Differentiation of infinite series Questions in Hindi

(A) दी गई अनंत श्रेणी $y = e^{x + e^{x + e^{x + \dots \infty}}}$ है।
चूंकि घातांक दोहराया जा रहा है,हम समीकरण को $y = e^{x + y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(y) = x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1$।
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - 1) = 1$।
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y}{y}) = 1$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1 - y}$।

(A) दिया गया है $y = (\sin x)^{(\sin x)^{(\sin x)^{...\infty}}}$.
चूंकि घातांक एक अनंत श्रेणी है,हम इसे $y = (\sin x)^y$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = y \ln(\sin x)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \ln(\sin x) + y \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} \ln(\sin x) = y \cot x$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} - \ln(\sin x) \right) = y \cot x$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - y \ln(\sin x)}{y} \right) = y \cot x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 \cot x}{1 - y \ln(\sin x)}$.

(D) दिया गया है $y = (\sqrt{x})^{(\sqrt{x})^{(\sqrt{x})^{\dots\infty}}}$.
चूंकि घातांक अनंत है,हम लिख सकते हैं $y = (\sqrt{x})^y$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = \log((\sqrt{x})^y) = y \log(\sqrt{x}) = y \log(x^{1/2}) = \frac{1}{2} y \log x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{1}{x} \right)$.
हर को हटाने के लिए $2y$ से गुणा करने पर:
$2 \frac{dy}{dx} = y \log x \frac{dy}{dx} + \frac{y^2}{x}$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (2 - y \log x) = \frac{y^2}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(2 - y \log x)}$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,कोई भी विकल्प $A, B,$ या $C$ मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई अनंत श्रेणी $y = \sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt {x + \dots \infty } } }$ है।
चूंकि श्रेणी अनंत है,हम इसे $y = \sqrt {x + y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(x + y)$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = 1$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$।

(C) दिया गया समीकरण $x = e^{y + e^{y + \dots \infty}}$ है।
चूंकि घातांक एक अनंत श्रेणी है,हम इसे $x = e^{y + x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln(x) = y + x$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$.

(A) दिया गया अनंत सतत भिन्न: $y = \frac{x}{a + \frac{x}{b + y}}$.
दोनों पक्षों को $(a + \frac{x}{b + y})$ से गुणा करने पर: $y(a + \frac{x}{b + y}) = x$.
$ay + \frac{xy}{b + y} = x$.
$(b + y)$ से गुणा करने पर: $ay(b + y) + xy = x(b + y)$.
$aby + ay^2 + xy = bx + xy$.
$aby + ay^2 = bx$.
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(aby + ay^2) = \frac{d}{dx}(bx)$.
$ab \frac{dy}{dx} + 2ay \frac{dy}{dx} = b$.
$\frac{dy}{dx}(ab + 2ay) = b$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{b}{ab + 2ay}$.

(D) दिया गया है $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots \infty}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = 1$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।
$y^2 - y = x$ से,हमारे पास $y(y - 1) = x$ है,अतः $y - 1 = \frac{x}{y}$।
$2y - 1 = y + (y - 1) = y + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(y^2 + x)/y} = \frac{y}{y^2 + x}$ प्राप्त होता है। चूँकि $y^2 = x + y$,हमारे पास $y^2 + x = (x + y) + x = 2x + y$ है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x + y}$। यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $y^2 - y - x = 0$ के लिए $y$ हल करने पर,$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}$। चूँकि $y > 0$,$y = \frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}$।
$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 + 4x)^{1/2}$ का अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (1 + 4x)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt{1 + 4x}}$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(A) दी गई अनंत अभिव्यक्ति $x = y^{x^{y^{x^{\dots}}}}$ को हम $x = y^{x^x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln x = x^x \ln y$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$\ln 1 = 1^1 \ln y$,जिसका अर्थ है $0 = \ln y$,इसलिए $y = 1$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{d}{dx}(x^x \ln y)$
$\frac{1}{x} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \ln y + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\ln y)$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,इसलिए:
$\frac{1}{x} = x^x(1 + \ln x) \ln y + x^x \cdot \frac{1}{y} y'$
$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1}{1} = 1^1(1 + \ln 1) \ln 1 + 1^1 \cdot \frac{1}{1} y'$
$1 = 1(1 + 0)(0) + 1 \cdot y'$
$1 = 0 + y'$
अतः,$y' = 1$।

(A) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \sqrt{\sin x + \ldots \infty}}}$ है।
चूंकि यह अनंत तक जाता है,हम इसे $y = \sqrt{\sin x + y}$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = \sin x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$ प्राप्त होता है।
यह $2y \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$ में सरल हो जाता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ होगा।

(A) दिया गया व्यंजक $x = e^{(y+e)^{(y+e)^{(y+\ldots \infty)}}}$,है,हम देख सकते हैं कि घातांक पहले $(y+e)$ से शुरू होने वाली एक पुनरावर्ती संरचना है।
चूंकि पूरा व्यंजक $x$ के बराबर है,हम समीकरण को $x = e^{y+x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln(x) = y + x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{x}$.

(A) दिया गया अनंत सतत भिन्न: $y = \frac{\sin x}{1 + \frac{\cos x}{1 + y}}$.
दोनों पक्षों को $(1 + y + \cos x)$ से गुणा करने पर: $y(1 + y + \cos x) = \sin x(1 + y)$.
$y + y^2 + y \cos x = \sin x + y \sin x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx} \cos x - y \sin x) = \cos x(1 + y) + \sin x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx}(1 + 2y + \cos x - \sin x) = \cos x + y \cos x + y \sin x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin x + (1 + y) \cos x}{1 + 2y + \cos x - \sin x}$.

(D) दिया गया है,$ y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} $
चूंकि वर्गमूल के नीचे का व्यंजक अनंत तक दोहराया जाता है,हम लिख सकते हैं:
$ y=\sqrt{x+y} $
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ y^{2}=x+y $
दोनों पक्षों का $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(x+y) $
$ 2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} $
$ \frac{dy}{dx} $ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 $
$ \frac{dy}{dx}(2y - 1) = 1 $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1} $

(D) दिया गया समीकरण: $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = x + \sqrt{x + \sqrt{x + \ldots}}$
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $y$ है,हम लिख सकते हैं: $y^2 = x + y$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2 - y = x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(x)$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 1}$

(C) दिया गया समीकरण $y = e^{x^2 + e^{x^2 + e^{x^2} + \dots}}$ है।
चूंकि घातांक अनंत तक दोहराया जाता है,हम लिख सकते हैं $y = e^{x^2 + y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln(y) = x^2 + y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(y)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - 1) = 2x$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y}{y}) = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{1 - y}$।

(D) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\log(x^2+1) + y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \log(x^2+1) + y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\log(x^2+1)) + \frac{d}{dx}(y)$.
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
$(2y-1) \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2+1)(2y-1)}$.

(C) दिया गया समीकरण $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+\sqrt{\sin (\log (2 x))+\ldots \infty}}$ है।
चूंकि यह अनंत तक है,हम लिख सकते हैं $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = \sin (\log (2 x)) + y$,अर्थात $y^2 - y = \sin (\log (2 x))$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(\sin (\log (2 x)))$.
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \cos (\log (2 x)) \cdot \frac{d}{dx}(\log (2 x))$.
$\frac{d}{dx}(\log (2 x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.
अतः,$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x(2y - 1)}$.