जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय फलन $f(x) = [x]$ के लिए $x \in [5, 9]$ पर लागू होता है। क्या आप इस उदाहरण से रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

(N/A) रोले के प्रमेय के अनुसार,एक फलन $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ के लिए,यदि:
$1)$ $f, [a, b]$ पर संतत है
$2)$ $f, (a, b)$ पर अवकलनीय है
$3)$ $f(a) = f(b)$ है
तो,$(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा $c$ मौजूद होता है जिसके लिए $f'(c) = 0$ हो।
फलन $f(x) = [x]$ के लिए $[5, 9]$ अंतराल में:
$1)$ महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत होता है। अतः $f(x), [5, 9]$ पर संतत नहीं है।
$2)$ $f(5) = [5] = 5$ और $f(9) = [9] = 9$ है। अतः $f(5) \neq f(9)$ है।
$3)$ चूँकि $f(x)$ पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है,इसलिए यह $(5, 9)$ में उन बिंदुओं पर अवकलनीय भी नहीं है।
चूँकि रोले के प्रमेय की शर्तें पूरी नहीं होती हैं,इसलिए यह प्रमेय $f(x) = [x]$ पर लागू नहीं होता है।
विलोम के बारे में: रोले के प्रमेय का विलोम यह कहता है कि यदि $(a, b)$ में कोई $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$,तो $f(a) = f(b)$ होगा। यह हमेशा सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए,$f(x) = x^2$ के लिए,$f'(c) = 0$ लेने पर $c = 0$ प्राप्त होता है,लेकिन $0$ को शामिल न करने वाले किसी भी अंतराल $[a, b]$ के लिए यह विलोम सत्य नहीं है।