मान लीजिए कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है और सभी $x$ के लिए $f'(x) \le 2$ है। यदि $f(1) = 2$ और $f(4) = 8$ है,तो $f(2)$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)=(2x-1)(3x+2)(4x-3)$ एक वास्तविक मान वाला फलन है जो $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ पर परिभाषित है,तो रोले के प्रमेय के कथन में परिभाषित '$c$' का/के मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$,$(a, b)$ में अवकलनीय है,$x=a$ और $x=b$ पर सतत है,और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

अंतराल $[1, 3]$ में फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए। सभी $c \in (1, 3)$ ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।

फलन $f(x) = x(x - 1)^2, x \in [0, 2]$ के लिए अंतराल $(0, 2)$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करने वाले $c$ का मान क्या है?