अंतराल $[2,4]$ में फलन $f(x)=x^{2}$ के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
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The function $f(x)=x^{2}$ is continuous in $[2,4]$ and differentiable in $(2,4)$ as its derivative $f^{\prime}(x)=2 x$ is defined in $(2,4).$
Now, $\quad f(2)=4$ and $f(4)=16 .$ Hence
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{16-4}{4-2}=6$
$\mathrm{MVT}$ states that there is a point $c \in(2,4)$ such that $f^{\prime}(c)=6 .$ But $f^{\prime}(x)=2 x$ which implies $c=3 .$ Thus at $c=3 \in(2,4),$ we have $f^{\prime}(c)=6$
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यदि फलन $f(x)=2 x^{3}+ b x^{2}+ c x, x \in[-1,1]$ के लिए बिंदु $x=\frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है, तो $2 b + c$ बराबर है
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माना कोई फलन $f$ अंतराल $[0,2]$ में संतत है तथा $(0,2)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $f (0)=0$, $f(1)=1$ तथा $f(2)=2$, हैं, तो
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यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6a{x^2} + 5x$ अन्तराल $ [1, 2]$ के लिए लेगराँज मध्यमान प्रमेय की शर्तों को सन्तुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ की $x = \frac{7}{4}$ पर स्पर्श रेखा, वक्र की कोटियों $x = 1$ व $x = 2$ से प्रतिच्छेद बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर है, तब $a$ का मान है
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वास्तविक गुणांक वाले बहुपद $g ( x )$ के लिये, माना $g ( x )$ के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $m _{ g }$ से दर्शाते है। माना वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों का समुच्चय $S$ है जो
$S=\left\{\left(x^2-1\right)^2\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\right): a_0, a_1, a_2, a_3 \in R\right\}$ द्वारा परिभाषित है। बहुपद $f$ के लिये, माना $f^{\prime}$ तथा $f^{\prime \prime}$ क्रमशः इसके प्रथम तथा द्वितीय कोटि अवकलज है। तब $\left( m f^{\prime}+ m f^{\prime \prime}\right)$, जहाँ $f \in S$ का न्यूनतम संभव मान होगा
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