मान लीजिए f: [-1, 2] rightarrow R एक अवकलनीय | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ है।$-1$ से $0$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{-1}^{0} 0 \, dt \le \int_{-1}^{0}

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$-2 \le f(2) - f(-1) \le 1$

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(A) दिया गया है कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ है।$-1$ से $0$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{-1}^{0} 0 \, dt \le \int_{-1}^{0} f'(t) \, dt \le \int_{-1}^{0} 1 \, dt$$0 \le f(0) - f(-1) \le 1$ ... $(1)$दिया गया है कि $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है।$0$ से $2$ तक $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int_{0}^{2} -1 \, dt \le \int_{0}^{2} f'(t) \, dt \le \int_{0}^{2} 0 \, dt$$-2 \le f(2) - f(0) \le 0$ ... $(2)$असमिकाओं $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$(0 - 2) \le (f(0) - f(-1)) + (f(2) - f(0)) \le (1 + 0)$$-2 \le f(2) - f(-1) \le 1$.

मान लीजिए $f: [-1, 2] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $t \in [-1, 0]$ के लिए $0 \le f'(t) \le 1$ और $t \in [0, 2]$ के लिए $-1 \le f'(t) \le 0$ है। तो:

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माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$। यदि $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ और $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

अंतराल $[-2, 2]$ पर फलन $y=x^{2}+2$ के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

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