Continuity Questions in Hindi

(D) $\lim_{x \to 1} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ पर वामपक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिणपक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
वामपक्ष सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = (1)^2 = 1$.
दक्षिणपक्ष सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x) = 1$.
चूंकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$,इसलिए सीमा का अस्तित्व है और यह $1$ के बराबर है।

(D) $x = 1$ पर सीमा का अस्तित्व है या नहीं,यह निर्धारित करने के लिए हम वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं।
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 - h) = \lim_{h \to 0} 3(1 - h) = 3(1 - 0) = 3$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 + h) = \lim_{h \to 0} [5 - 3(1 + h)] = 5 - 3(1 + 0) = 5 - 3 = 2$.
चूंकि $LHL \neq RHL$ (अर्थात $3 \neq 2$),इसलिए सीमा $\lim_{x \to 1} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x - 2|$.
सबसे पहले,हम $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं: $f(2) = |2 - 2| = 0$.
अब,$x \to 2^-$ के लिए वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ की गणना करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(2 - h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |2 - h - 2| = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |-h| = 0$.
अब,$x \to 2^+$ के लिए दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(2 + h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |2 + h - 2| = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |h| = 0$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 2$ पर संतत है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$x \to \frac{\pi}{2}$ पर $f(x)$ की सीमा $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$ है।
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k\cos x}{\pi - 2x}$।
मान लीजिए $x = \frac{\pi}{2} + h$ है। जैसे ही $x \to \frac{\pi}{2}$,$h \to 0$ होगा।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{k\cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k\sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$।
चूंकि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ है,इसलिए सीमा $\frac{k}{2}$ है।
सीमा को फलन के मान के बराबर रखने पर: $\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$।

(B) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0)$ का मान $\lim_{x \to 0} f(x)$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{\log(1 + ax) - \log(1 - bx)}{x}$.
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए,हम सीमा को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1 + ax)}{x} - \frac{\log(1 - bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \left( a \cdot \frac{\log(1 + ax)}{ax} - (-b) \cdot \frac{\log(1 - bx)}{-bx} \right)$
$= a(1) + b(1) = a + b$.
अतः,$f(0) = a + b$.

(A) $f(x)$ को $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ होना चाहिए।
सबसे पहले,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + x^2 - 16x + 20}{(x - 2)^2}$।
चूंकि $x = 2$ रखने पर $\frac{0}{0}$ का अनिर्धारित रूप प्राप्त होता है,इसलिए हम अंश का गुणनखंड करते हैं।
बहुपद विभाजन द्वारा,$x^3 + x^2 - 16x + 20 = (x - 2)^2(x + 5)$।
अतः,$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)^2(x + 5)}{(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2} (x + 5) = 2 + 5 = 7$।
इसलिए,$k = 7$।

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + k) = 0^2 + k = k$.
$2$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2 - k) = -0^2 - k = -k$.
$3$. फलन का मान: $f(0) = 0^2 + k = k$.
सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
अतः,$k = -k$.
$2k = 0 \implies k = 0$.

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x$ के $0$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा का मान $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$।
दिया गया है कि $f(x) = (1 + x)^{1/x}$।
हम जानते हैं कि मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ होती है।
अतः,फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,यह आवश्यक है कि $f(0) = e$ हो।

(D) $x = 1/2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 1/2^-} f(x) = \lim_{x \to 1/2^-} x = 1/2$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 1/2^+} f(x) = \lim_{x \to 1/2^+} (1 - x) = 1 - 1/2 = 1/2$.
$3$. फलन का मान: $f(1/2) = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to 1/2^-} f(x) = \lim_{x \to 1/2^+} f(x) = 1/2$,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 1/2} f(x)$ का अस्तित्व है और यह $1/2$ के बराबर है।
हालाँकि,$\lim_{x \to 1/2} f(x) = 1/2 \neq f(1/2) = 1$.
अतः,$f(x)$,$x = 1/2$ पर असतत है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{a} - a, & x < a \\ 0, & x = a \\ a - \frac{x^2}{a}, & x > a \end{cases}$।
सबसे पहले,हम $x = a$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं: $f(a) = 0$।
इसके बाद,$x = a$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(a - h) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{(a - h)^2}{a} - a \right) = \frac{a^2}{a} - a = a - a = 0$।
फिर,$x = a$ पर दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(a + h) = \lim_{h \to 0} \left( a - \frac{(a + h)^2}{a} \right) = a - \frac{a^2}{a} = a - a = 0$।
चूंकि $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) = 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = a$ पर सतत है।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} e^{1/x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$।
सबसे पहले,हम $x = 0$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} e^{-1/h} = e^{-\infty} = 0$।
इसके बाद,हम $x = 0$ पर दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} e^{1/h} = e^{\infty} = \infty$।
चूँकि दाएँ पक्ष की सीमा का अस्तित्व नहीं है (यह अनंत है),इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(C) $x = 1$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करेंगे।
दिया गया है $f(1) = 2$.
$x \ne 1$ के लिए,$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 3}{x + 1}$.
अब,$x \to 1$ के लिए सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1$ और $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$,सीमा का अस्तित्व है और यह $-1$ है।
हालाँकि,$f(1) = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।

(A) एक परिमेय फलन $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ उन बिंदुओं पर असंतत होता है जहाँ हर $Q(x) = 0$ होता है।
दिया गया है $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + x - 12}$।
असंततता के बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम हर को शून्य के बराबर रखते हैं:
$x^2 + x - 12 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 4x - 3x - 12 = 0$
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$
$(x - 3)(x + 4) = 0$
अतः,$x = 3$ और $x = -4$।
इसलिए,फलन $x = 3$ और $x = -4$ पर असंतत है।

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\frac{\sin x}{x} + \cos x) = 1 + 1 = 2$.
$2$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (\frac{\sin x}{x} + \cos x) = 1 + 1 = 2$.
$3$. फलन का मान: $f(0) = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है।

(C) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to 0$ पर सीमा (limit) का मान ज्ञात करते हैं।
$x \neq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$ होता है।
$x^2$ से गुणा करने पर,हमें $-x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2$ प्राप्त होता है।
जैसे ही $x \to 0$ होता है,$-x^2 \to 0$ और $x^2 \to 0$ होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है।
चूंकि $f(0) = 0$ है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ है।
अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} k(2x - x^2) = k(2(0) - (0)^2) = 0$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos(0) = 1$.
$3$. फलन का मान: $f(0) = \cos(0) = 1$.
चूँकि $LHL$ $(0)$ और $RHL$ $(1)$ बराबर नहीं हैं,इसलिए $k$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो फलन को $x = 0$ पर संतत बना सके।

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम वाम पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ ज्ञात करते हैं।
$1$. फलन का मान: $f(0) = 0$.
$2$. वाम पक्ष सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 - h) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{e^{-1/h} + 1}$.
जैसे $h \to 0^+$,$1/h \to \infty$,इसलिए $e^{-1/h} \to 0$.
अतः,$\lim_{h \to 0} \frac{-h}{0 + 1} = 0$.
$3$. दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(0 + h) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{e^{1/h} + 1}$.
जैसे $h \to 0^+$,$e^{1/h} \to \infty$,इसलिए $\frac{h}{e^{1/h} + 1} \to 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $x \to 0$ के रूप में $f(x)$ की सीमा ज्ञात करते हैं।
दिया गया है कि $x \ne 0$ के लिए $f(x) = (1 + 2x)^{1/x}$ है।
हम मानक सीमा $\lim_{u \to 0} (1 + u)^{1/u} = e$ जानते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $u = 2x$ है। जैसे $x \to 0$,वैसे ही $u \to 0$ होगा।
तब $f(x) = (1 + 2x)^{1/x} = [(1 + 2x)^{1/(2x)}]^2$ होगा।
$x \to 0$ के लिए सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{u \to 0} [(1 + u)^{1/u}]^2 = e^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = e^2$ और $f(0) = e^2$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर संतत है।
अतः,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^2$ और $\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^2$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) $x = 0$ पर फलन के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करते हैं।
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{1/(0+h)} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{1/h} = \infty$.
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{1/(0-h)} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2^{-1/h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{2^{1/h}} = \frac{1}{\infty} = 0$.
चूंकि $RHL$ का मान $\infty$ है और $LHL$ का मान $0$ है,इसलिए सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,दिए गए विकल्पों $(A)$,$(B)$ या $(C)$ में से कोई भी सही नहीं है।

(C) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to 0$ पर सीमा का मान ज्ञात करते हैं।
दिया गया है कि $x \ne 0$ के लिए $f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}$ है।
हम इसे $f(x) = x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right)$।
चूँकि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$ और $\lim_{x \to 0} x = 0$ है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \cdot 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(C) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} (x - 1) = 0 - 1 = -1$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (x^2) = 0^2 = 0$.
$3$. $x = 0$ पर फलन का मान: $f(0) = \frac{1}{4}$.
चूँकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) \neq \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x)$,इसलिए सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।

(A) फलन $f(x) = \log x$ (जहाँ आधार सामान्यतः $e$ या $10$ होता है) केवल $x > 0$ के लिए परिभाषित है।
अपने प्रांत $(0, \infty)$ में,लघुगणकीय फलन एक सतत फलन है।
इसलिए,$f(x) = \log x$ का ग्राफ अपने प्रांत में सभी $x$ के लिए सतत है।
अतः,कथन $(a)$ सही है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए शर्त $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ का पालन होना चाहिए।
यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(1) = k$ है।
अब,सीमा (limit) की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.
चूंकि यह $0/0$ रूप है,हम अंश का गुणनखंड करते हैं: $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1)$.
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सांतत्य के लिए $k = 2$ होगा।

(B) फलन $f(x) = \frac{x}{[x]}$ केवल तभी परिभाषित होता है जब $[x] \neq 0$ हो।
$(i)$ $0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$ होता है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $(0, 1)$ में अपरिभाषित है। अतः,फलन सभी $x \in (0, 1)$ के लिए असंतत है।
$(ii)$ किसी भी पूर्णांक $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\}$ पर,बायाँ सीमा $\lim_{x \to n^-} \frac{x}{[x]} = \frac{n}{n-1}$ है और दायाँ सीमा $\lim_{x \to n^+} \frac{x}{[x]} = \frac{n}{n} = 1$ है। चूँकि $n \neq 0$ के लिए $\frac{n}{n-1} \neq 1$ है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर असंतत है।
$(iii)$ $x = 1$ पर,$\lim_{x \to 1^-} f(x)$ अपरिभाषित है (क्योंकि $x \in [0, 1)$ के लिए $[x]=0$ है),और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ है। अतः,यह $x = 1$ पर असंतत है।
अतः,फलन सभी पूर्णांकों पर और अंतराल $(0, 1)$ में असंतत है।

(B) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(ax)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(ax)}{ax} \right)^2 \cdot a^2 = (1)^2 \cdot a^2 = a^2$.
$x = 0$ पर फलन का मान $f(0) = 1$ है।
$f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^2 = 1$,या $a = \pm 1$।
यदि $a \neq \pm 1$ है,तो $a^2 \neq 1$ होगा,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$।
अतः,जब $a \neq \pm 1$ होता है,तो $f(x)$,$x = 0$ पर असतत होता है।

(B) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -(0)^2 = 0$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 5(0) - 4 = -4$
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है।
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5(1) - 4 = 1$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4(1)^2 - 3(1) = 1$
$f(1) = 5(1) - 4 = 1$
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर संतत है।
$x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4(2)^2 - 3(2) = 16 - 6 = 10$
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2) + 4 = 10$
$f(2) = 3(2) + 4 = 10$
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$,इसलिए $f(x)$,$x = 2$ पर संतत है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin^{-1}|x| = \sin^{-1}(0) = 0$.
$2$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin^{-1}|x| = \sin^{-1}(0) = 0$.
$3$. फलन का मान: $f(0) = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x$ के $0$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा का मान $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
अर्थात,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
चूंकि $x \ne 0$ के लिए $f(x) = \frac{\sin 2x}{5x}$ दिया गया है,हम सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{5x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \times \frac{2x}{5x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right) \times \frac{2}{5}$
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए $1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = k$ है,इसलिए $k = \frac{2}{5}$ होगा।

(C) $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 + x^2) = 1 + (1)^2 = 2$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1 - x) = 1 - 1 = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$,इसलिए $x = 1$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x + 1}, & x \neq -1 \\ -2, & x = -1 \end{cases}$।
$x \neq -1$ के लिए,$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$।
अब,बाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करें: $\lim_{x \to (-1)^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (x - 1) = -1 - 1 = -2$।
दाएँ पक्ष की सीमा ज्ञात करें: $\lim_{x \to (-1)^+} f(x) = \lim_{x \to -1} (x - 1) = -1 - 1 = -2$।
चूंकि $\lim_{x \to (-1)^-} f(x) = \lim_{x \to (-1)^+} f(x) = f(-1) = -2$,इसलिए फलन $x = -1$ पर सतत है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) $x = 2$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (\frac{5}{2} - x) = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - \frac{3}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
$3$. फलन का मान: $f(2) = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{2}$,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 2} f(x)$ का अस्तित्व है और यह $\frac{1}{2}$ के बराबर है।
हालाँकि,$\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ क्योंकि $\frac{1}{2} \neq 1$.
अतः,$f(x)$,$x = 2$ पर असतत है।

(B) फलन $f(x) = |x - b|$ एक मापांक फलन (modulus function) है।
किसी भी वास्तविक संख्या $b$ के लिए,फलन $f(x) = |x - b|$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
विशेष रूप से,$x = b$ पर,हमारे पास $\lim_{x \to b} f(x) = \lim_{x \to b} |x - b| = 0$ है।
साथ ही,$f(b) = |b - b| = 0$ है।
चूंकि $\lim_{x \to b} f(x) = f(b)$,इसलिए फलन $x = b$ पर सतत है।

(B) $x = a$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(a)$ ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} \frac{|x - a|}{x - a}$. चूँकि $x < a$ है,इसलिए $|x - a| = -(x - a)$,अतः $\lim_{x \to a^-} \frac{-(x - a)}{x - a} = -1$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} \frac{|x - a|}{x - a}$. चूँकि $x > a$ है,इसलिए $|x - a| = (x - a)$,अतः $\lim_{x \to a^+} \frac{x - a}{x - a} = 1$.
$3$. फलन का मान: $f(a) = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$,इसलिए सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,$f(x)$,$x = a$ पर असंतत है।

(C) $x = 1$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम सीमा और फलन का मान ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,$x$ के $1$ की ओर अग्रसर होने पर सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x^2 = (1)^2 = 1$.
इसके बाद,$x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(1) = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ है (क्योंकि $1 \neq 2$),इसलिए फलन $f(x)$,$x = 1$ पर असतत है।

(A) $x = 2$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (1 + x) = 1 + 2 = 3$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 5 - 2 = 3$.
$3$. फलन का मान: $f(2) = 1 + 2 = 3$.
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 3$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है।

(C) $x = \frac{3\pi}{4}$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और उस बिंदु पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,$x = \frac{3\pi}{4}$ पर फलन का मान $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ है।
इसके बाद,बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = 1$ है।
फिर,दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = \lim_{h \to 0} 2\sin \left(\frac{2}{9} \left(\frac{3\pi}{4} + h\right)\right) = 2\sin \left(\frac{2}{9} \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = 2\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ है।
चूँकि $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} f(x) = f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 1$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$x = \frac{3\pi}{4}$ पर संतत है।

(A) $x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x \sin x) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} \sin(\pi + x) = \frac{\pi}{2} \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \times (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
$3$. फलन का मान: $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
चूँकि $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर असंतत है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 - \cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 2 \times \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 \times 4 = 2 \times 1^2 \times 4 = 8$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16 + \sqrt{x}} - 4}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{16 + \sqrt{x} - 16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4) = \sqrt{16} + 4 = 4 + 4 = 8$.
$3$. चूँकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \text{LHL} = \text{RHL}$.
अतः,$a = 8$.

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा $(LHL)$,दायाँ सीमा $(RHL)$ और $x = 1$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$1$. बायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 - b) = a(1)^2 - b = a - b$.
$2$. दायाँ सीमा: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.
$3$. $x = 1$ पर मान: $f(1) = 2$.
सांतत्य के लिए,$a - b = 2$ होना आवश्यक है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
- $A$ के लिए: $a = 2, b = 0 \Rightarrow 2 - 0 = 2$ (सही)।
- $B$ के लिए: $a = 1, b = -1 \Rightarrow 1 - (-1) = 2$ (सही)।
- $C$ के लिए: $a = 4, b = 2 \Rightarrow 4 - 2 = 2$ (सही)।
चूँकि सभी विकल्प $a - b = 2$ की शर्त को पूरा करते हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) $x = 0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - (-x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{x} = 0$.
$3$. फलन का मान: $f(0) = 2$.
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(2)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(0)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर असतत है।

(B) $x = 2$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^4 - 16}{x - 2}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$।
अतः,$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2)(x^2 + 4) = (2 + 2)(2^2 + 4) = 4 \times 8 = 32$।
चूँकि $\lim_{x \to 2} f(x) = 32$ और $f(2) = 16$,हम देख सकते हैं कि $\lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$।
इसलिए,$f(x)$,$x = 2$ पर असतत है।

(B) $x = 1$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$LHL$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = (1)^2 = 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 5) = 1 + 5 = 6$.
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(1)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(6)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 1} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$f(x)$,$x = 1$ पर असंतत है।

(B) फलन $f(x)$ के $x = -5$ पर सतत होने के लिए,$x \to -5$ पर $f(x)$ की सीमा $f(-5)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $f(-5) = a$ दिया गया है।
अब,सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \to -5} f(x) = \lim_{x \to -5} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + 2x - 15}$
अंश और हर का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)$
$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$
अतः,$\lim_{x \to -5} \frac{(x + 5)(x - 2)}{(x + 5)(x - 3)} = \lim_{x \to -5} \frac{x - 2}{x - 3}$
$x = -5$ रखने पर:
$\frac{-5 - 2}{-5 - 3} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8}$
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $a = \frac{7}{8}$ होगा।

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x = 3$ पर सतत होने के लिए,निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$
यहाँ $f(3) = 4$ दिया गया है।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करने पर:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x + \lambda) = 3 + \lambda$
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करने पर:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (3x - 5) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$
सीमाओं को $f(3)$ के बराबर रखने पर:
$3 + \lambda = 4$
$\lambda = 4 - 3$
$\lambda = 1$

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to 0} f(x)$ का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
यहाँ,$f(0) = k$ है।
हम सीमा $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ की जाँच करते हैं।
जैसे-जैसे $x \to 0$ होता है,तर्क $\frac{1}{x}$ का मान $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है।
जैसे-जैसे $x$ शून्य के करीब पहुँचता है,फलन $\sin \frac{1}{x}$ का मान $-1$ और $1$ के बीच अनंत बार दोलन (oscillate) करता है।
चूँकि सीमा किसी एक निश्चित मान की ओर नहीं जाती है,इसलिए $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,$k$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो फलन को $x = 0$ पर संतत बना सके।

(D) $f(x)$ के $x = 4$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x = 4$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(4 - h) = \lim_{h \to 0} (\frac{4 - h - 4}{|4 - h - 4|} + a) = \lim_{h \to 0} (\frac{-h}{|-h|} + a) = -1 + a$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(4 + h) = \lim_{h \to 0} (\frac{4 + h - 4}{|4 + h - 4|} + b) = \lim_{h \to 0} (\frac{h}{|h|} + b) = 1 + b$.
फलन का मान: $f(4) = a + b$.
सांतत्य के लिए: $a - 1 = a + b = b + 1$.
$a - 1 = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$a + b = b + 1$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1$ और $b = -1$ है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{(27 - 2x)^{1/3} - 3}{9 - 3(243 + 5x)^{1/5}}$.
जैसे ही $x \to 0$,व्यंजक $\frac{0}{0}$ का अनिर्धार्य रूप लेता है।
एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} [(27 - 2x)^{1/3} - 3] = \frac{1}{3}(27 - 2x)^{-2/3} \cdot (-2) = -\frac{2}{3}(27 - 2x)^{-2/3}$.
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx} [9 - 3(243 + 5x)^{1/5}] = -3 \cdot \frac{1}{5}(243 + 5x)^{-4/5} \cdot 5 = -3(243 + 5x)^{-4/5}$.
अब,$x \to 0$ सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{-\frac{2}{3}(27)^{-2/3}}{-3(243)^{-4/5}} = \frac{\frac{2}{3}(3^3)^{-2/3}}{3(3^5)^{-4/5}} = \frac{\frac{2}{3}(3^{-2})}{3(3^{-4})} = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9}}{3 \cdot \frac{1}{81}} = \frac{2/27}{1/27} = 2$.
अतः,$f(0) = 2$.

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर फलन की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = k$,इसलिए हमें $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x}$ का मान ज्ञात करना होगा।
माना $L = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(\cos x)$ प्राप्त होता है।
$\frac{0}{0}$ रूप के लिए एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(\cos x))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)}{1} = \lim_{x \to 0} (-\tan x) = 0$।
चूँकि $\ln L = 0$,इसलिए $L = e^0 = 1$ होगा।
अतः,$k = 1$।

(A) $x = 2$ पर फलन $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x = 2$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं।
$1$. बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.
$2$. दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 3) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.
$3$. $x = 2$ पर फलन का मान: $f(2) = 2(2) - 3 = 1$.
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 1$,इसलिए फलन $x = 2$ पर सतत है।
$x < 2$ के लिए,$f(x) = x - 1$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह सतत है।
$x > 2$ के लिए,$f(x) = 2x - 3$ भी एक बहुपद फलन है,इसलिए यह सतत है।
अतः,फलन $f(x)$ $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए सतत है।

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 6)$ में सतत है,इसलिए यह $x = 1$ और $x = 3$ पर भी सतत होगा।
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$1 + \sin(\frac{\pi}{2}) = a(1) + b$
$1 + 1 = a + b \implies a + b = 2$ ..... $(i)$
$x = 3$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$
$a(3) + b = 6 \tan(\frac{3\pi}{12})$
$3a + b = 6 \tan(\frac{\pi}{4})$
$3a + b = 6(1) \implies 3a + b = 6$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(3a + b) - (a + b) = 6 - 2$
$2a = 4 \implies a = 2$
$a = 2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2 + b = 2 \implies b = 0$
अतः,$a = 2$ और $b = 0$ प्राप्त होते हैं।