यदि c = frac{1}{2} और f(x) = 2x - x^2 है,तो x | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = 2x - x^2$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x) = 2 - 2x$ है।$LMVT$ के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f^{\prim

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$(0, 1)$

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(C) फलन $f(x) = 2x - x^2$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x) = 2 - 2x$ है।$LMVT$ के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $c = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $f^{\prime}(\frac{1}{2}) = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$ है।अब,छेदक रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(2b - b^2) - (2a - a^2)}{b - a} = \frac{2(b - a) - (b^2 - a^2)}{b - a} = \frac{2(b - a) - (b - a)(b + a)}{b - a} = 2 - (a + b)$ है।दोनों की तुलना करने पर: $1 = 2 - (a + b)$,जिसका अर्थ है कि $a + b = 1$ है।$LMVT$ लागू होने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए। चूंकि यह एक बहुपद फलन है,यह हर जगह सतत और अवकलनीय है।विकल्पों की जांच करने पर,$(0, 1)$ के लिए $a=0$ और $b=1$ है,इसलिए $a+b = 1$ है। यह शर्त $c = \frac{1}{2} \in (0, 1)$ को संतुष्ट करता है।

यदि $c = \frac{1}{2}$ और $f(x) = 2x - x^2$ है,तो $x$ का वह अंतराल $(a, b)$ जिसमें $f(x)$ के लिए लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू होता है,क्या है?

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यदि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है,जहाँ $f(0)=f(2)$ और $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $p^2+q^2=$

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ है। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं और $a, b \in I, a < b$ है। तो,

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $\alpha = $ है,तो $x \in [0, 1]$ के लिए $f$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।

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