मान लीजिए f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1, तो | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (8t^3 - 6t^2 - 2t + 1) dt = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + x.$यहाँ $F(0) = 0$ और $F(1) = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

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(D) मान लीजिए $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (8t^3 - 6t^2 - 2t + 1) dt = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + x.$यहाँ $F(0) = 0$ और $F(1) = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^2 + 1 = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$ है.चूंकि $F(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है.रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $F'(c) = f(c) = 0$ हो.अतः,$f(x) = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है.साथ ही,$f(0) = 1$ और $f(1) = 1$ है,और $f(1/2) = -0.5$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार,$f(x)$ के $(0, 1/2)$ और $(1/2, 1)$ में मूल हैं.चूंकि $f(x)$ के $(0, 1)$ में कम से कम दो मूल हैं,$f(x)$ पर रोल का प्रमेय लागू करने पर,किसी $c \in (0, 1)$ के लिए $f'(c) = 0$ होगा.इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं.

मान लीजिए $f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2x + 1,$ तो

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