अंतराल [2, 4] में फलन f(x) = x^{2} के लिए माध | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = x^{2}$ एक बहुपद फलन है,जो संवृत अंतराल $[2, 4]$ में सतत है और विवृत अंतराल $(2, 4)$ में अवकलनीय है।माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $

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$6$

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(A) फलन $f(x) = x^{2}$ एक बहुपद फलन है,जो संवृत अंतराल $[2, 4]$ में सतत है और विवृत अंतराल $(2, 4)$ में अवकलनीय है।माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(2, 4)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो,जहाँ $a = 2$ और $b = 4$ है।सबसे पहले,$f(a)$ और $f(b)$ का मान ज्ञात करें:$f(2) = 2^{2} = 4$$f(4) = 4^{2} = 16$अब,छेदक रेखा की ढाल ज्ञात करें:$\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$चूँकि $f'(x) = 2x$ है,इसलिए $f'(c) = 6$ रखने पर:$2c = 6 \implies c = 3$चूँकि $c = 3$ अंतराल $(2, 4)$ में स्थित है,इसलिए माध्य मान प्रमेय सत्यापित होता है।

अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए।

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मान लीजिए $f: D \rightarrow R$ जहाँ $D=[0,1] \cup [2,4]$ है,$f(x)=\begin{cases} x, & \text{यदि } x \in [0,1] \\ 4-x, & \text{यदि } x \in [2,4] \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो,

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