Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Hindi

(B) माना $h(x) = f(x) - 2g(x)$.
चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $[0, 1]$ पर अवकलनीय है।
अंत बिंदुओं पर $h(x)$ के मान ज्ञात करें:
$h(0) = f(0) - 2g(0) = 2 - 2(0) = 2$.
$h(1) = f(1) - 2g(1) = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$.
चूंकि $h(0) = h(1) = 2$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $h'(c) = 0$ है।
$h'(x) = f'(x) - 2g'(x)$.
$h'(c) = 0$ रखने पर,$f'(c) - 2g'(c) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f'(c) = 2g'(c)$।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
अंतराल $[0, 1]$ के लिए $f(x) = 2x - x^2$ दिया गया है,जहाँ $a = 0$ और $b = 1$ है।
सबसे पहले,$f(a)$ और $f(b)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = 2(0) - (0)^2 = 0$
$f(1) = 2(1) - (1)^2 = 1$
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - x^2) = 2 - 2x$
अब,इन मानों को प्रमेय के सूत्र में रखें:
$f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$
$2 - 2c = \frac{1 - 0}{1}$
$2 - 2c = 1$
$2c = 1$
$c = \frac{1}{2}$
अतः,$c$ का मान $\frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1) = f(3)$.
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a + b + 5$.
$f(3) = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6 = 27a + 9b + 33 - 6 = 27a + 9b + 27$.
$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर:
$a + b + 5 = 27a + 9b + 27
\Rightarrow 26a + 8b = -22
\Rightarrow 13a + 4b = -11$ ... $(i)$.
अब,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$.
दिया गया है $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$:
$3a\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$.
$3a\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$.
$3a\left( \frac{13}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$.
$(13a + 4\sqrt{3}a) + (4b + \frac{2b}{\sqrt{3}}) + 11 = 0$.
समीकरण $(i)$ से $13a = -11 - 4b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-11 - 4b + 4\sqrt{3}a + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 11 = 0$.
$4\sqrt{3}a + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0
\Rightarrow 12a + 2b = 0
\Rightarrow b = -6a$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$13a + 4(-6a) = -11
\Rightarrow 13a - 24a = -11
\Rightarrow -11a = -11
\Rightarrow a = 1$.
अतः $b = -6(1) = -6$.
इस प्रकार,$a = 1$ और $b = -6$ प्राप्त होते हैं।

(D) $x > 0$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ द्वारा प्राप्त होता है।
हम $(0, 1)$ में ऐसे बिंदु $c$ ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए $f'(c) = 0$ हो।
इसका अर्थ है $\sin \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c} \cos \frac{\pi}{c}$,या $\tan \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c}$।
अंतरालों $I_k = \left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} \right]$ पर विचार करें,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ है।
इन अंतरालों के अंत बिंदुओं पर,$f\left(\frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{k+1} \sin((k+1)\pi) = 0$ और $f\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{k} \sin(k\pi) = 0$ होता है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है,रोल के प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक $k \in \mathbb{N}$ के लिए $\left( \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} \right)$ में कम से कम एक बिंदु $c_k$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c_k) = 0$ हो।
चूंकि $(0, 1)$ में ऐसे अनंत अंतराल $I_k$ मौजूद हैं,इसलिए ऐसे अनंत बिंदु हैं जहाँ $f'(x) = 0$ होता है।

(D) रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत,$(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
$(A)$ फलन $x = 1$ पर असतत है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ फलन $x = 0$ पर सतत नहीं है क्योंकि $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 \ne f(0) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(C)$ फलन $x = 1$ पर असतत है,जो $[-2, 3]$ अंतराल के भीतर है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $x \ne 1$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-1)(x^2 - x - 6)}{x - 1} = x^2 - x - 6$। $x = 1$ पर,$f(1) = -6$। चूंकि $\lim_{x \to 1} (x^2 - x - 6) = 1 - 1 - 6 = -6$,फलन $x = 1$ पर सतत है। अतः,$[-2, 3]$ के सभी $x$ के लिए $f(x) = x^2 - x - 6$ है। साथ ही,$f(-2) = (-2)^2 - (-2) - 6 = 0$ और $f(3) = 3^2 - 3 - 6 = 0$। चूंकि $f(-2) = f(3) = 0$ है और फलन एक बहुपद है,यह सतत और अवकलनीय है। इसलिए,रोले का प्रमेय लागू होता है।

(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $[0, 2]$ पर सतत और $(0, 2)$ पर अवकलनीय फलन $f$ के लिए,एक ऐसा $c \in (0, 2)$ मौजूद है कि:
$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f'(c)$
दिया गया है कि $f(0) = -3$ और सभी $x$ के लिए $f'(x) \le 5$,इसलिए:
$\frac{f(2) - (-3)}{2} = f'(c)$
$\frac{f(2) + 3}{2} = f'(c)$
चूंकि $f'(c) \le 5$,इसलिए:
$\frac{f(2) + 3}{2} \le 5$
$f(2) + 3 \le 10$
$f(2) \le 7$
अतः,$f(2)$ का अधिकतम मान $7$ है।

(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए एक फलन का $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
$1$. $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$ के लिए: अवकलज $f'(x) = \frac{2}{3(\frac{1}{2} - x)^{1/3}}$ है। चूँकि $x = \frac{1}{2}$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है,इसलिए $f'(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर अपरिभाषित है। अतः,$f$ अंतराल $(0, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $g(x)$ के लिए: $x = 0$ पर,$\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$ है,लेकिन $g(0) = 1$ है। चूँकि $\lim_{x \to 0^+} g(x) \neq g(0)$,इसलिए $g$ बिंदु $x = 0$ पर सतत नहीं है। अतः,$g$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत नहीं है।
$3$. $h(x) = \{x\}$ के लिए: भिन्नात्मक भाग फलन प्रत्येक पूर्णांक पर असतत होता है। $[0, 1]$ में,यह $x = 0$ और $x = 1$ पर असतत है। अतः,$h$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत नहीं है।
$4$. $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)} = (x + 3)^{\log_2 5}$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत और अवकलनीय है।
अतः,$LMVT$ $f, g,$ और $h$ पर लागू नहीं होता है।

(D) अंतराल $[2, 4]$ पर फलन $h(x) = g(x) - 4f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$ और $g(x)$ अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $(2, 4)$ पर अवकलनीय है और $[2, 4]$ पर सतत है।
अंत बिंदुओं पर मानों की गणना करें:
$h(2) = g(2) - 4f(2) = 0 - 4(8) = -32$.
$h(4) = g(4) - 4f(4) = 8 - 4(10) = 8 - 40 = -32$.
चूंकि $h(2) = h(4)$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (2, 4)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $h'(c) = 0$ है।
चूंकि $h'(x) = g'(x) - 4f'(x)$,हमें $g'(c) - 4f'(c) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक $c \in (2, 4)$ के लिए $g'(c) = 4f'(c)$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया है कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ है।
$-1$ से $0$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{-1}^{0} 0 \, dt \le \int_{-1}^{0} f'(t) \, dt \le \int_{-1}^{0} 1 \, dt$
$0 \le f(0) - f(-1) \le 1$ ... $(1)$
दिया गया है कि $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है।
$0$ से $2$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{2} -1 \, dt \le \int_{0}^{2} f'(t) \, dt \le \int_{0}^{2} 0 \, dt$
$-2 \le f(2) - f(0) \le 0$ ... $(2)$
असमिकाओं $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(0 - 2) \le (f(0) - f(-1)) + (f(2) - f(0)) \le (1 + 0)$
$-2 \le f(2) - f(-1) \le 1$.

(D) एक नया फलन $\phi(x) = f(x) - g(x)$ परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$ और $g(x)$ सभी $x \ge x_0$ के लिए अवकलनीय हैं,इसलिए $\phi(x)$ भी सभी $x \ge x_0$ के लिए अवकलनीय है।
अवकलज $\phi'(x) = f'(x) - g'(x)$ है।
यह दिया गया है कि सभी $x > x_0$ के लिए $f'(x) > g'(x)$,इसलिए सभी $x > x_0$ के लिए $\phi'(x) > 0$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x > x_0$ के लिए,एक ऐसा $c \in (x_0, x)$ मौजूद है कि $\frac{\phi(x) - \phi(x_0)}{x - x_0} = \phi'(c)$ हो।
चूंकि $\phi'(c) > 0$ और $x - x_0 > 0$,इसलिए $\phi(x) - \phi(x_0) > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\phi(x) > \phi(x_0)$।
दिया गया है कि $f(x_0) = g(x_0)$,इसलिए $\phi(x_0) = f(x_0) - g(x_0) = 0$ है।
अतः,सभी $x > x_0$ के लिए $\phi(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x) - g(x) > 0$,या सभी $x > x_0$ के लिए $f(x) > g(x)$ है।

(A) अंतराल $[-a, 0]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,कोई $c_1 \in (-a, 0)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(0) - f(-a)}{0 - (-a)} = \frac{f(0) + a}{a}$ हो।
चूंकि $f'(c_1) \le 1$,इसलिए $\frac{f(0) + a}{a} \le 1$,जिसका अर्थ है $f(0) + a \le a$,यानी $f(0) \le 0$ है।
अंतराल $[0, a]$ पर $LMVT$ लागू करने पर,कोई $c_2 \in (0, a)$ मौजूद है ताकि $f'(c_2) = \frac{f(a) - f(0)}{a - 0} = \frac{a - f(0)}{a}$ हो।
चूंकि $f'(c_2) \le 1$,इसलिए $\frac{a - f(0)}{a} \le 1$,जिसका अर्थ है $a - f(0) \le a$,यानी $-f(0) \le 0$,या $f(0) \ge 0$ है।
अतः,$f(0) \le 0$ और $f(0) \ge 0$ होने के कारण,$f(0) = 0$ होना चाहिए।

(C) दिया गया है $f(x) = |1 - x|$। $1 \le x \le 2$ के लिए,$1 - x \le 0$,इसलिए $f(x) = x - 1$ है।
$f(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर सतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है।
$f(1) = 0$ और $f(2) = 1$ है। चूँकि $f(1) \neq f(2)$,इसलिए $f$ पर रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है। हालाँकि,$LMVT$,$f$ पर लागू होता है क्योंकि यह $[1, 2]$ पर सतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है।
अब,$g(x) = x - 1 + b \sin(\frac{\pi}{2}x)$ है।
$g(x)$ पर $[1, 2]$ में रोल का प्रमेय लागू होने के लिए,$g(1) = g(2)$ होना चाहिए।
$g(1) = 1 - 1 + b \sin(\frac{\pi}{2}) = b(1) = b$ है।
$g(2) = 2 - 1 + b \sin(\pi) = 1 + b(0) = 1$ है।
$g(1) = g(2)$ रखने पर $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$LMVT$,$f$ पर लागू होता है और $b = 1$ होने पर रोल का प्रमेय $g$ पर लागू होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = x + \frac{1}{x}$.
अतः,$x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = x + \frac{1}{x}$ है।
हमें प्राप्त होता है $g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ और $g(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
मान लीजिए $P = (c, g(c))$ वक्र पर एक बिंदु है जहाँ स्पर्श रेखा $\left( {\frac{1}{2}, \frac{5}{2}} \right)$ और $\left( {3, \frac{10}{3}} \right)$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है।
मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in \left( {\frac{1}{2}, 3} \right)$ मौजूद है कि $g'(c) = \frac{g(3) - g(1/2)}{3 - 1/2}$.
चूंकि $g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$,इसलिए $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{10/3 - 5/2}{3 - 1/2} = \frac{(20-15)/6}{5/2} = \frac{5/6}{5/2} = \frac{1}{3}$.
अतः,$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{1}{c^2} = \frac{2}{3} \implies c^2 = \frac{3}{2} \implies c = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$y$-निर्देशांक $g(c) = \sqrt{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\sqrt{3/2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3 + 2}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
इस प्रकार,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left( {\sqrt {\frac{3}{2}}, \frac{5}{\sqrt 6 }} \right)$ हैं।

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $[1, 6]$ में सतत और $(1, 6)$ में अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए,कम से कम एक $c \in (1, 6)$ ऐसा विद्यमान होगा कि:
$f'(c) = \frac{f(6) - f(1)}{6 - 1}$
दिया गया है कि $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$,अतः:
$f'(c) = \frac{f(6) - (-2)}{5} = \frac{f(6) + 2}{5}$
चूंकि $f'(c) \ge 4.2$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{f(6) + 2}{5} \ge 4.2$
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर:
$f(6) + 2 \ge 21$
$f(6) \ge 19$
अतः,$f(6)$ का न्यूनतम संभव मान $19$ है।

(D) $(i)$ यह कथन सत्य है,क्योंकि एक बंद अंतराल $[a, b]$ पर प्रत्येक सतत फलन परिबद्ध होता है।
$(ii)$ यह 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' (Intermediate Value Theorem) के अनुसार सत्य है,क्योंकि $f(a) < 0$ और $f(b) > 0$ है।
$(iii)$ यह हमेशा सत्य नहीं है,क्योंकि अधिकतम या न्यूनतम मान अंत बिंदुओं $a$ या $b$ पर हो सकते हैं जहाँ अवकलज शून्य न हो।
$(iv)$ यह सत्य है। 'मीन वैल्यू थ्योरम' (Mean Value Theorem) के अनुसार,$a$ और $b$ के बीच एक बिंदु $c$ ऐसा होता है जहाँ $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है। चूँकि $f(b) > 0$ और $f(a) < 0$ है,इसलिए $f(b) - f(a) > 0$ होगा,अतः $f'(c) > 0$ होगा।
$(v)$ यह हमेशा सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = x$ है,तो $f'(x) = 1 > 0$ होगा,इसलिए ऐसा कोई बिंदु नहीं है जहाँ $f'(d) < 0$ हो।
अतः,सत्य कथन $(i), (ii)$ और $(iv)$ हैं। सही विकल्प $(D)$ है।

(D) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = 8x^2 - 7x + 5$ और अंतराल $[-6, 6]$ है,इसलिए $a = -6$ और $b = 6$ है।
सबसे पहले,$f(6) = 8(6)^2 - 7(6) + 5 = 288 - 42 + 5 = 251$ निकालें।
इसके बाद,$f(-6) = 8(-6)^2 - 7(-6) + 5 = 288 + 42 + 5 = 335$ निकालें।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 16x - 7$,अतः $f'(c) = 16c - 7$ होगा।
सूत्र का उपयोग करने पर: $16c - 7 = \frac{f(6) - f(-6)}{6 - (-6)} = \frac{251 - 335}{12} = \frac{-84}{12} = -7$।
अतः,$16c - 7 = -7$,जिसका अर्थ है कि $16c = 0$,इसलिए $c = 0$।

(B) अंतराल $[1, 2]$ में $f$ के लिए $LMVT$ का उपयोग करने पर:
एक ऐसा $c \in (1, 2)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = f'(c)$ है।
चूंकि $f'(c) \le 2$,हमारे पास $f(2) - f(1) \le 2(1)$ है,जिसका अर्थ है $f(2) - 2 \le 2$,अतः $f(2) \le 4$....$(1)$
पुनः,अंतराल $[2, 4]$ में $f$ के लिए $LMVT$ का उपयोग करने पर:
एक ऐसा $d \in (2, 4)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = f'(d)$ है।
चूंकि $f'(d) \le 2$,हमारे पास $f(4) - f(2) \le 2(2)$ है,जिसका अर्थ है $8 - f(2) \le 4$,अतः $f(2) \ge 4$....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $f(2) = 4$.

(D) मान लीजिए $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (8t^3 - 6t^2 - 2t + 1) dt = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + x.$
यहाँ $F(0) = 0$ और $F(1) = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^2 + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$ है.
चूंकि $F(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है.
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $F'(c) = f(c) = 0$ हो.
अतः,$f(x) = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है.
साथ ही,$f(0) = 1$ और $f(1) = 1$ है,और $f(1/2) = -0.5$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार,$f(x)$ के $(0, 1/2)$ और $(1/2, 1)$ में मूल हैं.
चूंकि $f(x)$ के $(0, 1)$ में कम से कम दो मूल हैं,$f(x)$ पर रोल का प्रमेय लागू करने पर,किसी $c \in (0, 1)$ के लिए $f'(c) = 0$ होगा.
इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं.

(B) दिया गया है $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$.
चूंकि $f(x)$ घात $4$ का एक बहुपद है,इसलिए $f'(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है। अतः,$f'(x) = 0$ के $3$ मूल हैं।
रोल के प्रमेय के अनुसार,यदि $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है तथा $f(a) = f(b)$ है,तो $(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = 0$ हो।
यहाँ,$f(4) = f(5) = 0$ है,इसलिए $(4, 5)$ में एक मूल $c_1$ ऐसा है कि $f'(c_1) = 0$ है।
$f(5) = f(6) = 0$ है,इसलिए $(5, 6)$ में एक मूल $c_2$ ऐसा है कि $f'(c_2) = 0$ है।
$f(6) = f(7) = 0$ है,इसलिए $(6, 7)$ में एक मूल $c_3$ ऐसा है कि $f'(c_3) = 0$ है।
इस प्रकार,$f'(x) = 0$ के तीनों मूल क्रमशः $(4, 5)$,$(5, 6)$ और $(6, 7)$ अंतरालों में स्थित हैं।
अतः,तीनों मूल $(4, 5) \cup (5, 6) \cup (6, 7)$ में स्थित हैं।

(C) माना $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x$ है।
$x = 0$ के लिए,$f(0) = 0$ है।
दिया गया है कि $x = \alpha$ समीकरण $f(x) = 0$ का एक मूल है,इसलिए $f(\alpha) = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, \alpha]$ पर संतत है और $(0, \alpha)$ पर अवकलनीय है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, \alpha)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
अवकलन $f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$ है।
अतः,समीकरण $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ का एक मूल $c$ ऐसा है कि $0 < c < \alpha$ है।
इसलिए,यह मूल $\alpha$ से छोटा है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^2 x + x \sin 2x \log x$.
मान लीजिए $g(x) = \sin^2 x \log x$.
तब $g'(x) = 2 \sin x \cos x \log x + \sin^2 x \cdot \frac{1}{x} = \sin 2x \log x + \frac{\sin^2 x}{x}$.
अतः,$f(x) = x g'(x)$.
यहाँ $g(1) = \sin^2(1) \log(1) = 0$,$g(\pi) = 0$ और $g(2\pi) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$g'(x) = 0$ के $(1, \pi)$ में कम से कम एक मूल और $(\pi, 2\pi)$ में कम से कम एक मूल हैं।
इसलिए,$f(x) = x g'(x) = 0$ के $(0, 2\pi]$ अंतराल में कम से कम दो मूल हैं।

(D) रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ में प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
विकल्प $A$ की जाँच: $f(x) = |\operatorname{sgn}(x)|$ बिंदु $x = 0$ पर असतत है,इसलिए यह विफल है।
विकल्प $B$ की जाँच: $f(x) = 3x^2 - 2$ अंतराल $[2, 3]$ में। यहाँ $f(2) = 10$ और $f(3) = 25$ है। चूँकि $f(2) \neq f(3)$,यह विफल है।
विकल्प $C$ की जाँच: $f(x) = |x - 1|$ अंतराल $[0, 2]$ में। $f(0) = 1$ और $f(2) = 1$ है। यहाँ $f(0) = f(2)$ है,लेकिन $x = 1$ पर फलन अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह विफल है।
विकल्प $D$ की जाँच: $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[\frac{1}{3}, 3]$ में। $f(\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}$ और $f(3) = \frac{10}{3}$ है। अतः $f(\frac{1}{3}) = f(3)$ है। चूँकि यह फलन दिए गए अंतराल में सतत और अवकलनीय है,इसलिए यह रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।

(D) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ में प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत (continuous) होना चाहिए।
$2$. $f(x)$,$(a, b)$ पर अवकलनीय (differentiable) होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $A$: $f(x) = |\text{sgn}(x)|$,$x = 0$ पर सतत नहीं है,इसलिए यह विफल हो जाता है।
विकल्प $B$: $f(2) = 3(2)^2 - 2 = 10$ और $f(3) = 3(3)^2 - 2 = 25$। चूँकि $f(2) \neq f(3)$,यह विफल हो जाता है।
विकल्प $C$: $f(x) = |x - 1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(0, 2)$ के भीतर है,इसलिए यह विफल हो जाता है।
विकल्प $D$: $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[\frac{1}{3}, 3]$ में।
$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$।
$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$।
चूँकि $f(\frac{1}{3}) = f(3)$ है और फलन अंतराल में सतत और अवकलनीय है,इसलिए यह रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।

(B) माना $f(t) = \log t$ है। अंतराल $[e, x]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर,एक ऐसा $c \in (e, x)$ मौजूद है कि $\frac{f(x) - f(e)}{x - e} = f'(c)$ हो।
चूंकि $f'(t) = \frac{1}{t}$ है,इसलिए $\frac{\log x - \log e}{x - e} = \frac{1}{c}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $e < c < x$,इसलिए $\frac{1}{x} < \frac{1}{c} < \frac{1}{e}$ होगा।
चूंकि $e \approx 2.718$ है,इसलिए $\frac{1}{e} \approx 0.367$ होता है।
अतः,$0 < \frac{\log (x/e)}{x - e} < 0.367$ प्राप्त होता है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[y]$ के लिए,यदि $0 < y < 0.367$ है,तो $[y] = 0$ होगा।
इसलिए,मान $0$ है।

(C) दिया गया है $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$.
माना $t = 2x + 1$,तो $x = (t - 1)/2$. $RHS$ में प्रतिस्थापित करने पर: $f(t) = f(1 - 2((t - 1)/2)) = f(1 - (t - 1)) = f(2 - t)$.
यह दर्शाता है कि $f$ रेखा $x = 1$ के सापेक्ष सममित है।
दिया गया है $f(2) = f(5) = f(10)$.
सममिति का उपयोग करते हुए $f(x) = f(2 - x)$:
$f(2) = f(0)$
$f(5) = f(2 - 5) = f(-3)$
$f(10) = f(2 - 10) = f(-8)$
अतः $f(-8) = f(-3) = f(0) = f(2) = f(5) = f(10)$.
हमें $5$ अलग-अलग बिंदु मिलते हैं जहाँ फलन के मान समान हैं: $x = -8, -3, 0, 2, 5$.
रोल के प्रमेय के अनुसार,$f(x) = c$ के किन्हीं दो मूलों के बीच $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल होता है।
$(-8, -3)$,$(-3, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, 5)$ के बीच $f'(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं।
चूंकि अंतराल $(-5, 10)$ है,हम इस सीमा में मूलों की जाँच करते हैं:
$(-3, 0)$,$(0, 2)$,और $(2, 5)$ में मूल मौजूद हैं। ये $3$ मूल $(-5, 10)$ में हैं।
इसके अतिरिक्त,चूंकि $f(5) = f(10)$,$(5, 10)$ में कम से कम एक मूल है।
इस प्रकार,$(-5, 10)$ में कम से कम $3 + 1 = 4$ मूल हैं।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 2]$ के लिए,एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए हमें $f'(c) = \frac{f(x)}{x}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $|f'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$,इसलिए $|f'(c)| \leqslant \frac{1}{2}$ होगा।
इस मान को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{f(x)}{x} \right| = |f'(c)| \leqslant \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $|f(x)| \leqslant \frac{|x|}{2}$।
चूंकि $x \in [0, 2]$,इसलिए $|x|$ का अधिकतम मान $2$ है,अतः $|f(x)| \leqslant \frac{2}{2} = 1$।
इस प्रकार,$|f(x)| \leqslant 1$ होता है।

(A) एक फलन $h(x) = f(x) - k g(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$ और $g(x)$ अंतराल $[0, 2]$ में अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $[0, 2]$ में अवकलनीय होगा।
यह दिया गया है कि कम से कम एक $c \in (0, 2)$ ऐसा है कि $f'(c) = k g'(c)$,जिसका अर्थ है $h'(c) = f'(c) - k g'(c) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,यदि किसी $c \in (0, 2)$ के लिए $h'(c) = 0$ है,तो $h(0) = h(2)$ होना चाहिए।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h(0) = f(0) - k g(0) = 3 - k(1) = 3 - k$
$h(2) = f(2) - k g(2) = 5 - k(2) = 5 - 2k$
$h(0) = h(2)$ को बराबर रखने पर:
$3 - k = 5 - 2k$
$2k - k = 5 - 3$
$k = 2$

(C) $f(x)$ के लिए अंतराल $[1, x]$ पर लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(c_1) \geq 1 \implies f(x) - 2 \geq x - 1 \implies f(x) \geq x + 1$.
अंतराल $[x, 2]$ पर $LMVT$ का उपयोग करने पर:
$\frac{f(2) - f(x)}{2 - x} = f'(c_2) \geq 1 \implies 3 - f(x) \geq 2 - x \implies f(x) \leq x + 1$.
अतः,$f(x) \geq x + 1$ और $f(x) \leq x + 1$ होने के कारण,$f(x) = x + 1$ प्राप्त होता है।
अब,$g(x) = \int_1^x (t + 1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} + t \right]_1^x = \frac{x^2}{2} + x - \frac{3}{2}$.
यहाँ $g'(x) = f(x) = x + 1 > 0$ है,इसलिए $g(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अतः,$[1, 2]$ पर $g(x)$ का अधिकतम मान $g(2) = \int_1^2 (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2 = (2 + 2) - (0.5 + 1) = \frac{5}{2}$ होगा।

(C) फलन $f(x) = 2x - x^2$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x) = 2 - 2x$ है।
$LMVT$ के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $c = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $f^{\prime}(\frac{1}{2}) = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$ है।
अब,छेदक रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(2b - b^2) - (2a - a^2)}{b - a} = \frac{2(b - a) - (b^2 - a^2)}{b - a} = \frac{2(b - a) - (b - a)(b + a)}{b - a} = 2 - (a + b)$ है।
दोनों की तुलना करने पर: $1 = 2 - (a + b)$,जिसका अर्थ है कि $a + b = 1$ है।
$LMVT$ लागू होने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए। चूंकि यह एक बहुपद फलन है,यह हर जगह सतत और अवकलनीय है।
विकल्पों की जांच करने पर,$(0, 1)$ के लिए $a=0$ और $b=1$ है,इसलिए $a+b = 1$ है। यह शर्त $c = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ को संतुष्ट करता है।

(A) $Lagrange$ के $Mean$ $Value$ $Theorem$ $(LMVT)$ के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 2]$ के लिए,एक $c \in (0, x)$ ऐसा विद्यमान है कि $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c)$ हो।
दिया गया है कि $f(0) = 0$ और $f'(c) \le \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{f(x)}{x} \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $f(x) \le \frac{x}{2}$।
चूंकि $x \in [0, 2]$,$\frac{x}{2}$ का अधिकतम मान $\frac{2}{2} = 1$ है।
अतः,सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $f(x) \le 1$ होगा।

(C) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक बिंदु $c \in (1, 3)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।
यहाँ $f(x) = \log_{e}x$ है,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{x}$ होगा।
मान रखने पर: $f'(c) = \frac{1}{c}$,$f(3) = \log_{e}3$,और $f(1) = \log_{e}1 = 0$।
अतः,$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e}3 - 0}{3 - 1} = \frac{\log_{e}3}{2}$ प्राप्त होता है।
$c$ के लिए हल करने पर,$c = \frac{2}{\log_{e}3}$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $\frac{1}{\log_{a}b} = \log_{b}a$ का उपयोग करने पर,$c = 2 \log_{3}e$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-x/2}$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-3, 0)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = (2x + 3) e^{-x/2} + (x^2 + 3x) \cdot (-\frac{1}{2}) e^{-x/2}$
$f'(x) = e^{-x/2} [2x + 3 - \frac{1}{2}(x^2 + 3x)]$
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$2c + 3 - \frac{c^2 + 3c}{2} = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$4c + 6 - c^2 - 3c = 0$
$-c^2 + c + 6 = 0$
$c^2 - c - 6 = 0$
$(c - 3)(c + 2) = 0$
अतः,$c = 3$ या $c = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतराल $[-3, 0]$ है,इसलिए $c \in (-3, 0)$ होना चाहिए।
अतः,$c = -2$ सही मान है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$.
माध्यमान प्रमेय के अनुसार,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
$x_1$ को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $f'(x_1) = -\frac{1}{x_1^2}$.
अब,समीकरण के दाईं ओर की गणना करें: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a} = \frac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \frac{-(b - a)}{ab(b - a)} = -\frac{1}{ab}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $-\frac{1}{x_1^2} = -\frac{1}{ab}$.
अतः,$x_1^2 = ab$,जिसका अर्थ है $x_1 = \sqrt{ab}$ (क्योंकि $a < x_1 < b$ और $1/x$ के परिभाषित होने के लिए $a, b > 0$ माना गया है)।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक बिंदु $c \in (1, a)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}$ हो।
यहाँ $c = 3$ दिया गया है,इसलिए $f'(3) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}$।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x + 3$। अतः,$f'(3) = 4(3) + 3 = 15$।
अब,$f(a) = 2a^2 + 3a + 5$ और $f(1) = 2(1)^2 + 3(1) + 5 = 10$ का मान निकालें।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $15 = \frac{(2a^2 + 3a + 5) - 10}{a - 1}$।
$15 = \frac{2a^2 + 3a - 5}{a - 1}$।
अंश का गुणनखंड करने पर: $2a^2 + 3a - 5 = (2a + 5)(a - 1)$।
चूंकि $a \neq 1$,हम इसे सरल कर सकते हैं: $15 = 2a + 5$।
$2a = 10$,जिसका अर्थ है कि $a = 5$।

(B) रोले का प्रमेय अंतराल $[a, b]$ पर तब लागू होता है यदि:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत हो।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय हो।
$3$. $f(a) = f(b)$ हो।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर:
$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ जहाँ $x \in [-\pi, 0)$ है।
जब $x \to 0^-$,तब $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$ होता है।
चूँकि $f(0) = 1$ है,फलन $x = 0$ पर सतत है।
अन्य विकल्प $A, C, D$ दिए गए अंतराल में असतत हैं। अतः,विकल्प $B$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(B) दिया गया है $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x^2 + 2x$.
$L.M.V.T.$ के अनुसार,अंतराल $(0, 1/2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(1/2) - f(0)}{1/2 - 0}$ हो।
सबसे पहले,$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$f(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2) = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$ और $f(0) = 0$ है।
अतः,$f'(c) = \frac{3/8 - 0}{1/2} = \frac{3}{4}$।
अब,$3c^2 - 6c + 2 = \frac{3}{4}$ रखने पर,
$12c^2 - 24c + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$c = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6}$।
चूंकि $c \in (0, 1/2)$ है,इसलिए $c = 1 - \frac{\sqrt{21}}{6}$ सही उत्तर है।

(B) अंतराल $[-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,$f(-1) = f(1)$ होना आवश्यक है।
दिए गए $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए:
$f(1) = 2(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 2 + b + c$
$f(-1) = 2(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) = -2 + b - c$
$f(1) = f(-1)$ रखने पर:
$2 + b + c = -2 + b - c$
$2c = -4 \implies c = -2$
साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $f'(c') = 0$ होता है जहाँ $c' \in (-1, 1)$। यहाँ $c' = \frac{1}{2}$ है।
$f'(x) = 6x^2 + 2bx + c$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{4}\right) + 2b\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0$
$\frac{3}{2} + b + c = 0$
$c = -2$ रखने पर:
$\frac{3}{2} + b - 2 = 0 \implies b - \frac{1}{2} = 0 \implies b = \frac{1}{2}$
अंत में,$2b + c$ का मान:
$2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,$(-1, 1)$ पर अवकलनीय है और $f(-1) = f(1)$ है,तो कम से कम एक $c \in (-1, 1)$ ऐसा विद्यमान होगा कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,$f(-1) = f(1)$ शर्त का उपयोग करते हैं:
$f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) = 2 + a + b$
$f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -2 + a - b$
$f(1) = f(-1)$ रखने पर:
$2 + a + b = -2 + a - b$
$2b = -4 \implies b = -2$
अब,$c = \frac{1}{2}$ पर $f'(c) = 0$ शर्त का उपयोग करते हैं:
$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0$
$6\left(\frac{1}{4}\right) + a + b = 0$
$\frac{3}{2} + a + b = 0$
$b = -2$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} + a - 2 = 0$
$a - \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$
अंत में,$2a + b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2a + b = 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$

(D) दिया गया है कि $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x_1, x_2 \in [1, 6]$ जहाँ $x_2 > x_1$ है,के लिए एक $c \in (x_1, x_2)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)$ हो।
चूँकि $f'(x) \ge 4.2$ है,इसलिए $\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} \ge 4.2$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 4.2$ प्राप्त होता है।
$f(6) + 2 \ge 5 \times 4.2$.
$f(6) + 2 \ge 21$.
$f(6) \ge 19$.
अतः,$f(6)$ का संभावित मान $[19, \infty)$ अंतराल में स्थित है।

(D) मान लीजिए $g(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx.$
तब $g'(x) = ax^2 + bx + c.$
हमें दिया गया है $2a + 3b + 6c = 0.$
कथन $2:$
$g(0) = 0.$
$g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6} = \frac{0}{6} = 0.$
चूंकि $g(0) = g(1) = 0$ और $g(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $k \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $g'(k) = 0.$
अतः,कथन $2$ सही है।
कथन $1:$
चूंकि किसी $k \in (0, 1)$ के लिए $g'(k) = ak^2 + bk + c = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
अतः,कथन $1$ और $2$ दोनों सही हैं और कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ और अंतराल $[0, 1]$ दिया गया है,इसलिए $a = 0$ और $b = 1$ है।
$f(0) = 0^{3} - 4(0)^{2} + 8(0) + 11 = 11$ है।
$f(1) = 1^{3} - 4(1)^{2} + 8(1) + 11 = 16$ है।
सेकेंट रेखा की ढाल $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{16 - 11}{1} = 5$ है।
अवकलन $f'(x) = 3x^{2} - 8x + 8$ प्राप्त होता है।
$f'(c) = 5$ रखने पर,$3c^{2} - 8c + 8 = 5$,अर्थात $3c^{2} - 8c + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $c \in (0, 1)$ है,इसलिए $c = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ सही मान है।

(B) अंतराल $[-7, -1]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर,कोई $c_1 \in (-7, -1)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(-1) - f(-7)}{-1 - (-7)} = f'(c_1)$ हो।
दिया गया है कि $f'(x) \leq 2$,इसलिए $\frac{f(-1) - (-3)}{6} \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(-1) + 3 \leq 12$,अर्थात $f(-1) \leq 9$।
अंतराल $[-7, 0]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ का उपयोग करने पर,कोई $c_2 \in (-7, 0)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(0) - f(-7)}{0 - (-7)} = f'(c_2)$ हो।
दिया गया है कि $f'(x) \leq 2$,इसलिए $\frac{f(0) - (-3)}{7} \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(0) + 3 \leq 14$,अर्थात $f(0) \leq 11$।
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें $f(-1) + f(0) \leq 9 + 11 = 20$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(-1)$ और $f(0)$ का मान मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है,इसलिए अंतराल $(-\infty, 20]$ है।

(D) अंतराल $[c, 1]$ पर फलन $f$ के लिए लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,जहाँ $c \in (0, 1)$,कम से कम एक बिंदु $a \in (c, 1)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = f'(a)$ हो।
विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ $S$ के सभी फलनों के लिए सत्य होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = k$ (एक अचर फलन) है,तो $f'(x) = 0$ होगा। इस स्थिति में,$|f(c) - f(1)| = 0$ और $(1 - c)|f'(c)| = 0$ होगा,इसलिए असमिका $|f(c) - f(1)| < (1 - c)|f'(c)|$ का रूप $0 < 0$ हो जाता है,जो कि असत्य है।
विकल्प $(D)$ अंतराल $[c, 1]$ पर $LMVT$ का सीधा अनुप्रयोग है,जो समीकरण को संतुष्ट करने वाले $a \in (c, 1)$ के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है।

(B) रोले के प्रमेय के लिए,$f(3) = f(4)$ होना चाहिए।
$\log_{e}\left(\frac{3^{2}+\alpha}{7(3)}\right) = \log_{e}\left(\frac{4^{2}+\alpha}{7(4)}\right)$
$\frac{9+\alpha}{21} = \frac{16+\alpha}{28} \Rightarrow 4(9+\alpha) = 3(16+\alpha) \Rightarrow 36+4\alpha = 48+3\alpha \Rightarrow \alpha = 12$.
अब,$f(x) = \log_{e}(x^{2}+12) - \log_{e}(7) - \log_{e}(x)$.
$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+12} - \frac{1}{x} = \frac{x^{2}-12}{x(x^{2}+12)}$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(c) = 0 \Rightarrow c^{2}-12 = 0 \Rightarrow c = 2\sqrt{3}$.
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2}-12}{x^{3}+12x} \right)$.
$c^{2}=12$ रखने पर,$f''(c) = \frac{2}{c^{2}+12} = \frac{2}{12+12} = \frac{1}{12}$.

(A) फलन $f(x) = x^{2} + 2$ एक बहुपद फलन है,जो संवृत अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है और विवृत अंतराल $(-2, 2)$ पर अवकलनीय है।
अब,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = (-2)^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$
$f(2) = (2)^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$
चूंकि $f(-2) = f(2) = 6$,रोले के प्रमेय की सभी शर्तें पूरी होती हैं।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-2, 2)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 2x$।
$f'(c) = 0$ रखने पर,$2c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$।
चूंकि $0 \in (-2, 2)$,अतः $c = 0$ पर रोले का प्रमेय सत्यापित होता है।

(A) फलन $f(x) = x^{2}$ एक बहुपद फलन है,जो संवृत अंतराल $[2, 4]$ में सतत है और विवृत अंतराल $(2, 4)$ में अवकलनीय है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(2, 4)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो,जहाँ $a = 2$ और $b = 4$ है।
सबसे पहले,$f(a)$ और $f(b)$ का मान ज्ञात करें:
$f(2) = 2^{2} = 4$
$f(4) = 4^{2} = 16$
अब,छेदक रेखा की ढाल ज्ञात करें:
$\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$
चूँकि $f'(x) = 2x$ है,इसलिए $f'(c) = 6$ रखने पर:
$2c = 6 \implies c = 3$
चूँकि $c = 3$ अंतराल $(2, 4)$ में स्थित है,इसलिए माध्य मान प्रमेय सत्यापित होता है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=x^{2}+2x-8$ एक बहुपद फलन है,जो संवृत अंतराल $[-4,2]$ पर सतत है और विवृत अंतराल $(-4,2)$ पर अवकलनीय है।
सबसे पहले,हम अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-4) = (-4)^{2} + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$
$f(2) = (2)^{2} + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$
चूंकि $f(-4) = f(2) = 0$,इसलिए रोले के प्रमेय की शर्तें पूरी होती हैं।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-4,2)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
हम $f(x)$ का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 8) = 2x + 2$
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$2c + 2 = 0$
$2c = -2$
$c = -1$
चूंकि $c = -1$ अंतराल $(-4,2)$ में स्थित है,इसलिए दिए गए फलन के लिए रोले का प्रमेय सत्यापित होता है।

(N/A) रोले के प्रमेय के अनुसार,एक फलन $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ के लिए,यदि:
$1)$ $f, [a, b]$ पर संतत है
$2)$ $f, (a, b)$ पर अवकलनीय है
$3)$ $f(a) = f(b)$ है
तो,$(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा $c$ मौजूद होता है जिसके लिए $f'(c) = 0$ हो।
फलन $f(x) = [x]$ के लिए $[5, 9]$ अंतराल में:
$1)$ महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत होता है। अतः $f(x), [5, 9]$ पर संतत नहीं है।
$2)$ $f(5) = [5] = 5$ और $f(9) = [9] = 9$ है। अतः $f(5) \neq f(9)$ है।
$3)$ चूँकि $f(x)$ पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है,इसलिए यह $(5, 9)$ में उन बिंदुओं पर अवकलनीय भी नहीं है।
चूँकि रोले के प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं होती हैं,इसलिए यह प्रमेय $f(x) = [x]$ पर लागू नहीं होता है।
विलोम के बारे में: रोले के प्रमेय का विलोम यह कहता है कि यदि $(a, b)$ में कोई $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$,तो $f(a) = f(b)$ होगा। यह हमेशा सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए,$f(x) = x^2$ के लिए,$f'(c) = 0$ लेने पर $c = 0$ प्राप्त होता है,लेकिन $0$ को शामिल न करने वाले किसी भी अंतराल $[a, b]$ के लिए यह विलोम सत्य नहीं है।