यदि $f$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $x \in (-5, 10)$ में समीकरण $f'(x) = 0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $f(2) = f(5) = f(10)$ है।

किस वास्तविक संख्या $K$ के लिए समीकरण $2x^3 + 3x + K = 0$ के दो वास्तविक मूल अंतराल $[0, 1]$ में होंगे?

मान लीजिए कि $f(x)$,$[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है। यदि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल (root) है,तो ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि:

यदि $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ में हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ $f(x)$ और $g(x)$ माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(b)$ $f(x)$ और $g(x)$ दोनों रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(c)$ केवल $g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इनमें से कौन सा कथन सही है?

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5).$

मान लीजिए $f(x)=x^3+2x^2-x$ एक वास्तविक मान वाला फलन है। तो,$(-1,2)$ में लैग्रेंज के स्थिरांक $C$ का मान है