Domain and Range Questions in Hindi

(A) संबंध $R$ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ पर समीकरण $x + 2y = 8$ द्वारा परिभाषित है।
इसे $x = 8 - 2y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $x \in N$,इसलिए $x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $8 - 2y > 0$,यानी $2y < 8$,या $y < 4$।
चूंकि $y \in N$,इसलिए $y$ के संभावित मान $1, 2, 3$ हैं।
अब,प्रत्येक $y$ के लिए $x$ के मान ज्ञात करते हैं:
यदि $y = 1$ है,तो $x = 8 - 2(1) = 6$।
यदि $y = 2$ है,तो $x = 8 - 2(2) = 4$।
यदि $y = 3$ है,तो $x = 8 - 2(3) = 2$।
अतः,संबंध $R$ क्रमित युग्मों का समुच्चय है: $R = \{(6, 1), (4, 2), (2, 3)\}$।
$R$ का प्रांत उन सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय है जो $R$ में हैं।
इसलिए,प्रांत $\{2, 4, 6\}$ है।

(C) संबंध $R$ को $x^2 + y^2 \le 4$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $x, y \in Z$ है।
प्रांत उन सभी $x$ का समुच्चय है जिनके लिए कम से कम एक $y \in Z$ मौजूद है ताकि $x^2 + y^2 \le 4$ हो।
यदि $x = 0$,तो $0^2 + y^2 \le 4 \implies y^2 \le 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$।
यदि $x = 1$,तो $1^2 + y^2 \le 4 \implies y^2 \le 3 \implies y \in \{-1, 0, 1\}$।
यदि $x = -1$,तो $(-1)^2 + y^2 \le 4 \implies y^2 \le 3 \implies y \in \{-1, 0, 1\}$।
यदि $x = 2$,तो $2^2 + y^2 \le 4 \implies 4 + y^2 \le 4 \implies y^2 \le 0 \implies y = 0$।
यदि $x = -2$,तो $(-2)^2 + y^2 \le 4 \implies 4 + y^2 \le 4 \implies y^2 \le 0 \implies y = 0$।
यदि $|x| > 2$,तो $x^2 > 4$,जिसका अर्थ है कि $x^2 + y^2 \le 4$ के लिए कोई पूर्णांक $y$ संभव नहीं है।
अतः,प्रांत के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ है।

(A) सबसे पहले,अंश और हर का गुणनखंड करें:
$f(x) = \frac{e^x \ln x \cdot 5^{(x^2 + 2)}(x - 2)(x - 5)}{(2x - 3)(x - 4)}$
ध्यान दें कि $\ln x$ के कारण फलन $x > 0$ के लिए परिभाषित है और $x \neq \frac{3}{2}, x \neq 4$ है।
अंतराल $\left( \frac{3}{2}, 4 \right)$ में फलन सतत है।
सीमाओं पर सीमा (limit) का मूल्यांकन करने पर:
$x \to (3/2)^+$ के लिए,हर $(2x-3)$ धनात्मक $(0^+)$ है और $(x-4)$ ऋणात्मक है।
अंश: $e^x$ धनात्मक है,$\ln x$ धनात्मक है,$5^{(x^2+2)}$ धनात्मक है,$(x-2)$ ऋणात्मक है,$(x-5)$ ऋणात्मक है।
अतः,$\frac{(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-)}{(+) \cdot (-)} = \frac{+}{-} = -\infty$.
$x \to 4^-$ के लिए,हर $(2x-3)$ धनात्मक है,$(x-4)$ ऋणात्मक $(0^-)$ है।
अंश: $e^x$ धनात्मक है,$\ln x$ धनात्मक है,$5^{(x^2+2)}$ धनात्मक है,$(x-2)$ धनात्मक है,$(x-5)$ ऋणात्मक है।
अतः,$\frac{(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-)}{(+) \cdot (0^-)} = \frac{-}{-} = \infty$.
चूंकि फलन $\left( \frac{3}{2}, 4 \right)$ पर सतत है और $-\infty$ से $\infty$ तक के सभी मान लेता है,इसलिए परिसर $(-\infty, \infty)$ है।

(C) फलन $f(x) = \frac{\cot^{-1} x}{\sqrt{x^2 - [x^2]}}$ को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए और वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए।
$1$. वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $x^2 - [x^2]$ है,जो $x^2$ का भिन्नात्मक भाग है,जिसे $\{x^2\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$2$. वर्गमूल के परिभाषित होने और शून्य न होने की शर्त $\{x^2\} > 0$ है।
$3$. हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$0 \le \{y\} < 1$ होता है। अतः,$\{x^2\} > 0$ का अर्थ है $\{x^2\} \neq 0$.
$4$. भिन्नात्मक भाग $\{x^2\} = 0$ तभी होता है जब $x^2$ एक पूर्णांक हो,अर्थात $x^2 = n$,जहाँ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ है।
$5$. इसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{n}$,जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ है।
$6$. इसलिए,प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय उन मानों के जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,जो $R - \{\pm \sqrt{n} : n \in I^+ \cup \{0\}\}$ है।

(A) मान लीजिए $\tan x = t$. चूँकि $x \in [0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $t \in [0, \infty)$.
$f(x) = \frac{t^n}{1 + t + t^2 + \dots + t^{2n}}$.
$t=0$ के लिए,$f(x) = 0$.
$t > 0$ के लिए,अंश और हर को $t^n$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \frac{1}{t^n + t^{n-1} + \dots + 1 + \dots + \frac{1}{t^{n-1}} + \frac{1}{t^n}}$.
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,$t > 0$ के लिए $t^k + \frac{1}{t^k} \ge 2$.
अतः,हर $\ge 2 + 2 + \dots + 2 + 1 = 2n + 1$.
इसलिए,$f(x) \le \frac{1}{2n+1}$.
समानता तब होती है जब $t=1$,अर्थात $x = \frac{\pi}{4}$.
चूँकि $f(0) = 0$ और अधिकतम मान $\frac{1}{2n+1}$ है,परिसर $[0, \frac{1}{2n+1}]$ है।
चूँकि $n \in N$,$2n+1 \ge 3$,इसलिए $\frac{1}{2n+1} < 1$. परिसर $[0, \frac{1}{2n+1}]$ में केवल एक पूर्णांक $0$ है। अतः,इसमें ठीक एक पूर्णांक बिंदु है।

(C) फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ को परिभाषित होने के लिए,आधार धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $1 + \frac{1}{x} > 0$।
असमानता को हल करने पर: $\frac{x+1}{x} > 0$।
साइन स्कीम विधि का उपयोग करके,हम $x = -1$ और $x = 0$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त करते हैं।
व्यंजक $\frac{x+1}{x}$ अंतराल $(-\infty, -1)$ और $(0, \infty)$ में धनात्मक है।
अतः,फलन का प्रांत $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ है।

(A) माना $y = (1 + \frac{1}{x})^x$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
जब $x \to \infty$,तब $\ln(y) = x(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = 1 - \frac{1}{2x} + \dots \to 1$,अतः $y \to e$.
जब $x \to -\infty$,तब $\ln(y) = x(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = 1 - \frac{1}{2x} + \dots \to 1$,अतः $y \to e$.
जब $x \to 0^+$,तब $\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \to 0 \cdot \infty$. $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x} = \lim_{t \to \infty} \frac{\ln(1+t)}{t} = 0$,अतः $y \to e^0 = 1$.
अवकलज $f'(x) = f(x) [\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}]$ का विश्लेषण करने पर,फलन $(-\infty, -1)$ और $(0, \infty)$ पर वर्धमान है।
अतः,फलन का परिसर $(1, e)$ है।

(A) $f(x) = \sqrt{\ln(2\lambda \cos x + 5)}$ के सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित होने हेतु, $\ln(2\lambda \cos x + 5) \geq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2\lambda \cos x + 5 \geq 1$, अर्थात $\lambda \cos x \geq -2$।
यदि $\lambda > 0$ है, तो $-\lambda \geq -2 \implies \lambda \leq 2$। अतः $\lambda \in \{1, 2\}$।
यदि $\lambda < 0$ है, तो $\lambda \geq -2$। अतः $\lambda \in \{-1, -2\}$।
यदि $\lambda = 0$ है, तो $\ln(5) \geq 0$ जो सत्य है।
अतः, $\lambda$ के संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
कुल संख्या $5$ है।

(C) माना $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ और $g(x) = 3x^3$ है।
वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन का विश्लेषण करते हैं।
फलन $f(x)$ के $x = 0$,$x = 1$,और $x = 2$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptotes) हैं।
$f(x)$ और त्रिघात फलन $g(x) = 3x^3$ का ग्राफ खींचने पर,हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं का अवलोकन करते हैं।
जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है,वक्र $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,समीकरण के $4$ वास्तविक मूल हैं,इसलिए $k = 4$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + |x|}$ है।
चूंकि $\sqrt{1 - x^2}$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है,हम $x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जहाँ $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$.
तब $|x| = |\sin \theta|$ और $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = |\cos \theta|$.
अतः,$f(x) = \frac{|\cos \theta|}{1 + |\sin \theta|}$.
माना $t = |\sin \theta|$,जहाँ $t \in [0, 1]$. तब $|\cos \theta| = \sqrt{1 - t^2}$.
इस प्रकार,$y = \frac{\sqrt{1 - t^2}}{1 + t} = \frac{\sqrt{(1 - t)(1 + t)}}{1 + t} = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$.
जैसे-जैसे $t$,$0$ से $1$ तक बढ़ता है,व्यंजक $\frac{1 - t}{1 + t}$,$1$ से $0$ तक घटता है।
इसलिए,$y = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$ का परिसर $[0, 1]$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{4 - x^2}{[x] + 2}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\frac{4 - x^2}{[x] + 2} \geq 0$ और $[x] + 2 > 0$।
इसका अर्थ है $4 - x^2 \geq 0$ और $[x] > -2$।
$x^2 \leq 4 \Rightarrow x \in [-2, 2]$।
$[x] > -2 \Rightarrow x \geq -1$।
सर्वनिष्ठ (Intersection): $x \in [-1, 2]$।
स्थिति $2$: $\frac{4 - x^2}{[x] + 2} \geq 0$ और $[x] + 2 < 0$।
इसका अर्थ है $4 - x^2 \leq 0$ और $[x] < -2$।
$x^2 \geq 4 \Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$।
$[x] < -2 \Rightarrow x < -2$।
सर्वनिष्ठ (Intersection): $x \in (-\infty, -2)$।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,प्रांत $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$\frac{10x - 4}{4 - x^2} > 0 \Rightarrow \frac{2(5x - 2)}{(2 - x)(2 + x)} > 0 \Rightarrow \frac{5x - 2}{(x - 2)(x + 2)} < 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,इस असमिका का हल $x \in \left( -\infty, -2 \right) \cup \left( 0.4, 2 \right)$ है।
$2$. वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\log_2\left(\frac{10x - 4}{4 - x^2}\right) - 1 \geq 0 \Rightarrow \log_2\left(\frac{10x - 4}{4 - x^2}\right) \geq 1$
$\Rightarrow \frac{10x - 4}{4 - x^2} \geq 2^1 \Rightarrow \frac{10x - 4}{4 - x^2} - 2 \geq 0$
$\Rightarrow \frac{10x - 4 - 2(4 - x^2)}{4 - x^2} \geq 0 \Rightarrow \frac{10x - 4 - 8 + 2x^2}{4 - x^2} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{2x^2 + 10x - 12}{4 - x^2} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(x^2 + 5x - 6)}{-(x^2 - 4)} \geq 0$
$\Rightarrow \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0$
$\frac{(x + 6)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0$ के लिए वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,अंतराल $\left[ -6, -2 \right) \cup \left[ 1, 2 \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह अंतराल पहली शर्त का उपसमुच्चय है,इसलिए अंतिम प्रांत $\left[ -6, -2 \right) \cup \left[ 1, 2 \right)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos(\pi(|x| + 2[x]))$.
चूँकि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\cos(2n\pi + \theta) = \cos(\theta)$ होता है,और $2[x]$ एक पूर्णांक है,इसलिए:
$f(x) = \cos(2\pi[x] + \pi|x|) = \cos(\pi|x|)$.
अब,सम/विषम गुण की जाँच करने पर:
$f(-x) = \cos(\pi|-x|) = \cos(\pi|x|) = f(x)$.
चूँकि $f(-x) = f(x)$,फलन एक सम फलन है।
आवर्तकाल के बारे में,$f(x) = \cos(\pi|x|)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 2$ है।
परिसर के बारे में,चूँकि $\cos(\theta)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए $f(x) = \cos(\pi|x|)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
$f(x) = |f(x)|$ के बारे में,यह केवल तभी सत्य है जब $f(x) \geq 0$ हो,जो सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए,$x = 1$ पर,$f(1) = \cos(\pi) = -1$)।
अतः,सही कथन यह है कि $f(x)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।

(C) दिया गया अंतराल $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $-\frac{3.14}{4} < x < \frac{3.14}{4}$,जिसका अर्थ है $-0.785 < x < 0.785$।
महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ का मान $x$ के अंतराल के आधार पर होता है:
$-0.785 < x < 0$ के लिए,$[x] = -1$।
$0 \le x < 0.785$ के लिए,$[x] = 0$।
अतः,$[x]$ के संभावित मान $\{-1, 0\}$ हैं।
अब,इन मानों को $f(x) = \cos[x]$ में प्रतिस्थापित करने पर:
यदि $[x] = -1$ है,तो $f(x) = \cos(-1) = \cos 1$।
यदि $[x] = 0$ है,तो $f(x) = \cos 0 = 1$।
इसलिए,फलन का परिसर $\{\cos 1, 1\}$ है।

(B) फलन $f(x) = \log|5\{x\} - 2x|$ तब परिभाषित होता है जब $5\{x\} - 2x \neq 0$ हो।
हमें $x$ के उन मानों को ज्ञात करना है जिनके लिए $5\{x\} - 2x = 0$ है।
हम जानते हैं कि $x = [x] + \{x\}$,इसलिए $\{x\} = x - [x]$।
इसे समीकरण में रखने पर: $5(x - [x]) - 2x = 0$।
$5x - 5[x] - 2x = 0 \Rightarrow 3x = 5[x] \Rightarrow [x] = \frac{3x}{5}$।
चूंकि $[x]$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\frac{3x}{5}$ को भी एक पूर्णांक होना चाहिए। मान लीजिए $\frac{3x}{5} = k$,जहाँ $k \in Z$ है। तो $x = \frac{5k}{3}$।
साथ ही,हम जानते हैं कि $k \le x < k+1$।
$x = \frac{5k}{3}$ रखने पर: $k \le \frac{5k}{3} < k+1$।
$3k \le 5k < 3k + 3$।
$3k \le 5k$ से,हमें $2k \ge 0 \Rightarrow k \ge 0$ प्राप्त होता है।
$5k < 3k + 3$ से,हमें $2k < 3 \Rightarrow k < 1.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k$ का मान $0$ या $1$ हो सकता है।
यदि $k = 0$,तो $x = \frac{5(0)}{3} = 0$।
यदि $k = 1$,तो $x = \frac{5(1)}{3} = \frac{5}{3}$।
अतः,समुच्चय $A = \{0, \frac{5}{3}\}$ है।
इसलिए अवयवों की संख्या $n(A) = 2$ है।

(C) $f(x) = \frac{(x + 1)^4}{x^4 + 1}$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित देखते हैं:
$1$. चूंकि $(x+1)^4 \geq 0$ और सभी $x \in R$ के लिए $x^4 + 1 > 0$ है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $0$ है (जब $x = -1$ हो)।
$2$. अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पावर मीन असमिका या जेन्सेन की असमिका का उपयोग करते हैं। उत्तल फलन $g(t) = t^4$ के लिए,जेन्सेन की असमिका के अनुसार:
$\frac{g(x) + g(1)}{2} \geq g\left(\frac{x+1}{2}\right)$
$\frac{x^4 + 1}{2} \geq \left(\frac{x+1}{2}\right)^4 = \frac{(x+1)^4}{16}$
$3$. असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{(x+1)^4}{x^4 + 1} \leq \frac{16}{2} = 8$
$4$. अतः,फलन का परिसर $[0, 8]$ है।

(C) $f(x)$ का प्रांत (domain) इन शर्तों द्वारा निर्धारित होता है: $(x + 4)(1 - x) \ge 0$ और $x > 0$।
इसका अर्थ है $x \in [-4, 1]$ और $x > 0$,अतः प्रांत $x \in (0, 1]$ है।
हमारे पास $f(x) = \sqrt{-x^2 - 3x + 4} + \log_{1/2} x$ है।
चूंकि $\sqrt{-x^2 - 3x + 4}$ अंतराल $(0, 1]$ पर एक ह्रासमान (decreasing) फलन है और $\log_{1/2} x$ भी $(0, 1]$ पर एक ह्रासमान फलन है,इसलिए उनका योग $f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
जैसे-जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$ होता है।
$x = 1$ पर,$f(1) = \sqrt{(1 + 4)(1 - 1)} - \log_2 1 = 0 - 0 = 0$।
चूंकि फलन $(0, 1]$ पर निरंतर ह्रासमान है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है।
परिसर $[0, \infty)$ में सबसे छोटा पूर्णांक $0$ है।

(B) $f(x) = \sum_{r=1}^n r + \sum_{r=1}^n [\cos(\frac{x}{r})]$.
चूंकि $r$ एक पूर्णांक है,$[r + \cos(\frac{x}{r})] = r + [\cos(\frac{x}{r})]$.
$f(x) = \frac{n(n+1)}{2} + \sum_{r=1}^n [\cos(\frac{x}{r})]$.
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$0 \le \frac{x}{r} \le \pi$. अतः,$\cos(\frac{x}{r}) \in [-1, 1]$.
यदि $x=0$,तो सभी $r$ के लिए $\cos(\frac{x}{r}) = 1$,इसलिए $[\cos(\frac{x}{r})] = 1$. अतः,$f(0) = \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n^2+3n}{2}$.
यदि $x \in (0, \pi]$,तो $\cos(\frac{x}{r}) < 1$,इसलिए $[\cos(\frac{x}{r})] \le 0$.
यदि $x = \frac{\pi}{2}$,तो सभी $r \ge 1$ के लिए $\cos(\frac{\pi}{2r}) \ge 0$,इसलिए $[\cos(\frac{\pi}{2r})] = 0$. अतः,$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{n(n+1)}{2}$.
यदि $x = \pi$,तो $r=1$ के लिए $\cos(\frac{\pi}{r}) = -1$ और $r > 1$ के लिए $\cos(\frac{\pi}{r}) \in (-1, 1)$. अतः,$[\cos(\pi)] = -1$ और $r > 1$ के लिए $[\cos(\frac{\pi}{r})] = 0$. अतः,$f(\pi) = \frac{n(n+1)}{2} - 1 = \frac{n^2+n-2}{2}$.
अतः,परिसर $\{\frac{n^2+n-2}{2}, \frac{n^2+n}{2}, \frac{n^2+3n}{2}\}$ है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
अतः,$-1 \leq \sin x \leq 1$ है।
$-3$ से गुणा करने पर,हमें $-3 \leq -3 \sin x \leq 3$ प्राप्त होता है।
सभी पदों में $2$ जोड़ने पर,$2 - 3 \leq 2 - 3 \sin x \leq 2 + 3$,जो सरल होकर $-1 \leq 2 - 3 \sin x \leq 5$ हो जाता है।
अब,फलन $f(x) = \frac{1}{2 - 3 \sin x}$ पर विचार करें।
चूंकि $2 - 3 \sin x$ का मान $[-1, 5]$ के बीच होता है (शून्य को छोड़कर,जहाँ फलन अपरिभाषित है),हम अंतरालों का विश्लेषण करते हैं।
जब $2 - 3 \sin x \in [-1, 0)$ होता है,तो $\frac{1}{2 - 3 \sin x}$ का मान $(-\infty, -1]$ में होता है।
जब $2 - 3 \sin x \in (0, 5]$ होता है,तो $\frac{1}{2 - 3 \sin x}$ का मान $[1/5, \infty)$ में होता है।
अतः,फलन का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1/5, \infty)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 3 - x^2$ जहाँ $1 \le x \le 4$ है।
फलन $f(2x)$ के लिए,हम $x$ के स्थान पर $2x$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(2x) = 3 - (2x)^2 = 3 - 4x^2$.
$f(x)$ के लिए शर्त $1 \le x \le 4$ यह दर्शाती है कि $f(2x)$ के लिए,तर्क $2x$ को $1 \le 2x \le 4$ को संतुष्ट करना चाहिए,जो सरल होकर $\frac{1}{2} \le x \le 2$ हो जाता है।
लघुगणकीय फलन $\log_e(f(2x))$ को परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क धनात्मक होना चाहिए:
$f(2x) > 0 \implies 3 - 4x^2 > 0$.
$4x^2 < 3 \implies x^2 < \frac{3}{4} \implies |x| < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
प्रांत की सीमा के अनुसार $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $0 \le x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
शर्तों $\frac{1}{2} \le x \le 2$ और $x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ को संयोजित करने पर,हमें प्रतिच्छेदन प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \le x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,प्रांत $[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ है।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{\ln(m\sin x + 4)}$ को सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\ln(m\sin x + 4) \ge 0$।
इसका अर्थ है $m\sin x + 4 \ge e^0$,जो सरल होकर $m\sin x + 4 \ge 1$ हो जाता है।
अतः,$m\sin x \ge -3$।
चूंकि प्रांत $R$ है,यह असमिका सभी $x \in R$ के लिए सत्य होनी चाहिए। $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
यदि $m > 0$ है,तो $m\sin x$ का न्यूनतम मान $-m$ है,इसलिए $-m \ge -3 \Rightarrow m \le 3$।
यदि $m < 0$ है,तो $m\sin x$ का न्यूनतम मान $m$ है,इसलिए $m \ge -3$।
यदि $m = 0$ है,तो $0 \ge -3$,जो सत्य है।
इन सबको मिलाने पर,$m \in [-3, 3]$ प्राप्त होता है।
$m$ के पूर्णांक मान $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $7$ संभावित पूर्णांक मान हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{2x^4-14x^2-8x+49}{x^4-7x^2-4x+23}$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2(x^4-7x^2-4x+23) + 3 = 2x^4-14x^2-8x+46+3 = 2x^4-14x^2-8x+49$.
अतः,$f(x) = \frac{2(x^4-7x^2-4x+23) + 3}{x^4-7x^2-4x+23} = 2 + \frac{3}{x^4-7x^2-4x+23}$.
माना $h(x) = x^4-7x^2-4x+23$.
$h(x)$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$h(x) = (x^2-4)^2 + (x-2)^2 + 3$.
चूंकि $(x^2-4)^2 \geq 0$ और $(x-2)^2 \geq 0$,इसलिए $h(x)$ का न्यूनतम मान $3$ है (जब $x=2$ हो)।
अतः,$h(x)$ का परिसर $[3, \infty)$ है।
अब,$f(x) = 2 + \frac{3}{h(x)}$.
जैसे $h(x) \in [3, \infty)$,वैसे ही $\frac{3}{h(x)} \in (0, 1]$.
इसलिए,$f(x) \in (2+0, 2+1] = (2, 3]$.
$(2, 3]$ की तुलना $(a, b]$ से करने पर,हमें $a=2$ और $b=3$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 2+3 = 5$.

(C) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$(x + 1)(e^x - 1)(x - 4)(x + 5)(x - 6) > 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करें:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
$e^x - 1 = 0 \implies x = 0$
$x - 4 = 0 \implies x = 4$
$x + 5 = 0 \implies x = -5$
$x - 6 = 0 \implies x = 6$
क्रांतिक बिंदु $\{-5, -1, 0, 4, 6\}$ हैं।
इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें: $-5, -1, 0, 4, 6$.
वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करते हुए:
$x > 6$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$4 < x < 6$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$0 < x < 4$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$-1 < x < 0$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$-5 < x < -1$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$x < -5$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
चूंकि हमें व्यंजक को शून्य से बड़ा चाहिए,इसलिए प्रांत उन अंतरालों का संघ है जहाँ व्यंजक धनात्मक है:
$x \in (-5, -1) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$.

(D) दिया गया फलन $y = \frac{|x-x^2|}{x^2-x}$ है।
सबसे पहले,मापांक के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं: $x-x^2 = -x(x-1)$.
अतः,$|x-x^2| = |-x(x-1)| = |x| \cdot |x-1|$.
हर $x^2-x = x(x-1)$ है।
इसलिए,$y = \frac{|x| \cdot |x-1|}{x(x-1)}$.
यह फलन $x \neq 0$ और $x \neq 1$ के लिए परिभाषित है।
स्थिति $1$: यदि $x > 1$ है,तो $x > 0$ और $x-1 > 0$ है। अतः,$|x| = x$ और $|x-1| = x-1$.
$y = \frac{x(x-1)}{x(x-1)} = 1$.
स्थिति $2$: यदि $0 < x < 1$ है,तो $x > 0$ और $x-1 < 0$ है। अतः,$|x| = x$ और $|x-1| = -(x-1)$.
$y = \frac{x \cdot -(x-1)}{x(x-1)} = -1$.
स्थिति $3$: यदि $x < 0$ है,तो $x < 0$ और $x-1 < 0$ है। अतः,$|x| = -x$ और $|x-1| = -(x-1)$.
$y = \frac{-x \cdot -(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x(x-1)}{x(x-1)} = 1$.
इस प्रकार,फलन $x < 0$ या $x > 1$ के लिए $y = 1$ है,और $0 < x < 1$ के लिए $y = -1$ है। बिंदु $x=0$ और $x=1$ प्रांत से बाहर हैं।

(D) मान लीजिए $f_n(x)$ वह फलन है जिसमें $n$ लघुगणक हैं।
$n=1$ के लिए,$f_1(x) = \log_{10}(x)$। प्रांत $x > 0$ है,अर्थात $(0, \infty) = (10^0, \infty)$।
$n=2$ के लिए,$f_2(x) = \log_{10}(\log_{10}(x))$। हमें $\log_{10}(x) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x > 10^0 = 1$।
$n=3$ के लिए,$f_3(x) = \log_{10}(\log_{10}(\log_{10}(x)))$। हमें $\log_{10}(\log_{10}(x)) > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\log_{10}(x) > 10^0 = 1$,अर्थात $x > 10^1 = 10$।
इस पैटर्न के अनुसार,$n$ लघुगणकों के लिए प्रांत $(10^{n-2}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = 2^{(x^2 - 3)^3+27}$.
$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें घातांक $g(x) = (x^2 - 3)^3 + 27$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
चूँकि फलन $h(u) = u^3$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,इसलिए $(x^2 - 3)^3$ का परिसर $x^2 - 3$ के परिसर पर निर्भर करता है।
हम जानते हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$,इसलिए $x^2 - 3 \ge -3$.
माना $u = x^2 - 3$. तो $u \in [-3, \infty)$.
फलन $g(u) = u^3 + 27$,$u \in [-3, \infty)$ के लिए निरंतर वर्धमान है।
$g(u)$ का न्यूनतम मान $u$ के सबसे छोटे मान पर प्राप्त होता है,जो $u = -3$ है।
अतः,$g_{min} = (-3)^3 + 27 = -27 + 27 = 0$.
इसलिए,$f(x) = 2^{g(x)}$ का न्यूनतम मान $2^0 = 1$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1$ है।
हम इस व्यंजक को $2$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) + 1$
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + 1$
हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसलिए,$2 \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$ का परिसर $[-2, 2]$ होगा।
पूरे परिसर में $1$ जोड़ने पर,हमें $f(x)$ का परिसर $[-2 + 1, 2 + 1] = [-1, 3]$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन आच्छादक है,इसलिए सह-प्रांत $S$ फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$S = [-1, 3]$।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) फलन $f(x) = [\sin x] \cos \left( \frac{\pi}{[x - 1]} \right)$ को परिभाषित होने के लिए,कोसाइन फलन के अंदर का हर शून्य नहीं होना चाहिए।
अतः,$[x - 1] \neq 0$ होना चाहिए।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$[x - 1] = 0$ तब होता है जब $0 \leq x - 1 < 1$ हो।
असमिका के सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \leq x < 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फलन $x \in [1, 2)$ के लिए अपरिभाषित है।
अतः,फलन का प्रांत $[1, 2)$ अंतराल को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जिसे $R - [1, 2)$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) हम जानते हैं कि व्यंजक $\cos x + \sin x$ को $\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\sin(x + \frac{\pi}{4})$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos x + \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
दिया गया है कि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $\cos x + \sin x$ का परिसर लगभग $[-1.414, 1.414]$ है।
फलन $f(x) = [\cos x + \sin x]$ अंतराल $[-1.414, 1.414]$ में मानों का महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ दर्शाता है।
इस अंतराल में निहित पूर्णांक $\{-1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,$f(x)$ का परिसर $\{-1, 0, 1\}$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ जहाँ $x \in R$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा।
$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$।
जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$1 + x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 + x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।
अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है। इसलिए,$x \ge 0$ के लिए परिसर $[0, 1)$ है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होगा।
$f(x) = \frac{x}{1 - x} = \frac{-(1 - x) + 1}{1 - x} = -1 + \frac{1}{1 - x}$।
जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $-\infty$ तक घटता है,$1 - x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 - x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।
अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $-1$ तक घटता है। इसलिए,$x < 0$ के लिए परिसर $(-1, 0)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,फलन का परिसर $(-1, 0) \cup [0, 1) = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(x^2 + 1) = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $yx^2 - x + y = 0$ है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$,$0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) \ge 0$ है।
$1 - 4y^2 \ge 0$ है।
$4y^2 \le 1$,जिसका अर्थ है $y^2 \le \frac{1}{4}$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $|y| \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y \in [ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ है।
अतः,$f$ का परिसर $[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2}{1 - x^2}$.
हमें $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करना है।
$y(1 - x^2) = x^2$
$y - yx^2 = x^2$
$y = x^2(1 + y)$
$x^2 = \frac{y}{1 + y}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $\frac{y}{1 + y} \ge 0$ होना चाहिए।
असमिका के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,हमें $y \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x^2 = \frac{y}{1 + y} \neq 1$ (क्योंकि $x \neq \pm 1$),इसलिए $\frac{y}{1 + y} \neq 1 \implies y \neq y + 1$,जो हमेशा सत्य है।
अतः,परिसर $R - [-1, 0)$ है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत (codomain) $A$ को परिसर के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$A = R - [-1, 0)$.

(C) फलन $f(x) = \frac{1}{4 - x^2} + \log(x^3 - x)$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,दो शर्तों को एक साथ पूरा करना होगा:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
असमिका का गुणनखंड करने पर: $x(x^2 - 1) > 0 \implies x(x - 1)(x + 1) > 0$.
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,$x(x - 1)(x + 1) > 0$ का हल $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है।
अब,हमें उन बिंदुओं को बाहर करना होगा जहाँ हर शून्य है ($x = 2$ और $x = -2$)।
चूंकि $x = -2$ अंतराल $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ में नहीं है,इसलिए हमें केवल $x = 2$ को बाहर करने की आवश्यकता है।
अतः,प्रांत $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(D) फलन $x \in (1, 3)$ के लिए $f(x) = \frac{x[x]}{1+x^2}$ के रूप में परिभाषित है।
हम महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के आधार पर डोमेन को विभाजित करते हैं:
स्थिति $1$: $x \in (1, 2)$,तब $[x] = 1$. अतः,$f(x) = \frac{x}{1+x^2}$.
$x \in (1, 2)$ के लिए,$f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} < 0$. अतः,$f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
जब $x \to 1^+$,$f(x) \to \frac{1}{2}$. जब $x \to 2^-$,$f(x) \to \frac{2}{5}$. अतः,$f(x) \in (\frac{2}{5}, \frac{1}{2})$.
स्थिति $2$: $x \in [2, 3)$,तब $[x] = 2$. अतः,$f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$.
$x \in [2, 3)$ के लिए,$f'(x) = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} < 0$. अतः,$f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
$x = 2$ पर,$f(2) = \frac{4}{5}$. जब $x \to 3^-$,$f(x) \to \frac{3}{5}$. अतः,$f(x) \in (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,परिसर $(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]$ प्राप्त होता है।

(B) प्राकृतिक लघुगणक फलन $\log x$ का प्रांत सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $x \in (0, \infty)$।
$x \leq 0$ के लिए,पद $\log x$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं है।
$x > 0$ के लिए,मान लीजिए $y = e^{\log x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log y = \log(e^{\log x})$ प्राप्त होता है।
$\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $\log y = (\log x) \cdot \log e$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log e = 1$,इसलिए $\log y = \log x$ होता है।
लघुगणक फलन के एकैकी गुणधर्म के कारण,$y = x$ होता है।
अतः,समीकरण $x = e^{\log x}$ केवल $x > 0$ के लिए सत्य है।

(A) संबंध $R$ पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर $R = \{(a, b) : a, b \in Z, a - b \in Z\}$ के रूप में परिभाषित है।
चूंकि किन्हीं दो पूर्णांकों $a$ और $b$ का अंतर हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए प्रत्येक युग्म $(a, b)$ जहाँ $a, b \in Z$ है,शर्त $a - b \in Z$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$R = Z \times Z$ है।
$R$ का प्रांत $R$ में क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है,जो $Z$ है।
$R$ का परिसर $R$ में क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय है,जो $Z$ है।
इस प्रकार,प्रांत $Z$ है और परिसर $Z$ है।

(N/A) पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y = f(x) = x^2$	$16$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$

$f$ का प्रांत = $R$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)।
$f$ का परिसर = $[0, \infty)$ (सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)।

(N/A) पूर्ण की गई तालिका नीचे दी गई है:

$x$	$-2$	$-1.5$	$-1$	$-0.5$	$0.25$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$y = \frac{1}{x}$	$-0.5$	$-0.67$	$-1$	$-2$	$4$	$2$	$1$	$0.67$	$0.5$

फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ का प्रांत $R - \{0\}$ है क्योंकि फलन $x = 0$ पर अपरिभाषित है।
फलन का परिसर $R - \{0\}$ है क्योंकि किसी भी $y \in R - \{0\}$ के लिए,$x = \frac{1}{y}$ मौजूद है ताकि $f(x) = y$ हो।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = -|x|$ है,जहाँ $x \in \mathbb{R}$ है।
हम जानते हैं कि मापांक फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
अतः,फलन $f(x) = -|x|$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ x, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
चूँकि $f(x)$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $f$ का प्रांत $\mathbb{R}$ (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) है।
किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$|x| \ge 0$ होता है। $-1$ से गुणा करने पर,हमें $-|x| \le 0$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,सभी $x$ के लिए $f(x) \le 0$ है।
अतः,$f$ का परिसर $(-\infty, 0]$ है।

(A) फलन तब परिभाषित होता है जब $9 - x^{2} \ge 0$ हो।
इसका तात्पर्य है $x^{2} \le 9$,जिसका अर्थ है $-3 \le x \le 3$.
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[-3, 3]$ है।
चूंकि $f(x) = \sqrt{9 - x^{2}}$,न्यूनतम मान $x = \pm 3$ पर प्राप्त होता है,जिससे $f(x) = 0$ मिलता है।
अधिकतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,जिससे $f(x) = \sqrt{9} = 3$ मिलता है।
इसलिए,$f(x)$ का परिसर $[0, 3]$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 - 3x$ है,जहाँ $x > 0$ है।
चूँकि $x > 0$,दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$3x > 0$
अब,$-1$ से गुणा करने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$-3x < 0$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$2 - 3x < 2 - 0$
$f(x) < 2$
अतः,फलन $f$ का परिसर $2$ से छोटी सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
इसलिए,$f$ का परिसर $(-\infty, 2)$ है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + 2$ है,जहाँ $x \in \mathbb{R}$.
चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा ऋणेतर (non-negative) होता है:
$x^{2} \geq 0$
असमिका के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$x^{2} + 2 \geq 0 + 2$
$x^{2} + 2 \geq 2$
चूँकि $f(x) = x^{2} + 2$,इसलिए:
$f(x) \geq 2$
अतः,फलन $f$ का परिसर $2$ या उससे बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
अंतराल संकेतन में,परिसर $[2, \infty)$ है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = x$ है,जहाँ $x \in \mathbb{R}$ है।
परिभाषा के अनुसार,किसी फलन का परिसर दिए गए प्रांत के लिए सभी संभावित आउटपुट मानों (प्रतिबिंबों) का समुच्चय होता है।
चूँकि $x$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए आउटपुट $f(x)$ भी कोई भी वास्तविक संख्या होगी।
अतः,$f$ का परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जिसे $\mathbb{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) फलन $f(x) = \frac{x^{2}+3x+5}{x^{2}-5x+4}$ उन सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है जहाँ हर (denominator) शून्य न हो।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $x^{2}-5x+4 = 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x-4)(x-1) = 0$.
इससे हमें $x = 4$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $x = 1$ और $x = 4$ पर अपरिभाषित है।
इसलिए,फलन का प्रांत $1$ और $4$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जिसे $R - \{1, 4\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-8x+12}$ है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम हर (denominator) को शून्य के बराबर रखते हैं:
$x^{2}-8x+12 = 0$
$(x-6)(x-2) = 0$
इससे $x = 6$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x)$,$x = 2$ और $x = 6$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
अतः,$f$ का प्रांत $R - \{2, 6\}$ है।

(A) दिया गया वास्तविक फलन $f(x) = \sqrt{x-1}$ है।
फलन को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अऋणात्मक होना चाहिए:
$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$.
अतः,$f$ का प्रांत $1$ या उससे बड़ी सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात $[1, \infty)$।
चूंकि प्रत्येक $x \geq 1$ के लिए $\sqrt{x-1} \geq 0$ होता है,इसलिए फलन के आउटपुट मान हमेशा अऋणात्मक होते हैं।
जैसे-जैसे $x$,$[1, \infty)$ में सभी मान लेता है,$\sqrt{x-1}$,$[0, \infty)$ में सभी मान लेता है।
इस प्रकार,$f$ का परिसर $[0, \infty)$ है।

(A) दिया गया वास्तविक फलन $f(x) = |x - 1|$ है।
चूंकि मापांक फलन $|x - 1|$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $f$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$|x - 1|$ का मान हमेशा $0$ या उससे अधिक होता है।
अतः,$f$ का परिसर सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है,जो $[0, \infty)$ है।

(A) मान लीजिए $y = f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$.
सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,इसलिए अंश ऋणेतर है और हर $1+x^2 \ge 1$ है।
अतः,$y \ge 0$.
अब,$y(1+x^2) = x^2 \implies y + yx^2 = x^2 \implies y = x^2(1-y) \implies x^2 = \frac{y}{1-y}$.
चूँकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $\frac{y}{1-y} \ge 0$ होना चाहिए।
यह असमिका $0 \le y < 1$ के लिए सत्य है।
इसलिए,$f$ का परिसर $[0, 1)$ है।

(A) दिया गया है $A = \{9, 10, 11, 12, 13\}$ और $f(n) = n$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड।
प्रत्येक $n \in A$ के लिए $f(n)$ की गणना करते हैं:
$f(9) = 3^2$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $= 3$.
$f(10) = 2 \times 5$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $= 5$.
$f(11) = 11$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $= 11$.
$f(12) = 2^2 \times 3$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $= 3$.
$f(13) = 13$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $= 13$.
$f$ का परिसर सभी आउटपुट मानों का समुच्चय है: $\{f(9), f(10), f(11), f(12), f(13)\} = \{3, 5, 11, 3, 13\}$.
पुनरावृत्ति को हटाने पर,परिसर $\{3, 5, 11, 13\}$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $f(x) = \frac{\operatorname{cosec}^{-1} x}{\sqrt{x - [x]}}$ को परिभाषित होने के लिए,दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $\operatorname{cosec}^{-1} x$ का डोमेन $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।
$2$. हर $\sqrt{x - [x]}$ गैर-शून्य और वास्तविक होना चाहिए। चूँकि $x - [x] = \{x\}$ ($x$ का भिन्नात्मक भाग),हमें $\{x\} > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है कि $x$ पूर्णांक नहीं हो सकता है।
इन शर्तों को मिलाने पर,$x$ को $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ में होना चाहिए और $x \notin \mathbb{Z}$ होना चाहिए।
यह $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ में सभी गैर-पूर्णांकों के बराबर है,जो अंतराल $(-1, 1)$ को छोड़कर सभी गैर-पूर्णांकों के समान है।