Partial differentiation Questions in Hindi

(D) दिया गया है: $u = x^2 + y^2$,$x = s + 3t$,$y = 2s - t$.
सबसे पहले,$s$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dx}{ds} = 1$ और $\frac{dy}{ds} = 2$.
इसके बाद,$s$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2x}{ds^2} = 0$ और $\frac{d^2y}{ds^2} = 0$.
अब,चेन नियम का उपयोग करके $u$ का $s$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{du}{ds} = 2x \frac{dx}{ds} + 2y \frac{dy}{ds}$.
$s$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2u}{ds^2} = 2 \left( \frac{dx}{ds} \right)^2 + 2x \frac{d^2x}{ds^2} + 2 \left( \frac{dy}{ds} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{ds^2}$.
मान रखने पर:
$\frac{d^2u}{ds^2} = 2(1)^2 + 2x(0) + 2(2)^2 + 2y(0) = 2(1) + 8 = 10$.

(D) दिया गया फलन $z = \frac{(x^4 + y^4)^{1/3}}{(x^3 + y^3)^{1/4}}$ है।
यह $x$ और $y$ का एक समघातीय (homogeneous) फलन है।
माना $f(x, y) = (x^4 + y^4)^{1/3}$ और $g(x, y) = (x^3 + y^3)^{1/4}$ है।
$f(x, y)$ की घात $n_1 = \frac{4}{3}$ है और $g(x, y)$ की घात $n_2 = \frac{3}{4}$ है।
चूँकि $z = \frac{f}{g}$ है,इसलिए $z$ की घात $n = n_1 - n_2 = \frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 9}{12} = \frac{7}{12}$ होगी।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,यदि $z$,$n$ घात का एक समघातीय फलन है,तो $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = nz$ होता है।
$n = \frac{7}{12}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{7}{12}z$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $z = \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$.
सबसे पहले,$z$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन $(z_x)$ ज्ञात करें:
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{(y^2 + x^2)/y^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2}$.
इसके बाद,$z$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन $(z_y)$ ज्ञात करें:
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = \frac{y^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2}$.
अब,$z_x : z_y$ का अनुपात ज्ञात करें:
$z_x : z_y = \frac{y}{x^2 + y^2} : -\frac{x}{x^2 + y^2} = y : -x = -y : x$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $u = \frac{x + y}{x - y}$।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $u$ का आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x - y)(1) - (x + y)(1)}{(x - y)^2} = \frac{x - y - x - y}{(x - y)^2} = \frac{-2y}{(x - y)^2}$।
इसके बाद,भागफल नियम का उपयोग करके $y$ के सापेक्ष $u$ का आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{(x - y)(1) - (x + y)(-1)}{(x - y)^2} = \frac{x - y + x + y}{(x - y)^2} = \frac{2x}{(x - y)^2}$।
अब,दोनों आंशिक अवकलनों को जोड़ें:
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2y}{(x - y)^2} + \frac{2x}{(x - y)^2} = \frac{2x - 2y}{(x - y)^2} = \frac{2(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{2}{x - y}$।

(B) दिया गया है $u = \log ({x^2} + {y^2})$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot 2x = \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दूसरा आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{{\partial ^2}u}{\partial {x^2}} = \frac{{({x^2} + {y^2}) \cdot 2 - 2x \cdot 2x}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} - 4{x^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2({y^2} - {x^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$.
इसी प्रकार,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot 2y = \frac{{2y}}{{{x^2} + {y^2}}}$.
अब,$y$ के सापेक्ष दूसरा आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{{\partial ^2}u}{\partial {y^2}} = \frac{{({x^2} + {y^2}) \cdot 2 - 2y \cdot 2y}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} - 4{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2({x^2} - {y^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$.
इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$\frac{{\partial ^2}u}{\partial {x^2}} + \frac{{\partial ^2}u}{\partial {y^2}} = \frac{{2({y^2} - {x^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} + \frac{{2({x^2} - {y^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2{y^2} - 2{x^2} + 2{x^2} - 2{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = 0$.

(D) दिया गया है $u = \sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
$\frac{\partial u}{\partial x}$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ को अचर मानकर $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(v)) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
यहाँ,$v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\frac{\partial v}{\partial x} = y \cdot \frac{d}{dx}(x^{-1}) = y \cdot (-x^{-2}) = -\frac{y}{x^2}$.
इन मानों को अवकलन सूत्र में रखने पर:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2}}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= -\frac{y}{x\sqrt{x^2 - y^2}}$.

(A) दिया गया है $u = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
इसे हम $\tan u = \frac{y}{x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $f(u) = \tan u = \frac{y}{x}$ है।
यहाँ,$f(u)$,$x$ और $y$ का $n = 0$ घात वाला एक समघात फलन है क्योंकि $\frac{ty}{tx} = (\frac{y}{x})^0 \cdot \frac{y}{x}$ है।
समघात फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,यदि $f(u)$ घात $n$ का एक समघात फलन है,तो $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(u)$ होता है।
यहाँ,$f(u) = \tan u$ और $n = 0$ है।
अतः,$x \frac{\partial (\tan u)}{\partial x} + y \frac{\partial (\tan u)}{\partial y} = 0 \cdot \tan u = 0$ होगा।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial x} + y \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ प्राप्त होता है।
$\sec^2 u$ से विभाजित करने पर,हमें $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $u = \tan^{-1}\left(\frac{x^3 + y^3}{x - y}\right)$।
इसका अर्थ है $\tan u = \frac{x^3 + y^3}{x - y}$।
माना $f(x, y) = \tan u = \frac{x^3 + y^3}{x - y}$।
यहाँ,$f(x, y)$ घात $n = 3 - 1 = 2$ का एक समघातीय फलन है।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,$x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = n f$ होता है।
$f = \tan u$ और $n = 2$ रखने पर,हमें $x\frac{\partial}{\partial x}(\tan u) + y\frac{\partial}{\partial y}(\tan u) = 2 \tan u$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$x \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial x} + y \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial y} = 2 \tan u$ होता है।
$\sec^2 u$ से भाग देने पर,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = 2 \frac{\tan u}{\sec^2 u}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\tan u}{\sec^2 u} = \frac{\sin u / \cos u}{1 / \cos^2 u} = \sin u \cos u$,इसलिए $2 \sin u \cos u = \sin 2u$ होता है।

(C) समघात फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार, यदि $F(u)$, $x, y, z$ में $n$ घात का एक समघात फलन है, तो:
$x \frac{\partial}{\partial x}(F(u)) + y \frac{\partial}{\partial y}(F(u)) + z \frac{\partial}{\partial z}(F(u)) = n F(u)$
आंशिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है $\frac{\partial}{\partial x}(F(u)) = F'(u) \frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}(F(u)) = F'(u) \frac{\partial u}{\partial y}$, और $\frac{\partial}{\partial z}(F(u)) = F'(u) \frac{\partial u}{\partial z}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x F'(u) \frac{\partial u}{\partial x} + y F'(u) \frac{\partial u}{\partial y} + z F'(u) \frac{\partial u}{\partial z} = n F(u)$
$F'(u)$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$F'(u) \left( x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} + z \frac{\partial u}{\partial z} \right) = n F(u)$
$F'(u)$ से भाग देने पर:
$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} + z \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{n F(u)}{F'(u)}$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $u = \log (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)$.
हम जानते हैं कि $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$.
अतः,$u = \log(x + y + z) + \log(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2 - 3yz}{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2 - 3zx}{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}$
$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2 - 3xy}{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}$
इन अवकलनों का योग करने पर:
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)}{(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)}$
$= \frac{3}{x + y + z}$
$(x + y + z)$ से गुणा करने पर:
$(x + y + z) \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} \right) = 3$.

(B) माना $u = \sin z = \frac{x+y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.
हम जाँच करते हैं कि क्या $u$,$x$ और $y$ का एक समघातीय फलन है।
$u(tx, ty) = \frac{tx+ty}{\sqrt{tx} + \sqrt{ty}} = \frac{t(x+y)}{\sqrt{t}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = t^{1/2} u(x, y)$.
अतः,$u$,$n = 1/2$ घात वाला एक समघातीय फलन है।
ऑयलर के प्रमेय के अनुसार,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = n u$.
$u = \sin z$ और $n = 1/2$ रखने पर:
$x\frac{\partial}{\partial x}(\sin z) + y\frac{\partial}{\partial y}(\sin z) = \frac{1}{2} \sin z$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x(\cos z \frac{\partial z}{\partial x}) + y(\cos z \frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{1}{2} \sin z$.
दोनों पक्षों को $\cos z$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{1}{2} \tan z$.

(A) दिया गया है $u = \log_e(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = \frac{2x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{2x - y}{x^2 + y^2}$.
अब,$x$ के सापेक्ष द्वितीय आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2)(2) - (2x - y)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2 + 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2xy}{(x^2 + y^2)^2}$.
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{2y + x}{x^2 + y^2}$.
अब,$y$ के सापेक्ष द्वितीय आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(2) - (2y + x)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2}$.
दोनों द्वितीय आंशिक अवकलनों को जोड़ने पर:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2xy + 2x^2 - 2y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{0}{(x^2 + y^2)^2} = 0$.

(B) दिया गया समीकरण: ${x^x}{y^y}{z^z} = c$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log({x^x}{y^y}{z^z}) = \log c$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $x\log x + y\log y + z\log z = \log c$ .....$(i)$
यहाँ,$x$ और $y$ स्वतंत्र चर हैं,और $z$,$x$ और $y$ का एक फलन है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial}{\partial x}(x\log x) + \frac{\partial}{\partial x}(y\log y) + \frac{\partial}{\partial x}(z\log z) = \frac{\partial}{\partial x}(\log c)$
$(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) + 0 + (1 \cdot \log z + z \cdot \frac{1}{z}) \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
$(1 + \log x) + (1 + \log z) \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
$\frac{\partial z}{\partial x}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1 + \log z) \frac{\partial z}{\partial x} = -(1 + \log x)$
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1 + \log x}{1 + \log z}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया फलन $u(x, y) = x{y^2}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)$ है।
समघातता (homogeneity) की जाँच करने के लिए,हम $x$ को $tx$ और $y$ को $ty$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right)$
$u(tx, ty) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
$u(tx, ty) = t^3 u(x, y)$.
चूँकि फलन $n = 3$ घात का एक समघात फलन है,यूलर प्रमेय (Euler's Theorem) के अनुसार:
$x{u_x} + y{u_y} = n u$
$x{u_x} + y{u_y} = 3u$.

(D) माना $f(x, y) = z^2 = \frac{x^{1/2} + y^{1/2}}{x^{1/3} + y^{1/3}}$.
समघातता की जाँच करने पर: $f(tx, ty) = \frac{(tx)^{1/2} + (ty)^{1/2}}{(tx)^{1/3} + (ty)^{1/3}} = \frac{t^{1/2}(x^{1/2} + y^{1/2})}{t^{1/3}(x^{1/3} + y^{1/3})} = t^{1/2 - 1/3} f(x, y) = t^{1/6} f(x, y)$.
चूँकि $z^2$ घात $n = \frac{1}{6}$ का एक समघात फलन है,यूलर के प्रमेय के अनुसार:
$x \frac{\partial (z^2)}{\partial x} + y \frac{\partial (z^2)}{\partial y} = n z^2 = \frac{1}{6} z^2$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\partial (z^2)}{\partial x} = 2z \frac{\partial z}{\partial x}$ और $\frac{\partial (z^2)}{\partial y} = 2z \frac{\partial z}{\partial y}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(2z \frac{\partial z}{\partial x}) + y(2z \frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{1}{6} z^2$.
दोनों पक्षों को $2z$ से विभाजित करने पर ($z \neq 0$ मानते हुए):
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{12} z$.

(B) दिया गया है $u = \tan^{-1}(x + y)$,जिसका अर्थ है $\tan u = x + y$.
माना $f(x, y) = \tan u = x + y$.
चूँकि $f(x, y)$ चर $x$ और $y$ में $n = 1$ घात वाला एक समघातीय फलन है,इसलिए यूलर प्रमेय के अनुसार:
$x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = n \cdot f(x, y)$
$x\frac{\partial}{\partial x}(\tan u) + y\frac{\partial}{\partial y}(\tan u) = 1 \cdot \tan u$
$x(\sec^2 u)\frac{\partial u}{\partial x} + y(\sec^2 u)\frac{\partial u}{\partial y} = \tan u$
दोनों पक्षों को $\sec^2 u$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\tan u}{\sec^2 u}$
$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} \cdot \cos^2 u = \sin u \cos u$
सर्वसमिका $\sin 2u = 2 \sin u \cos u$ का उपयोग करने पर,$\sin u \cos u = \frac{1}{2} \sin 2u$ होता है।
अतः,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \sin 2u$।

(B) दिया गया है $u = (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2} \cdot (2x) = 3x(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}$।
इसका वर्ग करने पर:
$\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 = 9x^2(x^2 + y^2 + z^2)$।
इसी प्रकार,समरूपता द्वारा:
$\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 = 9y^2(x^2 + y^2 + z^2)$ और $\left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2 = 9z^2(x^2 + y^2 + z^2)$।
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2 = 9(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) = 9(x^2 + y^2 + z^2)^2$।
चूंकि $u = (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}$,इसलिए $u^{2/3} = (x^2 + y^2 + z^2)$।
अतः,$(x^2 + y^2 + z^2)^2 = (u^{2/3})^2 = u^{4/3}$।
इस प्रकार,योग $9u^{4/3}$ है।

(B) दिया गया है $u = x^2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - y^2 \tan^{-1}(\frac{x}{y})$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(\frac{x}{y}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ का उपयोग करने पर:
$u = x^2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - y^2 (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\frac{y}{x}))$
$u = (x^2 + y^2) \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{\pi}{2} y^2$
अब,$u$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial u}{\partial y} = (x^2 + y^2) \cdot \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \frac{1}{x} + 2y \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \pi y$
$\frac{\partial u}{\partial y} = x + 2y \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \pi y$
अब,$\frac{\partial u}{\partial y}$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 1 + 2y \cdot \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot (-\frac{y}{x^2})$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{2y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$.

(A) दिया गया है $u^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2u \frac{\partial u}{\partial x} = 2(x - a) \implies u \frac{\partial u}{\partial x} = x - a$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$u \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 = 1$।
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x - a}{u}$ रखने पर:
$u \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 1 - \left(\frac{x - a}{u}\right)^2 = 1 - \frac{(x - a)^2}{u^2} = \frac{u^2 - (x - a)^2}{u^2}$।
अतः,$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{u} - \frac{(x - a)^2}{u^3}$।
इसी प्रकार,$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{u} - \frac{(y - b)^2}{u^3}$ और $\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{u} - \frac{(z - c)^2}{u^3}$।
इनका योग करने पर:
$\sum \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{3}{u} - \frac{1}{u^3} [(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2]$।
चूंकि $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = u^2$:
$\sum \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{3}{u} - \frac{u^2}{u^3} = \frac{3}{u} - \frac{1}{u} = \frac{2}{u}$।

(B) दिया गया फलन $z = f\left( \frac{x}{y} \right)$ के रूप में है।
इसका अर्थ है कि $z$,$x$ और $y$ का $n = 0$ घात वाला समघातीय फलन है।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,यदि $z$,$n$ घात का समघातीय फलन है,तो $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = nz$ होता है।
चूंकि $n = 0$ है,इसलिए $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \cdot z = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$ होगा।

(B) दिया गया है कि $u = e^{-x^2 - y^2}$ है।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = e^{-x^2 - y^2} \cdot (-2x) = -2x u$.
इसके बाद,$u$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = e^{-x^2 - y^2} \cdot (-2y) = -2y u$.
अब,पद $y u_x$ पर विचार करें:
$y u_x = y(-2x u) = -2xy u$.
पद $x u_y$ पर विचार करें:
$x u_y = x(-2y u) = -2xy u$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $y u_x = x u_y$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $u(x,y) = y \log x + x \log y$।
सबसे पहले,आंशिक अवकलज ज्ञात करें:
${u_x} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{x} + \log y$
${u_y} = \frac{\partial u}{\partial y} = \log x + \frac{x}{y}$
अब,इन मानों को व्यंजक ${u_x}{u_y} - {u_x} \log x - {u_y} \log y + \log x \log y$ में प्रतिस्थापित करें:
$= (\frac{y}{x} + \log y)(\log x + \frac{x}{y}) - (\frac{y}{x} + \log y)\log x - (\log x + \frac{x}{y})\log y + \log x \log y$
पदों का विस्तार करें:
$= (\frac{y}{x} \log x + 1 + \log y \log x + \frac{x}{y} \log y) - (\frac{y}{x} \log x + \log y \log x) - (\log x \log y + \frac{x}{y} \log y) + \log x \log y$
समान पदों को काटने पर:
$= \frac{y}{x} \log x + 1 + \log y \log x + \frac{x}{y} \log y - \frac{y}{x} \log x - \log y \log x - \log x \log y - \frac{x}{y} \log y + \log x \log y$
$= 1$।

(C) दिया गया है $u = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.
माना $f(u) = \sin u = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.
माना $z = f(u) = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.
हम $z$ की घात की जाँच करते हैं। $x$ को $tx$ और $y$ को $ty$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$z(tx, ty) = \sqrt{\frac{(tx)^2 + (ty)^2}{tx + ty}} = \sqrt{\frac{t^2(x^2 + y^2)}{t(x + y)}} = t^{1/2} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}} = t^{1/2} z$.
अतः,$z$ एक $n = 1/2$ घात वाला समघातीय फलन है।
यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = n z$.
चूँकि $z = \sin u$,इसलिए $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = \frac{1}{2} \sin u$.
$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \sin u$.
$\cos u$ से भाग देने पर,हमें $x u_x + y u_y = \frac{1}{2} \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{1}{2} \tan u$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $z = y + f(v)$ और $v = \frac{x}{y}$।
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$z = y + f\left(\frac{x}{y}\right)$ प्राप्त होता है।
अब,$z$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial z}{\partial x} = f'\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y}$।
इसके बाद,$z$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial z}{\partial y} = 1 + f'\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = 1 - \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right)$।
अब,व्यंजक $v \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$ की गणना करने पर:
$v \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \left(\frac{x}{y}\right) \left[f'\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y}\right] + 1 - \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right)$।
$= \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right) + 1 - \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right)$।
$= 1$।

(C) दिया गया फलन $f(x, y) = 2(x-y)^2 - x^4 - y^4$ है।
सबसे पहले,$x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$f_x = 4(x-y) - 4x^3$
$f_y = -4(x-y) - 4y^3$
अब,द्वितीय क्रम के आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(4x - 4y - 4x^3) = 4 - 12x^2$
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-4x + 4y - 4y^3) = 4 - 12y^2$
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(4x - 4y - 4x^3) = -4$
बिंदु $(0,0)$ पर इनका मान ज्ञात करने पर:
$(f_{xx})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{yy})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{xy})_{(0,0)} = -4$
अंत में,$(0,0)$ पर $(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)$ के मान की गणना करें:
$(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)_{(0,0)} = (4)(4) - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

(D) दिया गया है,$u=\log \left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right)$.
हम जानते हैं कि $x^3+y^3+z^3-3 x y z = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
अतः,$u = \log(x+y+z) + \log(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
अब,आंशिक अवकलन करने पर:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_z = \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
इन तीनों का योग करने पर:
$u_x+u_y+u_z = \frac{3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$
$u_x+u_y+u_z = \frac{3}{x+y+z}$
अतः,$(x+y+z)(u_x+u_y+u_z) = 3$.

(C) दिया गया है कि,$u=e^{x^2-y^2}$।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(2x)$।
इसके बाद,$u$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(-2y)$।
अब,$u_x$ को $y$ से गुणा करें:
$y u_x = y \cdot e^{x^2-y^2}(2x) = 2xy e^{x^2-y^2}$।
$u_y$ को $x$ से गुणा करें:
$x u_y = x \cdot e^{x^2-y^2}(-2y) = -2xy e^{x^2-y^2}$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$y u_x + x u_y = 2xy e^{x^2-y^2} - 2xy e^{x^2-y^2} = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है,$z=\tan (y+a x)+\sqrt{y-a x}$
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = a \sec^2(y+ax) - \frac{a}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}$
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}$
अब,$z_{xx} - a^2 z_{yy}$ की गणना करें:
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = [2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}] - a^2 [2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}]$
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} - 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) + \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} = 0$

(C) दिया गया है,$u(x, y)=y \log x+x \log y$.
सबसे पहले,हम आंशिक अवकलज $u_x$ और $u_y$ ज्ञात करते हैं:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \log x + x \log y) = \frac{y}{x} + \log y$.
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \log x + x \log y) = \log x + \frac{x}{y}$.
अब,व्यंजक $E = u_x u_y - u_x \log x - u_y \log y + \log x \log y$ पर विचार करें।
इस व्यंजक का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है:
$E = u_x(u_y - \log x) - \log y(u_y - \log x)$.
$E = (u_x - \log y)(u_y - \log x)$.
$u_x$ और $u_y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$u_x - \log y = (\frac{y}{x} + \log y) - \log y = \frac{y}{x}$.
$u_y - \log x = (\log x + \frac{x}{y}) - \log x = \frac{x}{y}$.
अतः,$E = (\frac{y}{x}) \times (\frac{x}{y}) = 1$.

(D) दिया गया है $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^4+y^4}{x+y}\right)$.
माना $v=\sin u=\frac{x^4+y^4}{x+y}$.
यहाँ,$v$ एक $x$ और $y$ का $n = 4 - 1 = 3$ घात वाला समघातीय फलन है।
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial v}{\partial y} = n v$.
$v = \sin u$ और $n = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 3 \sin u$.
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \sin u$.
दोनों पक्षों को $\cos u$ से विभाजित करने पर,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \frac{\sin u}{\cos u}$.
अतः,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \tan u$.

(C) फलन $u(x, y) = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ घात $n = 3$ का एक समघातीय फलन है क्योंकि $u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = t^3 u(x, y)$ है।
समघातीय फलनों पर यूलर (Euler) की प्रमेय के अनुसार,यदि $u$,$x$ और $y$ में $n$ घात का एक समघातीय फलन है,तो $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n u$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 u$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $z = \log(\tan x + \tan y)$।
सबसे पहले,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष $z$ के आंशिक अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y}$
अब,इन मानों को $(\sin 2x) \frac{\partial z}{\partial x} + (\sin 2y) \frac{\partial z}{\partial y}$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin 2x \left( \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y} \right) + \sin 2y \left( \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y} \right)$
$= \frac{(2 \sin x \cos x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (2 \sin y \cos y) \cdot \frac{1}{\cos^2 y}}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2 \tan x + 2 \tan y}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2(\tan x + \tan y)}{\tan x + \tan y} = 2$.

(A) दिया गया है कि $u = \sin(y + ax) - (y + ax)^2$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$u_x = \cos(y + ax) \cdot a - 2(y + ax) \cdot a$
$u_x = a[\cos(y + ax) - 2(y + ax)]$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$u_{xx} = a[-\sin(y + ax) \cdot a - 2 \cdot a]$
$u_{xx} = -a^2[\sin(y + ax) + 2]$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ का $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$u_y = \cos(y + ax) - 2(y + ax)$
पुनः $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$u_{yy} = -\sin(y + ax) - 2$
$u_{yy} = -[\sin(y + ax) + 2]$ ... (iii)
समीकरण (ii) और (iii) से,हम देख सकते हैं कि:
$u_{xx} = a^2 \cdot [-\sin(y + ax) - 2]$
$u_{xx} = a^2 \cdot u_{yy}$

(B) दिया गया है $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$.
फलन में $y = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x, \frac{x}{2}) = \frac{\cos(x - 4(\frac{x}{2}))}{\cos(x + 4(\frac{x}{2}))} = \frac{\cos(x - 2x)}{\cos(x + 2x)} = \frac{\cos(-x)}{\cos(3x)} = \frac{\cos(x)}{\cos(3x)}$.
अब,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\cos x}{\cos 3x} \right)$.
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(-\sin x)(\cos 3x) - (\cos x)(-3 \sin 3x)}{\cos^2 3x} = \frac{3 \cos x \sin 3x - \sin x \cos 3x}{\cos^2 3x}$.

(B) दिया गया है $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$.
इसका अर्थ है $\sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
माना $f(x, y) = \sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
यहाँ,$f(x, y)$ घात $n=1$ का एक समघात फलन है क्योंकि $f(tx, ty) = \frac{(tx)^2+(ty)^2}{tx+ty} = t \cdot \frac{x^2+y^2}{x+y} = t^1 f(x, y)$.
यूलर के प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f$.
$f = \sin u$ और $n = 1$ रखने पर,हमें $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 1 \cdot \sin u$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \sin u$.
दोनों पक्षों को $\cos u$ से विभाजित करने पर,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} = \tan u$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $z = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$.
सबसे पहले,$\frac{\partial z}{\partial x}$ की गणना करें:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \frac{1}{y} - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) \right] - \frac{y}{x^2} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - z \quad \dots (i)$
इसके बाद,$\frac{\partial z}{\partial y}$ की गणना करें:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] + \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right]$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$।

(B) माना $f(x, y) = \sec z = \frac{x^4+y^4-8x^2y^2}{x^2+y^2}$.
चूंकि $f(x, y)$ घात $n = 4 - 2 = 2$ का एक समघातीय फलन है,यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(x, y) = 2 \sec z$.
अब,$f = \sec z$ का $x$ और $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को यूलर समीकरण में रखने पर:
$x (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}) + y (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}) = 2 \sec z$.
दोनों पक्षों को $\sec z \tan z$ से विभाजित करने पर:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \sec z}{\sec z \tan z} = 2 \cot z$.