अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए।

वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद $g(x)$ के लिए,$m_g$ को $g(x)$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $S$ वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का एक समुच्चय है जिसे $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। बहुपद $f$ के लिए,$f'$ और $f''$ क्रमशः इसके प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज को दर्शाते हैं। तब $(m_f + m_{f'})$ का न्यूनतम संभव मान,जहाँ $f \in S$,क्या है?

निम्नलिखित फलनों पर विचार करें:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?

मान लीजिए $f$ अंतराल $[0,2]$ पर एक सतत फलन है और $(0,2)$ पर दो बार अवकलनीय है। यदि $f(0)=0, f(1)=1$ और $f(2)=2$ है,तो

मान लीजिए कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=2+\cos x$ है।
$\text{कथन}-1$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए,$[t, t+\pi]$ में एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए $f(t)=f(t+2\pi)$ है।

अंतराल $[0, 2\pi]$ पर $f(x)=\sin x+\cos x+6$ के लिए रोले के प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।