Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Hindi

(N/A) रोले के प्रमेय के अनुसार,एक फलन $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,यदि:
$a)$ $f$,$[a, b]$ पर सतत है
$b)$ $f$,$(a, b)$ पर अवकलनीय है
$c)$ $f(a) = f(b)$
तो,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f'(c) = 0$ हो।
फलन $f(x) = [x]$ के लिए अंतराल $[-2, 2]$ पर:
$1.$ महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत होता है। चूँकि अंतराल $[-2, 2]$ में $-1, 0, 1$ जैसे पूर्णांक शामिल हैं,इसलिए फलन $f(x)$,$[-2, 2]$ पर सतत नहीं है।
$2.$ यह फलन अंतराल $(-2, 2)$ में पूर्णांक बिंदुओं पर अवकलनीय भी नहीं है।
$3.$ $f(-2) = [-2] = -2$ और $f(2) = [2] = 2$. अतः,$f(-2) \neq f(2)$.
चूँकि फलन रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा नहीं करता है,इसलिए $f(x) = [x]$ के लिए $[-2, 2]$ पर रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(N/A) रोले के प्रमेय के अनुसार,एक फलन $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,यदि:
$1$) $f$,$[a, b]$ पर संतत है
$2$) $f$,$(a, b)$ पर अवकलनीय है
$3$) $f(a) = f(b)$ है
तो,$(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा $c$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
फलन $f(x) = x^{2} - 1$ के लिए अंतराल $[1, 2]$ में:
- $f(x)$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[1, 2]$ पर संतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है।
- अंत बिंदुओं पर मान:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$f(2) = (2)^{2} - 1 = 3$
- चूँकि $f(1) \neq f(2)$,इसलिए रोले के प्रमेय की तीसरी शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$f(x) = x^{2} - 1$ के लिए अंतराल $[1, 2]$ में रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
विलोम के बारे में: रोले के प्रमेय का विलोम यह कहता है कि यदि कोई $c \in (a, b)$ ऐसा है कि $f'(c) = 0$,तो $f(a) = f(b)$ होगा। यह हमेशा सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = x^{2}$ है,तो $x = 0$ पर $f'(0) = 0$ है,लेकिन $f(-1) = 1$ और $f(1) = 1$ है। हालाँकि,अन्य फलनों के लिए $f'(c) = 0$ होने का अर्थ यह नहीं है कि $f(a) = f(b)$ होगा।

(N/A) यह दिया गया है कि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है।
चूंकि प्रत्येक अवकलनीय फलन एक सतत फलन होता है,हम प्राप्त करते हैं:
$a) f$ अंतराल $[-5,5]$ पर सतत है।
$b) f$ अंतराल $(-5,5)$ पर अवकलनीय है।
इसलिए,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-5,5)$ मौजूद है जिसके लिए:
$f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(-5)}{5 - (-5)}$
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) = f(5) - f(-5)$
यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in [-5,5]$ के लिए $f^{\prime}(x) \neq 0$ है।
इसलिए,$f^{\prime}(c) \neq 0$ है।
$\Rightarrow 10 f^{\prime}(c) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) - f(-5) \neq 0$
$\Rightarrow f(5) \neq f(-5)$
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $f(-5) \neq f(5).$

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ है।
चूँकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह बंद अंतराल $[1, 4]$ पर सतत है और खुले अंतराल $(1, 4)$ पर अवकलनीय है।
फलन का अवकलज $f'(x) = 2x - 4$ है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात कीजिए:
$f(1) = (1)^{2} - 4(1) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6$.
$f(4) = (4)^{2} - 4(4) - 3 = 16 - 16 - 3 = -3$.
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक बिंदु $c \in (1, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{-3 - (-6)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
अब,$f'(c) = 1$ रखने पर:
$2c - 4 = 1$.
$2c = 5$.
$c = \frac{5}{2} = 2.5$.
चूँकि $2.5 \in (1, 4)$,अतः माध्य मान प्रमेय सत्यापित होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है,यह $[1, 3]$ पर सतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 10x - 3$ है।
अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात कीजिए:
$f(1) = (1)^{3} - 5(1)^{2} - 3(1) = 1 - 5 - 3 = -7$.
$f(3) = (3)^{3} - 5(3)^{2} - 3(3) = 27 - 45 - 9 = -27$.
प्रतिच्छेदी रेखा की ढाल $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{-27 - (-7)}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = -10$ हो।
$3c^{2} - 10c - 3 = -10$.
$3c^{2} - 10c + 7 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3c^{2} - 3c - 7c + 7 = 0 \Rightarrow 3c(c - 1) - 7(c - 1) = 0$.
$(3c - 7)(c - 1) = 0$.
इससे $c = 1$ या $c = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (1, 3)$,इसलिए केवल $c = \frac{7}{3}$ ही मान्य मान है।

(N/A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,यदि फलन $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए:
a) $f$,$[a, b]$ पर संतत है
b) $f$,$(a, b)$ पर अवकलनीय है
तो,एक ऐसा $c \in (a, b)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ के लिए। महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ पूर्णांक बिंदुओं पर संतत नहीं होता है। चूँकि $[5, 9]$ में पूर्णांक संख्याएँ हैं,इसलिए $f(x)$,$[5, 9]$ पर संतत नहीं है। अतः,माध्य मान प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ के लिए। $(i)$ की तरह ही,यह फलन पूर्णांक बिंदुओं पर संतत नहीं है। अतः,माध्य मान प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ के लिए। $f(x)$ एक बहुपद फलन है,जो $[1, 2]$ पर संतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है। अतः,माध्य मान प्रमेय लागू होता है।
यहाँ $f^{\prime}(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{3 - 0}{1} = 3$ है। चूँकि $f^{\prime}(x) = 2x$,इसलिए $2c = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 1.5$। चूँकि $1.5 \in (1, 2)$,इसलिए प्रमेय मान्य है।

(C) दिया गया है कि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$,और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है।
फलन $f'(x)$ के लिए अंतराल $[2, 5]$ पर माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,एक $c \in (2, 5)$ मौजूद है ताकि $f''(c) = \frac{f'(5)-f'(2)}{5-2}$ हो।
चूंकि $f''(x) \geq 4$,इसलिए $\frac{f'(5)-5}{3} \geq 4 \Rightarrow f'(5)-5 \geq 12 \Rightarrow f'(5) \geq 17$ है।
फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[2, 5]$ पर माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक $d \in (2, 5)$ मौजूद है ताकि $f'(d) = \frac{f(5)-f(2)}{5-2}$ हो।
चूंकि $f'(x) \geq 1$,इसलिए $\frac{f(5)-8}{3} \geq 1 \Rightarrow f(5)-8 \geq 3 \Rightarrow f(5) \geq 11$ है।
अतः,$f(5)+f'(5) \geq 11+17 = 28$ है।

(A) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$.
अंतराल $[0, 1]$ में $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर.
चूँकि $f(0)=f(1)=0$ और $f$ अवकलनीय है,इसलिए कोई $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(\alpha)=0$ है।
अब,अंतराल $[0, \alpha]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(\alpha)=0$ है।
चूँकि $f$ दो बार अवकलनीय है,$f^{\prime}$ अंतराल $[0, \alpha]$ पर सतत है और $(0, \alpha)$ पर अवकलनीय है।
$f^{\prime}(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर,कोई $\beta \in (0, \alpha)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(\beta)=0$ है।
चूँकि $\beta \in (0, \alpha) \subset (0, 1)$,यह सिद्ध होता है कि किसी $x \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ है।

(D) अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ पर कार की औसत गति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है: $\text{औसत गति} = \frac{f(t_{2}) - f(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
सूत्र में $f(t) = at^{2} + bt + c$ रखने पर:
$\frac{(at_{2}^{2} + bt_{2} + c) - (at_{1}^{2} + bt_{1} + c)}{t_{2} - t_{1}} = \frac{a(t_{2}^{2} - t_{1}^{2}) + b(t_{2} - t_{1})}{t_{2} - t_{1}}$
$= \frac{a(t_{2} - t_{1})(t_{2} + t_{1}) + b(t_{2} - t_{1})}{t_{2} - t_{1}} = a(t_{1} + t_{2}) + b$
हम वह समय $t$ ज्ञात करना चाहते हैं जिस पर तात्कालिक गति $f'(t)$ इस औसत गति के बराबर हो।
$f'(t) = \frac{d}{dt}(at^{2} + bt + c) = 2at + b$
तात्कालिक गति को औसत गति के बराबर रखने पर:
$2at + b = a(t_{1} + t_{2}) + b$
$2at = a(t_{1} + t_{2})$
$t = \frac{t_{1} + t_{2}}{2}$

(A) रोले के प्रमेय के अनुसार $[1, 2]$ पर $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1 - a + b - 4 = -a + b - 3$
$f(2) = 8 - 4a + 2b - 4 = -4a + 2b + 4$
दोनों को बराबर करने पर: $-a + b - 3 = -4a + 2b + 4 \Rightarrow 3a - b = 7$ $.......(1)$
दिया है $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 2ax + b$।
चूंकि $f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right) = 0$,इसलिए $3\left(\frac{4}{3}\right)^{2} - 2a\left(\frac{4}{3}\right) + b = 0$।
$3\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{8a}{3} + b = 0 \Rightarrow \frac{16}{3} - \frac{8a}{3} + b = 0$।
$3$ से गुणा करने पर,$16 - 8a + 3b = 0 \Rightarrow 8a - 3b = 16$ $.......(2)$
समीकरण $(1)$ से,$b = 3a - 7$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8a - 3(3a - 7) = 16 \Rightarrow 8a - 9a + 21 = 16 \Rightarrow -a = -5 \Rightarrow a = 5$।
अतः $b = 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8$।
इस प्रकार,$(a, b) = (5, 8)$।

(B) दिया गया है $f(0)=0, f(1)=1$,और $f(2)=2$।
एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।
तब $h(0) = f(0) - 0 = 0$,$h(1) = f(1) - 1 = 0$,और $h(2) = f(2) - 2 = 0$।
चूंकि $h(x)$ अंतराल $[0,1]$ और $[1,2]$ पर सतत है और $(0,1)$ और $(1,2)$ पर अवकलनीय है,रोले के प्रमेय के अनुसार,कोई $c_1 \in (0,1)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(c_1) = 0$ और कोई $c_2 \in (1,2)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(c_2) = 0$।
अब,$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$।
चूंकि $h^{\prime}(c_1) = 0$ और $h^{\prime}(c_2) = 0$,और $h^{\prime}(x)$ अंतराल $[c_1, c_2]$ पर सतत है और $(c_1, c_2)$ पर अवकलनीय है,$h^{\prime}(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,कम से कम एक $c \in (c_1, c_2) \subset (0,2)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime \prime}(c) = 0$।
चूंकि $h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$,इसलिए किसी $c \in (0,2)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c) = 0$ होगा।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = g(x)$ है।
चूंकि $f(x) = 0$ के $(a, b)$ में $5$ भिन्न मूल हैं,रोले के प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $5 - 1 = 4$ भिन्न मूल होने चाहिए।
अतः,$g(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं।
अब,$g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू करने पर,चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ भिन्न मूल हैं,इसलिए $g'(x) = 0$ के $(a, b)$ में कम से कम $4 - 1 = 3$ भिन्न मूल होने चाहिए।
समीकरण $g(x) g'(x) = 0$ तब संतुष्ट होता है जब $g(x) = 0$ या $g'(x) = 0$ हो।
चूंकि $g(x) = 0$ के कम से कम $4$ मूल हैं और $g'(x) = 0$ के कम से कम $3$ मूल हैं,इसलिए $g(x) g'(x) = 0$ के लिए $(a, b)$ में कुल भिन्न मूलों की संख्या कम से कम $4 + 3 = 7$ है।

(C) $h(x) = f(x)g'(x)$ को परिभाषित करें। दिया गया समीकरण $h'(x) = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,$f(x) = f(-x)$। दिया गया है कि $f(\frac{1}{4}) = 0$ और $f(\frac{1}{2}) = 0$,इसलिए $f(-\frac{1}{4}) = 0$ और $f(-\frac{1}{2}) = 0$ भी होगा। इस प्रकार,$f(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $4$ शून्य हैं,जो $\pm \frac{1}{4}$ और $\pm \frac{1}{2}$ हैं।
चूंकि $g(x)$ एक सम फलन है,$g'(x)$ एक विषम फलन है। $g(\frac{3}{4}) = 0$ दिया गया है,इसलिए $g(-\frac{3}{4}) = 0$ होगा। रोले के प्रमेय के अनुसार,$g'(x)$ का $(-\frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए,जो $x = 0$ है (क्योंकि $g'(x)$ विषम है)।
अब,$h(x) = f(x)g'(x)$। $h(x)$ के शून्य में $\pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{2}$ ($f(x)$ से) और $0$ ($g'(x)$ से) शामिल हैं। इस प्रकार,$h(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $5$ शून्य हैं।
रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $h(x)$ के $5$ शून्य हैं,तो $h'(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $4$ शून्य होने चाहिए। अंतराल $(-2, 2)$ होने के कारण,हलों की न्यूनतम संख्या $4$ है।

(C) $g(x) = f(x) - (2x + 3)$ को परिभाषित करें।
दिया है $f(0)=3$,अतः $g(0) = f(0) - (2(0) + 3) = 3 - 3 = 0$.
दिया है $f(1)=5$,अतः $g(1) = f(1) - (2(1) + 3) = 5 - 5 = 0$.
चूंकि रेखा $y=2x+3$ फलन $f(x)$ को $(0,1)$ में दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है,मान लीजिए ये बिंदु $x_1$ और $x_2$ हैं जहाँ $0 < x_1 < x_2 < 1$ है।
अतः,$g(x_1) = 0$ और $g(x_2) = 0$.
हमें $g(0)=0, g(x_1)=0, g(x_2)=0, g(1)=0$ प्राप्त होता है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$g^{\prime}(x)$ का प्रत्येक अंतराल $(0, x_1)$,$(x_1, x_2)$,और $(x_2, 1)$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए ये शून्य $c_1, c_2, c_3$ हैं ताकि $0 < c_1 < x_1 < c_2 < x_2 < c_3 < 1$ हो।
अब,अंतराल $(c_1, c_2)$ और $(c_2, c_3)$ पर $g^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर:
$g^{\prime\prime}(x)$ का $(c_1, c_2)$ में कम से कम एक शून्य और $(c_2, c_3)$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$g^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x)$ के $(0,1)$ में कम से कम $2$ शून्य होते हैं।

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x \neq y$ के लिए,$x$ और $y$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(c)$ हो।
दिया गया है $f(x) = \log(1 + x^2)$,जिसका अवकलज $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ है।
$f'(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ का विश्लेषण करते हैं।
$g'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = 0$ रखने पर,हमें $x = \pm 1$ प्राप्त होता है।
$f'(x)$ का अधिकतम मान $f'(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = 1$ है और न्यूनतम मान $f'(-1) = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^2} = -1$ है।
अतः,सभी $c \in \mathbb{R}$ के लिए $|f'(c)| \leq 1$ है।
चूँकि $\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} = |f'(c)| \leq 1$,इसलिए $A$ का न्यूनतम संभव मान $1$ है।

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ अंतराल $(a, b)$ पर एक अवकलनीय फलन है जहाँ $f(a) = f(b) = 0$ और $a < b$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(a)$ और $f^{\prime}(b)$ का चिह्न समान है।
यदि $f^{\prime}(a) > 0$ और $f^{\prime}(b) > 0$ है,तो चूँकि $f(a) = f(b) = 0$ है,फलन को $a$ से बढ़ना होगा और अंततः $b$ तक पहुँचने के लिए घटना होगा। इसका मतलब है कि $(a, b)$ में कम से कम एक स्थानीय अधिकतम बिंदु होना चाहिए जहाँ $f^{\prime}(x) = 0$ हो।
हालाँकि,चूँकि $f^{\prime}(b) > 0$ है,फलन को सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए फिर से मुड़ना होगा,जिसके लिए $f^{\prime}(x) = 0$ के कम से कम एक और मूल की आवश्यकता होगी।
अतः,अंतराल $(a, b)$ में $f^{\prime}(x) = 0$ के कम से कम $2$ मूल होने चाहिए।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{2}[g(x) + g(2-x)]$.
अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(x) - g^{\prime}(2-x)]$.
हमें $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ दिया गया है।
$x = \frac{1}{2}$ पर $f^{\prime}$ का मान: $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)] = 0$.
$x = \frac{3}{2}$ पर $f^{\prime}$ का मान: $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)] = 0$.
चूँकि $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ और $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = 0$,अंतराल $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ पर रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c) = 0$ हो।
साथ ही,ध्यान दें कि $f^{\prime}(1) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(1) - g^{\prime}(1)] = 0$.
अतः,$f^{\prime}(x)$ का मान $x = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$ पर शून्य है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime \prime}(x)$ का मान $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ में कम से कम एक बार और $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ में कम से कम एक बार शून्य होगा।
इसलिए,$(0, 2)$ में कम से कम तीन मानों के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ है,जो विकल्प $A$ को संतुष्ट करता है।

(C) हमें व्यंजक $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ दिया गया है।
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x)) = (f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)$ है।
साथ ही,$\frac{d^2}{dx^2} (f(x) f^{\prime}(x)) = \frac{d}{dx} ((f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)) = 2 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x) = 3 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x)$ है।
अतः,दिया गया व्यंजक $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ का द्वितीय अवकलज है,अर्थात $g(x) = h^{\prime \prime}(x)$ है।
चूंकि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2$ दिया गया है,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार $f(x)$ के $(0, 4)$ अंतराल में कम से कम $4$ शून्यक हैं ($x=0$ पर,और $(1,2), (2,3), (3,4)$ के बीच)।
मान लीजिए $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ है। $h(x)$ के शून्यक $f(x)$ के शून्यक और $f^{\prime}(x)$ के शून्यक हैं।
$f(x)$ के शून्यक $x_1=0$,और $x_2 \in (1,2)$,$x_3 \in (2,3)$,$x_4 \in (3,4)$ हैं। अतः $f(x)$ के कम से कम $4$ शून्यक हैं।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x)$ के $(0, 4)$ में कम से कम $3$ शून्यक हैं ($f(x)$ के शून्यकों के बीच)।
अतः,$h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ के $[0, 4]$ में कम से कम $4+3=7$ शून्यक हैं।
रोल के प्रमेय के अनुसार,यदि $h(x)$ के $7$ शून्यक हैं,तो $h^{\prime}(x)$ के कम से कम $6$ शून्यक होंगे,और $h^{\prime \prime}(x)$ के कम से कम $5$ शून्यक होंगे।

(B) दिया गया है $f(x)=2+\cos x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
कथन-$1$: हमें यह जांचना है कि क्या $[t, t+\pi]$ में $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c)=0$ हो।
$f'(x) = -\sin x$।
$f'(c)=0$ के लिए,$\sin c = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $c = n\pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए।
$\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल में,जैसे $[t, t+\pi]$,हमेशा कम से कम एक $\pi$ का गुणज होता है। उदाहरण के लिए,यदि $t=0.1$ है,तो अंतराल $[0.1, 3.24]$ है,जिसमें $\pi \approx 3.14$ शामिल है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$: $f(t) = 2+\cos t$ और $f(t+2\pi) = 2+\cos(t+2\pi) = 2+\cos t$। इसलिए,$f(t)=f(t+2\pi)$ सत्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ ($f$ की आवर्तता) यह संकेत नहीं देता है कि प्रत्येक $\pi$ लंबाई के अंतराल में अवकलज का शून्य होना आवश्यक है। $[t, t+\pi]$ में शून्य का अस्तित्व साइन फलन के शून्य होने का गुण है,न कि $f$ की आवर्तता का। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) दिया गया है $f(x) = f(1-x)$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(1-x)$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ पर,$f^{\prime}(1/2) = -f^{\prime}(1-1/2) = -f^{\prime}(1/2)$,जिसका अर्थ है $2f^{\prime}(1/2) = 0$,इसलिए $f^{\prime}(1/2) = 0$। अतः,$(B)$ सही है।
चूंकि $f(x) = f(1-x)$,$f(x)$ का ग्राफ $x = 1/2$ के परितः सममित है। मान लीजिए $x = 1/2 + t$,तो $f(1/2 + t) = f(1/2 - t)$,इसलिए $g(t) = f(1/2 + t)$ एक सम फलन है।
$(C)$ के लिए,$\int_{-1/2}^{1/2} f(x+1/2) \sin x dx$। चूंकि $f(x+1/2)$ सम है और $\sin x$ विषम है,उनका गुणनफल एक विषम फलन है। एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है। अतः,$(C)$ सही है।
$(A)$ के लिए,हमारे पास $f^{\prime}(1/4) = 0$ है। चूंकि $f^{\prime}(x) = -f^{\prime}(1-x)$,$f^{\prime}(3/4) = -f^{\prime}(1/4) = 0$। साथ ही $f^{\prime}(1/2) = 0$। रोले के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime\prime}(x)$ अंतराल $(1/4, 1/2)$ में कम से कम एक बार और $(1/2, 3/4)$ में कम से कम एक बार शून्य होता है। अतः,$f^{\prime\prime}(x)$ अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम दो बार शून्य होता है। अतः,$(A)$ सही है।
$(D)$ के लिए,मान लीजिए $I = \int_{1/2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} dt$। मान लीजिए $1-t = u$,तो $dt = -du$। जब $t=1/2, u=1/2$; जब $t=1, u=0$। $I = \int_{1/2}^0 f(u) e^{\sin \pi (1-u)} (-du) = \int_0^{1/2} f(u) e^{\sin \pi u} du$। अतः,$(D)$ सही है।

(D) एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।
दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ और $f(1) = 1$,इसलिए $h(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = 0$ और $h(1) = f(1) - 1 = 0$ है।
चूंकि $f(x)$ दो बार अवकलनीय है,इसलिए $h(x)$ भी $[\frac{1}{2}, 1]$ पर अवकलनीय है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(\alpha) = 0$ है।
चूंकि $h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$,इसका अर्थ है कि $f^{\prime}(\alpha) = 1$ है।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
चूंकि $\alpha < 1$ और $f^{\prime}(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए हमें $f^{\prime}(\alpha) < f^{\prime}(1)$ प्राप्त होता है।
$f^{\prime}(\alpha) = 1$ रखने पर,हमें $1 < f^{\prime}(1)$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,जहाँ $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ है।
चूंकि $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,इसलिए $f(x)$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ हैं जिनकी बहुलता कम से कम $2$ है।
अतः,$f(1)=0, f(-1)=0$ और $f'(1)=0, f'(-1)=0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार,$(-1, 1)$ के बीच एक $\alpha$ ऐसा मौजूद है कि $f'(\alpha)=0$ हो।
इसलिए $f'(x)$ के मूल $-1, \alpha, 1$ हैं,जिसका अर्थ है $m_{f'} \ge 3$।
यदि हम $f(x) = (x^2-1)^2$ लें,तो इसके मूल $1, -1$ हैं,इसलिए $m_f = 2$ है।
अतः,$m_f + m_{f'} = 2 + 3 = 5$ है।
इसलिए,न्यूनतम मान $5$ है।

(C) $(1)$ के लिए:
$f(x) = \int_{-x}^{x} (|t|-t^2)e^{-t^2} dt = 2 \int_{0}^{x} (t-t^2)e^{-t^2} dt$.
$f'(x) = 2(x-x^2)e^{-x^2}$. चूंकि $x > 1$ के लिए $f'(x) < 0$,इसलिए $f$ अंतराल $[0, \frac{3}{2}]$ पर वर्धमान नहीं है। विकल्प $(D)$ गलत है।
$g'(x) = \sqrt{x^2} e^{-x^2} \cdot (2x) = 2x^2 e^{-x^2}$.
$f'(x) + g'(x) = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.
समाकलन करने पर,$f(x) + g(x) = -e^{-x^2} + C$. चूंकि $f(0)+g(0)=0$,इसलिए $C=1$.
$f(x)+g(x) = 1-e^{-x^2}$. $x=\sqrt{\ln 3}$ के लिए,$f+g = 1 - e^{-\ln 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. विकल्प $(A)$ गलत है।
$(C)$ के लिए,$\psi_2(x)$ पर $[0, x]$ अंतराल में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को लागू करें: $\psi_2'(\beta) = \frac{\psi_2(x)-\psi_2(0)}{x-0}$.
$\psi_2'(x) = 2x-2+2e^{-x} = 2(x-1+e^{-x}) = 2(\psi_1(x)-1)$.
अतः,$\psi_2(x) = x \cdot 2(\psi_1(\beta)-1) = 2x(\psi_1(\beta)-1)$. विकल्प $(C)$ सत्य है।
$(2)$ के लिए:
$(A)$ $\psi_1'(x) = 1-e^{-x} > 0$ जहाँ $x>0$,इसलिए $\psi_1(x) > \psi_1(0)=1$. $(A)$ गलत है।
$(B)$ $\psi_2'(x) = 2(\psi_1(x)-1) > 0$ जहाँ $x>0$,इसलिए $\psi_2(x) > \psi_2(0)=0$. $(B)$ गलत है।
$(D)$ मान लीजिए $P(x) = g(x) - (\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7)$.
$P'(x) = 2x^2e^{-x^2} - (2x^2 - 2x^4 + x^6) = 2x^2(e^{-x^2} - (1-x^2+\frac{x^4}{2}))$.
$e^{-u} = 1-u+\frac{u^2}{2} - \dots$ का उपयोग करते हुए,$P'(x) = 2x^2(-\frac{x^6}{6} + \dots) < 0$.
चूंकि $P(0)=0$ और $P'(x) < 0$,इसलिए $P(x) < 0$,अर्थात $g(x) < \frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7$. विकल्प $(D)$ सत्य है।

(D) मान लीजिए $H(x) = f(x) - 3g(x)$ है।
दिए गए बिंदुओं पर $H(x)$ के मानों की गणना करने पर:
$H(-1) = f(-1) - 3g(-1) = 3 - 3(0) = 3$.
$H(0) = f(0) - 3g(0) = 6 - 3(1) = 3$.
$H(2) = f(2) - 3g(2) = 0 - 3(-1) = 3$.
चूंकि $H(-1) = H(0) = 3$,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(-1, 0)$ में कम से कम एक $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $H^{\prime}(c_1) = 0$ हो।
चूंकि $H^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $(-1, 0)$ में कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए $H^{\prime}(x)$ सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) है,जिसका अर्थ है कि $(-1, 0)$ में ठीक एक हल है।
इसी प्रकार,चूंकि $H(0) = H(2) = 3$,रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 2)$ में कम से कम एक $c_2$ ऐसा मौजूद है कि $H^{\prime}(c_2) = 0$ हो।
चूंकि $H^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $(0, 2)$ में कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए $H^{\prime}(x)$ सख्ती से एकदिष्ट है,जिसका अर्थ है कि $(0, 2)$ में ठीक एक हल है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) अंतराल $[0, 2]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है कि कम से कम एक $c \in (0, 2)$ ऐसा मौजूद है कि:
$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f^{\prime}(c)$
$\therefore f(2) - f(0) = 2 f^{\prime}(c)$
$\therefore f(2) = f(0) + 2 f^{\prime}(c)$
दिया गया है कि सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$.
अतः,$f(2) - f(0) \leq 2(5) = 10$.
यदि हम $f(0) = -3$ लेते हैं,तो $f(2) \leq -3 + 10 = 7$.
इसलिए,$f(2)$ का अधिकतम संभावित मान $7$ है.

(C) दिया गया है $f(x) = x(x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x$।
सबसे पहले,$a = 0$ और $b = \frac{1}{2}$ के लिए $f(a)$ और $f(b)$ की गणना करें:
$f(0) = 0$।
$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$।
अब,ढाल $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3/8 - 0}{1/2 - 0} = \frac{3}{4}$ है।
अवकलन $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ है।
$f'(c) = \frac{3}{4}$ रखने पर:
$3c^2 - 6c + 2 = \frac{3}{4} \implies 12c^2 - 24c + 5 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $c = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (0, 1/2)$ है,इसलिए $c = 1 - \frac{\sqrt{21}}{6}$ सही उत्तर है।

(C) रोले के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए,हमारे पास $f(-3) = f(0)$ होना चाहिए।
$f(-3) = (-3)(-3+3) e^{3/2} = 0$.
$f(0) = (0)(0+3) e^{0} = 0$.
चूंकि $f(-3) = f(0) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
हमें $c \in (-3, 0)$ ज्ञात करना है ताकि $f'(c) = 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}}$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = (2x + 3) e^{-\frac{x}{2}} + (x^2 + 3x) e^{-\frac{x}{2}} \left(-\frac{1}{2}\right)$.
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( 2x + 3 - \frac{x^2}{2} - \frac{3x}{2} \right)$.
$f'(x) = e^{-\frac{x}{2}} \left( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3 \right)$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $c^2 - c - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(c - 3)(c + 2) = 0$.
अतः,$c = 3$ या $c = -2$.
चूंकि $c$ को अंतराल $(-3, 0)$ में होना चाहिए,इसलिए हम $c = -2$ चुनते हैं।

(C) अंतराल $[a, b] = [-2, 2]$ पर फलन $f(x) = x^3$ दिया गया है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(-2, 2)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
सबसे पहले,छेदक रेखा की ढाल की गणना करें:
$f(2) = 2^3 = 8$
$f(-2) = (-2)^3 = -8$
ढाल $= \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{8 - (-8)}{2 + 2} = \frac{16}{4} = 4$.
अब,फलन का अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 3x^2$.
अवकलज को छेदक रेखा की ढाल के बराबर रखें:
$3c^2 = 4$
$c^2 = \frac{4}{3}$
$c = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,भुज $\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ हैं।

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$[1, 5]$ पर सतत है और $(1, 5)$ पर अवकलनीय है।
लाग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 5)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ हो।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in [1, 5]$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f(5) - 1}{4} \leq 5$.
$f(5) - 1 \leq 20$.
$f(5) \leq 21$.
अतः,$f(5)$ का अधिकतम मान $21$ है।

(D) रोले के प्रमेय के अनुसार $[1, 2]$ पर $f(1) = f(2)$ होना चाहिए।
$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) = 1 + a + b$.
$f(2) = 2^3 + a(2)^2 + b(2) = 8 + 4a + 2b$.
$f(1) = f(2)$ रखने पर,$1 + a + b = 8 + 4a + 2b$,जिसे सरल करने पर $3a + b = -7$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $f'(c) = 0$ होता है,जहाँ $c = \frac{4}{3}$ है।
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$f'(\frac{4}{3}) = 3(\frac{4}{3})^2 + 2a(\frac{4}{3}) + b = 3(\frac{16}{9}) + \frac{8a}{3} + b = \frac{16}{3} + \frac{8a}{3} + b = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,$16 + 8a + 3b = 0$,या $8a + 3b = -16$ (समीकरण $2$)।
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $1$ से,$b = -7 - 3a$.
समीकरण $2$ में रखने पर: $8a + 3(-7 - 3a) = -16$.
$8a - 21 - 9a = -16$.
$-a = 5$,इसलिए $a = -5$.
अब $b = -7 - 3(-5) = -7 + 15 = 8$.
अतः,$a = -5$ और $b = 8$।

(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,फलन को $f(1) = f(3)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$.
$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$.
$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर:
$a + b - 5 = 3a + b - 27$
$2a = 22 \implies a = 11$.
साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $(1, 3)$ में किसी $c$ के लिए $f'(c) = 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$3c^2 - 12c + 11 = 0$.
इसके मूल $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं।
चूंकि $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ जो $(1, 3)$ के भीतर है,इसलिए $a = 11$ के लिए शर्त पूरी होती है। विकल्पों को देखते हुए,$a=11$ वाला विकल्प $A$ सही है।

(D) चूँकि फलन $f(x)$ अंतराल $[1,3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1)=f(3)$ होगा।
$f(x)=x^3+bx^2+ax+5$ में $x=1$ और $x=3$ रखने पर:
$1+b+a+5 = 27+9b+3a+5$
$a+b+6 = 3a+9b+32$
$2a+8b = -26 \Rightarrow a+4b = -13 \quad \dots (i)$
अब,$f'(x) = 3x^2+2bx+a$. रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी $c \in (1,3)$ के लिए $f'(c)=0$ होता है।
दिया गया है $c = 2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $f'(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.
$3(2+\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$
$3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$a + 4b + 13 + \frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0$
समीकरण $(i)$ से $a+4b = -13$ रखने पर:
$-13 + 13 + \frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{2b+12}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.
समीकरण $(i)$ में $b=-6$ रखने पर:
$a + 4(-6) = -13 \Rightarrow a - 24 = -13 \Rightarrow a = 11$.
अतः,$a=11$ और $b=-6$ प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \log_{e} x$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।
सबसे पहले,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = \log_{e} 1 = 0$
$f(3) = \log_{e} 3$
अब,फलन का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{x}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए:
$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3 - 0}{2}$
$\frac{1}{c} = \frac{\log_{e} 3}{2}$
$c = \frac{2}{\log_{e} 3}$
लघुगणक के गुणधर्म $\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a$ का उपयोग करने पर:
$c = 2 \log_{3} e$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही,$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0$ और $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ है।
चूंकि $f(0) = f(2)$,रोले के प्रमेय के अनुसार $(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ है।
$f'(c) = 0$ रखने पर,$3c^2 - 6c + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
दोनों मान $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
सबसे पहले,अंतराल $[0, 4]$ के अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें:
$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ हो।
$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$.
$f'(c) = 3$ रखने पर:
$3c^2 - 12c + 11 = 3$.
$3c^2 - 12c + 8 = 0$.
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
$c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया है $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 4]$ पर सतत है और $(0, 4)$ पर अवकलनीय है।
$LMVT$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$।
सबसे पहले,$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$ की गणना करें।
इसके बाद,$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -1 \times -2 \times -3 = -6$ की गणना करें।
अतः,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$।
अब,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 3x^2 - 12x + 11$।
$f'(c) = 3$ रखने पर,हमें $3c^2 - 12c + 11 = 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3c^2 - 12c + 8 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{25-x^2}$.
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 5)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ हो।
यहाँ $f(5) = \sqrt{25 - 25} = 0$ और $f(1) = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः,$f'(c) = \frac{0 - \sqrt{24}}{5 - 1} = \frac{-\sqrt{24}}{4} = \frac{-2\sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.
अवकलज की तुलना करने पर: $\frac{-c}{\sqrt{25-c^2}} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{c^2}{25-c^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$2c^2 = 3(25 - c^2) \implies 2c^2 = 75 - 3c^2 \implies 5c^2 = 75 \implies c^2 = 15$.
चूंकि $c \in (1, 5)$,इसलिए $c = \sqrt{15}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन: $f(x) = x \sqrt{x+6}$ अंतराल $[-6, 0]$ पर।
सबसे पहले,रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:
$1$. $f(x)$,$[-6, 0]$ पर सतत है।
$2$. $f(x)$,$(-6, 0)$ पर अवकलनीय है।
$3$. $f(-6) = -6 \sqrt{-6+6} = 0$ और $f(0) = 0 \sqrt{0+6} = 0$। चूँकि $f(-6) = f(0)$,सभी शर्तें पूरी होती हैं।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+6}} + \sqrt{x+6} \cdot 1 = \frac{x + 2(x+6)}{2\sqrt{x+6}} = \frac{3x + 12}{2\sqrt{x+6}}$।
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-6, 0)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$\frac{3c + 12}{2\sqrt{c+6}} = 0$
$3c + 12 = 0$
$3c = -12$
$c = -4$।
चूँकि $-4 \in (-6, 0)$,इसलिए $c$ का मान $-4$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin x + \cos x + 6$ अंतराल $[0, 2\pi]$ पर है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (0, 2\pi)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो।
सबसे पहले,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,हमें $\cos c - \sin c = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\cos c = \sin c$,जिसे सरल करने पर $\tan c = 1$ प्राप्त होता है।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\tan c = 1$ के लिए $c$ के मान $c = \frac{\pi}{4}$ और $c = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अतः,$c$ के मान $\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ हैं।

(C) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[1,3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1)=f(3)$ होगा।
$1+b+a+5 = 27+9b+3a+5$
$a+b+6 = 3a+9b+32$
$2a+8b = -26 \Rightarrow a+4b = -13$ ... $(i)$
दिया गया है $f(x) = x^3+bx^2+ax+5$,अतः अवकलन $f'(x) = 3x^2+2bx+a$ होगा।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$c = 2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $f'(c) = 0$ होगा।
$3(2+\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$
$3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + a = 0$
$a + 4b + 13 + \frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0$
समीकरण $(i)$ के अनुसार $a+4b = -13$ का उपयोग करने पर:
$-13 + 13 + \frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{12+2b}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.
$b = -6$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $a + 4(-6) = -13 \Rightarrow a - 24 = -13 \Rightarrow a = 11$.
अतः,$a=11$ और $b=-6$ प्राप्त होते हैं।

(A) किसी फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए तीन शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = |x-2|$ अंतराल $[0, 4]$ पर दिया गया है:
$f(0) = |0-2| = 2$ और $f(4) = |4-2| = 2$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = f(4)$ है।
परंतु,अवकलनीयता की जाँच करने पर: $f(x) = |x-2|$,$x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(0, 4)$ के भीतर स्थित है।
चूँकि फलन $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[1, 3]$ पर है।
लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 3)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ हो।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$,इसलिए $f'(c) = 1 - \frac{1}{c^2}$।
अब,अंत बिंदुओं पर मान ज्ञात करें: $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ और $f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$।
इन मानों को $LMVT$ सूत्र में रखने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1}$।
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $1 - \frac{1}{c^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$।
$c^2$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $c^2 = 3$।
चूंकि $c \in (1, 3)$,इसलिए हम धनात्मक मान लेंगे: $c = \sqrt{3}$।

(A) लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $f(x) = \log(\sin x)$ अंतराल $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{5\pi}{6}$ है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
अतः,$f'(c) = \cot c$.
अब,$f(a)$ और $f(b)$ का मान ज्ञात करें:
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$
$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{5\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$
अब,सूत्र में मान रखने पर:
$f'(c) = \frac{\log(\frac{1}{2}) - \log(\frac{1}{2})}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = \frac{0}{\frac{4\pi}{6}} = 0$.
इसलिए,$\cot c = 0$,जिसका अर्थ है कि $c = \frac{\pi}{2}$।

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा बिंदु $c \in (1, 3)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{x}$,इसलिए $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
अंत बिंदुओं पर मानों की गणना करने पर:
$f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$
$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$f'(c) = \frac{\frac{10}{3} - 2}{3 - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$।
अब,$f'(c)$ को $\frac{2}{3}$ के बराबर रखने पर:
$1 - \frac{1}{c^2} = \frac{2}{3}$
$\frac{1}{c^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$c^2 = 3$
चूंकि $c \in (1, 3)$,हम धनात्मक मूल लेंगे: $c = \sqrt{3}$।

(D) दिया गया फलन $f(x)=e^x(\sin x-\cos x)$ है।
सबसे पहले,हम रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करते हैं:
$1$. $f(x)$,$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ पर सतत है और $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ पर अवकलनीय है।
$2$. $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4}(\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)) = e^{\pi/4}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$3$. $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = e^{5\pi/4}(\sin(5\pi/4) - \cos(5\pi/4)) = e^{5\pi/4}(-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = 0$.
चूंकि $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
अब,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x) = 2e^x \sin x$.
$c \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ के लिए $f'(c) = 0$ रखने पर:
$2e^c \sin c = 0$.
चूंकि $e^c \neq 0$,इसलिए $\sin c = 0$ प्राप्त होता है।
अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ में,$\sin c = 0$ तब होता है जब $c = \pi$ हो।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \log x$ अंतराल $[1, e]$ पर है।
सबसे पहले,फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{x}$.
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,अंतराल $(1, e)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान है कि:
$f'(c) = \frac{f(e) - f(1)}{e - 1}$.
मान रखने पर:
$f(e) = \log e = 1$ और $f(1) = \log 1 = 0$.
अतः,$\frac{1}{c} = \frac{1 - 0}{e - 1}$.
$\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1}$.
इसलिए,$c = e - 1$.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin(2 \pi x)$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी $C \in (-1, 1)$ के लिए $f'(C) = 0$ होता है।
$f'(x) = 2 \pi \cos(2 \pi x)$.
$f'(C) = 0$ रखने पर,$2 \pi \cos(2 \pi C) = 0$,जिसका अर्थ है $\cos(2 \pi C) = 0$.
चूंकि $C \in (-1, 1)$,इसलिए $2 \pi C \in (-2 \pi, 2 \pi)$ होगा।
अंतराल $(-2 \pi, 2 \pi)$ में $\cos(2 \pi C) = 0$ के मान $\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ हैं।
$2 \pi$ से विभाजित करने पर,$C = \frac{-3}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C$ के कुल $4$ मान हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ पर।
चूंकि $f(x)$ और $g(x)$ बहुपद हैं,वे $[-2, 2]$ पर सतत हैं और $(-2, 2)$ पर अवकलनीय हैं। अतः,दोनों माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करते हैं।
रोले के प्रमेय के लिए,हम $f(a) = f(b)$ की जाँच करते हैं:
$f(-2) = -8$ और $f(2) = 8$. चूंकि $f(-2) \neq f(2)$,$f(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
$g(-2) = 0$ और $g(2) = 0$. चूंकि $g(-2) = g(2)$,$g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,कथन $(a)$ और कथन $(c)$ सही हैं।

(A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,यदि फलन $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में सतत और $(a, b)$ में अवकलनीय है,तो एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।
यहाँ $f(x) = x^{2}$,$a = 2$,और $b = 4$ है।
$f(2) = 4$ और $f(4) = 16$ है।
अवकलन $f'(x) = 2x$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$2c = \frac{16 - 4}{4 - 2} = \frac{12}{2} = 6$।
अतः,$c = 3$।

(D) रोले के प्रमेय के लिए एक फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ पर तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$,$(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
विकल्प $D$ का विश्लेषण करते हैं: $f(x) = |x|$ अंतराल $[-2, 2]$ पर।
फलन $f(x) = |x|$,$[-2, 2]$ पर सतत है,लेकिन यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(-2, 2)$ के भीतर स्थित है।
चूंकि रोले के प्रमेय की दूसरी शर्त (अवकलनीयता) $x = 0$ पर पूरी नहीं होती है,इसलिए $[-2, 2]$ में $f(x) = |x|$ के लिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।