Composition of Functions Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $R: A \to B$ और $S: B \to C$ है।
दो संबंधों के संयोजन की परिभाषा के अनुसार,संयुक्त संबंध $S \circ R$ को उन सभी क्रमित युग्मों $(a, c)$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए $B$ में एक अवयव $b$ मौजूद है जहाँ $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in S$ है।
इसलिए,$S \circ R$ का प्रांत $A$ का उपसमुच्चय है और सह-प्रांत $C$ है।
अतः,$S \circ R$,$A$ से $C$ में एक संबंध है।

(C) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{1, 3, 5\}$.
$R = \{(a, b) : a \in A, b \in B, a < b\} = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)\}$.
प्रतिलोम संबंध $R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\} = \{(3, 1), (5, 1), (3, 2), (5, 2), (5, 3), (5, 4)\}$.
$R \circ R^{-1}$ को $\{(x, z) : \exists y \text{ इस प्रकार कि } (x, y) \in R^{-1} \text{ और } (y, z) \in R\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$(3, 1) \in R^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $y=1$ देखते हैं: $(1, 3) \in R, (1, 5) \in R \implies (3, 3), (3, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 1) \in R^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $y=1$ देखते हैं: $(1, 3) \in R, (1, 5) \in R \implies (5, 3), (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(3, 2) \in R^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $y=2$ देखते हैं: $(2, 3) \in R, (2, 5) \in R \implies (3, 3), (3, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 2) \in R^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $y=2$ देखते हैं: $(2, 3) \in R, (2, 5) \in R \implies (5, 3), (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 3) \in R^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $y=3$ देखते हैं: $(3, 5) \in R \implies (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
$(5, 4) \in R^{-1}$ के लिए,हम $R$ में $y=4$ देखते हैं: $(4, 5) \in R \implies (5, 5) \in R \circ R^{-1}$.
इन सबको मिलाने पर,$R \circ R^{-1} = \{(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$.

(A) सबसे पहले,हम $R$ में क्रमित युग्मों को उलटकर ${R^{ - 1}}$ ज्ञात करते हैं:
${R^{ - 1}} = \{(5, 4), (4, 1), (6, 4), (6, 7), (7, 3)\}$.
अब,हम ${R^{ - 1}}oR$ का संयोजन ज्ञात करते हैं,जिसके लिए हम सभी युग्मों $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in {R^{ - 1}}$ की जाँच करते हैं ताकि $(x, z) \in {R^{ - 1}}oR$ प्राप्त हो:
$1$. $(4, 5) \in R$ और $(5, 4) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (4, 4) \in {R^{ - 1}}oR$.
$2$. $(1, 4) \in R$ और $(4, 1) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (1, 1) \in {R^{ - 1}}oR$.
$3$. $(4, 6) \in R$ और $(6, 4) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (4, 4) \in {R^{ - 1}}oR$.
$4$. $(4, 6) \in R$ और $(6, 7) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (4, 7) \in {R^{ - 1}}oR$.
$5$. $(7, 6) \in R$ और $(6, 4) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (7, 4) \in {R^{ - 1}}oR$.
$6$. $(7, 6) \in R$ और $(6, 7) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (7, 7) \in {R^{ - 1}}oR$.
$7$. $(3, 7) \in R$ और $(7, 3) \in {R^{ - 1}} \Rightarrow (3, 3) \in {R^{ - 1}}oR$.
इन सबको मिलाने पर,हमें ${R^{ - 1}}oR = \{(1, 1), (4, 4), (4, 7), (7, 4), (7, 7), (3, 3)\}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$।
सबसे पहले,$f(\cos 2\theta)$ की गणना करें:
$f(\cos 2\theta) = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$।
अब,$f[f(\cos 2\theta)] = f(\tan^2 \theta)$ की गणना करें:
$f(\tan^2 \theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f[f(\cos 2\theta)] = \cos 2\theta$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x - 3}{x + 1}$।
सबसे पहले,$f[f(x)]$ की गणना करें:
$f[f(x)] = \frac{f(x) - 3}{f(x) + 1} = \frac{\frac{x - 3}{x + 1} - 3}{\frac{x - 3}{x + 1} + 1}$
$= \frac{(x - 3) - 3(x + 1)}{(x - 3) + (x + 1)} = \frac{x - 3 - 3x - 3}{2x - 2} = \frac{-2x - 6}{2x - 2} = \frac{-(x + 3)}{x - 1} = \frac{x + 3}{1 - x}$।
अब,$f[f\{f(x)\}] = f\left(\frac{x + 3}{1 - x}\right)$ की गणना करें:
$f\left(\frac{x + 3}{1 - x}\right) = \frac{\frac{x + 3}{1 - x} - 3}{\frac{x + 3}{1 - x} + 1}$
$= \frac{(x + 3) - 3(1 - x)}{(x + 3) + (1 - x)} = \frac{x + 3 - 3 + 3x}{x + 3 + 1 - x} = \frac{4x}{4} = x$।
अतः,$f[f\{f(x)\}] = x$ है।

(A) दिया गया है कि $g \circ f: A \to C$ एकैकी और आच्छादक (bijection) है।
$1$. $g \circ f$ के एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ होगा,जिसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ क्योंकि $g \circ f$ एकैकी है।
$2$. $g \circ f$ के आच्छादक होने के लिए,$g$ का आच्छादक होना आवश्यक है। प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $g(f(x)) = z$ हो। इसका अर्थ है कि प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा $y = f(x) \in B$ मौजूद है कि $g(y) = z$ हो,जो $g$ के आच्छादक होने की परिभाषा है।
अतः,$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

(C) दिया गया है कि $f(x) = ax + b$ और $g(x) = cx + d$ है।
हमें शर्त $f(g(x)) = g(f(x))$ दी गई है।
सबसे पहले,$f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + ad + b$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = cax + cb + d$ ज्ञात करें।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $acx + ad + b = cax + cb + d$ प्राप्त होता है।
चूंकि $acx = cax$ है,इसलिए हम दोनों पक्षों से इन पदों को हटा सकते हैं:
$ad + b = cb + d$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $ad + b = cb + d$ मिलता है।
ध्यान दें कि $f(d) = ad + b$ और $g(b) = cb + d$ है।
अतः,शर्त $f(g(x)) = g(f(x))$ का मान $f(d) = g(b)$ के समतुल्य है।

(A) दिया गया है कि $f(x) = [x]$ (महत्तम पूर्णांक फलन) और $g(x) = |x|$ (मापांक फलन) है।
हमें $(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) - (fog)\left( -\frac{5}{3} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) = g\left( f\left( -\frac{5}{3} \right) \right)$ की गणना करें।
चूंकि $f(x) = [x]$,इसलिए $f\left( -\frac{5}{3} \right) = [-1.666...] = -2$ है।
तब $g(-2) = |-2| = 2$ है।
इसके बाद,$(fog)\left( -\frac{5}{3} \right) = f\left( g\left( -\frac{5}{3} \right) \right)$ की गणना करें।
चूंकि $g(x) = |x|$,इसलिए $g\left( -\frac{5}{3} \right) = \left| -\frac{5}{3} \right| = \frac{5}{3}$ है।
तब $f\left( \frac{5}{3} \right) = [1.666...] = 1$ है।
अंत में,$(gof)\left( -\frac{5}{3} \right) - (fog)\left( -\frac{5}{3} \right) = 2 - 1 = 1$ है।

(C) फलनों का संयोजन $(gof)(x)$ को $g(f(x))$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $f(x) = x^2 - 1$ और $g(x) = 3x + 1$ है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(gof)(x) = g(x^2 - 1)$
$= 3(x^2 - 1) + 1$
$= 3x^2 - 3 + 1$
$= 3x^2 - 2$.

(B) माना कि चरघातांकीय फलन $f(x) = e^x$ है और लघुगणकीय फलन $g(x) = \log_e x$ है।
फलों के संयोजन की परिभाषा के अनुसार,$(fog)(x) = f(g(x))$ होता है।
हमें $(fog)(1) = f(g(1))$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $g(x) = \log_e x$,इसलिए $g(1) = \log_e 1 = 0$ है।
अब,$f(g(1)) = f(0) = e^0 = 1$ है।
चूंकि $\log_e e = 1$,इसलिए मान $\log_e e$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x) = e^{2x}$ और $g(x) = \log \sqrt{x}$ है।
$fog(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(g(x))$ की गणना करेंगे।
$fog(x) = f(g(x)) = e^{2g(x)}$.
$g(x) = \log \sqrt{x}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$fog(x) = e^{2 \log \sqrt{x}}$.
लघुगणक के गुणधर्म $a \log b = \log(b^a)$ का उपयोग करने पर:
$fog(x) = e^{\log(\sqrt{x})^2}$.
चूंकि $x > 0$ के लिए $(\sqrt{x})^2 = x$ होता है:
$fog(x) = e^{\log x}$.
$e^{\log_e x} = x$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$fog(x) = x$.

(C) फलनों का संयोजन $gof(x)$,$g(f(x))$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है कि $f(x) = |\cos x|$ और $g(x) = [x]$ है।
$f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(f(x)) = g(|\cos x|)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(x) = [x]$ है,इसलिए $x$ को $|\cos x|$ से बदलने पर हमें $[|\cos x|]$ प्राप्त होता है।
अतः,$gof(x) = [|\cos x|]$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + 1$ है।
$fof(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(f(x))$ की गणना करते हैं।
$fof(x) = f(f(x)) = f(x^2 + 1)$.
फलन $f(x)$ में $(x^2 + 1)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^2 + 1$.
सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ का उपयोग करके वर्ग का विस्तार करने पर:
$(x^2 + 1)^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) + 1$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^4 + 2x^2 + 2$.
अतः,$fof(x) = x^4 + 2x^2 + 2$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
सबसे पहले,$(fof)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)$ की गणना करें।
$= \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)^2}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{1 + x^2}}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{\sqrt{\frac{1 + x^2 + x^2}{1 + x^2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}$.
अब,$(fofof)(x) = f((fof)(x)) = f\left(\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}\right)$ की गणना करें।
$= \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}\right)^2}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{1 + 2x^2}}} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}}}{\sqrt{\frac{1 + 2x^2 + x^2}{1 + 2x^2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 + 3x^2}}$.

(C) दिए गए फलन $\phi(x) = x^2 + 1$ और $\psi(x) = 3^x$ हैं।
सबसे पहले,हम संयोजन $\phi \{ \psi(x) \}$ की गणना करते हैं:
$\phi \{ \psi(x) \} = \phi(3^x) = (3^x)^2 + 1 = 3^{2x} + 1$.
इसके बाद,हम संयोजन $\psi \{ \phi(x) \}$ की गणना करते हैं:
$\psi \{ \phi(x) \} = \psi(x^2 + 1) = 3^{x^2 + 1}$.
अतः,अभीष्ट मान $3^{2x} + 1$ और $3^{x^2 + 1}$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{2}g(f(x)) = 2x^2 - 5x + 2$,इसलिए $g(f(x)) = 4x^2 - 10x + 4$ होगा।
चूंकि $g(x) = x^2 + x - 2$,इसलिए $f(x)$ को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(f(x))^2 + f(x) - 2 = 4x^2 - 10x + 4$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(f(x))^2 + f(x) - (4x^2 - 10x + 6) = 0$ मिलता है।
यह $f(x)$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र $f(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-(4x^2 - 10x + 6))}}{2(1)}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16x^2 - 40x + 24}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{16x^2 - 40x + 25}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{(4x - 5)^2}}{2}$
$f(x) = \frac{-1 \pm (4x - 5)}{2}$।
धनात्मक मूल लेने पर,$f(x) = \frac{-1 + 4x - 5}{2} = \frac{4x - 6}{2} = 2x - 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $f(x) = \log_a x$ और $F(x) = a^x$ है।
$F[f(x)]$ ज्ञात करने के लिए,हम $F(x)$ में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करेंगे।
$F[f(x)] = F(\log_a x) = a^{\log_a x}$।
लघुगणक के नियम $a^{\log_a x} = x$ का उपयोग करने पर,हमें $F[f(x)] = x$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = \frac{x}{x + 1}$ और $g(x) = \frac{x}{1 - x}$ हैं।
$(fog)(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(g(x))$ की गणना करते हैं।
$(fog)(x) = f\left( \frac{x}{1 - x} \right)$
$f(x)$ में $g(x)$ का मान रखने पर:
$= \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x}{1 - x} + 1}$
$= \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x + (1 - x)}{1 - x}}$
$= \frac{x}{x + 1 - x}$
$= \frac{x}{1} = x$.
अतः,$(fog)(x) = x$ है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = (x + 1)^2$ और $g(x) = x^2 + 1$ हैं।
हमें $(fog)(-3)$ का मान ज्ञात करना है।
फलन के संयोजन की परिभाषा के अनुसार,$(fog)(x) = f(g(x))$ होता है।
सबसे पहले,$g(-3)$ की गणना करें:
$g(-3) = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
अब,इस मान को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करें:
$(fog)(-3) = f(g(-3)) = f(10)$.
चूंकि $f(x) = (x + 1)^2$,इसलिए:
$f(10) = (10 + 1)^2 = 11^2 = 121$.
अतः,$(fog)(-3) = 121$.

(B) दिया गया है कि $g(x) = 1 + \sqrt{x}$ और $f(g(x)) = 3 + 2\sqrt{x} + x$ है।
हम $f(g(x))$ के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(g(x)) = 1 + 2 + 2\sqrt{x} + x = 2 + (1 + 2\sqrt{x} + x) = 2 + (1 + \sqrt{x})^2$.
चूंकि $g(x) = 1 + \sqrt{x}$ है,हम $g(x)$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(g(x)) = 2 + (g(x))^2$.
इसलिए,$g(x)$ को $x$ से बदलने पर,हमें $f(x) = 2 + x^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए फलन $f:R \to R$ जहाँ $f(x) = \sin x$ और $g:R \to R$ जहाँ $g(x) = x^2$ है।
संयुक्त मानचित्रण की परिभाषा के अनुसार,$(fog)(x) = f(g(x))$ होता है।
$g(x)$ का मान रखने पर,हमें $(fog)(x) = f(x^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x) = \sin x$ है,इसलिए $f$ में $x^2$ प्रतिस्थापित करने पर $f(x^2) = \sin(x^2)$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुक्त मानचित्रण $(fog)(x) = \sin(x^2)$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = ax + b$ और $g(x) = cx + d$ है।
हमें $a = 1$ और $b = 2$ दिया गया है,इसलिए $f(x) = x + 2$ है।
अब,संयोजन $(fog)(x) = f(g(x)) = f(cx + d) = (cx + d) + 2 = cx + d + 2$ की गणना करें।
इसके बाद,संयोजन $(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = c(x + 2) + d = cx + 2c + d$ की गणना करें।
चूंकि सभी $x$ के लिए $(fog)(x) = (gof)(x)$ है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$cx + d + 2 = cx + 2c + d$।
दोनों पक्षों से $cx$ और $d$ घटाने पर,हमें $2 = 2c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $c = 1$ है।
चूंकि $d$ दोनों पक्षों से कट जाता है,इसलिए $d$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है (स्वेच्छ)।
अतः,$c = 1$ और $d$ स्वेच्छ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$.
हमें $\alpha$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $f(f(x)) = x$ हो।
सबसे पहले,$f(f(x)) = \frac{\alpha f(x)}{f(x) + 1}$ की गणना करें।
$f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(f(x)) = \frac{\alpha \left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right)}{\frac{\alpha x}{x + 1} + 1} = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x + 1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x + 1}} = \frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1}$.
हमें दिया गया है $f(f(x)) = x$,इसलिए:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$.
यदि $x \neq 0$ है,तो $\frac{\alpha^2}{(\alpha + 1)x + 1} = 1$.
$\alpha^2 = (\alpha + 1)x + 1$.
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए और अचर पद समान होने चाहिए:
$\alpha + 1 = 0 \implies \alpha = -1$.
अचर पद की जाँच करने पर: $\alpha^2 = 1$. यदि $\alpha = -1$ है,तो $(-1)^2 = 1$,जो सत्य है।
अतः,$\alpha$ का मान $-1$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 2}$।
सबसे पहले,$f(2)$ की गणना करें:
$f(2) = \frac{2(2) + 1}{3(2) - 2} = \frac{4 + 1}{6 - 2} = \frac{5}{4}$।
अब,$(fof)(2) = f(f(2)) = f\left(\frac{5}{4}\right)$ की गणना करें:
$f\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{2\left(\frac{5}{4}\right) + 1}{3\left(\frac{5}{4}\right) - 2} = \frac{\frac{5}{2} + 1}{\frac{15}{4} - 2} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{15 - 8}{4}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{4}} = \frac{7}{2} \times \frac{4}{7} = 2$।
अतः,$(fof)(2) = 2$।

(B) दिया गया है कि $f(x) = \sin^2 x$ और संयुक्त फलन $g(f(x)) = |\sin x|$ है।
संयुक्त फलन के व्यंजक में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$g(\sin^2 x) = |\sin x|$.
मान लीजिए $t = \sin^2 x$ है। चूंकि $\sin^2 x \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ प्राप्त होता है।
तब $|\sin x| = \sqrt{\sin^2 x} = \sqrt{t}$ होगा।
अतः,$t$ को $x$ से बदलने पर,हमें $g(x) = \sqrt{x}$ प्राप्त होता है,जहाँ $x \ge 0$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = (a - x^n)^{1/n}$।
$f[f(x)]$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को फलन $f$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f[f(x)] = (a - [f(x)]^n)^{1/n}$
$f(x)$ का मान रखने पर:
$f[f(x)] = (a - [(a - x^n)^{1/n}]^n)^{1/n}$
आंतरिक पद को सरल करने पर:
$f[f(x)] = (a - (a - x^n))^{1/n}$
$f[f(x)] = (a - a + x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = (x^n)^{1/n}$
$f[f(x)] = x$.

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\alpha x}{x + 1}$.
हमें $f(f(x))$ ज्ञात करना है:
$f(f(x)) = f\left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right) = \frac{\alpha \left( \frac{\alpha x}{x + 1} \right)}{\frac{\alpha x}{x + 1} + 1}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(f(x)) = \frac{\frac{\alpha^2 x}{x + 1}}{\frac{\alpha x + x + 1}{x + 1}} = \frac{\alpha^2 x}{\alpha x + x + 1}$
दिया गया है कि $f(f(x)) = x$,इसलिए:
$\frac{\alpha^2 x}{(\alpha + 1)x + 1} = x$
यदि हम $\alpha = -1$ रखते हैं,तो:
$f(f(x)) = \frac{(-1)^2 x}{(-1 + 1)x + 1} = \frac{x}{0 \cdot x + 1} = x$
अतः,$\alpha = -1$ सही मान है।

(B) दिया गया है $g(x) = 1 + x - [x]$.
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित है।
इसलिए,$g(x) = 1 + \{x\}$।
चूंकि $0 \le \{x\} < 1$,इसलिए $1 \le 1 + \{x\} < 2$ होता है।
अतः,$1 \le g(x) < 2$।
अब,हम $f(g(x))$ का मान ज्ञात करते हैं। चूंकि $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $g(x) > 0$ है,इसलिए हम $x > 0$ के लिए $f(x)$ की परिभाषा देखते हैं।
परिभाषा के अनुसार,$x > 0$ के लिए $f(x) = 1$ है।
चूंकि $g(x)$ हमेशा $[1, 2)$ अंतराल में है,जो $0$ से बड़ा है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f(g(x)) = 1$ होगा।

(A) $\lim_{x \to 0} g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $x \to 0$ होने पर $f(x)$ के व्यवहार की जाँच करते हैं।
चूँकि $x \to 0$ और $x \neq 0$,इसलिए $f(x) = \sin x$ है।
जैसे $x \to 0$,$f(x) = \sin x \to 0$।
माना $u = f(x)$। जैसे $x \to 0$,$u \to 0$।
सीमा $\lim_{u \to 0} g(u)$ में,हम $0$ के निकट के मानों पर विचार करते हैं लेकिन $u \neq 0$।
जब $u \neq 0$ और $u \neq 2$,तो $g(u) = u^2 + 1$ है।
इसलिए,$\lim_{u \to 0} g(u) = \lim_{u \to 0} (u^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$।
अतः,$\lim_{x \to 0} g(f(x)) = 1$।

(D) $\lim_{x \to 0} g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम वामपक्ष और दक्षिणपक्ष सीमा की जाँच करते हैं।
जब $x \to 0$,तो $x \ne 0$ है,इसलिए $f(x) = \sin x$ होगा।
जैसे $x \to 0$,$f(x) = \sin x \to 0$ होता है।
मान लीजिए $u = f(x)$ है। जैसे $x \to 0$,$u \to 0$ होता है,लेकिन $u \ne 0$ (क्योंकि $x$ के $0$ के निकट मानों के लिए $\sin x \ne 0$ है)।
अतः,$\lim_{x \to 0} g(f(x)) = \lim_{u \to 0} g(u)$ होगा।
चूँकि $u \to 0$ है लेकिन $u \ne 0$ है,हम $g(u) = u^2 + 1$ का उपयोग करेंगे।
इसलिए,$\lim_{u \to 0} (u^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$।

(D) दिया गया है कि $f(x) = |x|$ और $g(x) = |x|$ सभी $x \in R$ के लिए।
हमें $x$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $g(f(x)) \le f(g(x))$ हो।
फलन का मान रखने पर: $g(|x|) \le f(|x|)$।
चूंकि $g(x) = |x|$,इसलिए $g(|x|) = ||x|| = |x|$।
चूंकि $f(x) = |x|$,इसलिए $f(|x|) = ||x|| = |x|$।
असमिका इस प्रकार हो जाती है: $|x| \le |x|$।
यह असमिका सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए सत्य है क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर या उससे छोटी होती है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $R$ है।

(B) $(g \circ f)(x)$ का प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जो $f$ के प्रांत में हैं और $f(x)$,$g$ के प्रांत में है।
सबसे पहले,$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ का प्रांत ज्ञात करें।
$g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \ge 0$,जिसका अर्थ है $4x^2 - 4x - 3 \le 0$।
गुणनखंड करने पर: $(2x - 3)(2x + 1) \le 0$।
यह असमिका $x \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ के लिए सत्य है।
अब,हमें $f(x) \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right]$ की आवश्यकता है,इसलिए $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} - \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le \frac{3}{2}$।
सभी पदों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर: $-1 \le -\tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$।
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका बदल जाएगी): $-1 \le \tan \left( \frac{\pi x}{2} \right) \le 1$।
प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) लेने पर: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi x}{2} \le \frac{\pi}{4}$।
$\frac{\pi}{2}$ से भाग देने पर: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$।
चूंकि यह अंतराल $f$ के दिए गए प्रांत $(-1 < x < 1)$ के भीतर है,इसलिए $(g \circ f)$ का प्रांत $\left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin^2 x + \sin^2(x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} [2 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \cos(-\frac{\pi}{3})] + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos x \cos(x + \frac{\pi}{3})$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} [\cos(2x + \frac{\pi}{3}) + \cos(-\frac{\pi}{3})]$
$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{5}{4}$ है,इसलिए $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\frac{5}{4})$.
दिया गया है $g(\frac{5}{4}) = 1$,अतः $(g \circ f)(x) = 1$.

(A) दिया गया है: $g(f(x)) = |\sin x|$ और $f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$।
आइए विकल्प $A$ की जाँच करें: $f(x) = \sin^2 x$ और $g(x) = \sqrt{x}$।
चरण $1$: $g(f(x))$ की गणना करें।
$g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$। यह दी गई शर्त से मेल खाता है।
चरण $2$: $f(g(x))$ की गणना करें।
$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$। यह भी दी गई शर्त से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x) = 3x + 10$ और $g(x) = x^2 - 1$ है।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करें।
$(fog)(x) = 3(g(x)) + 10 = 3(x^2 - 1) + 10 = 3x^2 - 3 + 10 = 3x^2 + 7$।
मान लीजिए $y = (fog)(x) = 3x^2 + 7$ है।
प्रतिलोम फलन $(fog)^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$x$ को $y$ के पदों में हल करें:
$y = 3x^2 + 7$
$y - 7 = 3x^2$
$x^2 = \frac{y - 7}{3}$
$x = (\frac{y - 7}{3})^{1/2}$।
अब $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्रतिलोम फलन प्राप्त होता है:
$(fog)^{-1}(x) = (\frac{x - 7}{3})^{1/2}$।

(C) दिया गया है कि $f(x) = \frac{1}{1 - x}$ है।
सबसे पहले,$f\{ f(x)\} = f\left( \frac{1}{1 - x} \right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}} = \frac{1}{\frac{1 - x - 1}{1 - x}} = \frac{1 - x}{-x} = \frac{x - 1}{x}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$f[f\{ f(x)\} ] = f\left( \frac{x - 1}{x} \right) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}} = \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$ ज्ञात करें।
अतः,$f[f\{ f(x)\} ]$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{d}{dx}(x) = 1$ है।

(A) मान लीजिए $x_1, x_2$ प्रांत में इस प्रकार हैं कि $x_1 < x_2$ है।
चूंकि $g$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए हमारे पास $g(x_1) < g(x_2)$ है।
चूंकि $f$ एक वर्धमान फलन है और $g(x_1) < g(x_2)$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$ है।
इसका अर्थ है कि $(fog)(x_1) < (fog)(x_2)$ है।
अतः,$fog$ एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया है कि $f$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ है।
दिया गया है कि $g$ एक ह्रासमान फलन है,इसलिए $g'(x) \leq 0$ है।
हमारे पास $h(x) = f(g(x))$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f'(g(x)) \geq 0$ और $g'(x) \leq 0$ है,इसलिए उनका गुणनफल $h'(x) \leq 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $h(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $h(x)$ ह्रासमान है,इसलिए $x \geq 0$ के लिए $h(x) \leq h(0)$ होगा।
$h(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $h(x) \leq 0$ होगा।
हालाँकि,$h$ का सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $h(x) \geq 0$ है।
$h(x) \leq 0$ और $h(x) \geq 0$ को संयोजित करने पर,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी $x \in [0, \infty)$ के लिए $h(x) = 0$ है।
अतः,$h(x) - h(1) = 0 - 0 = 0$।

(A) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g'(x) < 0$ है,इसलिए $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$x < x+1$ के लिए $f(x) < f(x+1)$ होगा।
चूंकि $g(x)$ ह्रासमान है,असमिका का चिह्न बदल जाएगा: $g(f(x)) > g(f(x+1))$।
इसी प्रकार,$x-1 < x$ के लिए $f(x-1) < f(x)$ होगा,जिससे $g(f(x-1)) > g(f(x))$ प्राप्त होता है,अर्थात $g(f(x)) < g(f(x-1))$।
$f(g(x))$ के लिए,चूंकि $g(x)$ ह्रासमान है,$x < x+1$ के लिए $g(x) > g(x+1)$ होगा।
चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$f(g(x)) > f(g(x+1))$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) मान लीजिए कि $f$ एक वर्धमान फलन है और $g$ एक ह्रासमान फलन है।
संयुक्त फलन $(fog)(x) = f(g(x))$ पर विचार करें।
मान लीजिए $x_1 < x_2$ है।
चूंकि $g$ एक ह्रासमान फलन है, इसलिए $g(x_1) > g(x_2)$ होगा।
मान लीजिए $y_1 = g(x_1)$ और $y_2 = g(x_2)$ है। अतः $y_1 > y_2$ होगा।
चूंकि $f$ एक वर्धमान फलन है, इसलिए $f(y_1) \geq f(y_2)$ होगा (यदि $f$ निरंतर वर्धमान है तो $f(y_1) > f(y_2)$)।
अतः, $f(g(x_1)) \geq f(g(x_2))$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_1 < x_2$ का अर्थ है $(fog)(x_1) \geq (fog)(x_2)$, इसलिए $fog$ एक ह्रासमान फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x$ और $g(x) = \ln |x|$।
$fog(x) = f(g(x)) = \sin(\ln |x|)$ के लिए।
चूंकि $\ln |x|$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है,इसलिए $\sin(\ln |x|)$ का परिसर $[-1, 1]$ होगा। अतः,$R_1 = [-1, 1]$।
$gof(x) = g(f(x)) = \ln |\sin x|$ के लिए।
चूंकि $|\sin x|$ का परिसर $(0, 1]$ है,इसलिए $\ln |\sin x|$ का परिसर $(-\infty, 0]$ होगा। अतः,$R_2 = (-\infty, 0]$।
इसलिए,$R_1 = \{u: -1 \le u \le 1\}$ और $R_2 = \{v: -\infty < v \le 0\}$।

(C) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{1, 3, 5\}$।
$R = \{(a, b) : a \in A, b \in B, a < b\} = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 5)\}$।
$R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\} = \{(3, 1), (5, 1), (3, 2), (5, 2), (5, 3), (5, 4)\}$।
अब,$R \circ R^{-1}$ समुच्चय $B$ पर एक संबंध है जिसे $R \circ R^{-1} = \{(x, z) : \exists y \in A \text{ ताकि } (x, y) \in R^{-1} \text{ और } (y, z) \in R\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह $\{(x, z) : \exists y \in A \text{ ताकि } (y, x) \in R \text{ और } (y, z) \in R\}$ के बराबर है।
$x, z \in B$ के लिए,हम $(y, x) \in R$ और $(y, z) \in R$ के युग्मों की जाँच करते हैं:
यदि $x=3, z=3$: $y=1$ कार्य करता है क्योंकि $(1, 3) \in R$ है। इसलिए $(3, 3) \in R \circ R^{-1}$।
यदि $x=3, z=5$: $y=1$ कार्य करता है क्योंकि $(1, 3) \in R$ और $(1, 5) \in R$ है। इसलिए $(3, 5) \in R \circ R^{-1}$।
यदि $x=5, z=3$: $y=1$ कार्य करता है क्योंकि $(1, 5) \in R$ और $(1, 3) \in R$ है। इसलिए $(5, 3) \in R \circ R^{-1}$।
यदि $x=5, z=5$: $y=1$ कार्य करता है क्योंकि $(1, 5) \in R$ है। इसलिए $(5, 5) \in R \circ R^{-1}$।
अतः,$R \circ R^{-1} = \{(3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$।

(A) दिया गया है $R = \{(4, 5), (1, 4), (4, 6), (7, 6), (3, 7)\}$।
तब $R^{-1} = \{(5, 4), (4, 1), (6, 4), (6, 7), (7, 3)\}$।
$R^{-1} o R$ ज्ञात करने के लिए,हम ऐसे युग्म $(x, z)$ देखते हैं जिनके लिए कोई $y$ मौजूद हो जहाँ $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R^{-1}$ हो।
$1$. $(4, 5) \in R$ और $(5, 4) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(4, 4) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
$2$. $(1, 4) \in R$ और $(4, 1) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(1, 1) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
$3$. $(4, 6) \in R$ और $(6, 4) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(4, 4) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
$4$. $(4, 6) \in R$ और $(6, 7) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(4, 7) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
$5$. $(7, 6) \in R$ और $(6, 4) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(7, 4) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
$6$. $(7, 6) \in R$ और $(6, 7) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(7, 7) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
$7$. $(3, 7) \in R$ और $(7, 3) \in R^{-1}$ के लिए,हमें $(3, 3) \in R^{-1} o R$ प्राप्त होता है।
इन सबको मिलाने पर,$R^{-1} o R = \{(1, 1), (4, 4), (4, 7), (7, 4), (7, 7), (3, 3)\}$।

(C) संबंधों का संयोजन $R \circ S$ उन सभी युग्मों $(x, z)$ का समुच्चय है जिनके लिए $y \in A$ मौजूद है जहाँ $(x, y) \in S$ और $(y, z) \in R$ है।
दिया गया है $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$ और $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\}$।
हम $S$ के प्रत्येक अवयव $(x, y)$ की जाँच करते हैं:
$1$. $(2, 1) \in S$ के लिए,हम $(1, z) \in R$ देखते हैं। हमें $(1, 3) \in R$ प्राप्त होता है। अतः,$(2, 3) \in R \circ S$।
$2$. $(3, 2) \in S$ के लिए,हम $(2, z) \in R$ देखते हैं। हमें $(2, 2) \in R$ प्राप्त होता है। अतः,$(3, 2) \in R \circ S$।
$3$. $(2, 3) \in S$ के लिए,हम $(3, z) \in R$ देखते हैं। हमें $(3, 2) \in R$ प्राप्त होता है। अतः,$(2, 2) \in R \circ S$।
इन सबको मिलाने पर,$R \circ S = \{(2, 3), (3, 2), (2, 2)\}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें $\lim_{x \rightarrow 0} g(f(x))$ का मान ज्ञात करना है।
जैसे $x \rightarrow 0$,$x \neq n\pi$ जहाँ $n \neq 0$ है। अतः,$f(x) = \sin x$ है।
जैसे $x \rightarrow 0$,$f(x) = \sin x \rightarrow 0$ है।
चूँकि $f(x) \rightarrow 0$ है लेकिन $0$ के एक डिलीटेड नेबरहुड में $f(x) \neq 0$ है,इसलिए हम $u \rightarrow 0$ के लिए $g(u)$ की परिभाषा देखते हैं।
$u \neq 0, 2$ के लिए,$g(u) = u^2 + 1$ है।
इसलिए,$\lim_{u \rightarrow 0} g(u) = \lim_{u \rightarrow 0} (u^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$ है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} g(f(x)) = 1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x$ और $g(x) = \cos x$।
$1$. $f(g(x)) = \sin(\cos x)$ के लिए:
चूंकि $\cos(x + 2\pi) = \cos x$,इसलिए इसका आवर्तकाल $2\pi$ है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
$2$. $g(f(x)) = \cos(\sin x)$ के लिए:
चूंकि $\sin(x + \pi) = -\sin x$ और $\cos(-\theta) = \cos \theta$,इसलिए $\cos(\sin(x + \pi)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x)$। इसका आवर्तकाल $\pi$ है। अतः,कथन $B$ सत्य है।
$3$. $f(g(x))$ की समता की जाँच:
$f(g(-x)) = \sin(\cos(-x)) = \sin(\cos x) = f(g(x))$।
चूंकि $f(g(-x)) = f(g(x))$,इसलिए $f(g(x))$ एक सम फलन है। अतः,कथन $C$ असत्य है।
$4$. $g(f(x))$ की समता की जाँच:
$g(f(-x)) = \cos(\sin(-x)) = \cos(-\sin x) = \cos(\sin x) = g(f(x))$।
चूंकि $g(f(-x)) = g(f(x))$,इसलिए $g(f(x))$ एक सम फलन है। अतः,कथन $D$ सत्य है।
निष्कर्ष: कथन $C$ असत्य है।

(C) दिया गया है कि $f(g(x)) = x^3 + 3x^2 + 3x + 4$।
इसे हम $f(g(x)) = (x+1)^3 + 3$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $f(x) = (\ln x)^3 + 3$।
$f(g(x)) = (\ln g(x))^3 + 3$ की तुलना $f(g(x)) = (x+1)^3 + 3$ से करने पर,हमें $\ln g(x) = x+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$g(x) = e^{x+1}$।
$x = -1$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $g'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$g'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x+1}) = e^{x+1}$।
$x = -1$ पर,$g'(-1) = e^{-1+1} = e^0 = 1$।
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $1$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ 1 + x^2, & x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x) = 1 + x - [x]$.
चूंकि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है,इसलिए $g(x) = 1 + \{x\}$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$0 \leq \{x\} < 1$ होता है।
अतः,$1 \leq 1 + \{x\} < 2$,जिसका अर्थ है $1 \leq g(x) < 2$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(x) \geq 1$ है,इसलिए $f(g(x))$ का मान ज्ञात करने के लिए हम $x \geq 0$ के लिए $f(x)$ की परिभाषा का उपयोग करेंगे।
$f(g(x)) = 1 + (g(x))^2 = 1 + (1 + \{x\})^2$.
चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $1 \leq 1 + \{x\} < 2$ है।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $1^2 \leq (1 + \{x\})^2 < 2^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 \leq (1 + \{x\})^2 < 4$ है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 + 1 \leq 1 + (1 + \{x\})^2 < 1 + 4$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$2 \leq f(g(x)) < 5$ है।
$f(g(x))$ का परिसर $[2, 5)$ है।

(D) दिया गया है कि $g(x) = x - \frac{1}{x}$ और $(f \circ g)(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ है।
हम जानते हैं कि $(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x})$ होता है।
अतः,$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x})$ होगा।
$g(x) = t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(t) = t^3 + 3t$ प्राप्त होता है।
अब,$f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t) = 3t^2 + 3$ प्राप्त होता है।
$f'(1)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$t = 1$ रखने पर:
$f'(1) = 3(1)^2 + 3 = 3 + 3 = 6$।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$ जहाँ $x \neq 0$ और $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ जहाँ $x > 0$.
$1$. $f(g(x))$ ज्ञात करें:
$f(g(x)) = f\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{1/\sqrt{x}} = \sqrt{x}$.
$f(g(x))$ का प्रांत $x > 0$ है क्योंकि $\sqrt{x}$ का मान $x \geq 0$ के लिए परिभाषित है और $g(x)$ के लिए $x > 0$ आवश्यक है।
$2$. $g(f(x))$ ज्ञात करें:
$g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{1/x}} = \sqrt{x}$.
$g(f(x))$ का प्रांत $x > 0$ है क्योंकि $f(x)$ के लिए $x \neq 0$ आवश्यक है और $\sqrt{1/x}$ के लिए $1/x > 0$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x > 0$.
चूंकि $f(g(x)) = \sqrt{x}$ और $g(f(x)) = \sqrt{x}$ दोनों का प्रांत $(0, \infty)$ समान है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।