Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Hindi

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $\mathbb{R}$ पर संतत और अवकलनीय है।
हम देखते हैं कि $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) = 0$ है।
दिया गया है कि $a + b + c = 0$,इसलिए $f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = a + b + c = 0$ है।
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$ है,रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $\alpha \in (0, 1)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(\alpha) = 0$ हो।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ प्राप्त होता है।
अतः,किसी $\alpha \in (0, 1)$ के लिए $f'(\alpha) = 3a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ है।
इसलिए,द्विघात समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ का $[0, 1]$ में कम से कम एक मूल है।

(A) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$ को परिभाषित करें।
स्पष्ट है कि $F(0) = 0$ है।
साथ ही,$F(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ है।
दिया गया है कि $2a + 3b + 6c = 0$,इसलिए $F(1) = 0$ है।
चूंकि $F(0) = F(1) = 0$ है और $F(x)$ एक बहुपद है,इसलिए रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,$(0, 1)$ के बीच कम से कम एक $x$ ऐसा विद्यमान है जिसके लिए $F'(x) = 0$ है।
चूंकि $F'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ है,इसलिए $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है।

(D) माना $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x$.
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(\alpha) = 0$,जहाँ $\alpha > 0$,फलन $f(x)$ अंतराल $[0, \alpha]$ पर रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अवकलज $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल विवृत अंतराल $(0, \alpha)$ में स्थित होगा।
अवकलज $f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$ है।
अतः,समीकरण $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ का एक धनात्मक मूल $\alpha$ से छोटा होगा।

(C) दिया गया है कि $f$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए हम अंतराल $[1, 6]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) को लागू कर सकते हैं।
प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (1, 6)$ मौजूद है ताकि $\frac{f(6) - f(1)}{6 - 1} = f'(c)$ हो।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \ge 2$,इसलिए $f'(c) \ge 2$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(6) - (-2)}{5} \ge 2$.
$\frac{f(6) + 2}{5} \ge 2$.
$f(6) + 2 \ge 10$.
$f(6) \ge 8$.

(B) माना $g(x) = f(x) - x^2$ है।
चूंकि $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$,हमारे पास $g(1) = 1 - 1^2 = 0$,$g(2) = 4 - 2^2 = 0$,और $g(3) = 9 - 3^2 = 0$ है।
अतः,$g(x)$ के $x = 1, 2, 3$ पर कम से कम $3$ वास्तविक मूल हैं।
रोल प्रमेय के अनुसार,$g'(x)$ का $(1, 2)$ में कम से कम एक और $(2, 3)$ में कम से कम एक मूल है,जिसका अर्थ है कि $g'(x)$ के $(1, 3)$ में कम से कम $2$ मूल हैं।
$g'(x)$ पर पुनः रोल प्रमेय लागू करने पर,$g''(x)$ का $(1, 3)$ में कम से कम $1$ मूल होना चाहिए।
चूंकि $g(x) = f(x) - x^2$,हमारे पास $g'(x) = f'(x) - 2x$ और $g''(x) = f''(x) - 2$ है।
किसी $c \in (1, 3)$ के लिए $g''(c) = 0$ होने के कारण,$f''(c) - 2 = 0$ होगा,अर्थात कम से कम एक $c \in (1, 3)$ के लिए $f''(c) = 2$ होगा।

(A) माध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 5)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ है।
दिया गया है कि सभी $x \in (1, 5)$ के लिए $f'(x) \ge 9$,इसलिए $f'(c) \ge 9$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(5) - (-3)}{4} \ge 9$.
$f(5) + 3 \ge 36$.
$f(5) \ge 33$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 - 2x + 4$।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 2x - 2$।
$x = c$ पर,$f'(c) = 2c - 2$।
अब,$f(5)$ और $f(1)$ की गणना करें:
$f(5) = 5^2 - 2(5) + 4 = 25 - 10 + 4 = 19$।
$f(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$।
इन मानों को दिए गए समीकरण $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ में रखें:
$\frac{19 - 3}{5 - 1} = 2c - 2$।
$\frac{16}{4} = 2c - 2$।
$4 = 2c - 2$।
$2c = 6$।
$c = 3$।

(D) रोले के प्रमेय के लिए एक फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ पर तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 1}$ दिया गया है।
फलन $x = 1$ पर अपरिभाषित है,इसलिए यह $x = 1$ पर असतत है।
किसी भी अंतराल $[a, b]$ जिसमें $x = 1$ शामिल है,वहां फलन सतत नहीं है।
दिए गए विकल्पों में:
- $[0, 3]$ के लिए,$1 \in (0, 3)$,इसलिए यह सतत नहीं है।
- $[-3, 0]$ के लिए,फलन सतत और अवकलनीय है,लेकिन $f(-3) = -4.5$ और $f(0) = 0$ है। चूँकि $f(-3) \neq f(0)$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $[1.5, 3]$ के लिए,फलन सतत और अवकलनीय है,लेकिन $f(1.5) = -4.5$ और $f(3) = 0$ है। चूँकि $f(1.5) \neq f(3)$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
अतः,विकल्पों में से किसी भी अंतराल के लिए सभी शर्तें संतुष्ट नहीं होती हैं।

(B) लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ हो।
यहाँ $f(x) = e^x$,$a = 0$,और $b = 1$ दिया गया है।
सबसे पहले,$f(a) = e^0 = 1$ और $f(b) = e^1 = e$ ज्ञात करते हैं।
अवकलन करने पर $f'(x) = e^x$ प्राप्त होता है,इसलिए $f'(c) = e^c$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{e - 1}{1 - 0} = e^c$
$e - 1 = e^c$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\log(e - 1) = c$।
अतः,$c$ का मान $\log(e - 1)$ है।

(B) फलन को $f(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सबसे पहले,हम रोल के प्रमेय की शर्तों की जाँच करते हैं:
$1$. $f(x)$,$[-1, 1]$ पर सतत है।
$2$. $f(-1) = |-1| = 1$ और $f(1) = |1| = 1$,इसलिए $f(-1) = f(1)$ है।
$3$. हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
दायां अवकलज: $Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.
बायां अवकलज: $Lf'(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.
चूंकि $Rf'(0) \neq Lf'(0)$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-1, 1)$ अंतराल में स्थित है।
इसलिए,रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि फलन $(-1, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक ऐसा बिंदु $c$ मौजूद होता है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
यहाँ $f(x) = \cos x$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = 0$ और $b = \frac{\pi}{2}$ है।
$f(a) = f(0) = \cos(0) = 1$.
$f(b) = f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
अब,ढाल की गणना करने पर: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0 - 1}{\frac{\pi}{2} - 0} = -\frac{2}{\pi}$.
चूंकि $f'(x) = -\sin x$,इसलिए $f'(c) = -\sin c = -\frac{2}{\pi}$ होगा।
अतः,$\sin c = \frac{2}{\pi}$,जिसका अर्थ है कि $c = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\pi}\right)$।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{x}$।
तब $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$f'(x_1) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।
मान रखने पर,$-\frac{1}{x_1^2} = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}$।
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{\frac{a - b}{ab}}{b - a} = \frac{-(b - a)}{ab(b - a)} = -\frac{1}{ab}$।
अतः,$-\frac{1}{x_1^2} = -\frac{1}{ab}$,जिसका अर्थ है $x_1^2 = ab$।
चूंकि $a < x_1 < b$,इसलिए $x_1 = \sqrt{ab}$।

(C) रोले के प्रमेय में $c$ का मान निर्धारित करने के लिए,हम $f'(c) = 0$ को हल करते हैं।
दिया गया है $f(x) = (x^2 + 3x)e^{-(1/2)x}$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = (2x + 3)e^{-(1/2)x} + (x^2 + 3x)e^{-(1/2)x} \cdot (-1/2)$.
$f'(x) = e^{-(1/2)x} \left[ 2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x \right]$.
$f'(x) = e^{-(1/2)x} \left[ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \right]$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$-2$ से गुणा करने पर,$c^2 - c - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
$(c - 3)(c + 2) = 0$.
अतः,$c = 3$ या $c = -2$.
चूंकि $c$ को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए,इसलिए $c = 3$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$c = -2$।

(B) किसी फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = x^2 - 4$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह हर जगह सतत और अवकलनीय है।
हम दिए गए विकल्पों के लिए $f(a) = f(b)$ की शर्त की जाँच करते हैं:
विकल्प $(b)$ के लिए,अंतराल $[-2, 2]$ है।
$f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
$f(2) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
चूँकि $f(-2) = f(2)$ है,इसलिए अंतराल $[-2, 2]$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।

(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[1, 3]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = 1$ और $b = 3$ है।
$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$.
$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
प्रमेय लागू करने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$.
$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$.
$\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$c^2 = 3 \Rightarrow c = \sqrt{3}$ (क्योंकि $c \in (1, 3)$)।

(C) माध्य मान प्रमेय $(MVT)$ के अनुसार,यदि कोई फलन $f(x)$ बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है,तो खुले अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु ${x_1}$ ऐसा विद्यमान होता है कि:
$f'({x_1}) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
माध्य मान प्रमेय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु ${x_1}$ को $a$ और $b$ के बीच में होना चाहिए।
अतः,$a < {x_1} < b$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (0, 2)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f'(c)$ है।
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{f(2)}{2} = f'(c)$ है।
किसी भी $x \in [0, 2]$ के लिए,$[0, x]$ पर माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,कोई $c_x \in (0, x)$ मौजूद है जिसके लिए $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(c_x)$ है।
$f(0) = 0$ होने के कारण,यह $\frac{f(x)}{x} = f'(c_x)$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $f(x) = x \cdot f'(c_x)$।
मापांक (absolute value) लेने पर,$|f(x)| = |x| \cdot |f'(c_x)|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[0, 2]$ में सभी $x$ के लिए $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $|f(x)| \le |x| \cdot \frac{1}{2}$ होगा।
$[0, 2]$ में $x$ का अधिकतम मान $2$ है,इसलिए $|f(x)| \le 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$|f(x)| \le 1$।

(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,$f(1) = f(3)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$ प्राप्त करें।
इसके बाद,$f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$ प्राप्त करें।
$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर,$a + b - 5 = 3a + b - 27$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $b$ घटाने पर: $a - 5 = 3a - 27$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $27 - 5 = 3a - a$,जिससे $22 = 2a$ प्राप्त होता है,अतः $a = 11$।
रोले के प्रमेय के लिए यह भी आवश्यक है कि किसी $c \in (1, 3)$ के लिए $f'(c) = 0$ हो।
$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$।
$f'(c) = 0$ रखने पर: $3c^2 - 12c + 11 = 0$।
मूल $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं।
चूँकि $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ जो $(1, 3)$ में है,इसलिए $a = 11$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।
विकल्प $A$ में $a = 11$ और $b = -6$ दिया गया है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-2x}) \cdot \sin 2x + e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 2x)$
$f'(x) = -2e^{-2x} \sin 2x + e^{-2x} \cdot 2 \cos 2x$
$f'(x) = 2e^{-2x} (\cos 2c - \sin 2c)$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक $c \in (0, \pi/2)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$2e^{-2c} (\cos 2c - \sin 2c) = 0$.
चूंकि किसी भी वास्तविक $c$ के लिए $2e^{-2c} \neq 0$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\cos 2c - \sin 2c = 0$
$\cos 2c = \sin 2c$
$\tan 2c = 1$.
चूंकि $c \in (0, \pi/2)$,इसलिए $2c \in (0, \pi)$ है।
$2c$ का वह मान जिसके लिए $\tan 2c = 1$ है,वह $2c = \pi/4$ है।
अतः,$c = \pi/8$.

(B) कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int_1^2 f'(x) dx = [f(x)]_1^2 = f(2) - f(1)$.
चूंकि $f(x)$,$[1, 2]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है,इसलिए इसकी एक आवश्यक शर्त यह है कि $f(1) = f(2)$।
अतः,$f(2) - f(1) = 0$।
इसलिए,$\int_1^2 f'(x) dx = 0$ होगा।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $f'(x) = 3x^2 - 12x + a$।
रोले के प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(1, 3)$ में एक ऐसा बिंदु $c$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
हमें दिया गया है कि $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$,जो सरल होकर $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ हो जाता है।
$x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ को $f'(x) = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 - 12\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + a = 0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$3\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) - 24 - \frac{12}{\sqrt{3}} + a = 0$।
$12 + 1 + 4\sqrt{3} - 24 - 4\sqrt{3} + a = 0$।
$13 - 24 + a = 0$।
$-11 + a = 0$,जिससे $a = 11$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $f(x) = \sqrt{x}$,$a = 4$,और $b = 9$ है।
सबसे पहले,$f(a)$ और $f(b)$ की गणना करें:
$f(4) = \sqrt{4} = 2$
$f(9) = \sqrt{9} = 3$
इसके बाद,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
माध्य मान प्रमेय के अनुसार:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{3 - 2}{9 - 4}$
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{5}$
$2\sqrt{c} = 5$
$\sqrt{c} = \frac{5}{2} = 2.5$
$c = (2.5)^2 = 6.25$
अतः,$c$ का मान $6.25$ है।

(A) दिया गया वक्र $f(x) = x^3$ अंतराल $[-2, 2]$ पर है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-2, 2)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = -2$ और $b = 2$ है।
$f(2) = 2^3 = 8$ और $f(-2) = (-2)^3 = -8$ है।
छेदक रेखा की ढाल $\frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{8 - (-8)}{4} = \frac{16}{4} = 4$ है।
अवकलन $f'(x) = 3x^2$ है।
$f'(c) = 4$ रखने पर,हमें $3c^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$c^2 = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है कि $c = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(B) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(3, 4)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(3)}{4 - 3}$ हो।
सबसे पहले,$(3, 0)$ और $(4, 1)$ को जोड़ने वाली जीवा की ढाल ज्ञात करें:
$m = \frac{1 - 0}{4 - 3} = 1$.
अब,$f(x) = (x - 3)^2$ का अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 2(x - 3)$.
अवकलज को जीवा की ढाल के बराबर रखें:
$2(c - 3) = 1 \Rightarrow c - 3 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{7}{2}$.
अब,$x = \frac{7}{2}$ को फलन में रखकर संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \left( \frac{7}{2} - 3 \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \frac{7}{2}, \frac{1}{4} \right)$ है।

(D) अंतराल $[4, 9]$ पर फलन $f(x) = \sqrt{x}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$f(a)$ और $f(b)$ की गणना करें:
$f(4) = \sqrt{4} = 2$
$f(9) = \sqrt{9} = 3$
इसके बाद,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (4, 9)$ मौजूद है कि:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{3 - 2}{9 - 4}$
$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{5}$
$2\sqrt{c} = 5$
$\sqrt{c} = 2.5$
$c = (2.5)^2 = 6.25$
अतः,$c$ का मान $6.25$ है।

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ यह बताता है कि किसी फलन $f(x)$ पर $[a, b]$ में इसे लागू करने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
विकल्प $(d)$ की जाँच करने पर: $f(x) = |x|$.
यह फलन $[0, 1]$ पर सतत है,लेकिन यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो कि अंतराल $[0, 1]$ के भीतर स्थित है।
इसलिए,$[0, 1]$ पर $f(x) = |x|$ के लिए $LMVT$ लागू नहीं होता है।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक बिंदु $c \in (1, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ हो।
दिए गए $f(x) = x^3 - 6ax^2 + 5x$ के लिए:
$f(2) = 2^3 - 6a(2^2) + 5(2) = 8 - 24a + 10 = 18 - 24a$.
$f(1) = 1^3 - 6a(1^2) + 5(1) = 1 - 6a + 5 = 6 - 6a$.
अतः,जीवा की ढाल $\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = (18 - 24a) - (6 - 6a) = 12 - 18a$ है।
अवकलन $f'(x) = 3x^2 - 12ax + 5$ है।
चूंकि $x = \frac{7}{4}$ पर स्पर्श रेखा जीवा के समांतर है,इसलिए $f'(\frac{7}{4}) = 12 - 18a$ होगा।
$3(\frac{7}{4})^2 - 12a(\frac{7}{4}) + 5 = 12 - 18a$.
$3(\frac{49}{16}) - 21a + 5 = 12 - 18a$.
$\frac{147}{16} + 5 - 12 = 21a - 18a$.
$\frac{147 - 112}{16} = 3a$.
$\frac{35}{16} = 3a$.
$a = \frac{35}{48}$.

(D) $f(x)$ के लिए $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(0) = f(1)$.
शर्त $3$ की जाँच करने पर: $f(1) = 1^\alpha \ln(1) = 0$ और $f(0) = 0$ है। अतः $f(0) = f(1) = 0$ किसी भी $\alpha$ के लिए सत्य है।
शर्त $1$ की जाँच करने पर ($x=0$ पर सांतत्य): हमें $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ की आवश्यकता है। यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि और केवल यदि $\alpha > 0$ हो।
शर्त $2$ की जाँच करने पर ($(0, 1)$ पर अवकलनीयता): $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \ln x + x^{\alpha-1} = x^{\alpha-1}(\alpha \ln x + 1)$ है। यह किसी भी $\alpha$ के लिए $x \in (0, 1)$ पर परिभाषित है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $\alpha = 0.5$ ही $\alpha > 0$ की शर्त को पूरा करता है।

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$। ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है।
$g(0) = 0$ और $g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ की गणना करें।
चूंकि $2a + 3b + 6c = 0$ है,इसलिए $g(1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g(0) = 0$ और $g(1) = 0$ है,और $g(x)$ एक बहुपद है (जो हर जगह सतत और अवकलनीय है),इसलिए $[0, 1]$ अंतराल में $g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_0$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c_0) = 0$ हो।
चूंकि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है,इसका अर्थ है कि $ac_0^2 + bc_0 + c = 0$ है।
इसलिए,द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \log(\sin x)$ है।
लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $(a, b)$ में एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{5\pi}{6}$ है।
$f(a) = \log(\sin \frac{\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2})$ और $f(b) = \log(\sin \frac{5\pi}{6}) = \log(\frac{1}{2})$ है।
अतः,$f'(c) = \frac{\log(1/2) - \log(1/2)}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = 0$ होगा।
अब,$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ होता है।
इसलिए,$\cot c = 0$ होगा।
अंतराल $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ में $c$ का मान $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ है।
चूँकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह बंद अंतराल $[\alpha, \beta]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(\alpha, \beta)$ पर अवकलनीय है।
यह दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(\alpha) = 0$ और $f(\beta) = 0$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
बहुपद का अवकलज $f'(x) = na_nx^{n-1} + (n - 1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$ है।
अतः,समीकरण $f'(x) = 0$ के अंतराल $(\alpha, \beta)$ में कम से कम एक मूल होता है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$,$[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है।
लाग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (2, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ हो।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [2, 4]$ के लिए $f'(x) \geq 6$,इसलिए $f'(c) \geq 6$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{f(4) - (-4)}{2} \geq 6$ प्राप्त होता है।
$f(4) + 4 \geq 12$.
$f(4) \geq 8$.

(A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,यदि फलन $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,तो कम से कम एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा होगा कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = \log_e x$,$a = 1$,और $b = 3$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$
$\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3 - \log_e 1}{2}$
चूँकि $\log_e 1 = 0$,इसलिए:
$\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3}{2}$
अतः,$c = \frac{2}{\log_e 3} = 2 \log_3 e$।

(D) $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत और $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए,जहाँ $f(0) = f(1)$ हो।
दिया गया है कि $f(0) = 0$ और $f(1) = 1^{\alpha} \log(1) = 0$,इसलिए $f(0) = f(1)$ की शर्त किसी भी $\alpha$ के लिए संतुष्ट होती है।
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \log x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}}$।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर,यह सीमा $\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{\alpha}}{-\alpha} = 0$ होती है,यदि $\alpha > 0$ हो।
विकल्पों की जाँच करने पर,$\alpha = 1/2$ के लिए सीमा $0$ प्राप्त होती है,जो सांतत्य की शर्त को संतुष्ट करती है।
अतः,$\alpha = 1/2$ सही मान है।

(D) माना $f(x) = 2x^3 + 3x + K$ है।
यदि $f(x)$ के अंतराल $[0, 1]$ में दो वास्तविक मूल हैं,तो रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा होना चाहिए कि $f'(c) = 0$ हो।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 6x^2 + 3$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $6x^2 + 3 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ कभी शून्य नहीं होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ में एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान फलन किसी भी अंतराल में अधिकतम एक ही वास्तविक मूल रख सकता है।
इस प्रकार,$K$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण $2x^3 + 3x + K = 0$ के अंतराल $[0, 1]$ में दो वास्तविक मूल होना असंभव है।

(A) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक $c \in (1, 6)$ का अस्तित्व है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(6) - f(1)}{6 - 1}$ है।
दिया गया है कि $x \in [1, 6]$ के लिए $f'(x) \geq 2$,इसलिए $f'(c) \geq 2$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{f(6) - (-2)}{5} \geq 2$ प्राप्त होता है।
$f(6) + 2 \geq 10$.
$f(6) \geq 8$.

(C) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,$f(1) = f(3)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = a + b - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$.
$f(1) = f(3)$ रखने पर,$a + b - 5 = 3a + b - 27$,जिसे हल करने पर $2a = 22$ प्राप्त होता है,अतः $a = 11$.
चूंकि $b$ समीकरण $f(1) = f(3)$ में कट जाता है,इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(b \in R)$।
इसके अतिरिक्त,$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $f'(c) = 0$ होता है।
$f'(c) = 3(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 12(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + 11 = 3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) - 24 - \frac{12}{\sqrt{3}} + 11 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 - 24 - 4\sqrt{3} + 11 = 0$.
अतः,$a = 11$ और किसी भी $b \in R$ के लिए शर्त $f'(c) = 0$ संतुष्ट होती है।

(A) माना कि $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x$.
हमें दिया गया है कि $f(0) = 0$ और $f(\alpha) = 0$.
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, \alpha]$ पर सतत है और $(0, \alpha)$ पर अवकलनीय है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, \alpha)$ के बीच कम से कम एक ऐसा बिंदु $c$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
यहाँ $f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1$ है।
अतः,समीकरण $f'(x) = 0$ का $(0, \alpha)$ अंतराल में कम से कम एक धनात्मक मूल है,जिसका अर्थ है कि वह मूल $\alpha$ से कम है।

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ है।
हमें दिया गया है कि $a + b + c = 0$ है।
$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$ का मान ज्ञात करें।
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d$ का मान ज्ञात करें।
चूंकि $a + b + c = 0$ है,इसलिए $f(1) = 0 + d = d$ है।
अतः,$f(0) = f(1) = d$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
इसलिए,समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) = 0$.
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = a + b + c$.
दिया गया है कि $a + b + c = 0$,इसलिए $f(1) = 0$ है।
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$ है,रोल की प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_0$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c_0) = 0$ हो।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
अतः,समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ का अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।

(C) माना $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ है।
तब,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$ होगा।
हमें दिया गया है कि $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल है।
$x=0$ और $x=3$ पर $f(x)$ के मानों पर विचार करें:
$f(0) = a(0)^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = e$।
$f(3) = a(3)^4 + b(3)^3 + c(3)^2 + d(3) + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e$।
हम $f(3)$ को $f(3) = 3(27a + 9b + 3c + d) + e$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $27a + 9b + 3c + d = 0$ दिया गया है,इसलिए $f(3) = 3(0) + e = e$ होगा।
अतः,$f(0) = f(3) = e$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 3]$ पर सतत है और $(0, 3)$ पर अवकलनीय है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 3)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
इसलिए,समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल अंतराल $(0, 3)$ में स्थित है।

(A) माना $f(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx$.
तब $f'(x) = ax^2 + bx + c$.
हम देखते हैं कि $f(0) = 0$.
साथ ही,$f(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$.
दिया गया है कि $2a + 3b + 6c = 0$,इसलिए $f(1) = \frac{0}{6} = 0$.
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_0$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c_0) = 0$ हो।
अतः,समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$,$[2, 5]$ में अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक संख्या $c \in (2, 5)$ ऐसी विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 2$ और $b = 5$ है।
$f'(c) = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{1/2 - 1/5}{3}$.
$f'(c) = \frac{(5 - 2)/10}{3} = \frac{3/10}{3} = \frac{1}{10}$.

(C) $x \in [2, 5]$ के लिए,फलन को $f(x) = (x - 2) - (x - 5) = 3$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $f(x) = 3$ अंतराल $[2, 5]$ पर एक अचर फलन है,इसका अवकलज $f'(x) = 0$ है,सभी $x \in (2, 5)$ के लिए।
अतः,$f'(4) = 0$,इसलिए कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए,$f(x) = |x - 2| + |x - 5|$ सतत फलनों का योग है,इसलिए यह $[2, 5]$ पर सतत है।
अंतराल $(2, 5)$ पर,$f(x) = 3$,जो एक अचर फलन है और इसलिए अवकलनीय है।
साथ ही,$f(2) = |2 - 2| + |2 - 5| = 3$ और $f(5) = |5 - 2| + |5 - 5| = 3$,इसलिए $f(2) = f(5)$ है।
कथन-$2$ सत्य है।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[2, 5]$ पर अचर है,इसका अवकलज $(2, 5)$ में हर जगह शून्य है,जो सीधे तौर पर यह समझाता है कि $f'(4) = 0$ क्यों है। अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(C) दी गई शर्त $2a + 3b + 6c = 0$ है।
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0$ प्राप्त होता है।
माना $f(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx$ है। ध्यान दें कि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
अंत बिंदुओं पर मानों की गणना करें:
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0$.
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_0$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c_0) = 0$ हो।
$f'(x) = ax^2 + bx + c$ है।
अतः,समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।

(D) माध्य मान प्रमेय $(MVT)$ के लिए एक फलन का अंतराल $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
विकल्प $D$ के लिए,$f(x) = |x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। चूंकि $0 \in [0, 1]$,इसलिए फलन $f(x) = |x|$ अंतराल $(0, 1)$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x) = |x|$ पर अंतराल $[0, 1]$ में माध्य मान प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता है क्योंकि यह $x = 0$ पर अवकलनीयता की शर्त को पूरा नहीं करता है।

(A) रोले के प्रमेय के अनुसार,$[1, 3]$ अंतराल में $f(1) = f(3)$ होता है।
$a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6$
$a + b + 5 = 27a + 9b + 27$
$26a + 8b + 22 = 0 \implies 13a + 4b + 11 = 0 \dots (i)$
अब,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$ है।
दिया गया है कि $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$,अतः $x = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$3a\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$
$3a\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$
$13a + 4\sqrt{3}a + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 11 = 0$
समीकरण $(i)$ से $13a + 4b + 11 = 0$ है,इसलिए $4\sqrt{3}a + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0$ होगा।
$12a = -2b \implies b = -6a$।
$b = -6a$ को $(i)$ में रखने पर:
$13a + 4(-6a) + 11 = 0$
$-11a = -11 \implies a = 1$।
अतः $b = -6(1) = -6$।

(A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(1, 3)$ में एक ऐसा मान $c$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
यहाँ $f(x) = \log_e x$ दिया गया है,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{x}$ होगा।
यहाँ $a = 1$ और $b = 3$ है।
अतः,$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{\log_e 3 - \log_e 1}{2}$ होगा।
चूंकि $\log_e 1 = 0$,इसलिए $f'(c) = \frac{\log_e 3}{2}$ प्राप्त होता है।
$f'(c) = \frac{1}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3}{2}$ मिलता है।
इसलिए,$c = \frac{2}{\log_e 3} = 2 \log_3 e$ होगा।

(D) फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे टुकड़ों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) - (x-5) = -2x + 7 & \text{यदि } x < 2 \\ (x-2) - (x-5) = 3 & \text{यदि } 2 \le x < 5 \\ (x-2) + (x-5) = 2x - 7 & \text{यदि } x \ge 5 \end{cases}$
कथन-$1$ के लिए:
अंतराल $(2, 5)$ में,$f(x) = 3$ है। इसलिए,सभी $x \in (2, 5)$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
चूंकि $4 \in (2, 5)$,इसलिए $f'(4) = 0$ है। अतः,कथन-$1$ सही है।
कथन-$2$ के लिए:
$f(x)$ सतत फलनों का योग है,इसलिए यह हर जगह सतत है। $[2, 5]$ में,$f(x) = 3$ है,जो एक अचर फलन है,इसलिए यह $(2, 5)$ में अवकलनीय है।
साथ ही,$f(2) = |2-2| + |2-5| = 3$ और $f(5) = |5-2| + |5-5| = 3$ है। अतः,$f(2) = f(5)$ है।
कथन-$2$ सही है।
कथन-$2$ रोले के प्रमेय की शर्तों का वर्णन करता है,जो यह दर्शाता है कि $(2, 5)$ में एक ऐसा बिंदु $c$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है। चूंकि $f(x)$,$[2, 5]$ पर अचर है,इसलिए सभी $x \in (2, 5)$ के लिए $f'(x) = 0$ है,जो कथन-$1$ की पुष्टि करता है। अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।