Mix Examples-Continuity and Differentiation Questions in Hindi

(D) माना $f(x) = \log(1 + x) - x$. तब $f'(x) = \frac{1}{1 + x} - 1 = \frac{-x}{1 + x}$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) < 0$,अतः $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूँकि $f(0) = 0$,इसलिए $x > 0$ के लिए $f(x) < 0$ है,अतः $\log(1 + x) < x$ सत्य है।
माना $g(x) = \log(1 + x) - \frac{x}{1 + x}$. तब $g'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{(1 + x) - x}{(1 + x)^2} = \frac{x}{(1 + x)^2}$.
$x > 0$ के लिए,$g'(x) > 0$,अतः $g(x)$ एक वर्धमान फलन है।
चूँकि $g(0) = 0$,इसलिए $x > 0$ के लिए $g(x) > 0$ है,अतः $\frac{x}{1 + x} < \log(1 + x)$ सत्य है।
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$.
$x > 0$ के लिए,सभी पद $\frac{x^n}{n!}$ धनात्मक हैं,अतः $e^x > 1 + x$ सत्य है।
$x > 0$ के लिए,$e^x > 1$ और $1 - x < 1$. अतः,$e^x > 1 - x$ हमेशा सत्य है।
इसलिए,कथन $e^x < 1 - x$ सत्य नहीं है।

(C) $f(x) = x - \log(1 + x)$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} > 0$ है। अतः,$f(x) > f(0) = 0$,यानी $\log(1 + x) < x$ सत्य है।
$g(x) = \log(1 + x) - \frac{x}{1+x}$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$g'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$ है। अतः,$g(x) > g(0) = 0$,यानी $\frac{x}{1+x} < \log(1 + x)$ सत्य है।
$h(x) = e^{-x} - (1 - x)$ मानिए। $x > 0$ के लिए,$h'(x) = -e^{-x} + 1 > 0$ है। अतः,$h(x) > h(0) = 0$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} > 1 - x$ है। इसलिए,कथन $e^{-x} < 1 - x$ असत्य है।

(B) दिया गया सीमा: $L = \lim_{x \to 2} \frac{\int_{6}^{f(x)} 4t^3 dt}{x - 2}.$
चूँकि $f(2) = 6,$ समाकलन $\int_{6}^{6} 4t^3 dt = 0$ हो जाता है और हर $x - 2 \to 0$ होता है। यह $\frac{0}{0}$ रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम और लाइबनिज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए:
$L = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_{6}^{f(x)} 4t^3 dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$
$L = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1}$
$f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ के मान रखने पर:
$L = 4(f(2))^3 \cdot f'(2) = 4(6)^3 \cdot \frac{1}{48}$
$L = 4 \cdot 216 \cdot \frac{1}{48} = 864 \cdot \frac{1}{48} = 18.$

(D) दिया गया है $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$।
हम $x$ और $x^2$ की तुलना करते हैं:
$x \le x^2 \Rightarrow x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x(x - 1) \ge 0$.
यह असमिका $x \le 0$ या $x \ge 1$ के लिए सत्य है।
अतः,$h(x) = \begin{cases} x & x \le 0 \\ x^2 & 0 < x < 1 \\ x & x \ge 1 \end{cases}$।
$h(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है क्योंकि $x=0$ $(0=0)$ और $x=1$ $(1=1)$ पर फलन के भाग मिलते हैं।
$h(x)$ $x=0$ और $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाएँ और दाएँ अवकलज समान नहीं हैं।
$x > 1$ के लिए,$h(x) = x$,इसलिए $h'(x) = 1$।
अतः,सभी कथन $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सही हैं।

(A) फलन $f(x) = |x|$ को $x \ge 0$ के लिए $f(x) = x$ और $x < 0$ के लिए $f(x) = -x$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. $x = 0$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$
$f(0) = |0| = 0$
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$2$. $x = 0$ पर अवकलनीयता:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(D) सबसे पहले,हम $|x - 3|$ के निरपेक्ष मान का विश्लेषण करके फलन $f(x)$ को फिर से लिखते हैं:
$|x - 3| = x - 3$ यदि $x \ge 3$ और $-(x - 3) = 3 - x$ यदि $x < 3$.
इस प्रकार,फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}, & x < 1 \\ 3 - x, & 1 \le x < 3 \\ x - 3, & x \ge 3 \end{cases}$
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$f(1) = 3 - 1 = 2$.
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}) = 2$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 2$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$,फलन $x = 1$ पर संतत है।
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$f(3) = 3 - 3 = 0$.
$LHL = \lim_{x \to 3^-} (3 - x) = 0$.
$RHL = \lim_{x \to 3^+} (x - 3) = 0$.
चूंकि $LHL = RHL = f(3)$,फलन $x = 3$ पर संतत है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -1$.
चूंकि $LHD = RHD$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(C) $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
बायाँ सीमा: $\lim_{h \to 0^-} f(2-h) = \lim_{h \to 0} (1 + (2-h)) = 3$.
दायाँ सीमा: $\lim_{h \to 0^+} f(2+h) = \lim_{h \to 0} (5 - (2+h)) = 3$.
फलन का मान: $f(2) = 1 + 2 = 3$.
चूँकि $\text{LHL} = \text{RHL} = f(2)$,इसलिए फलन $x = 2$ पर संतत है।
$x = 2$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
दायाँ अवकलज: $Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5 - (2+h) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1$.
बायाँ अवकलज: $Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + (2-h) - 3}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$.
चूँकि $Rf'(2) \neq Lf'(2)$,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
$f(0^-) = e^{2(0)} - 1 = 0$.
$f(0^+) = a(0) + \frac{b(0)^2}{2} - 1 = -1$.
यहाँ सांतत्य की शर्त के लिए मूल फलन में सुधार आवश्यक है। यदि हम मान लें कि फलन $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2}, & x > 0 \end{cases}$ है:
$f'(x) = \begin{cases} 2e^{2x}, & x < 0 \\ a + bx, & x > 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,$Lf'(0) = Rf'(0)$ होना चाहिए।
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^+} 2e^{2(0)} = 2$.
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} (a + bh) = a$.
अतः,$a = 2$। सांतत्य की शर्त संतुष्ट होने के लिए $b$ का कोई भी मान संभव है।

(A) दिया गया है $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$।
$2 \sin x$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x}{2 \sin x} = \frac{\sin 32x}{32 \sin x}$।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{32} \left( \frac{32 \cos 32x \sin x - \cos x \sin 32x}{\sin^2 x} \right)$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin 32x = \sin(8\pi) = 0$ और $\cos 32x = \cos(8\pi) = 1$।
साथ ही,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{32} \left( \frac{32(1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{\sqrt{2}})(0)}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} \right) = \frac{1}{32} \left( \frac{32}{\sqrt{2}} \cdot 2 \right) = \sqrt{2}$।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x - 1, & -1 \le x \le 2 \\ 37 - x, & 2 < x \le 3 \end{cases}$.
$1$. $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच:
$f(2) = 3(2)^2 + 12(2) - 1 = 12 + 24 - 1 = 35$.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 35$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 37 - 2 = 35$.
चूँकि $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$,फलन $x = 2$ पर सतत है और इसलिए $[-1, 3]$ पर भी सतत है।
$2$. वर्धमान/ह्रासमान की जाँच:
$x \in (-1, 2)$ के लिए,$f'(x) = 6x + 12$. चूँकि $x > -1$,$6x + 12 > 6(-1) + 12 = 6 > 0$. अतः,$f(x)$,$[-1, 2]$ में वर्धमान है।
$x \in (2, 3)$ के लिए,$f'(x) = -1 < 0$. अतः,$f(x)$,$(2, 3]$ में ह्रासमान है।
$3$. अधिकतम मान की जाँच:
चूँकि $f(x)$,$[-1, 2]$ में वर्धमान है और $(2, 3]$ में ह्रासमान है,अधिकतम मान $x = 2$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $f(2) = 35$.
अतः,सभी कथन सत्य हैं।

(A) वक्र $y = a^x$ और $y = b^x$ हैं। वे उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $a^x = b^x$,जिसका अर्थ है $x = 0$। $x = 0$ पर,$y = a^0 = 1$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,$(0, 1)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y = a^x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = a^x \log a$। $x = 0$ पर,$m_1 = a^0 \log a = \log a$।
$y = b^x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = b^x \log b$। $x = 0$ पर,$m_2 = b^0 \log b = \log b$।
वक्रों के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\tan \alpha = |\frac{\log a - \log b}{1 + \log a \log b}|$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}} = \frac{e^x}{e^{2x} + 2}$.
फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{e^x(e^{2x} + 2) - e^x(2e^{2x})}{(e^{2x} + 2)^2} = \frac{e^x(2 - e^{2x})}{(e^{2x} + 2)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$e^{2x} = 2$,अतः $e^x = \sqrt{2}$.
अधिकतम मान $f(\ln \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $e^x + 2e^{-x} > 0$,इसलिए $f(x) > 0$. अतः $0 < f(x) \le \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
कथन-$2$ कहता है कि $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$,जो असत्य है क्योंकि $f(x)$ का मान $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ हो सकता है।
कथन-$1$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $\frac{1}{3}$ परिसर $(0, \frac{1}{2\sqrt{2}}]$ में है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $2\sqrt{2} \approx 2.828$. अतः $\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.353$.
चूंकि $\frac{1}{3} \approx 0.333$,इसलिए $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,ऐसा $c$ मौजूद है जिसके लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ असत्य है।

(D) फलन $f(x) = e^x - (1 + x)$ पर विचार करें।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = e^x - 1 > 0$,इसलिए $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $x > 0$ के लिए $e^x > 1 + x$ सत्य है। अतः,विकल्प $C$ सत्य है।
$g(x) = x - \log(1 + x)$ पर विचार करें।
$x > 0$ के लिए,$g'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} > 0$,इसलिए $g(x)$ निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $g(0) = 0$,इसलिए $x > 0$ के लिए $x > \log(1 + x)$ सत्य है। अतः,विकल्प $A$ सत्य है।
$h(x) = \log(1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ पर विचार करें।
$x > 0$ के लिए,$h'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2} = \frac{x}{(1 + x)^2} > 0$।
चूंकि $h(0) = 0$,इसलिए $x > 0$ के लिए $\log(1 + x) > \frac{x}{1 + x}$ सत्य है। अतः,विकल्प $B$ सत्य है।
अंत में,$x > 0$ के लिए,$e^x > 1 + x > 1$। हालांकि,$x > 0$ के लिए $1 - x < 1$ है। इसलिए,$e^x < 1 - x$ असत्य है।

(B) माना $L = \mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \,{\left( {\int\limits_0^1 {{{(1 + x)}^\lambda }dx} } \right)^{\frac{1}{\lambda }}}$
सबसे पहले,समाकलन का मान ज्ञात करें: $\int\limits_0^1 {{{(1 + x)}^\lambda }dx} = \left[ \frac{{{{(1 + x)}^{\lambda + 1}}}}{{\lambda + 1}} \right]_0^1 = \frac{{{2^{\lambda + 1}} - 1}}{{\lambda + 1}}$
अब,$L = \mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} {\left( {\frac{{{2^{\lambda + 1}} - 1}}{{\lambda + 1}}} \right)^{\frac{1}{\lambda }}}$
यह $1^{\infty}$ रूप है। हम सूत्र $\mathop {Lim}\limits_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\mathop {Lim}\limits_{x \to a} g(x)(f(x) - 1)}$ का उपयोग करते हैं:
$L = e^{\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda } \left( \frac{{{2^{\lambda + 1}} - 1}}{{\lambda + 1}} - 1 \right)} = e^{\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda } \left( \frac{{{2^{\lambda + 1}} - 1 - \lambda - 1}}{{\lambda + 1}} \right)}$
$L = e^{\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \frac{{{2^{\lambda + 1}} - 2 - \lambda }}{{\lambda (\lambda + 1)}}} = e^{\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \left( \frac{{2({2^\lambda } - 1)}}{\lambda } - 1 \right) \cdot \frac{1}{{\lambda + 1}}}$
चूंकि $\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \frac{{{2^\lambda } - 1}}{\lambda } = \ln 2$,इसलिए:
$L = e^{2 \ln 2 - 1} = e^{\ln 4 - \ln e} = e^{\ln(4/e)} = \frac{4}{e}$

(B) मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि $f(x) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $a > 0$ और विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ होना चाहिए।
दिया गया है $g(x) = f(x) + f'(x) + f''(x)$।
अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2ax + b$
$f''(x) = 2a$
इन मानों को $g(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(x) = (ax^2 + bx + c) + (2ax + b) + (2a)$
$g(x) = ax^2 + (b + 2a)x + (c + b + 2a)$
अब,द्विघात व्यंजक $g(x)$ का विविक्तकर $D_g$ ज्ञात करते हैं:
$D_g = (b + 2a)^2 - 4a(c + b + 2a)$
$D_g = b^2 + 4ab + 4a^2 - 4ac - 4ab - 8a^2$
$D_g = (b^2 - 4ac) - 4a^2$
चूंकि $b^2 - 4ac < 0$ और $4a^2 > 0$,इसलिए $D_g < 0$ होगा।
अग्र गुणांक $a > 0$ और $D_g < 0$ होने के कारण,$g(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।
अतः,$g(x) > 0$।

(A) दिया गया है $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$.
पहले पद के अंश और हर को $x^m$ से,दूसरे पद को $x^n$ से और तीसरे पद को $x^p$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{x^m}{x^m + x^n + x^p} + \frac{x^n}{x^n + x^m + x^p} + \frac{x^p}{x^p + x^m + x^n}$.
चूंकि हर समान हैं,हम पदों को जोड़ सकते हैं:
$y = \frac{x^m + x^n + x^p}{x^m + x^n + x^p} = 1$.
चूंकि $y = 1$ एक स्थिरांक है,इसलिए $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।
अतः,$x = e^{m^{n^p}}$ सहित किसी भी बिंदु पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $0$ है।

(C) सबसे पहले,हम $x = 0$ पर निरंतरता की जाँच करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2}} = e^{-\infty} = 0$. चूँकि $f(0) = 0$,फलन $x = 0$ पर निरंतर है।
इसके बाद,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं: $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}$. मान लीजिए $t = \frac{1}{h}$,जैसे $h \to 0$,$t \to \infty$. तब $\lim_{t \to \infty} t e^{-t^2} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2t e^{t^2}} = 0$. अतः,$f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ है।
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}} \to e^0 = 1$. ग्राफ क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = 1$ के करीब पहुँचता है।
गुणों की तुलना करने पर: फलन $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है (सम फलन),$(0,0)$ से गुजरता है,$(0,0)$ पर एक क्षैतिज स्पर्शरेखा है,और जैसे $x \to \pm \infty$,यह $y = 1$ के करीब पहुँचता है। विकल्प $C$ इन विशेषताओं का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(B) प्रत्येक कथन का विश्लेषण करते हैं:
$A$: यदि $f(x)$ का आवर्तकाल $T$ है,तो $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$। चूंकि $f(x+T+h) = f(x+h)$ और $f(x+T) = f(x)$,इसलिए $f'(x+T) = f'(x)$। अतः,अवकलज समान आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है। यह कथन $CORRECT$ है।
$B$: मान लीजिए $f(x) = x - \sqrt{x^2+1}$ और $g(x) = x + \sqrt{x^2+1}$। दोनों अनावर्ती हैं। हालाँकि,$F(x) = f(x) \cdot g(x) = (x^2 - (x^2+1)) = -1$। अचर फलन $-1$ आवर्ती है (किसी भी $T > 0$ के लिए)। इसलिए,यह कथन कि यह आवर्ती नहीं हो सकता,$FALSE$ है।
$C$: यदि $f(x)$ सम है,तो $f(-x) = f(x)$। अवकलन करने पर $-f'(-x) = f'(x)$,इसलिए $f'(-x) = -f'(x)$ (विषम)। यदि $f(x)$ विषम है,तो $f(-x) = -f(x)$। अवकलन करने पर $-f'(-x) = -f'(x)$,इसलिए $f'(-x) = f'(x)$ (सम)। यह कथन $CORRECT$ है।
$D$: किसी भी फलन $f(x)$ को $f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ पहला भाग सम है और दूसरा विषम। यह कथन $CORRECT$ है।
अतः,गलत कथन $B$ है।

(D) दिया गया है $u = e^x \sin x$ और $v = e^x \cos x$।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज की गणना करें:
$\frac{du}{dx} = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$
$\frac{dv}{dx} = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$
विकल्प $A$ की जाँच करें: $v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx} = e^x \cos x \cdot e^x(\sin x + \cos x) - e^x \sin x \cdot e^x(\cos x - \sin x)$
$= e^{2x}(\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x) = e^{2x}(\sin^2 x + \cos^2 x) = e^{2x}$।
साथ ही,$u^2 + v^2 = (e^x \sin x)^2 + (e^x \cos x)^2 = e^{2x}(\sin^2 x + \cos^2 x) = e^{2x}$।
अतः,$v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx} = u^2 + v^2$ सही है।
विकल्प $B$ की जाँच करें: $\frac{d^2u}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^x(\sin x + \cos x)] = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x = 2v$। यह सही है।
विकल्प $C$ की जाँच करें: $\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^x(\cos x - \sin x)] = e^x(\cos x - \sin x) + e^x(-\sin x - \cos x) = -2e^x \sin x = -2u$। यह सही है।
चूंकि सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है: $6f(0) = 3 \implies f(0) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,इसलिए $g(0) = \frac{2}{f(0)} = 4$ है।
दिया गया है $f'(0) = 4g(0) = 4(4) = 16$.
दिया गया है $2g'(0) = 4g(0) = 16 \implies g'(0) = 8$.
$A$ की जाँच करें: $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \implies h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$.
$h'(0) = \frac{f'(0)g(0) - f(0)g'(0)}{(g(0))^2} = \frac{(16)(4) - (1/2)(8)}{4^2} = \frac{64 - 4}{16} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4}$. (सही)
$B$ की जाँच करें: $k(x) = f(x)g(x)\sin x \implies k'(x) = f'(x)g(x)\sin x + f(x)g'(x)\sin x + f(x)g(x)\cos x$.
$k'(0) = 0 + 0 + f(0)g(0)\cos(0) = (1/2)(4)(1) = 2$. (सही)
$C$ की जाँच करें: $\lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{f'(x)} = \frac{g'(0)}{f'(0)} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. (सही)
अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(D) सबसे पहले,हम $x = 1$ और $x = 3$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x = 1$ के लिए:
बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{1^2}{4} - \frac{3(1)}{2} + \frac{13}{4} = \frac{1 - 6 + 13}{4} = 2$.
दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = |1 - 3| = 2$.
चूँकि $f(1) = 2$,फलन $x = 1$ पर संतत है।
अब $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(1^+) = \frac{d}{dx}(3 - x) = -1$ ($1 \leqslant x < 3$ के लिए)।
$f'(1^-) = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}) = \frac{2x}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$.
चूँकि $f'(1^+) = f'(1^-)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय है।
$x = 3$ के लिए:
फलन $f(x) = |x - 3|$,$x = 3$ पर संतत है क्योंकि $\lim_{x \to 3} |x - 3| = 0 = f(3)$.
अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) फलन $f(x) = \sqrt{1 - \sqrt{1 - x^2}}$ के लिए,प्रांत $1 - x^2 \ge 0$ (अर्थात $-1 \le x \le 1$) और $1 - \sqrt{1 - x^2} \ge 0$ (जो $x \in [-1, 1]$ के लिए हमेशा सत्य है) द्वारा निर्धारित होता है। अतः,प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम एकतरफा अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{1 - \sqrt{1 - h^2}} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - h^2}}{h^2}} = \lim_{h \to 0^+} \sqrt{\frac{1 - (1 - h^2)}{h^2(1 + \sqrt{1 - h^2})}} = \lim_{h \to 0^+} \sqrt{\frac{h^2}{h^2(1 + \sqrt{1 - h^2})}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसी प्रकार,$f'(0^-) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज परिमित हैं लेकिन समान नहीं हैं,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है। अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) $-2 < x < 0$ के लिए,$f(x) = \max(4 - x^2, 1 + x^2)$ है।
$4 - x^2 = 1 + x^2 \implies 2x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3/2}$।
अतः,$-2 < x < -\sqrt{3/2}$ के लिए $f(x) = 1 + x^2$ और $-\sqrt{3/2} < x < 0$ के लिए $f(x) = 4 - x^2$ है।
$0 < x < 2$ के लिए,$f(x) = \min(4 - x^2, 1 + x^2)$ है।
$4 - x^2 = 1 + x^2 \implies x = \sqrt{3/2}$।
अतः,$0 < x < \sqrt{3/2}$ के लिए $f(x) = 1 + x^2$ और $\sqrt{3/2} < x < 2$ के लिए $f(x) = 4 - x^2$ है।
$x = 0$ पर,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \max(4, 1) = 4$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \min(4, 1) = 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर असतत है।
साथ ही,$f(x)$,$x = -\sqrt{3/2}$,$x = 0$,और $x = \sqrt{3/2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$f(x)$ असंततता का एक बिंदु रखता है और एक से अधिक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(A) मान लीजिए वक्र $y = x^3$ पर बिंदु $A$ $(t, t^3)$ है और $B$ $(T, T^3)$ है।
$A$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 3x^2$ द्वारा दी जाती है। $x = t$ पर,प्रवणता $m_A = 3t^2$ है।
$A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - t^3 = 3t^2(x - t)$ है,जो सरल होकर $y = 3t^2x - 2t^3$ हो जाता है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा वक्र $y = x^3$ को $B(T, T^3)$ पर मिलती है,इसलिए $T^3 = 3t^2T - 2t^3$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $T^3 - 3t^2T + 2t^3 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T = t$ एक मूल है,हम $(T - t)^2$ को गुणनखंडित कर सकते हैं:
$(T - t)^2(T + 2t) = 0$।
अतः,$T = -2t$ बिंदु $B$ का निर्देशांक है।
$B$ पर प्रवणता $m_B = 3T^2 = 3(-2t)^2 = 3(4t^2) = 12t^2$ है।
हमें दिया गया है कि $m_B = K \cdot m_A$,इसलिए $12t^2 = K(3t^2)$।
अतः,$K = \frac{12t^2}{3t^2} = 4$।

(D) दिया गया है $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$.
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 12x^2 - 2x - 2 = 2(6x^2 - x - 1) = 2(3x + 1)(2x - 1)$.
$x \in [0, 1]$ के लिए,$f'(x) = 0$ का मान $x = \frac{1}{2}$ पर प्राप्त होता है।
$f(x)$ अंतराल $[0, \frac{1}{2}]$ पर घटता है और $[\frac{1}{2}, 1]$ पर बढ़ता है।
जब $0 \le x \le 1$ हो,तो $g(x) = \min \{f(t) : 0 \le t \le x\}$ के लिए:
यदि $0 \le x < \frac{1}{2}$ है,तो $g(x) = f(x)$.
यदि $\frac{1}{2} \le x \le 1$ है,तो $g(x) = f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}$.
अब मानों की गणना करते हैं:
$g(\frac{1}{4}) = f(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{64}) - \frac{1}{16} - 2(\frac{1}{4}) + 1 = \frac{1}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
$g(\frac{3}{4}) = f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ (क्योंकि $\frac{3}{4} \ge \frac{1}{2}$).
$g(\frac{5}{4}) = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12-5}{4} = \frac{7}{4}$.
योग $= g(\frac{1}{4}) + g(\frac{3}{4}) + g(\frac{5}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{2+1+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

(B) दिए गए वक्र $C_1: y = x^2 - 3$ और $C_2: y = kx^2$ हैं।
चूंकि बिंदु $A(a, y_1)$ दोनों वक्रों पर स्थित है,इसलिए $y_1 = a^2 - 3$ और $y_1 = ka^2$ है।
इनकी तुलना करने पर,$ka^2 = a^2 - 3$,अतः $k = \frac{a^2 - 3}{a^2} = 1 - \frac{3}{a^2}$।
बिंदु $B(1, y_2)$ वक्र $C_1$ पर स्थित है,इसलिए $y_2 = 1^2 - 3 = -2$।
अतः,$B$ बिंदु $(1, -2)$ है।
$A(a, y_1)$ पर $C_2$ की स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = 2kx$ है। $x = a$ पर ढाल $m = 2ka$ है।
$A(a, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = 2ka(x - a)$ है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा $B(1, -2)$ से गुजरती है,इसलिए $-2 - y_1 = 2ka(1 - a)$ है।
$y_1 = a^2 - 3$ और $k = \frac{a^2 - 3}{a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-2 - (a^2 - 3) = 2 \left( \frac{a^2 - 3}{a^2} \right) a (1 - a)$
$1 - a^2 = 2 \left( \frac{a^2 - 3}{a} \right) (1 - a)$
$(1 - a)(1 + a) = \frac{2(a^2 - 3)(1 - a)}{a}$।
चूंकि $a > 0$ और $A$ एक प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $a \neq 1$। $(1 - a)$ से भाग देने पर:
$1 + a = \frac{2(a^2 - 3)}{a}$
$a + a^2 = 2a^2 - 6$
$a^2 - a - 6 = 0$
$(a - 3)(a + 2) = 0$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \ge 1 \\ x^3 & 0 \le x < 1 \\ \frac{x^3}{3} - 4x & x < 0 \end{cases}$
$1$. सांतत्य की जाँच:
$x = 0$ पर: $f(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. $x=0$ पर सतत है।
$x = 1$ पर: $f(1) = 1$. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$. $x=1$ पर सतत है।
$2$. अवकलनीयता की जाँच:
$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x}} & x > 1 \\ 3x^2 & 0 < x < 1 \\ x^2 - 4 & x < 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर: $f'(0^+) = 0$,$f'(0^-) = -4$. $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $f'(1^+) = 0.5$,$f'(1^-) = 3$. $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$3$. मोनोटोनिसिटी और एक्सट्रीमा का विश्लेषण:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = x^2 - 4$. $f'(x) = 0 \implies x = -2$. $x = -2$ स्थानीय उच्चिष्ठ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$ (वर्धमान)।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ (वर्धमान)।
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$ स्थानीय निम्निष्ठ है।
$4$. $f'(x)$ का चिह्न:
$f'(x) = x^2 - 4$ ($x < 0$ के लिए,$x = -2$ पर चिह्न बदलता है)।
$x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$.
अतः,$f'(x)$ केवल $x = -2$ पर चिह्न बदलता है। $f'(x)$ का अस्तित्व $x=0$ और $x=1$ पर नहीं है ($2$ बिंदु)। इसलिए,$(B)$ सही है।

(A) कथन-$1$: असत्य। प्रथम अवकलज परीक्षण द्वारा स्थानीय उच्चिष्ठ की गारंटी के लिए फलन $f$ का $x = c$ पर सतत होना आवश्यक है।
कथन-$2$: असत्य। एक फलन $x=c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान रख सकता है और वह नति परिवर्तन बिंदु भी हो सकता है यदि वहाँ वक्रता बदलती है (उदाहरण के लिए,$f(x) = -x^4$ में $x=0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है और यह नति परिवर्तन बिंदु भी है)।
कथन-$3$: सत्य। $f(x) = x^2 |x| = x^3$ यदि $x \geq 0$ और $-x^3$ यदि $x < 0$ है। $f'(x) = 3x^2$ यदि $x \geq 0$ और $-3x^2$ यदि $x < 0$ है। $f''(x) = 6x$ यदि $x \geq 0$ और $-6x$ यदि $x < 0$ है। $x=0$ पर दोनों तरफ से $f''(0) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दो बार अवकलनीय है।
कथन-$4$: असत्य। यदि $f'(c) = 0$ है,तो प्रतिलोम फलन $f^{-1}$,$f(c)$ पर अवकलनीय नहीं होता है। उदाहरण के लिए,$f(x) = x^3$,$x=0$ पर अवकलनीय है,लेकिन $f^{-1}(x) = x^{1/3}$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$ हैं।
$t$ का विलोपन करने पर,सर्वसमिका $\sec^2 t = 1 + \tan^2 t = 1 + \frac{1}{\cot^2 t}$ का उपयोग करके,हमें $x = 1 + \frac{1}{y^2}$ प्राप्त होता है,जो $y^2(x - 1) = 1$ में सरल हो जाता है।
$t = \pi / 4$ पर,$x = \sec^2(\pi / 4) = 2$ और $y = \cot(\pi / 4) = 1$ है। अतः,$P = (2, 1)$ है।
$y^2(x - 1) = 1$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx}(x - 1) + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$P(2, 1)$ पर,$2(1) \frac{dy}{dx}(2 - 1) + 1^2 = 0 \implies 2 \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -1/2$ है।
$P(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies 2y - 2 = -x + 2 \implies x + 2y = 4$ है।
वक्र के समीकरण $y^2(x - 1) = 1$ में $x = 4 - 2y$ प्रतिस्थापित करने पर: $y^2(4 - 2y - 1) = 1 \implies y^2(3 - 2y) = 1 \implies 3y^2 - 2y^3 = 1 \implies 2y^3 - 3y^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P$ स्पर्श बिंदु है,$y = 1$ एक दोहरा मूल है। $2y^3 - 3y^2 + 1$ को $(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1$ से विभाजित करने पर,हमें $(y - 1)^2(2y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अन्य मूल $y = -1/2$ है। तब $x = 4 - 2(-1/2) = 4 + 1 = 5$ है। अतः,$Q = (5, -1/2)$ है।
दूरी $|PQ| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-1/2 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-3/2)^2} = \sqrt{9 + 9/4} = \sqrt{45/4} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ है।

(A) समीकरण $|\ln x| = px$ है। मान लीजिए $f(x) = |\ln x|$ और $g(x) = px$ है।
$x \ge 1$ के लिए,$f(x) = \ln x$ है। रेखा $y = px$,$y = \ln x$ की स्पर्श रेखा है जब $\ln x$ का अवकलज ढाल $p$ के बराबर हो,अर्थात $1/x = p$।
चूंकि स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ दोनों वक्रों पर स्थित है,इसलिए $y_1 = \ln x_1$ और $y_1 = px_1$ है।
अतः,$px_1 = \ln x_1$। $p = 1/x_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1/x_1)x_1 = \ln x_1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln x_1 = 1$,इसलिए $x_1 = e$ है।
तब $p = 1/e$ है।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$f(x) = -\ln x$ है। रेखा $y = px$ हमेशा किसी भी $p > 0$ के लिए $y = -\ln x$ को ठीक एक बिंदु पर काटती है।
$x \ge 1$ के लिए,रेखा $y = px$,$y = \ln x$ को दो बिंदुओं पर काटती है यदि $0 < p < 1/e$ हो,एक बिंदु पर यदि $p = 1/e$ हो,और शून्य बिंदुओं पर यदि $p > 1/e$ हो।
इसलिए,तीन भिन्न मूलों के लिए (एक $(0, 1)$ में और दो $(1, \infty)$ में),$0 < p < 1/e$ होना चाहिए।

(C) क्रांतिक बिंदु वहां होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ हो या जहाँ $f'(x)$ अपरिभाषित हो।
$x < 1$ के लिए,$f'(x) = \frac{3}{5}x^{-2/5} = \frac{3}{5x^{2/5}}$। $f'(x)$,$x = 0$ पर अपरिभाषित है। अतः,$x = 0$ एक क्रांतिक बिंदु है।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) = -3(x - 2)^2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$x = 2$ एक क्रांतिक बिंदु है।
$x = 1$ पर,हम सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$f(1) = 1^{3/5} = 1$।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -(1 - 2)^3 = 1$। अतः $f(x)$,$x = 1$ पर संतत है।
$x = 1$ पर बायाँ अवकलज: $f'(1^-) = \frac{3}{5(1)^{2/5}} = \frac{3}{5}$।
$x = 1$ पर दायाँ अवकलज: $f'(1^+) = -3(1 - 2)^2 = -3$।
चूँकि $f'(1^-) \neq f'(1^+)$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$x = 1$ एक क्रांतिक बिंदु है।
क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 2$ हैं। इसलिए,कुल $3$ क्रांतिक बिंदु हैं।

(B) समीकरण $x^2 \cdot e^{2 - |x|} = 1$ के मूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम फलन $f(x) = x^2 \cdot e^{2 - |x|}$ का विश्लेषण करते हैं।
चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है $(f(x) = f(-x))$,हम पहले $x \ge 0$ के लिए $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं,जहाँ $f(x) = x^2 \cdot e^{2 - x}$ है।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 2x \cdot e^{2 - x} - x^2 \cdot e^{2 - x} = x(2 - x) \cdot e^{2 - x}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ और $x = 2$ पर क्रांतिक बिंदु मिलते हैं।
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$। $x = 2$ पर,$f(2) = 2^2 \cdot e^{2 - 2} = 4 \cdot 1 = 4$।
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to 0$। अतः,$x \ge 0$ के लिए,फलन $0$ से $4$ तक बढ़ता है और फिर $0$ की ओर घटता है।
चूंकि फलन सम है,ग्राफ $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। अधिकतम मान $x = 2$ और $x = -2$ पर $4$ है,और न्यूनतम मान $x = 0$ पर $0$ है।
हम $f(x) = 1$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात कर रहे हैं। चूंकि $0 < 1 < 4$,क्षैतिज रेखा $y = 1$ फलन $f(x)$ के ग्राफ को $x > 0$ के लिए दो बिंदुओं पर और $x < 0$ के लिए दो बिंदुओं पर काटती है।
अतः,कुल $4$ मूल हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = x \cos x - \sin x$।
सबसे पहले,सम/विषम की जाँच करें: $f(-x) = (-x) \cos(-x) - \sin(-x) = -x \cos x + \sin x = -f(x)$। अतः,$f$ एक विषम फलन है।
अब,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = (1 \cdot \cos x - x \sin x) - \cos x = -x \sin x$।
$x = 0$ के लिए,$f'(0) = 0$। जब $x$,$0$ से थोड़ा कम है $(x < 0)$,तो $f'(x) = (-x) \sin x < 0$ (क्योंकि $\sin x < 0$)। जब $x$,$0$ से थोड़ा अधिक है $(x > 0)$,तो $f'(x) = (-x) \sin x < 0$ (क्योंकि $\sin x > 0$)।
इस प्रकार,$x=0$ के पड़ोस में $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $x=0$ पर एकदिष्ट ह्रासमान है। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 1$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 + 18x + 12 = 6(x^2 + 3x + 2) = 6(x + 2)(x + 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x = -2$ और $x = -1$ प्राप्त होते हैं।
$x < -2$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान)।
$-2 < x < -1$ के लिए,$f'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
$x > -1$ के लिए,$f'(x) > 0$ (वर्धमान)।
अतः,फलन एकदिष्ट नहीं है।
नति परिवर्तन बिंदु के लिए द्वितीय अवकलज: $f''(x) = 12x + 18$। $f''(x) = 0$ रखने पर $x = -18/12 = -3/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन के स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान हैं,यह बहु-एक फलन है और इसलिए यह एकैकी-आच्छादक (bijective) नहीं है।
अतः,कथन $C$ गलत है।

(D) दिया गया है कि $g(x) = \ln(h(x))$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(x) = \frac{h'(x)}{h(x)}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$g''(x) = \frac{h(x)h''(x) - (h'(x))^2}{(h(x))^2}$.
हमें दिया गया है कि $(h'(x))^2 > h''(x) h(x)$,जिसका अर्थ है कि $h(x)h''(x) - (h'(x))^2 < 0$.
चूंकि प्रत्येक $x \in J$ के लिए $(h(x))^2 > 0$,इसलिए $g''(x) = \frac{h(x)h''(x) - (h'(x))^2}{(h(x))^2} < 0$ होगा।
अतः,प्रत्येक $x \in J$ के लिए $g''(x) < 0$ होने के कारण,फलन $g$,$J$ पर उन्नतोदर (concave down) है।

(D) माना रेखा $y = c$ है। वक्र $y = \sqrt{x}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(x, y)$ पर,हमारे पास $y = \sqrt{x}$ है,इसलिए $x = y^2$। चूँकि $y = c$,बिंदु $P$ $(c^2, c)$ है।
वक्र $y = \sqrt{x}$ के स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(c^2, c)$ पर,ढाल $m = \frac{1}{2\sqrt{c^2}} = \frac{1}{2c}$ है।
वक्र और रेखा $y = c$ (जो $x$-अक्ष के समानांतर है) के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
रेखा $y = c$ की ढाल $0$ है। वक्र और रेखा के बीच का कोण $\theta$,$\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left| \frac{\frac{1}{2c} - 0}{1 + \frac{1}{2c} \cdot 0} \right| = \frac{1}{2c}$ है।
चूँकि $1 = \frac{1}{2c}$,हमें $2c = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = \frac{1}{2}$।
अतः,रेखा का समीकरण $y = \frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = ax^2 - b|x|$.
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = ax^2 - bx$. अवकलज $f'(x) = 2ax - b$ है। $x=0$ पर,$f'(0) = -b$.
$x < 0$ के लिए,$f(x) = ax^2 + bx$. अवकलज $f'(x) = 2ax + b$ है। $x=0$ पर,$f'(0) = b$.
स्थिति $1$: यदि $a > 0$ और $b > 0$ है,तो $0$ से थोड़ी बड़ी $x$ के मान के लिए,$f(x) \approx -bx < 0$,और $0$ से थोड़ी छोटी $x$ के मान के लिए,$f(x) \approx bx < 0$। चूँकि $f(0) = 0$ है,$0$ के निकट $x$ के मानों के लिए $f(x) < f(0)$ होता है। अतः,$f(x)$ का $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है.
स्थिति $2$: यदि $a > 0$ और $b < 0$ है,तो मान लीजिए $b = -k$ जहाँ $k > 0$ है। तो $f(x) = ax^2 + k|x|$। चूँकि $a > 0$ और $k > 0$ है,सभी $x \neq 0$ के लिए $f(x) > 0$ और $f(0) = 0$ होता है। अतः,$f(x)$ का $x = 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है.
इसलिए,सही कथन यह है कि $f(x)$ का $a > 0, b > 0$ होने पर उच्चिष्ठ होता है।

(D) $1$. क्रांतिक बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्नों में परिवर्तन का विश्लेषण करें:
- $x = -5$ पर: $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। प्रथम अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f(x)$ का $x = -5$ पर सापेक्ष उच्चिष्ठ मान है।
- $x = 2$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। प्रथम अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f(x)$ का $x = 2$ पर सापेक्ष निम्निष्ठ मान है। चूँकि $f'(2)$ अपरिभाषित है,इसलिए यहाँ एक तीक्ष्ण कोना (cusp) है।
- $x = 4$ पर: $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। प्रथम अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f(x)$ का $x = 4$ पर सापेक्ष उच्चिष्ठ मान है।
$2$. विकल्पों का मूल्यांकन करें:
- विकल्प $A$: गलत,$x = -5$ सापेक्ष उच्चिष्ठ है।
- विकल्प $B$: गलत,$x = 2$ सापेक्ष निम्निष्ठ है।
- विकल्प $C$: गलत,$x = 4$ सापेक्ष उच्चिष्ठ है।
- विकल्प $D$: सही,चूँकि $f'(2)$ अपरिभाषित है और $f(x)$ सतत है,इसलिए ग्राफ में $x = 2$ पर एक तीक्ष्ण कोना होना चाहिए।

(C) $1$. $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करें:
- $x \in (-\infty, -5) \cup (2, 4)$ के लिए $f'(x) > 0$,इसलिए $f(x)$ इन अंतरालों में वर्धमान है।
- $x \in (-5, 2) \cup (4, \infty)$ के लिए $f'(x) < 0$,इसलिए $f(x)$ इन अंतरालों में ह्रासमान है।
$2$. $f''(x)$ का उपयोग करके वक्रता का विश्लेषण करें:
- यह दिया गया है कि सभी $x \neq 2$ के लिए $f''(x) < 0$,इसलिए फलन $(-\infty, 2)$ और $(2, \infty)$ अंतरालों में अवतल है।
- चूंकि वक्रता का चिह्न नहीं बदलता है (यह $x=2$ को छोड़कर हर जगह ऋणात्मक रहता है),इसलिए कोई नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं है।
$3$. विकल्पों का मूल्यांकन:
- विकल्प $C$ बताता है कि वक्र हमेशा अवतल है,जो सभी $x \neq 2$ के लिए $f''(x) < 0$ और $x=2$ पर $f(x)$ की निरंतरता के साथ सुसंगत है।

(B) दी गई जानकारी से:
$1$. $f'(-5) = 0$ और $f'(4) = 0$ का अर्थ है कि $x = -5$ और $x = 4$ पर स्थिर बिंदु हैं।
$2$. $x < -5$ के लिए $f'(x) > 0$ और $-5 < x < 2$ के लिए $f'(x) < 0$ का अर्थ है कि $x = -5$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$3$. $f'(2)$ अपरिभाषित है,जो $x = 2$ पर एक तीक्ष्ण कोने या कस्प (cusp) को दर्शाता है।
$4$. $2 < x < 4$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 4$ के लिए $f'(x) < 0$ का अर्थ है कि $x = 4$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$5$. $f''(x) < 0$ का अर्थ है कि फलन $x = 2$ को छोड़कर हर जगह अवतल (concave down) है।
इन गुणों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर:
- विकल्प $A$ में $x = -5$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,जो गलत है।
- विकल्प $B$ में $x = -5$ पर स्थानीय अधिकतम और $x = 4$ पर स्थानीय अधिकतम मान है,$x = 2$ पर एक कस्प है,और ग्राफ पूरी तरह से अवतल है। यह सभी शर्तों को पूरा करता है।
- विकल्प $C$ में $x = -5$ पर स्थानीय अधिकतम है लेकिन $x = 4$ पर स्थानीय न्यूनतम है,जो गलत है।
- विकल्प $D$ में $x = -5$ पर स्थानीय अधिकतम है लेकिन $x = 4$ पर स्थानीय न्यूनतम है,जो गलत है।
अतः,सही ग्राफ $B$ है।

(D) दिया गया वक्र $y \cot x = y^3 \tan x$ है।
इसे $y \cot x - y^3 \tan x = 0$ या $y (\cot x - y^2 \tan x) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है $y = 0$ या $y^2 = \frac{\cot x}{\tan x} = \cot^2 x$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\cot^2(\frac{\pi}{4}) = 1^2 = 1$,इसलिए $y^2 = 1$,जिससे $y = 1$ या $y = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $y = 1$। $y^2 = \cot^2 x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 2 \cot x (-\csc^2 x)$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{4}, y = 1$ पर,$2(1) \frac{dy}{dx} = 2(1)(-(\sqrt{2})^2) = -4$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -2$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -2(x - \frac{\pi}{4}) \implies y - 1 = -2x + \frac{\pi}{2} \implies 2x + y = 1 + \frac{\pi}{2} \implies 4x + 2y = 2 + \pi$ है।
स्थिति $2$: $y = -1$। $x = \frac{\pi}{4}, y = -1$ पर,$2(-1) \frac{dy}{dx} = 2(1)(-2) = -4$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 2$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y + 1 = 2(x - \frac{\pi}{4}) \implies y + 1 = 2x - \frac{\pi}{2} \implies 2x - y = 1 + \frac{\pi}{2} \implies 4x - 2y = 2 + \pi$ है।
चूंकि $4x + 2y = \pi + 2$ और $4x - 2y = \pi + 2$ दोनों मान्य स्पर्श रेखाएं हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) नतिपरिवर्तन बिंदु वक्र पर वह बिंदु है जहाँ वक्रता (concavity) बदलती है (अर्थात,अवतल से उत्तल या इसके विपरीत)।
ग्राफ $A$ में,फलन $x = c$ पर असतत है,इसलिए यह नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं है।
ग्राफ $B$ में,फलन का $x = c$ पर एक तीक्ष्ण मोड़ है,जो एक स्थानीय अधिकतम है,नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं।
ग्राफ $C$ में,वक्र $x = c$ पर अपनी वक्रता बदलता है (अवतल से उत्तल),जो नतिपरिवर्तन बिंदु की परिभाषा है।
अतः,सही ग्राफ $C$ है।

(B) $f(x)$ के $x = \frac{1}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान होना चाहिए:
$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} \tan^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma}) = 0$ और $\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} \ln(\beta x^2 + 2) = 0$।
$\ln(\frac{\beta}{4} + 2) = 0$ से,हमें $\frac{\beta}{4} + 2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = -4$।
$\tan^{-1}(\frac{\alpha/2 + \beta}{\gamma}) = 0$ से,हमें $\frac{\alpha}{2} + \beta = 0$ प्राप्त होता है। $\beta = -4$ रखने पर,$\frac{\alpha}{2} - 4 = 0$ मिलता है,इसलिए $\alpha = 8$।
$x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीयता के लिए,दोनों पक्षों के अवकलज समान होने चाहिए:
$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(\frac{\alpha x + \beta}{\gamma})] = \frac{1}{1 + (\frac{\alpha x + \beta}{\gamma})^2} \cdot \frac{\alpha}{\gamma}$। $x = \frac{1}{2}$ पर,यह $\frac{\alpha}{\gamma}$ होता है (क्योंकि $\alpha x + \beta = 0$)।
$\frac{d}{dx} [\ln(\beta x^2 + 2)] = \frac{2 \beta x}{\beta x^2 + 2}$। $x = \frac{1}{2}$ पर,यह $\frac{\beta}{-4/4 + 2} = \frac{-4}{1} = -4$ होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\gamma} = -4 \Rightarrow \frac{8}{\gamma} = -4 \Rightarrow \gamma = -2$।
अंत में,$\alpha + \beta + \gamma = 8 - 4 - 2 = 2$।

(C) माना $f(x) = \frac{e^{e^{x^2}} - e}{x}$. हमें $\lim_{x \to 0} f'(x)$ ज्ञात करना है।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(e^{e^{x^2}} - e) - (e^{e^{x^2}} - e) \cdot 1}{x^2}$.
$f'(x) = \frac{x \cdot (e^{e^{x^2}} \cdot e^{x^2} \cdot 2x) - (e^{e^{x^2}} - e)}{x^2}$.
$f'(x) = 2e^{e^{x^2}} \cdot e^{x^2} - \frac{e^{e^{x^2}} - e}{x^2}$.
जैसे $x \to 0$,$2e^{e^{x^2}} \cdot e^{x^2} \to 2e^1 \cdot e^0 = 2e$.
दूसरे पद के लिए,माना $u = x^2$. जैसे $x \to 0$,$u \to 0$. सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{e^{e^u} - e}{u} = \lim_{u \to 0} e \cdot \frac{e^{e^u - 1} - 1}{u}$ हो जाती है।
मानक सीमा $\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = e^u - 1$,हमें $e \cdot \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = e \cdot 1 = e$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा का मान $2e - e = e$ है।

(A) माना $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_{10})$ जहाँ $x_1 < x_2 < \dots < x_{10}$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln|f(x)| = \ln|a| + \sum_{i=1}^{10} \ln|x-x_i|$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{x-x_i}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f''(x)f(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = -\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{(x-x_i)^2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{(f'(x))^2 - f(x)f''(x)}{(f(x))^2} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{(x-x_i)^2}$।
चूँकि दाहिना पक्ष वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग है,यह सभी $x \neq x_i$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,$(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = (f(x))^2 \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{(x-x_i)^2} > 0$ सभी $x \neq x_i$ के लिए।
जब $x = x_i$ हो,तब $(f'(x_i))^2 - f(x_i)f''(x_i) = (f'(x_i))^2 > 0$ क्योंकि मूल भिन्न हैं।
इसलिए,व्यंजक $(f'(x))^2 - f(x)f''(x)$ हमेशा धनात्मक रहता है और इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) दिया गया है कि $f(x) + \int\limits_0^x g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) + g(x) = 2\cos x$ प्राप्त होता है .......$(1)$.
हमें $f'(x)g(x) = \cos^2 x$ भी दिया गया है .......$(2)$.
$(1)$ से,$f'(x) = 2\cos x - g(x)$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\cos x - g(x))g(x) = \cos^2 x$
$2\cos x \cdot g(x) - g(x)^2 = \cos^2 x$
$g(x)^2 - 2\cos x \cdot g(x) + \cos^2 x = 0$
$(g(x) - \cos x)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $g(x) = \cos x$।
$g(x) = \cos x$ को $(1)$ में रखने पर,$f'(x) = 2\cos x - \cos x = \cos x$।
$f'(x) = \cos x$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = \sin x + C$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर मूल समीकरण का उपयोग करने पर: $f(0) + \int\limits_0^0 g(t)dt = 2\sin(0) - \frac{\pi}{2} \Rightarrow f(0) = -\frac{\pi}{2}$।
चूंकि $f(0) = \sin(0) + C = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए $C = -\frac{\pi}{2}$।
अतः,$f(x) = \sin x - \frac{\pi}{2}$।
समीकरण $f(x) + g(x) = 0$ बन जाता है $\sin x - \frac{\pi}{2} + \cos x = 0$,या $\sin x + \cos x = \frac{\pi}{2}$।
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,हमें $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11 > 1$ है,इसलिए समीकरण $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1.11$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x \le -1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \\ \frac{1}{x}, & x \ge 1 \end{cases}$।
चूंकि $f(x)$ हर जगह सतत और अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर भी सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$।
$a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \Rightarrow a + b = 1$।
$x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए: $f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x^2}, & x < -1 \\ 2ax, & -1 < x < 1 \\ -\frac{1}{x^2}, & x > 1 \end{cases}$।
$x = 1$ पर बायां अवकलज: $f'(1^-) = 2a(1) = 2a$।
$x = 1$ पर दायां अवकलज: $f'(1^+) = -\frac{1}{(1)^2} = -1$।
चूंकि $f'(1^-) = f'(1^+)$,इसलिए $2a = -1 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$।
$a = -\frac{1}{2}$ को $a + b = 1$ में रखने पर: $-\frac{1}{2} + b = 1 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$।

(C) दिया गया है $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$.
$h(x) = g(f(x)) = \sin(x|x|)$.
चूंकि $x|x| = x^2$ जब $x \ge 0$ और $-x^2$ जब $x < 0$ है,इसलिए $h(x) = \begin{cases} \sin(x^2) & x \ge 0 \\ -\sin(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
अब,$h'(x) = \begin{cases} 2x \cos(x^2) & x \ge 0 \\ -2x \cos(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर,$LHL = \lim_{x \to 0^-} (-2x \cos(x^2)) = 0$ और $RHL = \lim_{x \to 0^+} (2x \cos(x^2)) = 0$. चूंकि $h'(0) = 0$,इसलिए $h'(x)$,$x = 0$ पर संतत है।
अब,$h''(x)$ ज्ञात करके $x = 0$ पर $h'(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करें:
$h''(x) = \begin{cases} 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2) & x > 0 \\ -2 \cos(x^2) + 4x^2 \sin(x^2) & x < 0 \end{cases}$.
$LHD = \lim_{x \to 0^-} (-2 \cos(x^2) + 4x^2 \sin(x^2)) = -2$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} (2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2)) = 2$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $h'(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 1$ है।
स्थानीय चरम मान की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 3x^2$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$।
अब,$x = 0$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ का चिह्न $x = 0$ से गुजरते समय नहीं बदलता है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x = 0$ पर कोई स्थानीय चरम मान नहीं है। अतः,कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ के लिए: फलन $f(x) = x^3 + 1$ एक बहुपद फलन है,जो $( -\infty, \infty )$ पर हर जगह सतत और अवकलनीय है।
साथ ही,$f'(x) = 3x^2$,इसलिए $f'(0) = 3(0)^2 = 0$। अतः,कथन $2$ सत्य है।
इसलिए,कथन $1$ असत्य है और कथन $2$ सत्य है।