Logarithmic Differentiation Questions in Hindi

(A) दिया गया है $y = x \sin x$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x \sin x)$।
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln y = \ln x + \ln(\sin x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \cot x$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है $y = \frac{e^{2x} \cos x}{x \sin x} = \frac{e^{2x} \cot x}{x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \ln(e^{2x}) + \ln(\cot x) - \ln(x) = 2x + \ln(\cot x) - \ln x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 + \frac{1}{\cot x} \cdot (-\csc^2 x) - \frac{1}{x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए $y = \frac{e^{2x} \cot x}{x}$ के लिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x} \cot x) - e^{2x} \cot x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x [2e^{2x} \cot x + e^{2x} (-\csc^2 x)] - e^{2x} \cot x}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2x} [2x \cot x - x \csc^2 x - \cot x]}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2x} [(2x - 1) \cot x - x \csc^2 x]}{x^2}$.

(B) दिया गया है $y = \frac{2(x - \sin x)^{3/2}}{\sqrt{x}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \ln 2 + \frac{3}{2} \ln(x - \sin x) - \frac{1}{2} \ln x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0 + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - \sin x} \cdot (1 - \cos x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$.
$y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{3}{2} \cdot \frac{1 - \cos x}{x - \sin x} - \frac{1}{2x} \right]$.
$y$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x - \sin x)^{3/2}}{\sqrt{x}} \left[ \frac{3}{2} \cdot \frac{1 - \cos x}{x - \sin x} - \frac{1}{2x} \right]$.

(A) दिया गया है $y = x^x$.
दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = x \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,दाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$.
चूंकि $1 = \log e$,हम लिख सकते हैं $1 + \log x = \log e + \log x = \log(ex)$.
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = x^x \log(ex)$.

(B) दिया गया है $y = \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} .$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \frac{1}{2} \ln(1 + x) - \frac{1}{2} \ln(1 - x).$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2(1 + x)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1 - x)} \cdot (-1)$
$\frac{1}{y} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2(1 + x)} + \frac{1}{2(1 - x)}$
$\frac{1}{y} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2} \left[ \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 + x)(1 - x)} \right]$
$\frac{1}{y} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{1 - {x^2}} \right] = \frac{1}{1 - {x^2}}$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{y}{1 - {x^2}} = \frac{1}{1 - {x^2}} \cdot \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} $
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{{(1 - x)(1 + x)}} \cdot \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}}}}{{{{(1 - x)}^{1/2}}}} = \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}}}}{{{{(1 + x)}^1}{{(1 - x)}^{3/2}}}} = \frac{1}{{{{(1 + x)}^{1/2}}{{(1 - x)}^{3/2}}}}.$

(A) दिया गया है $y = \sqrt {\frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)(x - d)}} $.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log y = \frac{1}{2} [\log (x - a) + \log (x - b) - \log (x - c) - \log (x - d)]$
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} - \frac{1}{x - c} - \frac{1}{x - d} \right]$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} \left[ \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} - \frac{1}{x - c} - \frac{1}{x - d} \right]$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $y = (1 + x)^x$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = x \log(1 + x)$।
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x] \cdot \log(1 + x) + x \cdot \frac{d}{dx}[\log(1 + x)]$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log(1 + x) + x \cdot \frac{1}{1 + x}$।
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = y \left[ \log(1 + x) + \frac{x}{1 + x} \right]$।
$y = (1 + x)^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = (1 + x)^x \left[ \frac{x}{1 + x} + \log(1 + x) \right]$।

(A) दिया गया है $y = x^{\sqrt{x}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{\sqrt{x}})$.
$\ln(a^b) = b \ln a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\ln y = \sqrt{x} \ln x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$.
चूंकि $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$,इसलिए $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
पदों को संयोजित करने के लिए,$\frac{1}{\sqrt{x}}$ को $\frac{2}{2\sqrt{x}}$ के रूप में लिखने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}} \right) = x^{\sqrt{x}} \left( \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}} \right)$.

(C) दिया गया है $y = ({x^x})^x$।
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{mn}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $y = x^{x^2}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \ln(x^{x^2}) = x^2 \ln x$।
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x(1 + 2 \ln x)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \cdot x(1 + 2 \ln x) = x({x^x})^x(1 + 2 \ln x)$।

(A) दिया गया है $y = {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = x \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)$.
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ x \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) \right]$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + x \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) + x \cdot \frac{x}{x + 1} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) - \frac{1}{x + 1}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) - \frac{1}{x + 1} \right] = {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x}\left[ \log \left( {1 + \frac{1}{x}} \right) - \frac{1}{x + 1} \right]$.

(A) माना $y = x^{\log_e x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log_e y = \log_e(x^{\log_e x})$
$\log_e y = (\log_e x)(\log_e x) = (\log_e x)^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\log_e x) \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\log_e x) \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log_e x}{x}$
$y = x^{\log_e x}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^{\log_e x} \cdot \frac{2 \log_e x}{x}$
$\frac{dy}{dx} = 2 x^{(\log_e x - 1)} \log_e x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = x^{(x^x)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = x^x \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
हम जानते हैं कि यदि $z = x^x$ है,तो $\log z = x \log x$,इसलिए $\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{dz}{dx} = x^x(\log x + 1)$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = [x^x(\log x + 1)] \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}$.
चूंकि $x^x \cdot \frac{1}{x} = x^{x-1}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = y [x^x(\log x + 1)\log x + x^{x-1}]$.

(A) दिया गया है $y = x^{\sin x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = \sin x \ln x$ प्राप्त होता है।
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{x \cos x \ln x + \sin x}{x}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{x \cos x \ln x + \sin x}{x} \right)$।
$y = x^{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x + x \cos x \ln x}{x} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y = (\sin x)^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = x \ln(\sin x)$ प्राप्त होता है।
गुणनफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x)) + \ln(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(x)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x + \ln(\sin x) \cdot 1$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x \cot x + \ln(\sin x)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y [x \cot x + \ln(\sin x)]$।
$y = (\sin x)^x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x [x \cot x + \ln(\sin x)]$।
$\cot x$ को $\frac{\cos x}{\sin x}$ के रूप में लिखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left[ \frac{x \cos x + \sin x \ln(\sin x)}{\sin x} \right]$।

(A) दिया गया है $y = \frac{\sqrt{x}(2x + 3)^2}{\sqrt{x + 1}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \ln \left( \frac{\sqrt{x}(2x + 3)^2}{\sqrt{x + 1}} \right)$
$\ln y = \ln(\sqrt{x}) + \ln((2x + 3)^2) - \ln(\sqrt{x + 1})$
$\ln y = \frac{1}{2} \ln x + 2 \ln(2x + 3) - \frac{1}{2} \ln(x + 1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1}$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x} + \frac{4}{2x + 3} - \frac{1}{2(x + 1)}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{1}{2x} + \frac{4}{2x + 3} - \frac{1}{2(x + 1)} \right]$.

(B) माना $y = (\sin x)^{\log x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log x \cdot \log \sin x$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) \cdot \log \sin x + \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log \sin x)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \log \sin x + \log x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \log \sin x + \cot x \log x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{1}{x} \log \sin x + \cot x \log x \right]$.
$y = (\sin x)^{\log x}$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\log x} \left[ \frac{1}{x} \log \sin x + \cot x \log x \right]$.

(A) दिया गया है $y = (\tan x)^{\cot x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log y = \cot x \log(\tan x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cot x) \cdot \log(\tan x) + \cot x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\tan x))$.
यहाँ $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$ और $\frac{d}{dx}(\log(\tan x)) = \frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\csc^2 x \log(\tan x) + \cot x \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} = -\csc^2 x \log(\tan x) + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} = -\csc^2 x \log(\tan x) + \csc^2 x = \csc^2 x (1 - \log \tan x)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \csc^2 x (1 - \log \tan x)$.

(C) दिया गया है $y = x^2 + x^{\log x}$.
माना $u = x^2$ और $v = x^{\log x}$.
तब $y = u + v$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$.
$u = x^2$ के लिए,$\frac{du}{dx} = 2x$.
$v = x^{\log x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = v \cdot \frac{2 \log x}{x} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$.
इस प्रकार,$\frac{dy}{dx} = 2x + \frac{2 \log x \cdot x^{\log x}}{x}$.
$\frac{2}{x}$ कॉमन लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2 + \log x \cdot x^{\log x})}{x}$.

(C) दिया गया है $y = (\tan x)^{(\tan x)^{\tan x}}$.
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर,$\log y = (\tan x)^{\tan x} \log(\tan x)$.
माना $u = (\tan x)^{\tan x}$. तब $\log u = \tan x \log(\tan x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \sec^2 x \log(\tan x) + \tan x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \sec^2 x (\log(\tan x) + 1)$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u \sec^2 x (\log(\tan x) + 1) = (\tan x)^{\tan x} \sec^2 x (\log(\tan x) + 1)$.
अब,$\log y = u \log(\tan x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \log(\tan x) + u \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan x = 1$,इसलिए $u = 1^1 = 1$ और $y = 1^1 = 1$.
साथ ही,$\log(\tan x) = \log 1 = 0$ और $\sec^2 x = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{du}{dx} = 1 \cdot 2 \cdot (0 + 1) = 2$.
तब $\frac{1}{1} \frac{dy}{dx} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot \frac{1}{1} \cdot 2 = 2$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2$.

(C) दिया गया है $y = x^{\ln x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{\ln x})$।
गुणधर्म $\ln(a^b) = b \ln a$ का उपयोग करते हुए,$\ln y = (\ln x)(\ln x) = (\ln x)^2$।
अब $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (chain rule का उपयोग करते हुए):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \ln x}{x}$।
$y = x^{\ln x}$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^{\ln x} \cdot \frac{2 \ln x}{x} = 2 x^{\ln x} \cdot x^{-1} \cdot \ln x$।
$\frac{dy}{dx} = 2 x^{\ln x - 1} \ln x$।

(C) दिया गया समीकरण: ${x^m}{y^n} = 2{(x + y)^{m + n}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\ln({x^m}{y^n}) = \ln(2{(x + y)^{m + n}})$
$m\ln x + n\ln y = \ln 2 + (m + n)\ln(x + y)$
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(m\ln x + n\ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 2 + (m + n)\ln(x + y))$
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y}\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{m + n}{x + y}(1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{m + n}{x + y} + \frac{m + n}{x + y}\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(\frac{n}{y} - \frac{m + n}{x + y}) = \frac{m + n}{x + y} - \frac{m}{x}$
$\frac{dy}{dx}(\frac{nx + ny - my - ny}{y(x + y)}) = \frac{mx + nx - mx - my}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx}(\frac{nx - my}{y(x + y)}) = \frac{nx - my}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{nx - my}{x(x + y)} \times \frac{y(x + y)}{nx - my}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$

(A) दिया गया है $y = (x \log x)^{\log \log x}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log y = \log \log x \cdot \log(x \log x)$.
गुणधर्म $\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करने पर,$\log y = \log \log x (\log x + \log \log x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log \log x) \cdot (\log x + \log \log x) + \log \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log x + \log \log x)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left( \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \right) (\log x + \log \log x) + \log \log x \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \right)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x}(\log x + \log \log x) + \log \log x \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x \log x} \right)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left\{ \frac{1}{x \log x}(\log x + \log \log x) + \log \log x \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x \log x} \right) \right\}$.
$y = (x \log x)^{\log \log x}$ रखने पर,हमें अंतिम व्यंजक प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^py^q=(x+y)^{p+q}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$p \ln x + q \ln y = (p+q) \ln(x+y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{p+q}{x+y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} - \frac{p}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q(x+y) - y(p+q)}{y(x+y)} \right) = \frac{x(p+q) - p(x+y)}{x(x+y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x+y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x+y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x+y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x+y)}$
दोनों पक्षों को $\frac{qx - py}{x+y}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$

(D) दिया गया समीकरण $x^p \cdot y^q = (x + y)^{p + q}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(x^p \cdot y^q) = \ln((x + y)^{p + q})$
$p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln(x + y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = (p + q) \frac{1}{x + y} (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{q}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{p + q}{x + y} \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} - \frac{p}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q(x + y) - y(p + q)}{y(x + y)} \right) = \frac{x(p + q) - p(x + y)}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x + y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x + y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$,इसलिए यह $p$ और $q$ दोनों से स्वतंत्र है।

(D) दिया गया है $y = \tan x \tan 2x \tan 3x$।
हम जानते हैं कि $\tan 3x = \tan(2x + x) = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan x \tan 2x}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan 3x(1 - \tan x \tan 2x) = \tan 2x + \tan x$।
$\tan 3x - \tan x \tan 2x \tan 3x = \tan 2x + \tan x$।
अतः,$y = \tan x \tan 2x \tan 3x = \tan 3x - \tan 2x - \tan x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan 3x) - \frac{d}{dx}(\tan 2x) - \frac{d}{dx}(\tan x)$।
$\frac{dy}{dx} = 3 \sec^2 3x - 2 \sec^2 2x - \sec^2 x$।
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।
लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2y (\csc 2x + 2 \csc 4x + 3 \csc 6x)$ भी सही है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है $y = x^{x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{x^2})$.
$\ln(a^b) = b \ln a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln y = x^2 \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करके):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x \ln x + x$.
$\frac{dy}{dx} = y(2x \ln x + x)$.
$y = x^{x^2}$ प्रतिस्थापित करने और $x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^{x^2} \cdot x(2 \ln x + 1)$.

(D) दिया गया है $y = x^{(\ln x)^{\ln(\ln x)}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = (\ln x)^{\ln(\ln x)} \cdot \ln x$.
पुनः लघुगणक लेने पर: $\ln(\ln y) = \ln((\ln x)^{\ln(\ln x)} \cdot \ln x) = \ln((\ln x)^{\ln(\ln x)}) + \ln(\ln x)$.
$\ln(a^b) = b \ln a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\ln(\ln y) = \ln(\ln x) \cdot \ln(\ln x) + \ln(\ln x) = (\ln(\ln x))^2 + \ln(\ln x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{\ln y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \ln(\ln x) \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{y \ln y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2 \ln(\ln x) + 1}{x \ln x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y \ln y}{x \ln x} (2 \ln(\ln x) + 1)$. जो विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
चूंकि $\ln y = (\ln x)^{\ln(\ln x)} \cdot \ln x$,इस मान को $\frac{dy}{dx}$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x \ln x} \cdot (\ln x)^{\ln(\ln x)} \cdot \ln x \cdot (2 \ln(\ln x) + 1) = \frac{y}{x} (\ln x)^{\ln(\ln x)} (2 \ln(\ln x) + 1)$. जो विकल्प $(b)$ से मेल खाता है।
अतः,सही उत्तर $(d)$ है।

(C) सबसे पहले,सामान्य हर ज्ञात करके $y$ के व्यंजक को सरल करें:
$y = \frac{x^2 + 2x(x - 1) + 3(x - 1)(x - 2) + (x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}$
$y = \frac{x^3}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = 3 \ln x - \ln(x - 1) - \ln(x - 2) - \ln(x - 3)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{y'}{y} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3}$
$x$ से गुणा करने पर:
$\frac{xy'}{y} = 3 - \frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x - 2} - \frac{x}{x - 3}$
$= (1 - \frac{x}{x - 1}) + (1 - \frac{x}{x - 2}) + (1 - \frac{x}{x - 3})$
$= \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{2 - x} + \frac{3}{3 - x}$

(B) दिया गया है $y = \frac{(1 + 3x)^{1/3} (1 + 4x)^{1/4} (1 + 5x)^{1/5}}{(1 + 7x)^{1/7} (1 + 8x)^{1/8}}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln y = \frac{1}{3} \ln(1 + 3x) + \frac{1}{4} \ln(1 + 4x) + \frac{1}{5} \ln(1 + 5x) - \frac{1}{7} \ln(1 + 7x) - \frac{1}{8} \ln(1 + 8x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1 + 3x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{1 + 4x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1 + 5x} - \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{1 + 7x} - \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{1 + 8x}$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + 3x} + \frac{1}{1 + 4x} + \frac{1}{1 + 5x} - \frac{1}{1 + 7x} - \frac{1}{1 + 8x}$।
$x = 0$ पर,$y(0) = \frac{\sqrt[3]{1} \sqrt[4]{1} \sqrt[5]{1}}{\sqrt[7]{1} \sqrt[8]{1}} = 1$ है।
$x = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{1} \cdot y'(0) = (1 + 1 + 1 - 1 - 1) = 1$।
अतः,$y'(0) = 1$।

(A) दिया गया है $y = x^{\ln x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = \ln(x^{\ln x})$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\ln(a^b) = b \ln a$ का उपयोग करने पर,$\ln y = \ln x \cdot \ln x = (\ln x)^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[(\ln x)^2]$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx}[(\ln x)^2] = 2 \ln x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2 \ln x}{x}$।
$y$ से गुणा करने पर,$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \ln x}{x}$ प्राप्त होता है।
$y = x^{\ln x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x^{\ln x} \cdot \frac{2 \ln x}{x} = 2 \ln x \cdot x^{\ln x - 1}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = |x|^{|\sin x|}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = |\sin x| \ln |x|$.
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$ और $|\sin x| = -\sin x$ (क्योंकि $x \in [-\pi, 0)$ के लिए $\sin x < 0$ है)।
अतः,$\ln f(x) = -\sin x \ln(-x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -\cos x \ln(-x) - \sin x \cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1) = -\cos x \ln(-x) - \frac{\sin x}{x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ पर:
$f(-\frac{\pi}{4}) = |-\frac{\pi}{4}|^{|\sin(-\frac{\pi}{4})|} = (\frac{\pi}{4})^{1/\sqrt{2}}$.
$f'(-\frac{\pi}{4}) = f(-\frac{\pi}{4}) \left[ -\cos(-\frac{\pi}{4}) \ln(\frac{\pi}{4}) - \frac{\sin(-\frac{\pi}{4})}{-\frac{\pi}{4}} \right]$.
$f'(-\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^{1/\sqrt{2}} \left[ -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\frac{\pi}{4}) - \frac{-1/\sqrt{2}}{\pi/4} \right]$.
$f'(-\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^{1/\sqrt{2}} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\frac{4}{\pi}) - \frac{4}{\sqrt{2}\pi} \right]$.
$f'(-\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^{1/\sqrt{2}} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} \ln(\frac{4}{\pi}) - \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \right]$.

माना $y = \sqrt{\frac{(x-3)(x^{2}+4)}{3x^{2}+4x+5}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log y = \frac{1}{2} [\log(x-3) + \log(x^{2}+4) - \log(3x^{2}+4x+5)]$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x-3)) + \frac{d}{dx}(\log(x^{2}+4)) - \frac{d}{dx}(\log(3x^{2}+4x+5)) \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x-3} + \frac{2x}{x^{2}+4} - \frac{6x+4}{3x^{2}+4x+5} \right]$.
अतः,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-3)(x^{2}+4)}{3x^{2}+4x+5}} \left[ \frac{1}{x-3} + \frac{2x}{x^{2}+4} - \frac{6x+4}{3x^{2}+4x+5} \right]$.

(A) माना $y = x^{\sin x}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log y = \sin x \log x$
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sin x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \cos x$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right)$
$y = x^{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right)$
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x - 1} \sin x + x^{\sin x} \cos x \log x$

माना $y = \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log y = \log (\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x)$
$\Rightarrow \log y = \log (\cos x) + \log (\cos 2x) + \log (\cos 3x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{1}{\cos 2x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x) + \frac{1}{\cos 3x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)$.
$\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x}{\cos x} + \frac{-\sin 2x \cdot 2}{\cos 2x} + \frac{-\sin 3x \cdot 3}{\cos 3x}$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y [-\tan x - 2\tan 2x - 3\tan 3x]$.
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = -\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x [\tan x + 2\tan 2x + 3\tan 3x]$.

माना $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log y = \log \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}$
$\Rightarrow \log y = \frac{1}{2} \log \left[\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}\right]$
$\Rightarrow \log y = \frac{1}{2} [\log \{(x-1)(x-2)\} - \log \{(x-3)(x-4)(x-5)\}]$
$\Rightarrow \log y = \frac{1}{2} [\log (x-1) + \log (x-2) - \log (x-3) - \log (x-4) - \log (x-5)]$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-5} \right]$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-5} \right)$
$\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}} \left[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-5} \right]$

(A) माना $y = (\log x)^{\cos x}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log y = \cos x \cdot \log(\log x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos x) \cdot \log(\log x) + \cos x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\log x))$.
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot \log(\log x) + \cos x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x \cdot \log(\log x) + \frac{\cos x}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{\cos x}{x \log x} - \sin x \log(\log x) \right]$.
$y = (\log x)^{\cos x}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{\cos x} \left[ \frac{\cos x}{x \log x} - \sin x \log(\log x) \right]$.

माना $y = x^{x} - 2^{\sin x}$.
माना $u = x^{x}$ और $v = 2^{\sin x}$.
तब $y = u - v$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}$.
$u = x^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^{x}(1 + \log x)$.
$v = 2^{\sin x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log v = \sin x \cdot \log 2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \log 2 \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \log 2 \cdot \cos x$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = v \cdot \cos x \cdot \log 2 = 2^{\sin x} \cos x \log 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = x^{x}(1 + \log x) - 2^{\sin x} \cos x \log 2$.

माना $y = (x+3)^{2} \cdot(x+4)^{3} \cdot(x+5)^{4}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = \log((x+3)^{2} \cdot(x+4)^{3} \cdot(x+5)^{4})$
$\log y = 2 \log(x+3) + 3 \log(x+4) + 4 \log(x+5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x+3} + 3 \cdot \frac{1}{x+4} + 4 \cdot \frac{1}{x+5}$
$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x+4} + \frac{4}{x+5} \right]$
$y$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (x+3)^{2}(x+4)^{3}(x+5)^{4} \left[ \frac{2(x+4)(x+5) + 3(x+3)(x+5) + 4(x+3)(x+4)}{(x+3)(x+4)(x+5)} \right]$
$\frac{dy}{dx} = (x+3)(x+4)^{2}(x+5)^{3} [2(x^{2}+9x+20) + 3(x^{2}+8x+15) + 4(x^{2}+7x+12)]$
$\frac{dy}{dx} = (x+3)(x+4)^{2}(x+5)^{3} [2x^{2}+18x+40 + 3x^{2}+24x+45 + 4x^{2}+28x+48]$
$\frac{dy}{dx} = (x+3)(x+4)^{2}(x+5)^{3} (9x^{2}+70x+133)$

माना $y=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
माना $u=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}$ और $v=x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
अतः $y=u+v$,जिससे $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log u = x \log \left(x+\frac{1}{x}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log \left(x+\frac{1}{x}\right) + x \cdot \frac{1}{x+\frac{1}{x}} \cdot \left(1-\frac{1}{x^2}\right)$.
$\frac{du}{dx} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^{x} \left[ \log \left(x+\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2-1}{x^2+1} \right]$ $(2)$.
$v=x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log v = \left(1+\frac{1}{x}\right) \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \log x + \left(1+\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-\log x + x + 1}{x^2}$.
$\frac{dv}{dx} = x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left( \frac{x+1-\log x}{x^2} \right)$ $(3)$.
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^{x} \left[ \log \left(x+\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2-1}{x^2+1} \right] + x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)} \left( \frac{x+1-\log x}{x^2} \right)$.

माना $y=(\log x)^{x}+x^{\log x}$ है।
माना $u=(\log x)^{x}$ और $v=x^{\log x}$ है।
अतः $y=u+v$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ...........$(1)$
$u=(\log x)^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:
$\log u = x \log(\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$।
$\frac{du}{dx} = (\log x)^{x} \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right] = (\log x)^{x-1} [1 + \log x \cdot \log(\log x)]$ ...........$(2)$
$v=x^{\log x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:
$\log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^{2}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dv}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x} = 2 x^{\log x-1} \log x$ ...........$(3)$
$(2)$ और $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{x-1} [1 + \log x \cdot \log(\log x)] + 2 x^{\log x-1} \log x$।

माना $y = (\sin x)^{x} + \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
माना $u = (\sin x)^{x}$ और $v = \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
अतः $y = u + v$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ............$(1)$
$u = (\sin x)^{x}$ के लिए:
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log(\sin x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))$
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$\frac{du}{dx} = (\sin x)^{x} [\log(\sin x) + x \cot x]$ ............$(2)$
$v = \sin^{-1} \sqrt{x}$ के लिए:
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$ ............$(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x} (x \cot x + \log(\sin x)) + \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$.

माना $y=x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}$.
माना $u=x^{\sin x}$ और $v=(\sin x)^{\cos x}$.
अतः $y=u+v$,जिससे $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u=x^{\sin x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \sin x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$.
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$ $(2)$.
$v=(\sin x)^{\cos x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = \cos x \log(\sin x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = -\sin x \log(\sin x) + \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)]$ $(3)$.
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) + (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)]$.

(N/A) माना $y = x^{x \cos x} + \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$.
माना $u = x^{x \cos x}$ और $v = \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$.
अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ .............$(1)$
$u = x^{x \cos x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log u = (x \cos x) \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \cos x) \cdot \log x + (x \cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = (\cos x - x \sin x) \log x + (x \cos x) \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{du}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x \log x - x \sin x \log x + \cos x]$
$\frac{du}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x(1 + \log x) - x \sin x \log x]$ .............$(2)$
$v = \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$ के लिए,भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(x^{2}-1)(2x) - (x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{2x^{3} - 2x - 2x^{3} - 2x}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}$ .............$(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^{x \cos x} [\cos x(1 + \log x) - x \sin x \log x] - \frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}$

माना $y = (x \cos x)^{x} + (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$.
माना $u = (x \cos x)^{x}$ और $v = (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$.
तब $y = u + v$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u = (x \cos x)^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:
$\log u = x \log(x \cos x) = x(\log x + \log \cos x) = x \log x + x \log \cos x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x) + \frac{d}{dx}(x \log \cos x) = (1 + \log x) + (\log \cos x - x \tan x)$.
$\frac{du}{dx} = (x \cos x)^{x} [1 - x \tan x + \log(x \cos x)]$ $(2)$.
$v = (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:
$\log v = \frac{1}{x} \log(x \sin x) = \frac{1}{x}(\log x + \log \sin x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x} \log x) + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x} \log \sin x) = \frac{1 - \log x}{x^2} + \frac{x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2} = \frac{1 + x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2}$.
$\frac{dv}{dx} = (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \left[ \frac{1 + x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2} \right]$ $(3)$.
$(1), (2)$ और $(3)$ से:
$\frac{dy}{dx} = (x \cos x)^{x} [1 - x \tan x + \log(x \cos x)] + (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \left[ \frac{1 + x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2} \right]$.

(C) दिया गया फलन $(\cos x)^{y}=(\cos y)^{x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y \log \cos x = x \log \cos y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \log \cos x) = \frac{d}{dx}(x \log \cos y)$
$\frac{dy}{dx} \log \cos x + y \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = 1 \cdot \log \cos y + x \cdot \frac{1}{\cos y} \cdot (-\sin y) \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \log \cos x - y \tan x = \log \cos y - x \tan y \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx} \log \cos x + x \tan y \frac{dy}{dx} = \log \cos y + y \tan x$
$\frac{dy}{dx} (\log \cos x + x \tan y) = y \tan x + \log \cos y$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y \tan x + \log \cos y}{x \tan y + \log \cos x}$.

(A) दिया गया फलन $f(x)=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})(1+x^{8})$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log f(x) = \log(1+x) + \log(1+x^{2}) + \log(1+x^{4}) + \log(1+x^{8})$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \log(1+x) + \frac{d}{dx} \log(1+x^{2}) + \frac{d}{dx} \log(1+x^{4}) + \frac{d}{dx} \log(1+x^{8})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \frac{8x^{7}}{1+x^{8}}$.
अतः,$f^{\prime}(x) = f(x) \left[ \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}} + \frac{8x^{7}}{1+x^{8}} \right]$.
अब,$f^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर:
$f(1) = (1+1)(1+1^{2})(1+1^{4})(1+1^{8}) = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
$f^{\prime}(1) = 16 \left[ \frac{1}{1+1} + \frac{2(1)}{1+1^{2}} + \frac{4(1)^{3}}{1+1^{4}} + \frac{8(1)^{7}}{1+1^{8}} \right]$.
$f^{\prime}(1) = 16 \left[ \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{8}{2} \right]$.
$f^{\prime}(1) = 16 \left[ \frac{1+2+4+8}{2} \right] = 16 \times \frac{15}{2} = 8 \times 15 = 120$.

माना $y = (x^{2}-5x+8)(x^{3}+7x+9)$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log y = \log(x^{2}-5x+8) + \log(x^{3}+7x+9)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \log(x^{2}-5x+8) + \frac{d}{dx} \log(x^{3}+7x+9)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{2}-5x+8} \cdot (2x-5) + \frac{1}{x^{3}+7x+9} \cdot (3x^{2}+7)$.
अतः:
$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2x-5}{x^{2}-5x+8} + \frac{3x^{2}+7}{x^{3}+7x+9} \right]$.
$y$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (x^{2}-5x+8)(x^{3}+7x+9) \left[ \frac{2x-5}{x^{2}-5x+8} + \frac{3x^{2}+7}{x^{3}+7x+9} \right]$.
पदों का विस्तार करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (2x-5)(x^{3}+7x+9) + (3x^{2}+7)(x^{2}-5x+8)$.
$\frac{dy}{dx} = (2x^{4} + 14x^{2} + 18x - 5x^{3} - 35x - 45) + (3x^{4} - 15x^{3} + 24x^{2} + 7x^{2} - 35x + 56)$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5x^{4} - 20x^{3} + 45x^{2} - 52x + 11$.

माना $y = u \cdot v \cdot w = u \cdot (v \cdot w).$
विधि $1$: गुणन नियम का बार-बार प्रयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot (v \cdot w) + u \cdot \frac{d}{dx}(v \cdot w)$
$= \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \left[ \frac{dv}{dx} \cdot w + v \cdot \frac{dw}{dx} \right]$
$= \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx}.$
विधि $2$: लघुगणकीय अवकलन द्वारा:
$y = u \cdot v \cdot w$ के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है
$\log y = \log u + \log v + \log w.$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{dx}.$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{dx} \right).$
$y = u \cdot v \cdot w$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{dy}{dx} = (u \cdot v \cdot w) \left( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{dx} \right)$
$= \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx}.$

दिया गया फलन $f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ है।
माना $y = (\sin x)^{\sin x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \ln ((\sin x)^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln(\sin x)$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) \cdot \ln(\sin x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\sin x) + \sin x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\sin x) + \cos x$.
$\cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x (1 + \ln(\sin x))$.
$\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात करने के लिए $y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot \cos x (1 + \ln(\sin x))$.
$y = (\sin x)^{\sin x}$ का मान वापस रखने पर:
$f^{\prime}(x) = (\sin x)^{\sin x} \cos x (1 + \ln(\sin x))$.

माना $y = (5x)^{3 \cos 2x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\ln y = 3 \cos 2x \cdot \ln(5x)$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \left[ \ln(5x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos 2x) + \cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(\ln 5x) \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \left[ \ln(5x) \cdot (-2 \sin 2x) + \cos 2x \cdot \frac{1}{5x} \cdot 5 \right]$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \left[ -2 \sin 2x \ln(5x) + \frac{\cos 2x}{x} \right]$.
$y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3(5x)^{3 \cos 2x} \left[ \frac{\cos 2x}{x} - 2 \sin 2x \ln(5x) \right]$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = (5x)^{3 \cos 2x} \left[ \frac{3 \cos 2x}{x} - 6 \sin 2x \ln(5x) \right]$.