अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_{e}x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) का निष्कर्ष जिस $c$ के मान के लिए सत्य है,वह है

यदि $c$ एक ऐसा बिंदु है जिस पर अंतराल $[3, 4]$ में फलन $f(x) = \log_{e}\left(\frac{x^{2}+\alpha}{7x}\right)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है,जहाँ $\alpha \in R$,तो $f''(c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0,4]$ पर सतत है,$(0,4)$ पर अवकलनीय है,$f(0)=4$ और $f(4)=-2$ है। यदि $g(x)=\frac{f(x)}{x+2}$ है,तो किसी लैग्रेंज स्थिरांक $c \in (0,4)$ के लिए $g^{\prime}(c)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-2, 2)$ पर दो बार अवकलनीय सम फलन हैं,इस प्रकार कि $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ और $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ है। तब,$(-2, 2)$ में $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ के हलों की न्यूनतम संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 5]$ पर सतत है और $(0, 5)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(0) = 0$ और $(0, 5)$ में सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ है,तो $[0, 5]$ में सभी $x$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

दिया गया है $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,और $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. तो,अंतराल $[0, 1]$ में लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किसके लिए लागू $\text{नहीं}$ होता है?