Differentiation of implicit function Questions in Hindi

(B) अतिपरवलय का समीकरण दिया गया है: $xy = a$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0$
अवकलज के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$
बिंदु $(a, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m$ प्राप्त करने के लिए $x = a$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(a, 1)} = -\frac{1}{a}$।

(B) दिया गया है $y = \sqrt{(1 - x)(1 + x)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = (1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1 - x^2)$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = -2x$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$y \frac{dy}{dx} = -x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,$y^2 \frac{dy}{dx} = -xy$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y^2 = 1 - x^2$,इसका मान रखने पर $(1 - x^2) \frac{dy}{dx} = -xy$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(1 - x^2) \frac{dy}{dx} + xy = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: ${x^{2/3}} + {y^{2/3}} = {a^{2/3}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}({x^{2/3}}) + \frac{d}{dx}({y^{2/3}}) = \frac{d}{dx}({a^{2/3}})$
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ और $y$ के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3}{x^{-1/3}} + \frac{2}{3}{y^{-1/3}}\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{3}$ से भाग देने पर:
${x^{-1/3}} + {y^{-1/3}}\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
${y^{-1/3}}\frac{dy}{dx} = -{x^{-1/3}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{{x^{-1/3}}}{{y^{-1/3}}}$
$\frac{dy}{dx} = -{\left( \frac{x}{y} \right)^{-1/3}}$
$\frac{dy}{dx} = -{\left( \frac{y}{x} \right)^{1/3}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $y\sqrt{x^2 + 1} = \log \{\sqrt{x^2 + 1} - x\}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} \cdot \sqrt{x^2 + 1} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \cdot \left( \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} - 1 \right)$
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{xy}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)$
$\frac{dy}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{xy}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-( \sqrt{x^2 + 1} - x )}{(\sqrt{x^2 + 1} - x) \sqrt{x^2 + 1}}$
$\frac{dy}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{xy}{\sqrt{x^2 + 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$
पूरे समीकरण को $\sqrt{x^2 + 1}$ से गुणा करने पर:
$(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + xy = -1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^2 + 1)\frac{dy}{dx} + xy + 1 = 0$

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) = \frac{d}{dx}(1)$
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
अब,बिंदु $\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)$ को अवकलज में रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\left( \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right)} = -\frac{\sqrt{1/4}}{\sqrt{1/4}} = -\frac{1/2}{1/2} = -1$.

(B) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\sin x + y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \sin x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin x + y)$
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \cos x$
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \cos x$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $x = y\sqrt{1 - y^2}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए):
$1 = \frac{dy}{dx} \cdot \sqrt{1 - y^2} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - y^2}} \cdot (-2y) \cdot \frac{dy}{dx}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$1 = \frac{dy}{dx} \left( \sqrt{1 - y^2} - \frac{y^2}{\sqrt{1 - y^2}} \right)$
कोष्ठक के अंदर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$1 = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - y^2 - y^2}{\sqrt{1 - y^2}} \right)$
$1 = \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - 2y^2}{\sqrt{1 - y^2}} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 - 2y^2}$

(A) दिया गया है $x = \exp \left\{ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{y - {x^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \right\}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log x = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{y - {x^2}}}{{{x^2}}}} \right)$.
इसका अर्थ है $\frac{{y - {x^2}}}{{{x^2}}} = \tan (\log x)$.
$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $y = {x^2}\tan (\log x) + {x^2}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}({x^2}\tan (\log x)) + \frac{d}{{dx}}({x^2})$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = [2x \cdot \tan (\log x) + {x^2} \cdot {\sec ^2}(\log x) \cdot \frac{1}{x}] + 2x$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = 2x\tan (\log x) + x{\sec ^2}(\log x) + 2x$.
पहले और अंतिम पद से $2x$ उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{{dy}}{{dx}} = 2x[1 + \tan (\log x)] + x{\sec ^2}(\log x)$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin y + e^{-x \cos y} = e$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\cos y \frac{dy}{dx} + e^{-x \cos y} \cdot \frac{d}{dx}(-x \cos y) = 0$
$\cos y \frac{dy}{dx} + e^{-x \cos y} \cdot [(-1) \cos y + (-x)(-\sin y) \frac{dy}{dx}] = 0$
$\cos y \frac{dy}{dx} + e^{-x \cos y} [-\cos y + x \sin y \frac{dy}{dx}] = 0$
$\frac{dy}{dx} (\cos y + x \sin y e^{-x \cos y}) = \cos y e^{-x \cos y}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos y e^{-x \cos y}}{\cos y + x \sin y e^{-x \cos y}}$
अब,$(x, y) = (1, \pi)$ रखने पर:
$\cos \pi = -1$ और $\sin \pi = 0$।
$\frac{dy}{dx} \Big|_{(1, \pi)} = \frac{(-1) e^{-1(-1)}}{-1 + 1(0) e^{-1(-1)}} = \frac{-e}{-1} = e$।

(B) दिया गया समीकरण: ${x^m}{y^n} = {(x + y)^{m + n}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$m \ln x + n \ln y = (m + n) \ln(x + y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = (m + n) \frac{1}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{n}{y} - \frac{m + n}{x + y} \right) = \frac{m + n}{x + y} - \frac{m}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{nx + ny - my - ny}{y(x + y)} \right) = \frac{mx + nx - mx - my}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{nx - my}{y(x + y)} \right) = \frac{nx - my}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
$x = 1$ और $y = 2$ पर:
${\left. {\frac{dy}{dx}} \right|_{x = 1, y = 2}} = \frac{2}{1} = 2$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos (x + y) = y\sin x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (चेन रूल और प्रोडक्ट रूल का उपयोग करके):
$-\sin (x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y) = y \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) + \sin x \cdot \frac{dy}{dx}$
$-\sin (x + y) \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right) = y\cos x + \sin x \frac{dy}{dx}$
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर:
$-\sin (x + y) - \sin (x + y) \frac{dy}{dx} = y\cos x + \sin x \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ करने पर:
$-\sin (x + y) - y\cos x = \sin x \frac{dy}{dx} + \sin (x + y) \frac{dy}{dx}$
$-(\sin (x + y) + y\cos x) = \frac{dy}{dx} (\sin x + \sin (x + y))$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{\sin (x + y) + y\cos x}{\sin x + \sin (x + y)}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $x\sqrt{1 + y} + y\sqrt{1 + x} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x\sqrt{1 + y} = -y\sqrt{1 + x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2(1 + y) = y^2(1 + x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + y^2x$
$x^2 - y^2 + x^2y - y^2x = 0$
$(x - y)(x + y) + xy(x - y) = 0$
$(x - y)(x + y + xy) = 0$
चूंकि $x \neq y$,इसलिए $x + y + xy = 0$
$y(1 + x) = -x$
$y = -\frac{x}{1 + x}$
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1 + x)(1) - x(1)}{(1 + x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + x - x}{(1 + x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1 + x)^2} = -(1 + x)^{-2}$

(C) दिया गया समीकरण: $\sin y = x \sin (a + y)$
हम $x$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x = \frac{\sin y}{\sin (a + y)}$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{\sin y}{\sin (a + y)} \right]$
$1 = \frac{\cos y \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \sin (a + y) - \sin y \cdot \cos (a + y) \cdot \frac{dy}{dx}}{\sin^2 (a + y)}$
अंश में $\frac{dy}{dx}$ को कॉमन लेने पर:
$1 = \frac{\frac{dy}{dx} [\sin (a + y) \cos y - \cos (a + y) \sin y]}{\sin^2 (a + y)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$1 = \frac{\frac{dy}{dx} \cdot \sin (a + y - y)}{\sin^2 (a + y)}$
$1 = \frac{\frac{dy}{dx} \cdot \sin a}{\sin^2 (a + y)}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2 (a + y)}{\sin a}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan (x + y) + \tan (x - y) = 1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sec^2(x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y) + \sec^2(x - y) \cdot \frac{d}{dx}(x - y) = 0$
$\sec^2(x + y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) + \sec^2(x - y) \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$\sec^2(x + y) + \sec^2(x + y) \frac{dy}{dx} + \sec^2(x - y) - \sec^2(x - y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \sec^2(x + y) - \sec^2(x - y) \right) = - \left( \sec^2(x + y) + \sec^2(x - y) \right)$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y)}{\sec^2(x + y) - \sec^2(x - y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(x + y) + \sec^2(x - y)}{\sec^2(x - y) - \sec^2(x + y)}$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y \sec x + \tan x + x^2 y = 0$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx}(y \sec x) + \frac{d}{dx}(\tan x) + \frac{d}{dx}(x^2 y) = 0$
$\left( \frac{dy}{dx} \sec x + y \sec x \tan x \right) + \sec^2 x + \left( 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} \right) = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (\sec x + x^2) + y \sec x \tan x + \sec^2 x + 2xy = 0$
$\frac{dy}{dx} (\sec x + x^2) = -(2xy + \sec^2 x + y \sec x \tan x)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy + \sec^2 x + y \sec x \tan x}{x^2 + \sec x}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin(xy) + \frac{x}{y} = x^2 - y$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\cos(xy) \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) + \frac{y(1) - x \frac{dy}{dx}}{y^2} = 2x - \frac{dy}{dx}$.
सरल बनाने के लिए $y^2$ से गुणा करने पर:
$y^2 \cos(xy) (y + x \frac{dy}{dx}) + y - x \frac{dy}{dx} = 2xy^2 - y^2 \frac{dy}{dx}$.
विस्तार करके $\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ लेने पर:
$y^3 \cos(xy) + xy^2 \cos(xy) \frac{dy}{dx} + y - x \frac{dy}{dx} = 2xy^2 - y^2 \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (xy^2 \cos(xy) - x + y^2) = 2xy^2 - y - y^3 \cos(xy)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy^2 - y - y^3 \cos(xy)}{xy^2 \cos(xy) - x + y^2}$.
अंश से $y$ कॉमन लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(2xy - 1 - y^2 \cos(xy))}{xy^2 \cos(xy) - x + y^2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 x + 2\cos y + xy = 0$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \frac{d}{dx}(2\cos y) + \frac{d}{dx}(xy) = 0$
श्रृंखला नियम (chain rule) और गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर:
$2\sin x \cos x - 2\sin y \frac{dy}{dx} + (y \cdot 1 + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\sin 2x - 2\sin y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx}(x - 2\sin y) = -(y + \sin 2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sin 2x}{2\sin y - x}$

(A) दिया गया समीकरण: ${x^3} + 8xy + {y^3} = 64$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(8xy) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(64)$
श्रृंखला नियम (chain rule) और गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर:
$3x^2 + 8(y + x\frac{dy}{dx}) + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$3x^2 + 8y + 8x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(8x + 3y^2)\frac{dy}{dx} = -(3x^2 + 8y)$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 8y}{8x + 3y^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(ax^2) + \frac{d}{dx}(2hxy) + \frac{d}{dx}(by^2) + \frac{d}{dx}(2gx) + \frac{d}{dx}(2fy) + \frac{d}{dx}(c) = 0$
चेन रूल और प्रोडक्ट रूल का उपयोग करने पर:
$2ax + 2h(y + x\frac{dy}{dx}) + 2by\frac{dy}{dx} + 2g + 2f\frac{dy}{dx} = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$ax + hy + hx\frac{dy}{dx} + by\frac{dy}{dx} + g + f\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$\frac{dy}{dx}(hx + by + f) = -(ax + hy + g)$
$\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{ax + hy + g}{hx + by + f}$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 + y^2 = t - \frac{1}{t}$ --- $(1)$
$x^4 + y^4 = t^2 + \frac{1}{t^2}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ का वर्ग करने पर:
$(x^2 + y^2)^2 = (t - \frac{1}{t})^2$
$x^4 + y^4 + 2x^2y^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$
समीकरण $(2)$ का मान इसमें रखने पर:
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
अतः $y^2 = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$2y \frac{dy}{dx} = 2x^{-3}$
$y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^3}$
दोनों पक्षों को $x^3$ से गुणा करने पर:
$x^3y \frac{dy}{dx} = 1$.

(A) दिया गया समीकरण $\sin y = x \cos (a + y)$ है।
हम $x$ को $x = \frac{\sin y}{\cos (a + y)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
भागफल नियम $\frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dy} - u \frac{dv}{dy}}{v^2}$ का उपयोग करके $y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos (a + y) \cdot \cos y - \sin y \cdot (-\sin (a + y))}{\cos^2 (a + y)}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos (a + y) \cos y + \sin y \sin (a + y)}{\cos^2 (a + y)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\cos (a + y - y)}{\cos^2 (a + y)} = \frac{\cos a}{\cos^2 (a + y)}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{\cos^2 (a + y)}{\cos a}.$
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $3\sin(xy) + 4\cos(xy) = 5$ है।
माना $u = xy$. तब $3\sin(u) + 4\cos(u) = 5$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3\cos(u) \cdot \frac{du}{dx} - 4\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} = 0$.
$(3\cos(u) - 4\sin(u)) \cdot \frac{du}{dx} = 0$.
चूंकि $3\sin(u) + 4\cos(u) = 5$,इसलिए $3\cos(u) - 4\sin(u)$ सभी $x$ के लिए शून्य नहीं हो सकता है।
अतः,$\frac{du}{dx} = 0$.
चूंकि $u = xy$,इसलिए $\frac{d}{dx}(xy) = 0$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $y + x \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(C) दिया गया अस्पष्ट फलन $f(x, y) = x^2 e^y + 2xy e^x + 13 = 0$ है।
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 e^y + 2xy e^x + 13) = 2x e^y + 2y e^x + 2xy e^x = 2x e^y + 2y e^x(1 + x)$.
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 e^y + 2xy e^x + 13) = x^2 e^y + 2x e^x$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{2x e^y + 2y e^x(1 + x)}{x^2 e^y + 2x e^x}$.
अंश और हर को $x e^x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{2x e^y}{e^x} + 2y(1 + x)}{\frac{x^2 e^y}{e^x} + 2x} = - \frac{2x e^{y-x} + 2y(x + 1)}{x(x e^{y-x} + 2)}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया अस्पष्ट फलन $\sin(x+y) = \log(x+y)$ है।
माना $u = x+y$. तब समीकरण $\sin(u) = \log(u)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \frac{d}{dx}(\log(u))$
$\cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$
चूंकि $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x+y) = 1 + \frac{dy}{dx}$,इसलिए:
$\cos(u) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{u} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$(\cos(u) - \frac{1}{u}) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 0$
चूंकि $\sin(u) = \log(u)$,सामान्यतः $\cos(u) \neq \frac{1}{u}$ है,इसलिए:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$.

(A) दिया गया समीकरण $\ln (x + y) = 2xy$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ होने पर $y$ का मान ज्ञात करें:
$\ln (0 + y) = 2(0)y \implies \ln (y) = 0 \implies y = e^0 = 1$।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d}{dx} [\ln (x + y)] = \frac{d}{dx} [2xy]$
$\frac{1}{x + y} \cdot (1 + y') = 2(y + xy')$
अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{0 + 1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1 + 0 \cdot y'(0))$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2(1)$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$।

(A) दिया गया समीकरण ${x^y} = {e^{x - y}}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$y \log x = x - y$
$y$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y(1 + \log x) = x$
$y = \frac{x}{1 + \log x}$
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2}$
चूंकि $1 + \log x = \log e + \log x = \log (ex)$:
$\frac{dy}{dx} = \log x \cdot [\log (ex)]^{-2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $(x - y)e^{x/(x - y)} = k$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(x - y) + \frac{x}{x - y} = \ln k$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x - y}(1 - \frac{dy}{dx}) + \frac{(x - y)(1) - x(1 - \frac{dy}{dx})}{(x - y)^2} = 0$.
पूरे समीकरण को $(x - y)^2$ से गुणा करने पर:
$(x - y)(1 - \frac{dy}{dx}) + (x - y) - x(1 - \frac{dy}{dx}) = 0$.
$(x - y) - (x - y)\frac{dy}{dx} + x - y - x + x\frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को संयोजित करने पर:
$(-x + y + x)\frac{dy}{dx} + (x - y + x - y - x) = 0$.
$y\frac{dy}{dx} + x - 2y = 0$.

(B) दिया गया समीकरण: ${2^x} + {2^y} = {2^{x + y}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}({2^x}) + \frac{d}{dx}({2^y}) = \frac{d}{dx}({2^{x + y}})$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
${2^x} \ln 2 + {2^y} \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} \ln 2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\ln 2$ से विभाजित करने पर:
${2^x} + {2^y} \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} + {2^{x + y}} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
${2^y} \frac{dy}{dx} - {2^{x + y}} \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} - {2^x}$
$\frac{dy}{dx} ({2^y} - {2^{x + y}}) = {2^{x + y}} - {2^x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^{x + y}} - {2^x}}{{2^y} - {2^{x + y}}}$
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^x}({2^y} - 1)}{{2^y}(1 - {2^x})} = {2^{x - y}} \frac{{2^y} - 1}{1 - {2^x}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण: ${y^x} + {x^y} = {a^b}$ है।
मान लीजिए $u = {x^y}$ और $v = {y^x}$ है।
तब $u + v = {a^b}$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$u = {x^y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = y \log x$।
अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{du}{dx} = {x^y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) = y{x^{y - 1}} + {x^y} \log x \frac{dy}{dx}$।
$v = {y^x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log y$।
अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \implies \frac{dv}{dx} = {y^x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = x{y^{x - 1}} \frac{dy}{dx} + {y^x} \log y$।
इन मानों को $\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ में रखने पर:
$y{x^{y - 1}} + {x^y} \log x \frac{dy}{dx} + x{y^{x - 1}} \frac{dy}{dx} + {y^x} \log y = 0$।
$\frac{dy}{dx} ({x^y} \log x + x{y^{x - 1}}) = -(y{x^{y - 1}} + {y^x} \log y)$।
$\frac{dy}{dx} = - \frac{y{x^{y - 1}} + {y^x} \log y}{x{y^{x - 1}} + {x^y} \log x}$।

(C) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\log x + \sqrt{\log x + \sqrt{\log x + \dots \infty}}}$ है।
चूंकि श्रेणी अनंत है,हम लिख सकते हैं $y = \sqrt{\log x + y}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y^2 = \log x + y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\log x + y)$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{dy}{dx}$।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(2y - 1)}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण ${x^y} = {y^x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $y \log_e x = x \log_e y$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \log_e x) = \frac{d}{dx}(x \log_e y)$
$\frac{dy}{dx} \log_e x + y \cdot \frac{1}{x} = 1 \cdot \log_e y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \log_e x - \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} = \log_e y - \frac{y}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \log_e x - \frac{x}{y} \right) = \log_e y - \frac{y}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log_e x - x}{y} \right) = \frac{x \log_e y - y}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x \log_e y - y)}{x(y \log_e x - x)}$
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y(y - x \log_e y)}{x(x - y \log_e x)}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अनंत श्रेणी $y = x^2 + \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2 + \dots \infty}}$ के लिए,हम देख सकते हैं कि पहले $x^2$ के बाद पद स्वयं को दोहराते हैं।
अतः,हम समीकरण को $y = x^2 + \frac{1}{y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = x^2y + 1$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = x^2 \frac{dy}{dx} + y(2x)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$\frac{dy}{dx}(2y - x^2) = 2xy$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{2y - x^2}$.

(B) दिया गया समीकरण: ${x^y} \cdot {y^x} = 1$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log({x^y} \cdot {y^x}) = \log(1)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $y \log x + x \log y = 0$.
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \log x) + \frac{d}{dx}(x \log y) = 0$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $(y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}) + (x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\log x + \frac{x}{y}) = - (\frac{y}{x} + \log y)$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{y \log x + x}{y}) = - (\frac{y + x \log y}{x})$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = - \frac{y(y + x \log y)}{x(x + y \log x)}$.

(B) दिया गया समीकरण: ${2^x} + {2^y} = {2^{x + y}}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
${2^x} \ln(2) + {2^y} \ln(2) \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} \ln(2) \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$.
$\ln(2)$ से भाग देने पर:
${2^x} + {2^y} \frac{dy}{dx} = {2^{x + y}} + {2^{x + y}} \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} ({2^y} - {2^{x + y}}) = {2^{x + y}} - {2^x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^{x + y}} - {2^x}}{{2^y} - {2^{x + y}}}$.
$x = 1$ और $y = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{{2^{1 + 1}} - {2^1}}{{2^1} - {2^{1 + 1}}} = \frac{{2^2} - 2}{2 - {2^2}} = \frac{4 - 2}{2 - 4} = \frac{2}{-2} = -1$.

(D) दिया गया है कि $f''(x) - g''(x) = 0$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f'(x) - g'(x) = c$ प्राप्त होता है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
$x = 1$ पर,$f'(1) - g'(1) = c \implies 2 - 4 = c \implies c = -2$.
अतः,$f'(x) - g'(x) = -2$.
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) - g(x) = -2x + c_1$ प्राप्त होता है,जहाँ $c_1$ एक स्थिरांक है।
$x = 2$ पर,$f(2) - g(2) = -2(2) + c_1 \implies 3 - 9 = -4 + c_1 \implies -6 = -4 + c_1 \implies c_1 = -2$.
इसलिए,$f(x) - g(x) = -2x - 2$.
$x = 3/2$ पर,$f(3/2) - g(3/2) = -2(3/2) - 2 = -3 - 2 = -5$.

(D) दिया गया समीकरण $2t = v^2$ है।
$\frac{dv}{dt}$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे।
$\frac{d}{dt}(2t) = \frac{d}{dt}(v^2)$
$2 = 2v \cdot \frac{dv}{dt}$
दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dv}{dt} = \frac{2}{2v} = \frac{1}{v}$.

(C) दिया गया समीकरण $x{e^{xy}} = y + {\sin ^2}x$ है।
जब $x = 0$ है,तो समीकरण में मान रखने पर $0 \cdot {e^0} = y + {\sin ^2}(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 0$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x{e^{xy}}) = \frac{d}{dx}(y + {\sin ^2}x)$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \frac{dy}{dx} + 2\sin x \cos x$
${e^{xy}} + x{e^{xy}} \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) = \frac{dy}{dx} + \sin(2x)$
अब अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
${e^0} + 0 \cdot {e^0} (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + \sin(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
अतः,$\frac{dy}{dx} = 1$।

(B) दिया गया अनंत घात श्रेणी $y = x^{x^{x^{\dots\infty}}}$ है।
चूंकि घातांक अनंत तक दोहराया जाता है,हम लिख सकते हैं $y = x^y$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = y \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,दाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - \log x) = \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y \log x}{y}) = \frac{y}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x(1 - y \log x)}$.

(B) दिया गया समीकरण: ${x^2} + {y^2} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}({x^2} + {y^2}) = \frac{d}{dx}(1)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y y' = 0$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y y') = 0$
$1 + (y \cdot y'' + y' \cdot y') = 0$
$1 + y y'' + (y')^2 = 0$
अतः,अभीष्ट संबंध $yy'' + (y')^2 + 1 = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y \cos x + x \cos y = \pi$ है।
$x = 0$ पर,$y \cos(0) + 0 \cos y = \pi$,जिसका अर्थ है $y = \pi$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-y \sin x + y' \cos x + \cos y - x \sin y \cdot y' = 0$।
$x = 0$ और $y = \pi$ रखने पर:
$-(\pi) \sin(0) + y'(0) \cos(0) + \cos(\pi) - 0 \sin(\pi) \cdot y'(0) = 0$।
$0 + y'(0) \cdot 1 - 1 - 0 = 0 \implies y'(0) = 1$।
अब,प्रथम अवकलज का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-y' \sin x - y \cos x + y'' \cos x - y' \sin x - \sin y \cdot y' - x(\cos y \cdot (y')^2 + \sin y \cdot y'') - \sin y \cdot y' = 0$।
$x = 0, y = \pi, y' = 1$ रखने पर:
$-1 \cdot 0 - \pi \cdot 1 + y''(0) \cdot 1 - 1 \cdot 0 - 0 - 0 - 0 = 0$।
$-\pi + y''(0) = 0 \implies y''(0) = \pi$।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $xy + ax - by = 0$.
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$(1)(1) + a(1) - b(1) = 0
\Rightarrow 1 + a - b = 0
\Rightarrow a - b = -1$ (समीकरण $1$).
अब,$x$ के सापेक्ष वक्र का अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y + a - b \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} (x - b) = -(y + a)
\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x - b}$.
बिंदु $(1, 1)$ पर ढाल $2$ दी गई है:
$2 = -\frac{1 + a}{1 - b}
\Rightarrow 2(1 - b) = -(1 + a)
\Rightarrow 2 - 2b = -1 - a
\Rightarrow a - 2b = -3$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ घटाने पर:
$(a - b) - (a - 2b) = -1 - (-3)
\Rightarrow a - b - a + 2b = -1 + 3
\Rightarrow b = 2$.
$b = 2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a - 2 = -1
\Rightarrow a = 1$.
अतः,$a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $y = \cos(x + y)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x + y)) = -\sin(x + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$
चूंकि स्पर्श रेखा $x + 2y = 0$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
अवकलन को $-\frac{1}{2}$ के बराबर रखने पर:
$-\frac{\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2}$
$2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y)$
$\sin(x + y) = 1$
इसका अर्थ है कि $x + y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.
इस मान को मूल समीकरण $y = \cos(x + y)$ में रखने पर:
$y = \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$.
चूंकि $y = 0$,इसलिए $x + 0 = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2}$.
अतः,बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ है।

(D) दिया गया समीकरण: ${x^{2x}} - 2{x^x}\cot y - 1 = 0$ ........$(i)$
$x = 1$ पर:
$1^{2(1)} - 2(1^1)\cot y - 1 = 0$
$1 - 2\cot y - 1 = 0$
$\Rightarrow \cot y = 0 \quad \therefore \quad y = \frac{\pi}{2}$
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{2x}) - 2 \frac{d}{dx}(x^x \cot y) = 0$
$x^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x \ln x) - 2 \left[ x^x(1 + \ln x) \cot y - x^x \csc^2 y \frac{dy}{dx} \right] = 0$
बिंदु $P(1, \frac{\pi}{2})$ पर,$x = 1, y = \frac{\pi}{2}, \cot y = 0, \csc^2 y = 1, \ln 1 = 0$ रखने पर:
$2(1)^{2}(1 + 0) - 2 \left[ 1(1 + 0)(0) - 1(1) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 - 2 \left[ -\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = 0$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = -1$

(D) दिया गया है $f(x) = |\log 2 - \sin x|$। चूँकि $\log 2 \approx 0.693 < 1$,$x=0$ के निकट,$\sin x$ छोटा है,इसलिए $\log 2 - \sin x > 0$ होगा। अतः,$x=0$ के सामीप्य में $f(x) = \log 2 - \sin x$ है।
तब $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$।
चूँकि $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है और अवकलनीय फलनों का संयोजन भी अवकलनीय होता है,इसलिए $g(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है।
अब,$g'(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$।
$x=0$ पर मान रखने पर,$g'(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$।

(B) दिया गया है: ${x^2} + {y^2} = t - \frac{1}{t}$ और ${x^4} + {y^4} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}}$.
हम जानते हैं कि ${({x^2} + {y^2})^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ${\left( {t - \frac{1}{t}} \right)^2} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} + 2{x^2}{y^2}$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: ${t^2} - 2 + \frac{1}{{{t^2}}} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} + 2{x^2}{y^2}$.
इसे सरल करने पर $-2 = 2{x^2}{y^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${x^2}{y^2} = -1$,या ${y^2} = -\frac{1}{{{x^2}}}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{d}{{dx}}({x^{-2}}) = -(-2){x^{-3}} = \frac{2}{{{x^3}}}$.
अतः,$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{{x^3} \cdot 2y}} = \frac{1}{{{x^3}y}}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin(xy) + \cos(xy) = 0$
इसका अर्थ है $\sin(xy) = -\cos(xy)$,जिसका अर्थ है $\tan(xy) = -1$।
चूंकि $\tan(xy) = -1$,इसलिए $xy = n\pi - \frac{\pi}{4}$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(n\pi - \frac{\pi}{4})$
$y + x \frac{dy}{dx} = 0$
$x \frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(D) दिया गया समीकरण: $y^2e^{xy} = 9e^{-3}x^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2)e^{xy} + y^2\frac{d}{dx}(e^{xy}) = 9e^{-3}\frac{d}{dx}(x^2)$
$2y\frac{dy}{dx}e^{xy} + y^2e^{xy}\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 18e^{-3}x$
$x = -1$ और $y = 3$ रखने पर:
$2(3)\frac{dy}{dx}e^{-3} + (3)^2e^{-3}\left(3 + (-1)\frac{dy}{dx}\right) = 18e^{-3}(-1)$
पूरे समीकरण को $e^{-3}$ से विभाजित करने पर:
$6\frac{dy}{dx} + 9(3 - \frac{dy}{dx}) = -18$
$6\frac{dy}{dx} + 27 - 9\frac{dy}{dx} = -18$
$-3\frac{dy}{dx} = -18 - 27$
$-3\frac{dy}{dx} = -45$
$\frac{dy}{dx} = 15$.

(A) दिया गया समीकरण: $2^x + 2^y = 2^{x + y}$ है।
दोनों पक्षों को $2^{x+y}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2^x}{2^{x+y}} + \frac{2^y}{2^{x+y}} = 1$
$2^{-y} + 2^{-x} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2^{-y}) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) = \frac{d}{dx}(1)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \ln(a) \frac{du}{dx}$:
$2^{-y} \ln(2) \cdot (-\frac{dy}{dx}) + 2^{-x} \ln(2) \cdot (-1) = 0$ प्राप्त होता है।
$-\ln(2)$ से विभाजित करने पर:
$2^{-y} \frac{dy}{dx} + 2^{-x} = 0$
$2^{-y} \frac{dy}{dx} = -2^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{-x}}{2^{-y}} = -\frac{2^y}{2^x}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) वक्र का दिया गया समीकरण: $y - e^{xy} + x = 0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} - e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) + 1 = 0$।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 - x e^{xy}) = y e^{xy} - 1$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{y e^{xy} - 1}{1 - x e^{xy}}$।
एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा तब होती है जब हर शून्य हो और अंश शून्य न हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} \to \infty$।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $1 - x e^{xy} = 0$,जिसका अर्थ है $x e^{xy} = 1$।
मूल समीकरण $y - e^{xy} + x = 0$ से,हमारे पास $e^{xy} = x + y$ है।
$e^{xy} = x + y$ को $x e^{xy} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(x + y) = 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^2 + xy = 1$।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 0)$ के लिए: $0 - e^0 + 1 = 0 \implies 0 - 1 + 1 = 0$ (संतुष्ट है)।
$(1, 0)$ पर,हर $1 - x e^{xy} = 1 - 1 \cdot e^0 = 1 - 1 = 0$ है।
अंश $y e^{xy} - 1 = 0 \cdot e^0 - 1 = -1 \neq 0$ है।
चूंकि हर शून्य है और अंश शून्य नहीं है,इसलिए ढाल अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा)।
अतः,वक्र की ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा $(1, 0)$ पर है।

(D) दिया गया है कि $f'(x) = \int_{0}^{f(x)} f^{-1}(t) dt$ और $f'(0) = 1$ है।
लाइबनीज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f''(x) = f^{-1}(f(x)) \cdot f'(x)$।
चूंकि $f(x)$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $f^{-1}(f(x)) = x$ होता है।
अतः,$f''(x) = x f'(x)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{f''(x)}{f'(x)} = x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2} + C$।
$x = 0$ पर,$f'(0) = 1$,इसलिए $\ln|1| = 0 + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$।
अतः,$\ln|f'(x)| = \frac{x^2}{2}$,जिससे $f'(x) = e^{x^2/2}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ के लिए,$f'(1) = e^{1/2} = \sqrt{e}$।