निम्नलिखित में से किस फलन के लिए रोले का प्रम | vedclass

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Question

(D) रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत,$(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।$(A)$ फलन $x = 1$ पर असतत है,

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$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}{x - 1}, & x 
e 1 \ -6, & x = 1 \end{cases}$ अंतराल $[-2, 3]$ पर

Vedclass · Answer

(D) रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए,फलन को $[a, b]$ पर सतत,$(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए और $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।$(A)$ फलन $x = 1$ पर असतत है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।$(B)$ फलन $x = 0$ पर सतत नहीं है क्योंकि $\lim_{x 	o 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 
e f(0) = 0$,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।$(C)$ फलन $x = 1$ पर असतत है,जो $[-2, 3]$ अंतराल के भीतर है,इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।$(D)$ $x 
e 1$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-1)(x^2 - x - 6)}{x - 1} = x^2 - x - 6$। $x = 1$ पर,$f(1) = -6$। चूंकि $\lim_{x 	o 1} (x^2 - x - 6) = 1 - 1 - 6 = -6$,फलन $x = 1$ पर सतत है। अतः,$[-2, 3]$ के सभी $x$ के लिए $f(x) = x^2 - x - 6$ है। साथ ही,$f(-2) = (-2)^2 - (-2) - 6 = 0$ और $f(3) = 3^2 - 3 - 6 = 0$। चूंकि $f(-2) = f(3) = 0$ है और फलन एक बहुपद है,यह सतत और अवकलनीय है। इसलिए,रोले का प्रमेय लागू होता है।

निम्नलिखित में से किस फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है?

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यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को सत्यापित कीजिए।

यदि $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ है,तो $\alpha$ का वह मान जिसके लिए $[0, 1]$ में रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है,है

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