यदि फलन f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6 अंतराल [ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$. चूंकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1) = f(3)$. $f(1) = a(1)^3

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$1, -6$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$. चूंकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,इसलिए $f(1) = f(3)$. $f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a + b + 5$. $f(3) = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6 = 27a + 9b + 33 - 6 = 27a + 9b + 27$. $f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर: $a + b + 5 = 27a + 9b + 27 \Rightarrow 26a + 8b = -22 \Rightarrow 13a + 4b = -11$ ... $(i)$. अब,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$. दिया गया है $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$: $3a\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$. $3a\left( 4 + \frac{1}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$. $3a\left( \frac{13}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \right) + 2b\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 11 = 0$. $(13a + 4\sqrt{3}a) + (4b + \frac{2b}{\sqrt{3}}) + 11 = 0$. समीकरण $(i)$ से $13a = -11 - 4b$ प्रतिस्थापित करने पर: $-11 - 4b + 4\sqrt{3}a + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} + 11 = 0$. $4\sqrt{3}a + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow 12a + 2b = 0 \Rightarrow b = -6a$ ... $(ii)$. समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $13a + 4(-6a) = -11 \Rightarrow 13a - 24a = -11 \Rightarrow -11a = -11 \Rightarrow a = 1$. अतः $b = -6(1) = -6$. इस प्रकार,$a = 1$ और $b = -6$ प्राप्त होते हैं।

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यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $27a + 9b + 3c + d = 0$ है,तो समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल किसके बीच स्थित है?

फलन $f(x) = x(x + 3)e^{-(1/2)x}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $c$ का मान है

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