Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Hindi

(B) अंतराल $[0, 2]$ पर दिया गया फलन $f(x) = x(x - 1)^2$ है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 0$ और $b = 2$ है।
$f(0) = 0(0 - 1)^2 = 0$.
$f(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$.
अतः,$f'(c) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f(x) = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x$.
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
$f'(c) = 1$ रखने पर:
$3c^2 - 4c + 1 = 1$.
$3c^2 - 4c = 0$.
$c(3c - 4) = 0$.
इससे $c = 0$ या $c = 4/3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(0, 2)$ में होना चाहिए,इसलिए हम $c = 4/3$ चुनते हैं।

(A) दिया गया है $2a + 3b + 6c = 0$ ... $(i)$
चूँकि $f(x)$,$g(x) = ax^2 + bx + c$ का आदिम है,हमारे पास $f(x) = \int (ax^2 + bx + c) dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + K$ है।
अंतराल $[1, 2]$ पर रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,$f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
$f(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c + K$
$f(2) = \frac{8a}{3} + 2b + 2c + K$
$f(1) = f(2)$ को बराबर करने पर,$\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{8a}{3} + 2b + 2c$,जो $14a + 9b + 6c = 0$ में सरल हो जाता है ... (ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $12a + 6b = 0 \Rightarrow b = -2a$।
$b = -2a$ को $(i)$ में रखने पर: $2a + 3(-2a) + 6c = 0$ $\Rightarrow 6c = 4a$ $\Rightarrow c = \frac{2}{3}a$।
$a = 3$ लेने पर,$b = -6$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + K$।
$K = 0$ मानने पर,$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$।

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) \geq 5$।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$x \in [0, 2024]$ के लिए,कोई $c \in (0, 2024)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(2024) - f(0)}{2024 - 0} = f^{\prime}(c)$ हो।
चूंकि $f^{\prime}(c) \geq 5$,इसलिए $\frac{f(2024) - (-2)}{2024} \geq 5$।
$f(2024) + 2 \geq 5 \times 2024$।
$f(2024) + 2 \geq 10120$।
$f(2024) \geq 10118$।
अतः,$f(2024)$ का न्यूनतम संभव मान $10118$ है।

(A) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ $[a, b]$ पर फलन $f(x)$ के लिए तब लागू होता है यदि:
$1$. $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत हो।
$2$. $f(x)$,$(a, b)$ पर अवकलनीय हो।
$[0, 1]$ पर प्रत्येक फलन का विश्लेषण करते हैं:
$I) f(x)$,$x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
$II) f(x) = |3x-1|$,$x = \frac{1}{3} \in (0, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।
$III) f(x) = x|x|$,$[0, 1]$ पर $x^2$ है,जो सतत और अवकलनीय है।
$IV) f(x) = |x|$,$(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
अतः,$III$ और $IV$ सही विकल्प हैं।

(D) रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (1, 3)$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
किसी भी $x \in [1, 3]$ के लिए,$f^{\prime}$ पर माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,$x$ और $c$ के बीच एक बिंदु $d$ मौजूद है ताकि $f^{\prime}(x) - f^{\prime}(c) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ हो।
चूंकि $f^{\prime}(c) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(d)(x - c)$ प्राप्त होता है।
$|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ दिया गया है,इसलिए $|f^{\prime}(x)| = |f^{\prime \prime}(d)| \cdot |x - c| \leq 2 \cdot |x - c|$ है।
चूंकि $x, c \in [1, 3]$,इसलिए $|x - c|$ का अधिकतम मान $3 - 1 = 2$ है।
अतः,$|f^{\prime}(x)| \leq 2 \cdot 2 = 4$,जो दर्शाता है कि $-4 \leq f^{\prime}(x) \leq 4$। दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $[2, 6]$ पर एक अवकलनीय फलन है और सभी $x \in [2, 6]$ के लिए $f^{\prime}(x) \geq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x_1, x_2 \in [2, 6]$ जहाँ $x_2 > x_1$ है,के लिए एक ऐसा $c \in (x_1, x_2)$ विद्यमान होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ हो।
चूँकि $f^{\prime}(x) \geq 5$ है,इसलिए $\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} \geq 5$ होगा।
$f(2) = 4$ का मान रखने पर:
$\frac{f(6) - 4}{4} \geq 5$
$f(6) - 4 \geq 20$
$f(6) \geq 24$.
अतः,$f(6)$ का एक संभावित मान $24$ है।

(B) मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ है।
अंतराल $[2, 3]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,एक $c_1 \in (2, 3)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{5-2}{1} = 3$ हो।
अंतराल $[3, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक $c_2 \in (3, 4)$ मौजूद है ताकि $f'(c_2) = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{10-5}{1} = 5$ हो।
अब,$f'(x)$ पर अंतराल $[c_1, c_2]$ के लिए माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,एक $c \in (c_1, c_2) \subset (2, 4)$ मौजूद है ताकि $f''(c) = \frac{f'(c_2)-f'(c_1)}{c_2-c_1} = \frac{5-3}{c_2-c_1} = \frac{2}{c_2-c_1}$ हो।
चूंकि $c_1 \in (2, 3)$ और $c_2 \in (3, 4)$ है,इसलिए अंतराल की लंबाई $c_2-c_1$ का मान $2$ से कम है।
विशेष रूप से,$0 < c_2-c_1 < 2$ है।
इसलिए,$f''(c) = \frac{2}{c_2-c_1} > \frac{2}{2} = 1$ है।
अतः,किसी $x \in (2, 4)$ के लिए $f''(x) > 1$ सत्य है।

(A) दिया गया है कि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है।
चूँकि $f(0)=f(2)$:
$f(0) = 0^3 + p(0)^2 + q(0) = 0$
$f(2) = 2^3 + p(2)^2 + q(2) = 8 + 4p + 2q$
$f(0)=f(2)$ रखने पर $8 + 4p + 2q = 0$,जो सरल होकर $2p + q + 4 = 0$ (समीकरण $i$) देता है।
अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2px + q$
दिया गया है $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$:
$3\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2p\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + q = 0$
$3\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$
$3\left(\frac{4}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$
$4 + 2\sqrt{3} + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ $(2p + q = -4)$ घटाने पर:
$(4 + 2\sqrt{3} + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q) - (2p + q) = 0 - (-4)$
$4 + 2\sqrt{3} + \frac{2p}{\sqrt{3}} = 4$
$2\sqrt{3} + \frac{2p}{\sqrt{3}} = 0$
$2\sqrt{3} = -\frac{2p}{\sqrt{3}}$
$2p = -2(3) = -6 \Rightarrow p = -3$.
$p = -3$ को समीकरण $i$ में रखने पर:
$2(-3) + q + 4 = 0$
$-6 + q + 4 = 0 \Rightarrow q = 2$.
अतः,$p^2 + q^2 = (-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी अंतराल $[a, b]$ के लिए,एक $c \in (a, b)$ मौजूद होता है ताकि $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
अंतराल $[2, 4]$ के लिए इसे लागू करने पर,हमें $f^{\prime}(c_1) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{f(4) + 6}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 4$,इसलिए $\frac{f(4) + 6}{2} \leq 4$,जिसका अर्थ है $f(4) + 6 \leq 8$,यानी $f(4) \leq 2$।
अंतराल $[4, 6]$ के लिए मध्यमान प्रमेय लागू करने पर,$f^{\prime}(c_2) = \frac{f(6) - f(4)}{6 - 4} = \frac{8 - f(4)}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 4$,इसलिए $\frac{8 - f(4)}{2} \leq 4$,जिसका अर्थ है $8 - f(4) \leq 8$,यानी $f(4) \geq 0$।
अतः,$0 \leq f(4) \leq 2$,जिसका अर्थ है $f(4) \in [0, 2]$।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा स्थिरांक $c \in (1, 2)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ हो।
सबसे पहले,हम $f(1)$ और $f(2)$ ज्ञात करते हैं:
$f(1) = \frac{2(1)+3}{4(1)-1} = \frac{5}{3}$
$f(2) = \frac{2(2)+3}{4(2)-1} = \frac{7}{7} = 1$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(4x-1)(2) - (2x+3)(4)}{(4x-1)^2} = \frac{8x-2-8x-12}{(4x-1)^2} = \frac{-14}{(4x-1)^2}$
अब,$f'(c)$ को छेदक रेखा की ढाल के बराबर रखें:
$\frac{-14}{(4c-1)^2} = \frac{1 - \frac{5}{3}}{1} = -\frac{2}{3}$
$(4c-1)^2 = 21$
$4c-1 = \pm \sqrt{21}$
$c = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{4}$
चूंकि $c \in (1, 2)$,हम धनात्मक मान चुनते हैं:
$c = \frac{1 + \sqrt{21}}{4} \in (1, 2)$.

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x(x+3)(x-2) = x^3 + x^2 - 6x$.
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[-1, 4]$ पर सतत है और $(-1, 4)$ पर अवकलनीय है।
$LMVT$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (-1, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।
यहाँ $a = -1$ और $b = 4$ है।
$f(-1) = (-1)(2)(-3) = 6$.
$f(4) = (4)(7)(2) = 56$.
$f'(x) = 3x^2 + 2x - 6$.
अतः,$3c^2 + 2c - 6 = \frac{56 - 6}{4 - (-1)} = \frac{50}{5} = 10$.
$3c^2 + 2c - 16 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-16)}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$.
दो संभावित मान: $c_1 = 2$ और $c_2 = -\frac{8}{3}$।
चूंकि $c \in (-1, 4)$,इसलिए $c = 2$ सही उत्तर है।

(D) चूंकि $f$ एक बहुपद फलन है,यह $[2,7]$ पर सतत है और $(2,7)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (2,7)$ ऐसा मौजूद है कि:
$\frac{f(7)-f(2)}{7-2} = f^{\prime}(c)$
यह दिया गया है कि $(2,7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(7)-3}{5} \leq 5$
$f(7)-3 \leq 25$
$f(7) \leq 28$
अतः,$f(7)$ का अधिकतम संभावित मान $28$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ अंतराल $[0, \pi]$ पर है।
चूंकि $f(x)$ त्रिकोणमितीय फलनों का योग है,यह $[0, \pi]$ पर सतत है और $(0, \pi)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही,$f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$ और $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0$ है।
अतः,$f(0) = f(\pi)$,जो रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है।
हम $f'(x) = 2 \cos x + 2 \cos 2x$ प्राप्त करते हैं।
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $2 \cos c + 2 \cos 2c = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\cos c + \cos 2c = 0$।
सर्वसमिका $\cos 2c = 2 \cos^2 c - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 c + \cos c - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2 \cos c - 1)(\cos c + 1) = 0$।
इससे $\cos c = \frac{1}{2}$ या $\cos c = -1$ प्राप्त होता है।
$c \in (0, \pi)$ के लिए,$\cos c = \frac{1}{2}$ का अर्थ है $c = \frac{\pi}{3}$।
चूंकि $\cos c = -1$ से $c = \pi$ मिलता है,जो विवृत अंतराल $(0, \pi)$ में नहीं है,इसलिए एकमात्र मान्य मान $c = \frac{\pi}{3}$ है।

(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = e^x$ अंतराल $[1, 2]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = 1$ और $b = 2$ है।
$f'(x) = e^x$,इसलिए $f'(c) = e^c$ होगा।
$f(1) = e^1 = e$ और $f(2) = e^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $e^c = \frac{e^2 - e}{2 - 1} = e^2 - e$।
$e^c = e(e - 1)$।
चूंकि $c = k$ है,इसलिए $e^k = e(e - 1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $e$ से विभाजित करने पर,$e^{k-1} = e - 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है $f(1)=f(3)$.
$f(1) = 1+b+c-6 = b+c-5$.
$f(3) = 27+9b+3c-6 = 9b+3c+21$.
दोनों को बराबर करने पर: $b+c-5 = 9b+3c+21 \implies 8b+2c = -26 \implies 4b+c = -13$ (समीकरण $1$).
अब,$f^{\prime}(x) = 3x^2+2bx+c$.
दिया गया है कि $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right) = f^{\prime}\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$.
$f^{\prime}(x)=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं,और रोले के प्रमेय के अनुसार,$(1,3)$ में एक ऐसा $c$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c)=0$.
$3x^2+2bx+c=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं। मूलों का योग $x_1+x_2 = -\frac{2b}{3}$ और गुणनफल $x_1 x_2 = \frac{c}{3}$ है।
एक मूल $2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है। चूँकि गुणांक परिमेय हैं,दूसरा मूल $2-\frac{1}{\sqrt{3}}$ होगा।
मूलों का योग: $(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + (2-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 = -\frac{2b}{3} \implies b = -6$.
समीकरण $1$ में $b=-6$ रखने पर: $4(-6)+c = -13 \implies -24+c = -13 \implies c = 11$.
अतः,$bc = (-6)(11) = -66$.

(D) दिया गया है $g(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx$.
$g(0)$ और $g(1)$ की गणना करने पर:
$g(0) = 0$.
$g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a+3b+6c}{6}$.
चूंकि $2a+3b+6c=0$,हमें $g(1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(x)$ एक बहुपद है,यह $[0,1]$ पर सतत है और $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
चूंकि $g(0) = g(1) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c_1 \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $g'(c_1) = 0$ है।
ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2+bx+c$ है।
अतः,$g'(c_1) = ac_1^2+bc_1+c = 0$ है।
यह दर्शाता है कि द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ का $(0,1)$ में कम से कम एक मूल $c_1$ है।
इसलिए,कथन-$I$ सही है।
कथन-$II$ भी सही है क्योंकि $g(x)$ $[0,1]$ पर रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा करता है,और यह कथन-$I$ के लिए सही व्याख्या है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$ अंतराल $[-3, 0]$ पर है।
चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) \left(-\frac{1}{2}\right) e^{-\frac{x}{2}}$
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + 3 \right)$
$f'(x) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} (x^2 - x - 6)$
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-3, 0)$ विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
$-\frac{1}{2} e^{-\frac{c}{2}} (c^2 - c - 6) = 0$
चूंकि $e^{-\frac{c}{2}} \neq 0$,इसलिए $c^2 - c - 6 = 0$ होगा।
$(c - 3)(c + 2) = 0$,जिससे $c = 3$ या $c = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (-3, 0)$ है,इसलिए $c = 3$ को अस्वीकार करते हुए $c = -2$ सही उत्तर है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $C \in (2, 4)$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(C) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ होता है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-4}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$.
इसके बाद,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें: $f(4) = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $f(2) = \sqrt{4-4} = 0$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{C}{\sqrt{C^2-4}} = \frac{2\sqrt{3} - 0}{4 - 2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{C^2}{C^2-4} = 3$.
$C^2 = 3(C^2 - 4) \Rightarrow C^2 = 3C^2 - 12 \Rightarrow 2C^2 = 12 \Rightarrow C^2 = 6$.
चूंकि $C \in (2, 4)$,हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \sqrt{6}$.

(A) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(0, 4)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ हो।
सबसे पहले,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ज्ञात करें।
फिर,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$ ज्ञात करें।
अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$ होगा।
अब,$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ ज्ञात करें।
$f'(c) = 3c^2 - 12c + 11 = 3$ रखने पर,
$3c^2 - 12c + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$c$ का मान $2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ है,जो विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(C) अंतराल $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,$f(0) = f(1)$ होना चाहिए।
दिए गए फलन $f(x) = x^3 + Px - 12$ के लिए:
$f(0) = 0^3 + P(0) - 12 = -12$
$f(1) = 1^3 + P(1) - 12 = 1 + P - 12 = P - 11$
$f(0) = f(1)$ रखने पर,$-12 = P - 11$,जिससे $P = -1$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलज $f'(x) = 3x^2 + P = 3x^2 - 1$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$3c^2 - 1 = 0 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(0, 1)$ में होना चाहिए,इसलिए $c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$c = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(A) अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $f(x) = e^x + 24$ दिया गया है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 0$ और $b = 1$ है।
सबसे पहले,$f(0) = e^0 + 24 = 1 + 24 = 25$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$f(1) = e^1 + 24 = e + 24$ ज्ञात करें।
अवकलन $f'(x) = e^x$ है,इसलिए $f'(c) = e^c$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $e^c = \frac{(e + 24) - 25}{1 - 0}$।
$e^c = e - 1$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $c = \log(e - 1)$ प्राप्त होता है।

(C) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए फलन $f(x)$ का $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
विकल्प $C$ के लिए,$f(x) = \log(x^2-1)$ अंतराल $[\frac{1}{e}, e-2]$ पर दिया गया है।
यहाँ $e \approx 2.718$ है,इसलिए $\frac{1}{e} \approx 0.367$ और $e-2 \approx 0.718$ है।
$\log(x^2-1)$ के प्रांत के लिए $x^2-1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$ या $|x| > 1$।
अंतराल $[\frac{1}{e}, e-2]$ में,सभी $x$ के लिए $x < 1$ है,अर्थात $x^2 < 1$।
अतः,इस अंतराल के सभी $x$ के लिए $x^2-1 < 0$ है।
चूंकि लघुगणक का तर्क ऋणात्मक है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[\frac{1}{e}, e-2]$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए सतत भी नहीं है)।
इसलिए,$LMVT$ लागू नहीं होता है।

(A) $f(x) = ax^3 + bx^2 + 26x - 24$ ...$(i)$ अंतराल $[2, 4]$ पर।
चूंकि $f(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(2) = f(4)$।
$f(2) = a(8) + b(4) + 26(2) - 24 = 8a + 4b + 28$।
$f(4) = a(64) + b(16) + 26(4) - 24 = 64a + 16b + 80$।
$f(2) = f(4)$ को बराबर करने पर: $8a + 4b + 28 = 64a + 16b + 80 \Rightarrow 56a + 12b + 52 = 0 \Rightarrow 14a + 3b + 13 = 0$ ...(ii)।
$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x) = 3ax^2 + 2bx + 26$।
दिया गया है $f^{\prime}\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$:
$3a\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2b\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 26 = 0$।
$3a\left(9 + \frac{1}{3} + 2\sqrt{3}\right) + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$।
$3a\left(\frac{28}{3} + 2\sqrt{3}\right) + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$।
$28a + 6\sqrt{3}a + 6b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 26 = 0$।
$(28a + 6b + 26) + \frac{1}{\sqrt{3}}(18a + 2b) = 0$।
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर: $28a + 6b + 26 = 0$ और $18a + 2b = 0$।
$18a + 2b = 0$ से,$b = -9a$।
इसे $28a + 6(-9a) + 26 = 0$ में रखने पर: $28a - 54a + 26 = 0 \Rightarrow -26a = -26 \Rightarrow a = 1$।
अतः $b = -9(1) = -9$।
इसलिए,$ab = 1 \times (-9) = -9$।

(D) $[0, 1]$ अंतराल पर रोले का प्रमेय लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(0) = f(1)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ दिया गया है।
सबसे पहले $f(0) = f(1)$ शर्त की जाँच करें:
$f(1) = 1^\alpha \log(1) = 1 \times 0 = 0$।
चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए $f(0) = f(1)$ शर्त किसी भी $\alpha$ के लिए संतुष्ट होती है।
अब $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \log x = 0$।
यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि $\alpha > 0$ हो।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^\alpha}{-\alpha} = 0$ (जब $\alpha > 0$ हो)।
दिए गए विकल्पों में से,$\alpha = 1/2$ ही एकमात्र मान है जो $0$ से बड़ा है।

(B) दिया गया है $f(x)=\sqrt{x^2-x}$ अंतराल $[1,4]$ पर।
सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें:
$f(1)=\sqrt{1^2-1}=0$
$f(4)=\sqrt{4^2-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-x}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}$
लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1,4)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{2c-1}{2\sqrt{c^2-c}} = \frac{2\sqrt{3}-0}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}(2c-1) = 4\sqrt{c^2-c}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3(4c^2-4c+1) = 16(c^2-c)$
$12c^2-12c+3 = 16c^2-16c$
$4c^2-4c-3 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(2c-3)(2c+1) = 0$
इससे $c = \frac{3}{2}$ या $c = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (1,4)$,इसलिए $c = -\frac{1}{2}$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,$c = \frac{3}{2}$।

(B) किसी फलन $f(t)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोले का प्रमेय तब संतुष्ट होता है जब $f(a) = f(b)$ हो।
यहाँ $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर दिया गया है,इसलिए $f(1) = f(3)$ होगा।
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + p(1) + q = 1 - 6 + p + q = p + q - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + p(3) + q = 27 - 54 + 3p + q = 3p + q - 27$.
$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर:
$p + q - 5 = 3p + q - 27$.
$2p = 22 \Rightarrow p = 11$.
चूंकि $q$ दोनों पक्षों से कट जाता है,इसलिए $q$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(q \in R)$।
अतः,$p = 11$ और $q \in R$।

(C) दिया गया है कि फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के लिए अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है।
गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (2m-1)x^{2m-2}(a-x)^{2n} - 2n(a-x)^{2n-1}x^{2m-1}$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, a)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$(2m-1)c^{2m-2}(a-c)^{2n} - 2nc^{2m-1}(a-c)^{2n-1} = 0$.
$c^{2m-2}(a-c)^{2n-1}$ से भाग देने पर (चूंकि $c \neq 0$ और $c \neq a$):
$(2m-1)(a-c) = 2nc$.
$(2m-1)a - (2m-1)c = 2nc$.
$(2m-1)a = (2m-1+2n)c$.
$c = \frac{a(2m-1)}{2m+2n-1}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है कि,$f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$,$[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$f(1)=f(3)$.
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a + b + 5$
$f(3) = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6 = 27a + 9b + 33 - 6 = 27a + 9b + 27$
चूंकि $f(1)=f(3)$,इसलिए $a+b+5 = 27a+9b+27$,जिसे सरल करने पर $26a+8b = -22$,या $13a+4b = -11$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
साथ ही,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$.
दिया गया है कि $f'(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,$[1,3]$ अंतराल में $f'(x) = 0$ के मूल $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।
$f'(x)=0$ के मूलों का योग लेने पर,$x_1 + x_2 = -\frac{2b}{3a}$.
यहाँ,$(2 - \frac{1}{\sqrt{3}}) + (2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 = -\frac{2b}{3a} \Rightarrow 4 = -\frac{2b}{3a} \Rightarrow b = -6a$.
$b = -6a$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$13a + 4(-6a) = -11$
$13a - 24a = -11$
$-11a = -11 \Rightarrow a = 1$.
तब $b = -6(1) = -6$.
अतः,$a+b = 1 + (-6) = -5$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos x - \sin 2x$ अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर सतत है और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(\pi/2) - f(-\pi/2)}{\pi/2 - (-\pi/2)}$।
सबसे पहले,$f(\pi/2) = \cos(\pi/2) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0$।
इसके बाद,$f(-\pi/2) = \cos(-\pi/2) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$।
अतः,$f'(c) = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$।
अवकलन $f'(x) = -\sin x - 2\cos 2x$ है।
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $-\sin c - 2\cos 2c = 0$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos 2c = 1 - 2\sin^2 c$ का उपयोग करने पर,$-\sin c - 2(1 - 2\sin^2 c) = 0$।
$-\sin c - 2 + 4\sin^2 c = 0$,जो सरल होकर $4\sin^2 c - \sin c - 2 = 0$ हो जाता है।
$\sin c$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin c = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$।
इसलिए,$c = \sin^{-1}\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^{1/2}$ और $g(x) = x^{-1/2}$।
अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \implies f^{\prime}(c) = \frac{1}{2} c^{-1/2}$
$g^{\prime}(x) = -\frac{1}{2} x^{-3/2} \implies g^{\prime}(c) = -\frac{1}{2} c^{-3/2}$
अब,अवकलजों का अनुपात:
$\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{\frac{1}{2} c^{-1/2}}{-\frac{1}{2} c^{-3/2}} = -c^{(-1/2) - (-3/2)} = -c^1 = -c$
अंतर का अनुपात:
$f(12) - f(3) = \sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$g(12) - g(3) = \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$
$\frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)} = \frac{\sqrt{3}}{-\frac{1}{2\sqrt{3}}} = -6$
दोनों को बराबर करने पर:
$-c = -6 \implies c = 6$.

(B) दिया गया है: $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.
फलन का विस्तार करने पर: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
अवकलन करने पर $f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 4]$ पर सतत और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, 4)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ है।
$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -6$.
अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$3c^2 - 12c + 11 = 3$ रखने पर,$3c^2 - 12c + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
$c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
दोनों मान $(0, 4)$ अंतराल में स्थित हैं।

(D) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को $[a, b]$ पर लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
अंतराल $[0, 1]$ के लिए विकल्पों का विश्लेषण करते हैं:
- विकल्प $A$: फलन $x = 1/2$ पर सतत है क्योंकि $\lim_{x \to 1/2^-} (1/2 - x) = 0$ और $f(1/2) = 0$ है। यह हर जगह अवकलनीय है।
- विकल्प $B$: फलन $x = 0$ पर सतत है क्योंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 = f(0)$ है। यह हर जगह अवकलनीय है।
- विकल्प $C$: $f(x) = x|x|$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत और अवकलनीय है।
- विकल्प $D$: $f(x) = |x|$। $x = 0$ पर,बायां अवकलज $-1$ है और दायां अवकलज $1$ है। चूंकि बायां अवकलज $\neq$ दायां अवकलज,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। चूंकि $0 \in [0, 1]$,इसलिए $LMVT$ फलन $f(x) = |x|$ पर $[0, 1]$ अंतराल में लागू नहीं होता है।

(D) रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,$f(x)$ को $[1, 2]$ पर संतत,$(1, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
यहाँ,$f(1) = (1-1)^3(1-2)^5 = 0$ और $f(2) = (2-1)^3(2-2)^5 = 0$ है। चूँकि $f(1) = f(2) = 0$,रोले का प्रमेय लागू होता है।
हमें $c \in (1, 2)$ ज्ञात करना है ताकि $f'(c) = 0$ हो।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 3(x-1)^2(x-2)^5 + 5(x-1)^3(x-2)^4$।
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3(x-2) + 5(x-1)]$।
$f'(x) = (x-1)^2(x-2)^4 [3x - 6 + 5x - 5] = (x-1)^2(x-2)^4 (8x - 11)$।
$c \in (1, 2)$ के लिए $f'(c) = 0$ रखने पर:
$(c-1)^2(c-2)^4 (8c - 11) = 0$।
चूँकि $c \neq 1$ और $c \neq 2$,इसलिए $8c - 11 = 0$ होना चाहिए,जिससे $c = \frac{11}{8}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ अंतराल $[0, 1/2]$ पर है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 1/2)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 0$ और $b = 1/2$ है।
$f(a) = f(0) = (0-1)(0-2) = 2$ है।
$f(b) = f(1/2) = (1/2 - 1)(1/2 - 2) = (-1/2)(-3/2) = 3/4$ है।
$f'(x) = 2x - 3$,इसलिए $f'(c) = 2c - 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $2c - 3 = \frac{3/4 - 2}{1/2 - 0}$।
$2c - 3 = \frac{-5/4}{1/2} = -5/2$।
$2c = 3 - 5/2 = 1/2$।
$c = 1/4$।
चूंकि $1/4 \in (0, 1/2)$,इसलिए $c$ का मान $1/4$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + ax$.
चूंकि $f(1) = f(3)$,हमारे पास $1 + b + a = 27 + 9b + 3a$ है।
यह $8b + 2a = -26$,या $4b + a = -13$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
अवकलन $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2bx + a$ है।
$c = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर $f^{\prime}(c) = 0$ दिया गया है,इसलिए $3(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$13 + 4\sqrt{3} + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$a = -13 - 4b$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$13 + 4\sqrt{3} + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} - 13 - 4b = 0$.
$4\sqrt{3} + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0$.
$4\sqrt{3} = -\frac{2b}{\sqrt{3}} \implies 12 = -2b \implies b = -6$.
$a = -13 - 4b$ का उपयोग करते हुए,हमें $a = -13 - 4(-6) = -13 + 24 = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (11, -6)$.

(B) दिया गया है,$f(x)=x^3+a x^2+b x$.
हमें $f(1)-f(3)=0$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $f(1)=f(3)$.
फलन में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1+a+b = 27+9a+3b$
$-26 = 8a+2b$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $4a+b=-13$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
अब,अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^2+2ax+b$ ज्ञात करें।
दिया गया है $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$,मान लीजिए $x = \frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$3\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2a\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + b = 0$
$3\left(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\right) + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
$13 + 4\sqrt{3} + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
समीकरण $(i)$ से $b = -13-4a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$13 + 4\sqrt{3} + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} - 13 - 4a = 0$
$4\sqrt{3} + \frac{2a}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{2a}{\sqrt{3}} = -4\sqrt{3}$
$2a = -4 \times 3 = -12$
$a = -6$.
समीकरण $(i)$ में $a=-6$ रखने पर,$b = -13 - 4(-6) = -13 + 24 = 11$.
अतः,$a-b = -6 - 11 = -17$.

(C) सबसे पहले,अंतिम बिंदुओं पर मानों की गणना करें:
$f(2) = \frac{1}{2}(2-6)^2 - 3 = \frac{1}{2}(16) - 3 = 8 - 3 = 5$.
$f(10) = 10 - 5 = 5$.
चूंकि $f(2) = f(10) = 5$,रोले के प्रमेय की पहली शर्त पूरी होती है।
इसके बाद,$x=4$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बायां सीमा: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \frac{1}{2}(4-6)^2 - 3 = \frac{1}{2}(4) - 3 = 2 - 3 = -1$.
दायां सीमा: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 4 - 5 = -1$.
चूंकि $f(4) = -1$,फलन $x=4$ पर संतत है।
अंत में,$x=4$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायां अवकलज: $f'(x) = (x-6)$,इसलिए $f'(4^-) = 4-6 = -2$.
दायां अवकलज: $f'(x) = 1$,इसलिए $f'(4^+) = 1$.
चूंकि $f'(4^-) \neq f'(4^+)$,फलन $x=4$ पर अवकलनीय नहीं है।
चूंकि फलन अंतराल $(2, 10)$ में अवकलनीय नहीं है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए कम से कम एक $c \in (-3, 0)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[x(x+3)] \cdot e^{-x/2} + x(x+3) \cdot \frac{d}{dx}[e^{-x/2}]$
$f'(x) = (2x+3)e^{-x/2} + (x^2+3x) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)e^{-x/2}$
$f'(x) = e^{-x/2} \left[ 2x+3 - \frac{x^2+3x}{2} \right]$
$f'(x) = e^{-x/2} \left[ \frac{4x+6-x^2-3x}{2} \right] = \frac{-x^2+x+6}{2} e^{-x/2}$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{-(x^2-x-6)}{2} e^{-x/2} = 0$
चूंकि $e^{-x/2} \neq 0$,इसलिए $x^2-x-6 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-3)(x+2) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = -2$ है।
चूंकि मूल को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए,इसलिए मान्य मूल $x = -2$ है।

(D) रोले का प्रमेय एक फलन $y = f(x), x \in [a, b]$ के लिए लागू होता है,यदि:
$(i)$ $f(x)$ सभी $x \in [a, b]$ के लिए सतत है
$(ii)$ $f(x)$ सभी $x \in (a, b)$ के लिए अवकलनीय है
$(iii)$ $f(a) = f(b)$
यहाँ,$f(0) = 0$ और $f(2) = 2 - 2 = 0$ है। अतः,$f(0) = f(2)$ है।
$f(x)$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए सतत है।
हालाँकि,$x = 1$ पर $f(x)$ का एक तीक्ष्ण कोना (sharp corner) है।
$x = 1$ पर बायां अवकलज: $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1-h) - 1}{-h} = 1$.
$x = 1$ पर दायां अवकलज: $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-(1+h)) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1$.
चूंकि बायां अवकलज $\neq$ दायां अवकलज है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(D) कथन $I$ के लिए: मान लीजिए $F(x) = a_0 x + \frac{a_1 x^2}{2} + \frac{a_2 x^3}{3} + \ldots + \frac{a_n x^{n+1}}{n+1}$ है।
$F(x)$ एक बहुपद है,इसलिए यह $[0,1]$ पर सतत है और $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$F(0) = 0$ और $F(1) = a_0 + \frac{a_1}{2} + \ldots + \frac{a_n}{n+1} = 0$ (दिया गया है)।
रोल के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $F^{\prime}(c) = 0$ है।
चूंकि $F^{\prime}(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n = P(x)$,इसलिए $P(c) = 0$ है। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II$ के लिए: मान लीजिए $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ है। चूंकि $f$,$[a, b]$ पर सतत है और $a>0$,इसलिए $g(x)$,$[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $g(a) = \frac{f(a)}{a} = \frac{f(b)}{b} = g(b)$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (a, b)$ मौजूद है जिसके लिए $g^{\prime}(c) = 0$ है।
$g^{\prime}(x) = \frac{x f^{\prime}(x) - f(x)}{x^2}$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर,हमें $c f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ प्राप्त होता है,या $c f^{\prime}(c) = f(c)$। अतः,कथन $II$ भी सही है।

(D) दिया गया है $f(x) = (2x-1)(3x+2)(4x-3)$.
सबसे पहले,रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:
$f(\frac{1}{2}) = (2(\frac{1}{2})-1)(...) = 0 \times (...) = 0$.
$f(\frac{3}{4}) = (...)(4(\frac{3}{4})-3) = (...)(3-3) = 0$.
चूंकि $f(\frac{1}{2}) = f(\frac{3}{4}) = 0$ और $f(x)$ एक बहुपद है,यह सतत और अवकलनीय है।
$f(x)$ का विस्तार करने पर:
$f(x) = (6x^2 + x - 2)(4x-3) = 24x^3 - 14x^2 - 11x + 6$.
अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 72x^2 - 28x - 11$.
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$72c^2 - 28c - 11 = 0$.
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 3168}}{144} = \frac{28 \pm \sqrt{3952}}{144} = \frac{7 \pm \sqrt{247}}{36}$.
चूंकि $c \in [0.5, 0.75]$ है,इसलिए केवल $c = \frac{7+\sqrt{247}}{36}$ मान्य है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$.
चूंकि $-5$ और $4$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(-5) = 0$ और $f(4) = 0$ है।
$f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5) + 40 = -125 + 25a - 5b + 40 = 25a - 5b - 85 = 0 \Rightarrow 5a - b = 17$ $(i)$.
$f(4) = (4)^3 + a(4)^2 + b(4) + 40 = 64 + 16a + 4b + 40 = 16a + 4b + 104 = 0 \Rightarrow 4a + b = -26$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$9a = -9 \Rightarrow a = -1$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में $a = -1$ रखने पर,$5(-1) - b = 17 \Rightarrow -5 - b = 17 \Rightarrow b = -22$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = x^3 - x^2 - 22x + 40$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-5, 4)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$f'(x) = 3x^2 - 2x - 22$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,$3c^2 - 2c - 22 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-22)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 264}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{268}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{67}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{67}}{3}$.
चूंकि $c \in (-5, 4)$,मान $\frac{1+\sqrt{67}}{3} \approx 3.06$ अंतराल के भीतर है।
अतः,$c$ का एक मान $\frac{1+\sqrt{67}}{3}$ है।

(D) अंतराल $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,फलन $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।
चूंकि $f(x)$,$x \in (0, 1]$ के लिए सतत है,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जांच करते हैं:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} x^p \log x = 0$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-p}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-p x^{-p-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^p}{-p}$.
यह सीमा $0$ केवल तभी होती है जब $p > 0$ हो।
साथ ही,रोले के प्रमेय के लिए,$f(0) = f(1)$ होना चाहिए।
$f(0) = 0$ और $f(1) = 1^p \log 1 = 0$.
अतः,$f(0) = f(1) = 0$ किसी भी $p > 0$ के लिए संतुष्ट होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$p = 1$ ही एकमात्र मान है जो $p > 0$ की शर्त को पूरा करता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x$ अंतराल $[2, 5]$ पर है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[2, 5]$ पर सतत है और $(2, 5)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,$(2, 5)$ में कम से कम एक $C$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(C) = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}$ हो।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 1$,अतः $f'(C) = 1$ प्राप्त होता है।
ढाल की गणना करने पर: $\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{5 - 2}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,शर्त $f'(C) = 1$ का अर्थ है $1 = 1$,जो $(2, 5)$ के प्रत्येक $C$ के लिए सत्य है।
चूंकि अंतराल $(2, 5)$ में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए $C$ के अनंत स्वीकार्य मान संभव हैं।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^4 + a x^3 + b x$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।
चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है,इसलिए $f(-1) = f(1)$ होना चाहिए।
$f(-1) = (-1)^4 + a(-1)^3 + b(-1) = 1 - a - b$.
$f(1) = (1)^4 + a(1)^3 + b(1) = 1 + a + b$.
उन्हें बराबर करने पर: $1 - a - b = 1 + a + b \Rightarrow 2a + 2b = 0 \Rightarrow a + b = 0$ . . . $(1)$.
अब,अवकलज ज्ञात करते हैं: $f^{\prime}(x) = 4x^3 + 3ax^2 + b$.
दिया गया है कि $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + b = 0$.
$4\left(\frac{1}{8}\right) + 3a\left(\frac{1}{4}\right) + b = 0$.
$\frac{1}{2} + \frac{3}{4}a + b = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 + 3a + 4b = 0 \Rightarrow 3a + 4b = -2$ . . . $(2)$.
$(1)$ से,$b = -a$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3a + 4(-a) = -2 \Rightarrow -a = -2 \Rightarrow a = 2$.
अतः $b = -2$.
इसलिए,$ab = (2)(-2) = -4$.

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर मान्य होने के लिए,इसे $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \frac{2x-1}{3x-4}$ अंतराल $[1, 2]$ पर है।
फलन $f(x)$ तब अपरिभाषित होता है जब हर शून्य हो,अर्थात $3x - 4 = 0$,जिससे $x = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{4}{3} \in [1, 2]$,इसलिए फलन $x = \frac{4}{3}$ पर सतत नहीं है।
अतः,दिए गए अंतराल पर इस फलन के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं होती हैं।

(C) $f(x)=2x^3-3x^2-x+1=0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम का उपयोग करके प्रत्येक अंतराल के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का चिह्न जाँचते हैं।
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - (-2) + 1 = -16 - 12 + 2 + 1 = -25$
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - (-1) + 1 = -2 - 3 + 1 + 1 = -3$
चूंकि $f(-2)$ और $f(-1)$ का चिह्न समान है,इसलिए $I_4=[-2,-1]$ में कोई मूल नहीं है।
$f(0) = 1$
चूंकि $f(-1)=-3$ और $f(0)=1$ है,इसलिए $I_1=[-1,0]$ में एक मूल है।
$f(1) = 2 - 3 - 1 + 1 = -1$
चूंकि $f(0)=1$ और $f(1)=-1$ है,इसलिए $I_2=[0,1]$ में एक मूल है।
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 2 + 1 = 16 - 12 - 2 + 1 = 3$
चूंकि $f(1)=-1$ और $f(2)=3$ है,इसलिए $I_3=[1,2]$ में एक मूल है।
अतः,$f(x)=0$ का $I_4$ को छोड़कर प्रत्येक अंतराल में एक मूल है।

(D) दिया गया है $g(x) = \frac{f(x)}{x+1}$।
चूंकि $f(x)$,$[0,6]$ पर सतत है और $(0,6)$ पर अवकलनीय है,इसलिए $g(x)$ भी $[0,6]$ पर सतत और $(0,6)$ पर अवकलनीय है क्योंकि $x \in [0,6]$ के लिए $x+1 \neq 0$ है।
अंत बिंदुओं पर $g(x)$ के मान ज्ञात करें:
$g(0) = \frac{f(0)}{0+1} = \frac{12}{1} = 12$
$g(6) = \frac{f(6)}{6+1} = \frac{-4}{7}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0,6)$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = \frac{g(6)-g(0)}{6-0}$ हो।
मान रखने पर:
$g^{\prime}(c) = \frac{-\frac{4}{7} - 12}{6} = \frac{-\frac{4}{7} - \frac{84}{7}}{6} = \frac{-\frac{88}{7}}{6} = -\frac{88}{42} = -\frac{44}{21}$।

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है।
चूंकि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल है,मान लीजिए यह मूल $x_0$ है।
$f(x)$ का $(1, 6)$ में मूल होने के लिए,फलन का चिह्न बदलना चाहिए।
चूंकि $f(1) = -2 < 0$,इसलिए $(1, 6)$ में मूल होने के लिए $f(6) > 0$ होना चाहिए।
लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(6) - f(1)}{6 - 1}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f^{\prime}(c) = \frac{f(6) - (-2)}{5} = \frac{f(6) + 2}{5}$।
चूंकि $f(6) > 0$,इसलिए $f(6) + 2 > 2$ होगा।
अतः,$f^{\prime}(c) = \frac{f(6) + 2}{5} > \frac{2}{5}$।
इस प्रकार,एक ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) > \frac{2}{5}$।

(A) मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$.
मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के दो क्रमागत मूल हैं ताकि $\alpha < \beta$ हो।
अतः $f(\alpha) = 0$ और $f(\beta) = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और $(\alpha, \beta)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
हालांकि,फलन $g(x) = e^{-x} f(x) = \cos x + e^{-x}$ पर विचार करें।
तब $g(\alpha) = 0$ और $g(\beta) = 0$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में एक $c$ ऐसा है कि $g'(c) = 0$ हो।
$g'(x) = -\sin x - e^{-x} = 0$।
दोनों पक्षों को $-e^x$ से गुणा करने पर,हमें $e^x \sin x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha$ और $\beta$ के बीच $e^x \sin x + 1 = 0$ का एक मूल स्थित है।