिंदु $x = -3/2, -1, 3/4$ हैं। वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,हल $x \in (-3/2, -1) \cup (3/4, \infty)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $-1 \leq \frac{2x-1}{x+2} \leq 1$ को हल करें।
भाग $A$: $\frac{2x-1}{x+2} + 1 \geq 0 \implies \frac{3x+1}{x+2} \geq 0$. हल: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1/3, \infty)$.
भाग $B$: $\frac{2x-1}{x+2} - 1 \leq 0 \implies \frac{x-3}{x+2} \leq 0$. हल: $x \in (-2, 3]$.
भाग $A$ और भाग $B$ का प्रतिच्छेदन: $x \in [-1/3, 3]$.
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
$((-3/2, -1) \cup (3/4, \infty)) \cap [-1/3, 3] = (3/4, 3]$.
अतः,$\alpha = 3/4$ और $\beta = 3$.
चरण $4$: $5\beta - 4\alpha$ की गणना करें।
$5(3) - 4(3/4) = 15 - 3 = 12$.

(C) फलन $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{4-x^2} + \log_{10}(x^2+2x-15)$ है।
वर्गमूल पद के लिए,$x^2-25 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$।
हर के लिए,$4-x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$।
लघुगणक के लिए,$x^2+2x-15 > 0$ $\Rightarrow (x+5)(x-3) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$।
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$x \in (-\infty, -5) \cup [5, \infty)$ प्राप्त होता है।
$(-\infty, \alpha) \cup [\beta, \infty)$ से तुलना करने पर,$\alpha = -5$ और $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^3 = (-5)^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150$।

(A) $\sin^{-1}(u)$ के लिए,$-1 \leq u \leq 1$ होना चाहिए। अतः,$-1 \leq \frac{3x-22}{2x-19} \leq 1$. इस असमिका को हल करने पर $x \in (5, 8.2]$ प्राप्त होता है।
$\log_e(v)$ के लिए,$v > 0$ होना चाहिए। अतः,$\frac{3x^2-8x+5}{x^2-3x-10} > 0$,जो सरल होकर $\frac{(3x-5)(x-1)}{(x-5)(x+2)} > 0$ हो जाता है। इसका हल $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 5/3) \cup (5, \infty)$ है।
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,प्रांत $(5, 8.2]$ प्राप्त होता है,जो $(5, 41/5]$ है।
यहाँ,$\alpha = 5$ और $\beta = 41/5$ है।
अतः,$3\alpha + 10\beta = 3(5) + 10(41/5) = 15 + 82 = 97$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए,$\sin 5x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसलिए,$-\sin 5x$ भी $[-1, 1]$ अंतराल में स्थित है।
सभी पदों में $7$ जोड़ने पर,हमें $7 - \sin 5x \in [7 - 1, 7 + 1]$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $7 - \sin 5x \in [6, 8]$ हो जाता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,$f(x) = \frac{1}{7 - \sin 5x}$ का परिसर $\left[\frac{1}{8}, \frac{1}{6}\right]$ है।

(A) हम जानते हैं कि $g(x) = \sin 3x + \cos 3x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
अतः,हर $2 + \sin 3x + \cos 3x$ का परिसर $[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$ है।
इसलिए,$f(x) = \frac{1}{2 + \sin 3x + \cos 3x}$ का परिसर $[a, b] = \left[\frac{1}{2 + \sqrt{2}}, \frac{1}{2 - \sqrt{2}}\right]$ है।
अंत बिंदुओं का परिमेयकरण करने पर: $a = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ और $b = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha = \frac{a + b}{2}$ और $\beta = \sqrt{ab}$,हमें $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{a + b}{2\sqrt{ab}}$ ज्ञात करना है।
$a + b = 2$ और $ab = \frac{1}{2}$ है।
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{2\sqrt{1/2}} = \sqrt{2}$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x-3)}$.
$(A)$ $-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) > 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(p, r, s)$ को संतुष्ट करता है।
$(B)$ $1 < x < 2$ के लिए,$f(x) < 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(q, s)$ को संतुष्ट करता है।
$(C)$ $3 < x < 5$ के लिए,$f(x) < 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(q, s)$ को संतुष्ट करता है।
$(D)$ $x > 5$ के लिए,$f(x) > 0$ और $f(x) < 1$ है। अतः,$f(x)$ $(p, r, s)$ को संतुष्ट करता है।

(A) चूंकि $f(x)$ आच्छादक है,इसलिए $A$,$f(x)$ का परिसर (range) है।
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x-2)(x-3)$.
क्रांतिक बिंदु $x=2$ और $x=3$ हैं।
सीमाओं और क्रांतिक बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 7$
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 7 = 35$
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 7 = 34$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0,3]$ पर सतत है,इसलिए परिसर $A = [7, 35]$ है।
$g(x) = \frac{x^{2025}}{x^{2025}+1}$ के लिए,चूंकि $x \in [0, \infty)$,इसलिए $x^{2025} \in [0, \infty)$ है।
अतः,$g(x) = 1 - \frac{1}{x^{2025}+1}$ है।
$x=0$ पर,$g(0) = 0$ है। जैसे-जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to 1$ होता है।
अतः,परिसर $B = [0, 1)$ है।
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [7, 35] \cup [0, 1)\} = \{0, 7, 8, 9, \dots, 35\}$ है।
$S$ में अवयवों की संख्या $1 + (35 - 7 + 1) = 30$ है।

(A) $f_1(x) = \log _5(18 x-x^2-77)$ के लिए,प्रांत की शर्त $18 x-x^2-77 > 0$ है।
$x^2-18 x+77 < 0 \implies (x-7)(x-11) < 0$.
अतः,$x \in (7, 11)$,जिससे $\alpha = 7$ और $\beta = 11$ प्राप्त होता है।
$f_2(x) = \log _{(x-1)}\left(\frac{2 x^2+3 x-2}{x^2-3 x-4}\right)$ के लिए,प्रांत की शर्तें:
$1) \ x-1 > 0 \implies x > 1$
$2) \ x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$
$3) \ \frac{2 x^2+3 x-2}{x^2-3 x-4} > 0 \implies \frac{(2 x-1)(x+2)}{(x-4)(x+1)} > 0$.
चिह्न योजना का उपयोग करने पर,हल $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 1/2) \cup (4, \infty)$ प्राप्त होता है।
$x > 1$ और $x \neq 2$ के साथ प्रतिच्छेदन लेने पर,$x \in (4, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\gamma = 4$ और $\delta = \infty$.
अंत में,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 7^2+11^2+4^2 = 49+121+16 = 186$.

(A) फलन को परिभाषित होने के लिए,हर में वर्गमूल के अंदर के व्यंजक धनात्मक होने चाहिए।
$1) \ x + |x| > 0$
यदि $x \leq 0$ है,तो $x + |x| = 0$ होता है,जिससे हर शून्य हो जाता है। अतः,$x > 0$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$x \in (0, \infty)$.
$2) \ 10 + 3x - x^2 > 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 - 3x - 10 < 0$ प्राप्त होता है।
$(x - 5)(x + 2) < 0$.
यह असमिका $x \in (-2, 5)$ के लिए सत्य है।
$x \in (0, \infty)$ और $x \in (-2, 5)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्रांत $(a, b) = (0, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 0$ और $b = 5$.
अभीष्ट मान: $(1+a)^2 + b^2 = (1+0)^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \log_e\left(\frac{2x-3}{5+4x}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{4+3x}{2-x}\right)$ है।
फलन के परिभाषित होने के लिए:
$1) \frac{2x-3}{5+4x} > 0$
$2) -1 \leq \frac{4+3x}{2-x} \leq 1$
शर्त $(1)$ को हल करने पर:
$\frac{2x-3}{5+4x} > 0 \Rightarrow x \in \left(-\infty, -\frac{5}{4}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, \infty\right)$.
शर्त $(2)$ को हल करने पर:
$-1 \leq \frac{4+3x}{2-x} \leq 1$
$\Rightarrow \frac{4+3x}{2-x} + 1 \geq 0$ और $\frac{4+3x}{2-x} - 1 \leq 0$
$\Rightarrow \frac{6+2x}{2-x} \geq 0$ और $\frac{2+4x}{2-x} \leq 0$
$\Rightarrow x \in [-3, -1/2]$.
दोनों शर्तों का सर्वनिष्ठ लेने पर:
$x \in [-3, -5/4)$.
अतः,$\alpha = -3$ और $\beta = -5/4$.
इसलिए,$\alpha^2 + 4\beta = (-3)^2 + 4(-5/4) = 9 - 5 = 4$.

(A) फलन $f(x) = \log_7(1 - \log_4(x^2 - 9x + 18))$ को परिभाषित होने के लिए,$1 - \log_4(x^2 - 9x + 18) > 0$ और $x^2 - 9x + 18 > 0$ होना चाहिए।
चरण $1$: $x^2 - 9x + 18 > 0$ को हल करें।
$(x - 3)(x - 6) > 0 \implies x \in (-\infty, 3) \cup (6, \infty)$.
चरण $2$: $1 - \log_4(x^2 - 9x + 18) > 0$ को हल करें।
$\log_4(x^2 - 9x + 18) < 1 \implies x^2 - 9x + 18 < 4^1$.
$x^2 - 9x + 14 < 0 \implies (x - 2)(x - 7) < 0 \implies x \in (2, 7)$.
चरण $3$: दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
$x \in ((-\infty, 3) \cup (6, \infty)) \cap (2, 7) = (2, 3) \cup (6, 7)$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, 3)$ और $(\gamma, \delta) = (6, 7)$.
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 + 3 + 6 + 7 = 18$.

(A) $f(x)$ के लिए,$\log_3 \log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5)) > 0$ आवश्यक है।
इसका अर्थ है $\log_7(8 - \log_2(x^2 + 4x + 5)) > 1$,अतः $8 - \log_2(x^2 + 4x + 5) > 7$।
अतः,$\log_2(x^2 + 4x + 5) < 1$,जिसका अर्थ है $x^2 + 4x + 5 < 2$,या $x^2 + 4x + 3 < 0$।
गुणनखंड करने पर $(x + 3)(x + 1) < 0$,अतः $x \in (-3, -1)$। इस प्रकार,$\alpha = -3$ और $\beta = -1$।
$g(x)$ के लिए,$-1 \leq \frac{7x + 10}{x - 2} \leq 1$ आवश्यक है।
$\frac{7x + 10}{x - 2} \leq 1$ को हल करने पर $x \in [-2, 2)$ प्राप्त होता है।
$\frac{7x + 10}{x - 2} \geq -1$ को हल करने पर $x \in (-\infty, -1] \cup (2, \infty)$ प्राप्त होता है।
दोनों का सर्वनिष्ठ $x \in [-2, -1]$ है। इस प्रकार,$\gamma = -2$ और $\delta = -1$।
अंत में,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 + 4 + 1 = 15$।

(D) माना $y = \frac{5-x}{x^2-3x+2}$.
$y(x^2-3x+2) = 5-x$
$yx^2 - 3xy + 2y = 5-x$
$yx^2 + (1-3y)x + (2y-5) = 0$.
यदि $y=0$ है,तो $x=5$,जो एक मान्य मान है।
यदि $y \neq 0$ है,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (1-3y)^2 - 4(y)(2y-5) \geq 0$
$1 + 9y^2 - 6y - 8y^2 + 20y \geq 0$
$y^2 + 14y + 1 \geq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $y^2 + 14y + 1 = 0$ को हल करने पर:
$y = \frac{-14 \pm \sqrt{196-4}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{-14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = -7 \pm 4\sqrt{3}$.
अतः,$y \in (-\infty, -7-4\sqrt{3}] \cup [-7+4\sqrt{3}, \infty)$.
यहाँ,$\alpha = -7-4\sqrt{3}$ और $\beta = -7+4\sqrt{3}$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (-7-4\sqrt{3})^2 + (-7+4\sqrt{3})^2$
$= (49 + 48 + 56\sqrt{3}) + (49 + 48 - 56\sqrt{3})$
$= 97 + 97 = 194$.

(B) $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{4x+5}{3x-7}\right)$ के लिए,$-1 \leq \frac{4x+5}{3x-7} \leq 1$ आवश्यक है।
स्थिति $1$: $\frac{4x+5}{3x-7} \geq -1 \Rightarrow \frac{7x-2}{3x-7} \geq 0$. इससे $x \in (-\infty, 2/7] \cup (7/3, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\frac{4x+5}{3x-7} \leq 1 \Rightarrow \frac{x+12}{3x-7} \leq 0$. इससे $x \in [-12, 7/3)$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन लेने पर,$f(x)$ का प्रांत $[-12, 2/7]$ है। अतः $\alpha = -12$ और $\beta = 2/7$.
$g(x) = \log_2(2-6\log_{27}(2x+5))$ के लिए,$2-6\log_{27}(2x+5) > 0$ और $2x+5 > 0$ आवश्यक है।
$6\log_{27}(2x+5) < 2$ $\Rightarrow \log_{27}(2x+5) < 1/3$ $\Rightarrow 2x+5 < 3$ $\Rightarrow x < -1$.
साथ ही,$2x+5 > 0 \Rightarrow x > -5/2$.
अतः,$g(x)$ का प्रांत $(-5/2, -1)$ है। अतः $\gamma = -5/2$ और $\delta = -1$.
अब,$|7(\alpha+\beta) + 4(\gamma+\delta)| = |7(-12 + 2/7) + 4(-5/2 - 1)| = |-84 + 2 - 10 - 4| = |-96| = 96$.

(B) दिया गया समीकरण $[x]^2-5[x]+6=0$ है। माना $[x] = y$ है।
तब $y^2-5y+6=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y-2)(y-3)=0$ मिलता है।
अतः,$[x]=2$ या $[x]=3$ है।
यदि $[x]=2$ है,तो $2 \le x < 3$ होगा।
यदि $[x]=3$ है,तो $3 \le x < 4$ होगा।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{x^2+3x+2}$।
फलन को परिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए:
$x^2 + 3x + 2 \neq 0$
$(x+1)(x+2) \neq 0$
$x \neq -1$ और $x \neq -2$।
साथ ही,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$x + 3 > 0$
$x > -3$।
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-3, \infty) - \{-1, -2\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
$2^y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2^y = 2 - 2^x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में आधार $2$ का लघुगणक लेने पर,$y = \log_2(2 - 2^x)$ प्राप्त होता है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2 - 2^x > 0$।
इसका अर्थ है $2^x < 2$।
चूंकि $2 = 2^1$,इसलिए $2^x < 2^1$।
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए असमिका $x < 1$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $(-\infty, 1)$ है,जिसे $-\infty < x < 1$ के रूप में लिखा जाता है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
$2^y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2^y = 2 - 2^x$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $2^y > 0$ होता है,इसलिए व्यंजक $2 - 2^x$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
$2 - 2^x > 0$
$2^x < 2$
$2^x < 2^1$
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए घातांकों के लिए असमिका इस प्रकार होगी:
$x < 1$।
अतः,फलन का प्रांत $(-\infty, 1)$ है,जिसे $-\infty < x < 1$ के रूप में लिखा जाता है।

(D) दिया गया समीकरण: $[x]^2-5[x]+6=0$
माना $[x] = a$ है।
तब समीकरण $a^2-5a+6=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a-2)(a-3)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $a=2$ या $a=3$ मिलता है।
$[x]=a$ वापस रखने पर,$[x]=2$ या $[x]=3$ प्राप्त होता है।
$[x]=2$ के लिए,$x$ का अंतराल $x \in [2,3)$ है।
$[x]=3$ के लिए,$x$ का अंतराल $x \in [3,4)$ है।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2,3) \cup [3,4) = [2,4)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x+2^y=2$ है।
इसे $2^y = 2 - 2^x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2 - 2^x > 0$।
इसका अर्थ है $2^x < 2$।
चूंकि आधार $2 > 1$ है,इसलिए असमिका तब सत्य होती है जब $x < 1$ हो।
अतः,प्रांत $(-\infty, 1)$ या $-\infty < x < 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण $2^x + 2^y = 2$ है।
$2^y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2^y = 2 - 2^x$ प्राप्त होता है।
सभी वास्तविक $y$ के लिए $2^y > 0$ होता है,इसलिए व्यंजक $2 - 2^x$ का मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
$2 - 2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 2$.
चूंकि $2 = 2^1$,हमारे पास $2^x < 2^1$ है।
आधार $2 > 1$ होने के कारण,यह असमिका $x < 1$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $(-\infty, 1)$ है,जिसे $-\infty < x < 1$ के रूप में लिखा जाता है।

(A) दिया गया समीकरण: $2[2x - 5] - 1 = 7$ \\
पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$[2x - 5] = [2x] - 5$ प्राप्त होता है \\
समीकरण में मान रखने पर: $2([2x] - 5) - 1 = 7$ \\
$2[2x] - 10 - 1 = 7$ \\
$2[2x] - 11 = 7$ \\
$2[2x] = 18$ \\
$[2x] = 9$ \\
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[y] = n \Rightarrow n \leq y < n + 1$ \\
अतः,$9 \leq 2x < 10$ \\
$2$ से भाग देने पर,$\frac{9}{2} \leq x < 5$ प्राप्त होता है \\
अतः,$x \in \left[\frac{9}{2}, 5\right)$

(D) फलन $f(x) = e^{|x| \sin x}$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए परिभाषित है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $\mathbb{R}$ है।
चूँकि $|x| \sin x$ का मान $-\infty$ से $\infty$ तक कुछ भी हो सकता है,इसलिए व्यंजक $e^{|x| \sin x}$ हमेशा $0$ से बड़ा होगा।
इसलिए,$f(x)$ का परिसर $(0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \frac{1}{4-x^2} + \log_{10}(x^3-x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
गुणनखंड करने पर: $x(x-1)(x+1) > 0$.
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,असमिका $x(x-1)(x+1) > 0$ का हल $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ है।
शर्तों $x \neq \pm 2$ और $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ को संयोजित करने पर,हम $(1, \infty)$ से $x = 2$ को हटा देते हैं।
अतः,प्रांत $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+|x|}}$ के रूप में परिभाषित है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$x + |x| > 0$.
स्थिति $1$: यदि $x > 0$ है,तो $|x| = x$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$x + x = 2x > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x > 0$.
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$x + (-x) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $0$ शून्य से बड़ा नहीं है,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $x = 0$ है,तो $x + |x| = 0 + 0 = 0$ होगा। चूँकि हर (denominator) शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x = 0$ प्रांत में नहीं है।
अतः,फलन का प्रांत $(0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{6-x}$ तभी परिभाषित है जब वर्गमूल के अंदर के व्यंजक अऋणात्मक हों।
$\sqrt{x-1}$ के परिभाषित होने के लिए,$x - 1 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \geq 1$।
$\sqrt{6-x}$ के परिभाषित होने के लिए,$6 - x \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \leq 6$।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $1 \leq x \leq 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[1, 6]$ है।

(B) फलन $f(x) = \log _{10}(x^2-5x+6)$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक का तर्क (argument) धनात्मक होना चाहिए।
$x^2-5x+6 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x-2)(x-3) > 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $2$ और $3$ के बाहर धनात्मक होता है।
अतः,$x < 2$ या $x > 3$।
इसलिए,प्रांत $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ है।