यदि फलन f(x) = 2x^2 + 3x + 5 संवृत अंतराल [1, | vedclass

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Question

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक बिंदु $c \in (1, a)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}$ हो।यहाँ $c = 3

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$5$

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(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक बिंदु $c \in (1, a)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $f'(c) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}$ हो।यहाँ $c = 3$ दिया गया है,इसलिए $f'(3) = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}$।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x + 3$। अतः,$f'(3) = 4(3) + 3 = 15$।अब,$f(a) = 2a^2 + 3a + 5$ और $f(1) = 2(1)^2 + 3(1) + 5 = 10$ का मान निकालें।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $15 = \frac{(2a^2 + 3a + 5) - 10}{a - 1}$।$15 = \frac{2a^2 + 3a - 5}{a - 1}$।अंश का गुणनखंड करने पर: $2a^2 + 3a - 5 = (2a + 5)(a - 1)$।चूंकि $a 
eq 1$,हम इसे सरल कर सकते हैं: $15 = 2a + 5$।$2a = 10$,जिसका अर्थ है कि $a = 5$।

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माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,निम्नलिखित में से कौन सा फलन अंतराल $[0, 1]$ पर शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $\alpha = $ है,तो $x \in [0, 1]$ के लिए $f$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।

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