Derivatives of Functions in Parametric Forms Questions in Hindi

(C) दिया गया है $x = a(t - \sin t)$ और $y = a(1 - \cos t).$
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t).$
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = a(0 - (-\sin t)) = a \sin t.$
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}.$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin t = 2 \sin \left( \frac{t}{2} \right) \cos \left( \frac{t}{2} \right)$ और $1 - \cos t = 2 \sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin (t/2) \cos (t/2)}{2 \sin^2 (t/2)} = \frac{\cos (t/2)}{\sin (t/2)} = \cot \left( \frac{t}{2} \right).$

(A) दिया गया है कि $x = a(\cos t + \log \tan \frac{t}{2})$ और $y = a \sin t$ है।
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$ .....$(i)$
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a [-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}]$
$= a [-\sin t + \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(t/2)} \cdot \frac{1}{2}]$
$= a [-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}]$
$= a [-\sin t + \frac{1}{\sin t}] = a [\frac{1 - \sin^2 t}{\sin t}] = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$ .....$(ii)$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \cos^2 t / \sin t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$.

(C) दिया गया है कि $\tan y = \frac{2t}{1 - t^2}$ और $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}.$
माना $t = \tan \theta.$
तब $\tan y = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \tan(2\theta),$ जिसका अर्थ है $y = 2\theta.$
साथ ही,$\sin x = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin(2\theta),$ जिसका अर्थ है $x = 2\theta.$
चूंकि $y = 2\theta$ और $x = 2\theta,$ इसलिए $y = x.$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1.$

(C) दिया गया है कि $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ और $y = \frac{2t}{1 + t^2}$ है।
दोनों समीकरणों में $t = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$
$y = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$
दोनों का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin 2\theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos 2\theta$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2 \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -\cot 2\theta$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$ और $y = \sin 2\theta$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = -\frac{x}{y}$.

(D) दिया गया है $x = at^2$ और $y = 2at$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{dx}$।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2at}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = (-\frac{1}{t^2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$।

(A) दिया गया है $x = 2\cos t - \cos 2t$ और $y = 2\sin t - \sin 2t$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2\sin 2t$
$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2\cos 2t$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos t - 2\cos 2t}{-2\sin t + 2\sin 2t} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{2} = 0$,$\sin \frac{\pi}{2} = 1$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - 0}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1$।

(A) दिया गया है $x = a \sin 2\theta (1 + \cos 2\theta ) = 4a \sin \theta \cos^3 \theta$.
दिया गया है $y = b \cos 2\theta (1 - \cos 2\theta ) = 2b \sin^2 \theta (2 \cos^2 \theta - 1)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dx}{d\theta} = 2a(\cos 2\theta + \cos 4\theta) = 4a \cos 3\theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 2b(\sin 4\theta - \sin 2\theta) = 4b \cos 3\theta \sin \theta$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4b \cos 3\theta \sin \theta}{4a \cos 3\theta \cos \theta} = \frac{b}{a} \tan \theta$.

(B) दिया गया है $x = \frac{3at}{1 + t^3}$ और $y = \frac{3at^2}{1 + t^3}$।
यहाँ ध्यान दें कि $y = tx$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx}$ ... $(i)$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 3a \left[ \frac{(1 + t^3)(1) - t(3t^2)}{(1 + t^3)^2} \right] = \frac{3a(1 - 2t^3)}{(1 + t^3)^2}$।
अतः,$\frac{dt}{dx} = \frac{(1 + t^3)^2}{3a(1 - 2t^3)}$।
इस मान को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = t + \left( \frac{3at}{1 + t^3} \right) \left( \frac{(1 + t^3)^2}{3a(1 - 2t^3)} \right)$
$\frac{dy}{dx} = t + \frac{t(1 + t^3)}{1 - 2t^3} = \frac{t(1 - 2t^3) + t + t^4}{1 - 2t^3} = \frac{t - 2t^4 + t + t^4}{1 - 2t^3} = \frac{2t - t^4}{1 - 2t^3} = \frac{t(2 - t^3)}{1 - 2t^3}$।

(B) दिया गया है $x = t + \frac{1}{t}$ और $y = t - \frac{1}{t}$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$
$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2}$
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2 + 1)/t^2}{(t^2 - 1)/t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1} \right) \cdot \frac{dt}{dx}$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$= \frac{(2t)(t^2 - 1) - (t^2 + 1)(2t)}{(t^2 - 1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 2t}{(t^2 - 1)^2} = \frac{-4t}{(t^2 - 1)^2}$
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{t^2}{t^2 - 1}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \left( \frac{-4t}{(t^2 - 1)^2} \right) \cdot \left( \frac{t^2}{t^2 - 1} \right) = \frac{-4t^3}{(t^2 - 1)^3} = -4t^3(t^2 - 1)^{-3}$.

(B) दिया गया है $x = t^2$ और $y = t^3$ है।
सबसे पहले,प्राचलिक समीकरणों के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 3t^2$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3}{2}t$ है।
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}t\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}t\right) \cdot \frac{dt}{dx}$ है।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2t}$ है,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x = a \sin \theta$ और $y = b \cos \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \cos \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = -b \sin \theta$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-b \sin \theta}{a \cos \theta} = -\frac{b}{a} \tan \theta$।
इसके बाद,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b}{a} \tan \theta \right) = -\frac{b}{a} \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dx}$।
चूंकि $\frac{dx}{d\theta} = a \cos \theta$,इसलिए $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{a \cos \theta}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{b}{a} \sec^2 \theta \cdot \frac{1}{a \cos \theta} = -\frac{b}{a^2} \sec^3 \theta$।

(C) दिया गया है $y = t^{10} + 1$ और $x = t^8 + 1.$
सबसे पहले,हम $t$ को $x$ के पदों में व्यक्त करते हैं: $t^8 = x - 1 \Rightarrow t^2 = (x - 1)^{1/4}.$
$y$ के व्यंजक में $t^2$ का मान रखने पर: $y = (t^2)^5 + 1 = ((x - 1)^{1/4})^5 + 1 = (x - 1)^{5/4} + 1.$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{4}(x - 1)^{5/4 - 1} = \frac{5}{4}(x - 1)^{1/4}.$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{4} \times \frac{1}{4}(x - 1)^{1/4 - 1} = \frac{5}{16}(x - 1)^{-3/4} = \frac{5}{16(x - 1)^{3/4}}.$
चूंकि $x - 1 = t^8$,इसलिए $(x - 1)^{3/4} = (t^8)^{3/4} = t^6.$
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{16t^6}.$

(D) दिया गया है कि $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$ है।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
अतः,$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = (-\tan \theta)^2 = \tan^2 \theta$.
अंत में,$\sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = a(t + \sin t)$
$y = a(1 - \cos t)$
हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[a(1 - \cos t)] = a(0 - (-\sin t)) = a \sin t$
इसके बाद,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[a(t + \sin t)] = a(1 + \cos t)$
अब,$\frac{dy}{dx}$ की गणना करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin t = 2 \sin(t/2) \cos(t/2)$ और $1 + \cos t = 2 \cos^2(t/2)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)} = \frac{\sin(t/2)}{\cos(t/2)} = \tan(t/2)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $x = \frac{2t}{1 + t^2}$ और $y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$।
$t = \tan \theta$ रखने पर।
तब $x = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$।
और $y = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$।
अब,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos 2\theta$।
$\frac{dy}{d\theta} = -2 \sin 2\theta$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-2 \sin 2\theta}{2 \cos 2\theta} = -\tan 2\theta$।
चूंकि $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2t}{1 - t^2}$,
अतः $\frac{dy}{dx} = -\left( \frac{2t}{1 - t^2} \right) = \frac{2t}{t^2 - 1}$।

(D) दिया गया है $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}$। मान लीजिए $t = \tan \theta$,तो $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$। अतः,$x = \theta = \tan^{-1} t$।
दिया गया है $\sin y = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$। $t = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin y = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \sin \theta$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \theta = \tan^{-1} t$।
चूंकि $x = \tan^{-1} t$ और $y = \tan^{-1} t$,इसलिए $x = y$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$ हैं।
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a[-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)] = a\theta \cos \theta$.
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a[\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)] = a\theta \sin \theta$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.

(A) दिया गया है कि $x = a \cos^4 \theta$ और $y = a \sin^4 \theta$ है।
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = 4a \sin^3 \theta \cos \theta$.
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 4a \cos^3 \theta (-\sin \theta) = -4a \cos^3 \theta \sin \theta$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4a \sin^3 \theta \cos \theta}{-4a \cos^3 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = -\tan^2 \theta$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ पर,$\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -(\tan(\frac{3\pi}{4}))^2 = -(-1)^2 = -1$।

(D) दिया गया है कि $x = \sin^{-1}(3t - 4t^3)$ और $y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - t^2})$ है।
$y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - t^2})$ के लिए,मान लीजिए $t = \sin \theta$,तो $\sqrt{1 - t^2} = \cos \theta$ होगा।
अतः,$y = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \sin^{-1} t$ होगा।
$x = \sin^{-1}(3t - 4t^3)$ के लिए,मान लीजिए $t = \sin \theta$,तो $x = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta) = \sin^{-1}(\sin 3 \theta) = 3 \theta = 3 \sin^{-1} t$ होगा।
अब,$x$ और $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$
$\frac{dy}{dt} = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/\sqrt{1 - t^2}}{3/\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण $x = a(t - \frac{1}{t})$ $(i)$ और $y = a(t + \frac{1}{t})$ $(ii)$ हैं।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = a^2(t^2 - 2 + \frac{1}{t^2})$ और $y^2 = a^2(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2})$ प्राप्त होता है।
$(ii)^2$ में से $(i)^2$ को घटाने पर,$y^2 - x^2 = a^2(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2})) = a^2(4) = 4a^2$ प्राप्त होता है।
$y^2 - x^2 = 4a^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - 2x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2y \frac{dy}{dx} = 2x$,जिसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x = \sin t \cos 2t$ $(i)$ और $y = \cos t \sin 2t$ $(ii)$।
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $t$ के सापेक्ष $(i)$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \cos t \cos 2t - 2 \sin t \sin 2t$ $(iii)$
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $t$ के सापेक्ष $(ii)$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = - \sin t \sin 2t + 2 \cos t \cos 2t$ $(iv)$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2 \cos t \cos 2t - \sin t \sin 2t}{\cos t \cos 2t - 2 \sin t \sin 2t}$।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,हमारे पास $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 2(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$,और $\sin 2(\frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}})(0) - (\frac{1}{\sqrt{2}})(1)}{(\frac{1}{\sqrt{2}})(0) - 2(\frac{1}{\sqrt{2}})(1)} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{2}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2}$।

(C) माना $y = {\cos ^{ - 1}}(\sqrt x )$ और $z = \sqrt {1 - x} $.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \times \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \times \frac{d}{dx}(1 - x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \times (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
अब,$z$ के सापेक्ष $y$ का अवकल गुणांक ज्ञात करने पर:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}}{-\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) माना $y_1 = \sin^{-1}x$ और $y_2 = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$ है।
$y_2$ के लिए,हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए $\cos^{-1}\sqrt{1-x^2} = \sin^{-1}x$ होता है।
अतः,$y_2 = y_1$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy_1}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{dy_2}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
इसलिए,$y_1$ का $y_2$ के सापेक्ष अवकल गुणांक $\frac{dy_1}{dy_2} = \frac{dy_1/dx}{dy_2/dx} = \frac{1/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = 1$ है।

(B) माना $u = x^3$ और $v = x^2$ है।
हमें $u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करना है,जो $\frac{du}{dv}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$।
इसके बाद,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$।
अतः,$\frac{du}{dv} = \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2}x$।

(D) माना $y = \sin^2 x$ और $z = \cos^2 x$ है।
सबसे पहले,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$।
इसके बाद,$z$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = 2 \cos x (-\sin x) = -2 \sin x \cos x = -\sin 2x$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{\sin 2x}{-\sin 2x} = -1$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $y = a \sin^3 t$ और $x = a \cos^3 t$ है।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dx}{dt} = 3a \cos^2 t (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t$
अब,$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$
आगे,$x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = -\sec^2 t \cdot \frac{dt}{dx}$
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\sec^2 t \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{\sec^2 t}{3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a} \cdot \frac{\sec^4 t}{\sin t}$
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{t = \pi/4} = \frac{1}{3a} \cdot \frac{(\sqrt{2})^4}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{3a} \cdot \frac{4}{1/\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$

(C) दिया गया है $x = a \cos \theta + \frac{1}{2}b \cos 2\theta$ और $y = a \sin \theta + \frac{1}{2}b \sin 2\theta$.
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta - b \sin 2\theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta + b \cos 2\theta$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta + b \cos 2\theta}{-a \sin \theta - b \sin 2\theta}$.
$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{d\theta}{dx}$ का उपयोग करते हैं।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ रखने पर,$\frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx})$ का अंश शून्य होना चाहिए।
सरलीकरण करने पर,यह शर्त प्राप्त होती है:
$a^2 + 2b^2 + 3ab(\cos 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta \sin \theta) = 0$
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$a^2 + 2b^2 + 3ab \cos(2\theta - \theta) = 0$
$a^2 + 2b^2 + 3ab \cos \theta = 0$
अतः,$\cos \theta = - \frac{a^2 + 2b^2}{3ab}$.

(D) स्थिति निर्देशांक $x = a + bt - ct^2$ और $y = at + bt^2$ द्वारा दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = b - 2ct$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a + 2bt$
इसके बाद,वेग के घटकों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करते हैं:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -2c$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2} = 2b$
परिणामी त्वरण $a$ त्वरण सदिश का परिमाण है:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
$a = \sqrt{(-2c)^2 + (2b)^2}$
$a = \sqrt{4c^2 + 4b^2}$
$a = 2\sqrt{b^2 + c^2}$

(B) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = t^2 + 3t - 8$ और $y = 2t^2 - 2t - 5$ हैं।
सबसे पहले,बिंदु $(2, -1)$ पर $t$ का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 2$ को $x$ के समीकरण में रखने पर: $2 = t^2 + 3t - 8 \implies t^2 + 3t - 10 = 0 \implies (t+5)(t-2) = 0$. अतः,$t = 2$ या $t = -5$ है।
$t = 2$ को $y$ के समीकरण में जाँचने पर: $y = 2(2)^2 - 2(2) - 5 = 8 - 4 - 5 = -1$. यह दिए गए बिंदु से मेल खाता है।
अब,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dt} = 2t + 3$ और $\frac{dy}{dt} = 4t - 2$.
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$t = 2$ पर,ढाल $\frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$ है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = 3t^2 + 1$ और $y = t^3 - 1$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 6t$
$\frac{dy}{dt} = 3t^2$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ इस प्रकार प्राप्त होती है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{6t} = \frac{t}{2}$ (जहाँ $t \neq 0$).
$x = 1$ के लिए,$3t^2 + 1 = 1$,जिसका अर्थ है $3t^2 = 0$,इसलिए $t = 0$.
जैसे $t \to 0$,ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{t}{2} \to 0$.
अतः,$x = 1$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $0$ है।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 2\cos^3\theta$ और $y = 3\sin^3\theta$ हैं।
$\theta = \pi/4$ पर,निर्देशांक:
$x = 2(\cos(\pi/4))^3 = 2(1/\sqrt{2})^3 = 2/(2\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}$.
$y = 3(\sin(\pi/4))^3 = 3(1/\sqrt{2})^3 = 3/(2\sqrt{2})$.
अब,अवकलज $dy/dx = (dy/d\theta) / (dx/d\theta)$ ज्ञात करें:
$dy/d\theta = 9\sin^2\theta \cos\theta$.
$dx/d\theta = -6\cos^2\theta \sin\theta$.
$dy/dx = (9\sin^2\theta \cos\theta) / (-6\cos^2\theta \sin\theta) = -3/2 \tan\theta$.
$\theta = \pi/4$ पर,$dy/dx = -3/2 \tan(\pi/4) = -3/2$.
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है:
$y - 3/(2\sqrt{2}) = -3/2(x - 1/\sqrt{2})$.
$2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$2\sqrt{2}y - 3 = -3\sqrt{2}x + 3$.
$3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 6$.
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर:
$3x + 2y = 6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

(A) दिया गया है $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$।
$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{n(\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4 \sec^n \theta \cos^n \theta = y^2 + 4$।
इसी प्रकार,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta = x^2 + 4$।
अतः,$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$,जिसका अर्थ है $(x^2 + 4) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = n^2(y^2 + 4)$।

(D) दिया गया है $x = \sin t$ और $y = \cos pt$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = -p \sin pt$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin pt}{\cos t}$।
अतः,$\cos t \frac{dy}{dx} = -p \sin pt$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\sin t + \cos t \frac{d^2y}{dx^2} = -p^2 \cos pt \frac{dt}{dx}$।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$,इसलिए:
$-\sin t \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2y}{dx^2} = -p^2 \cos pt \frac{1}{\cos t}$।
$\cos t$ से गुणा करने पर:
$-\sin t \cos t \frac{dy}{dx} + \cos^2 t \frac{d^2y}{dx^2} = -p^2 \cos pt$।
$x = \sin t$,$\cos^2 t = 1 - x^2$,और $y = \cos pt$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + p^2 y = 0$।
अतः,$(1 - x^2)y_2 - xy_1 + p^2y = 0$।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण: $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$ हैं।
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$
$\theta = \pi / 4$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\tan(\pi / 4) = -1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t}$ द्वारा दी जाती है।
$m_n = -\frac{1}{-1} = 1$.

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = 1 - a \sin \theta$ और $y = b \cos^2 \theta$ हैं।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ ज्ञात करें।
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(1 - a \sin \theta) = -a \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \cos^2 \theta) = b(2 \cos \theta)(-\sin \theta) = -2b \cos \theta \sin \theta$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-2b \cos \theta \sin \theta}{-a \cos \theta} = \frac{2b}{a} \sin \theta$.
$\theta = \pi / 2$ पर,स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_t = \frac{2b}{a} \sin(\pi / 2) = \frac{2b}{a}$ है।
अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2b/a} = -\frac{a}{2b}$ होगी।

(D) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $x = t^2 + 3t - 8$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 2t + 3$ है।
दिया गया है $y = 2t^2 - 2t - 5$,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 4t - 2$ है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ है।
$t = 2$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$ है।

(A) एक स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत होती है यदि उसकी ढाल अपरिभाषित हो,जो तब होता है जब $\frac{dx}{dt} = 0$ और $\frac{dy}{dt} \neq 0$ हो।
दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = t^2 - 1$ और $y = t^2 - t$ हैं।
हम $t$ के सापेक्ष $x$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 1) = 2t$.
$\frac{dx}{dt} = 0$ रखने पर $2t = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 0$.
$t = 0$ पर,हम $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - t) = 2t - 1$ की जाँच करते हैं। $t = 0$ रखने पर,हमें $\frac{dy}{dt} = -1 \neq 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t = 0$ पर $\frac{dx}{dt} = 0$ और $\frac{dy}{dt} \neq 0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा $t = 0$ पर $x$-अक्ष के लंबवत है।

(A) माना $u = \sqrt{x^2 + 16}$ और $v = \frac{x}{x - 1}$ है।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 16}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
इसके बाद,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
अब,$u$ के $v$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \cdot \frac{(x - 1)^2}{-1}$.
$x = 3$ का मान रखने पर:
$\left( \frac{du}{dv} \right)_{x=3} = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 16}} \cdot \frac{(3 - 1)^2}{-1} = \frac{3}{\sqrt{25}} \cdot \frac{4}{-1} = \frac{3}{5} \cdot (-4) = -\frac{12}{5}$.

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं:
$x = t^2 + 3t - 8$ और $y = 2t^2 - 2t - 5$.
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 2t + 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t - 2$
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(2, -1)$ पर $t$ का मान ज्ञात करने के लिए,निर्देशांकों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:
$2 = t^2 + 3t - 8 \Rightarrow t^2 + 3t - 10 = 0 \Rightarrow (t+5)(t-2) = 0 \Rightarrow t = 2, -5$.
$-1 = 2t^2 - 2t - 5 \Rightarrow 2t^2 - 2t - 4 = 0 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0 \Rightarrow (t-2)(t+1) = 0 \Rightarrow t = 2, -1$.
उभयनिष्ठ मान $t = 2$ है।
अब,$t = 2$ को ढाल के सूत्र में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$.

(D) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a \sin^3 t$ और $y = a \cos^3 t$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dy}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{-3a \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\cot t$.
$t = \frac{\pi}{3}$ पर,ढाल है:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{t = \pi/3} = -\cot\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = f \cdot \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \left( \frac{f}{v} \right) = -\frac{f}{v^3}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f = -v^3 \frac{d^2t}{dx^2}$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं:
$x = a(\theta - \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = a(\sin \theta)$।
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$ है।
$\theta = \pi / 2$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(\pi / 2)}{1 - \cos(\pi / 2)} = \frac{1}{1 - 0} = 1$।
अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $-1 / 1 = -1$ है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \frac{t - 1}{t + 1}$ और $y = \frac{t + 1}{t - 1}$ हैं।
$t = 2$ पर,$x = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ और $y = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$ प्राप्त होता है।
यहाँ $xy = \left(\frac{t - 1}{t + 1}\right) \times \left(\frac{t + 1}{t - 1}\right) = 1$ है।
अतः,$y = \frac{1}{x}$,जिसका अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{3}$ पर ढाल $m = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1/3)^2} = -9$ है।
बिंदु $(\frac{1}{3}, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ सूत्र द्वारा:
$y - 3 = -9(x - \frac{1}{3})$.
$y - 3 = -9x + 3$.
$9x + y - 6 = 0$.

(D) यहाँ $x = t^2 + 3t - 8 = 2$
$t^2 + 3t - 10 = 0$
$(t + 5)(t - 2) = 0$
$t = -5$ या $t = 2$
इसी प्रकार $y = 2t^2 - 2t - 5 = -1$
$2t^2 - 2t - 4 = 0$
$t^2 - t - 2 = 0$
$(t - 2)(t + 1) = 0$
$t = 2$ या $t = -1$
दोनों समीकरणों के लिए उभयनिष्ठ मान $t = 2$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dx}{dt} = 2t + 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t - 2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$
$t = 2$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$.

(C) दिया गया है $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$।
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\frac{b}{a} \cot \theta$।
इसके बाद,दूसरा अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b}{a} \cot \theta \right) = -\frac{b}{a} (-\csc^2 \theta) \frac{d\theta}{dx} = \frac{b}{a} \csc^2 \theta \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{b}{a^2} \csc^3 \theta$।
अंत में,तीसरा अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b}{a^2} \csc^3 \theta \right) = -\frac{b}{a^2} (3 \csc^2 \theta \cdot -\csc \theta \cot \theta) \frac{d\theta}{dx} = \frac{3b}{a^2} \csc^3 \theta \cot \theta \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{3b}{a^3} \csc^4 \theta \cot \theta$।

(A) दिया गया है $x = e^t \sin t$ और $y = e^t \cos t$। बिंदु $(1, 1)$ पर,$1 = e^t \sin t$ और $1 = e^t \cos t$ है।
इनका भाग देने पर,$\tan t = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{4}$।
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)$
$\frac{dy}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}$।
अब,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$।
भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\cos t + \sin t)(-\sin t - \cos t) - (\cos t - \sin t)(-\sin t + \cos t)}{(\cos t + \sin t)^2} = \frac{-2}{(\cos t + \sin t)^2}$।
इस प्रकार,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{(\cos t + \sin t)^2} \cdot \frac{1}{e^t(\sin t + \cos t)} = \frac{-2}{e^t(\sin t + \cos t)^3}$।
$t = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$e^t \sin t = 1$ और $e^t \cos t = 1$,अतः $e^t = \sqrt{2}$ और $\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
मान रखने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^3} = \frac{-2}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = a(2 \cos t - \cos 2t)$ और $y = a(2 \sin t - \sin 2t)$.
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ की गणना करते हैं।
$\frac{dy}{dt} = a(2 \cos t - 2 \cos 2t) = 2a(\cos t - \cos 2t)$.
$\frac{dx}{dt} = a(-2 \sin t + 2 \sin 2t) = 2a(\sin 2t - \sin t)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2a(\cos t - \cos 2t)}{2a(\sin 2t - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$.
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos t = \cos 2t$.
सर्वसमिका $\cos A = \cos B \implies A = 2n\pi \pm B$ का उपयोग करते हुए,हमें $2t = 2n\pi \pm t$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $2t = 2n\pi + t \implies t = 2n\pi$.
स्थिति $2$: $2t = 2n\pi - t \implies 3t = 2n\pi \implies t = \frac{2n\pi}{3}$.
$n=1$ के लिए,$t = 2\pi/3$. $n=2$ के लिए,$t = 4\pi/3$.
इन मानों के बीच का अंतर $\frac{4\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण:
$x = a(t + \sin t \cos t) = a(t + \frac{1}{2} \sin 2t)$
$y = a(1 + \sin t)^2$
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos 2t) = a(2 \cos^2 t) = 2a \cos^2 t$
$\frac{dy}{dt} = 2a(1 + \sin t) \cos t$
स्पर्शरेखा की ढाल $m = \tan \theta = \frac{dy/dt}{dx/dt}$:
$\tan \theta = \frac{2a(1 + \sin t) \cos t}{2a \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$1 + \sin t = (\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})^2$
$\cos t = \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = (\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$
अतः,$\tan \theta = \frac{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2}}$
अंश और हर को $\cos \frac{t}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{1 + \tan \frac{t}{2}}{1 - \tan \frac{t}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{t}{2})$
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{t}{2} = \frac{\pi + 2t}{4}$.

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = t^3 - 4t^2 - 3t$
$y = 2t^2 + 3t - 5$
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 3t^2 - 8t - 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t + 3$
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t + 3}{3t^2 - 8t - 3}$ द्वारा दी जाती है।
क्षैतिज स्पर्शरेखा के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dt} = 0$ और $\frac{dx}{dt} \neq 0$:
$4t + 3 = 0 \implies t = -\frac{3}{4}$।
$t = -\frac{3}{4}$ पर,$\frac{dx}{dt} = 3(-\frac{3}{4})^2 - 8(-\frac{3}{4}) - 3 = \frac{27}{16} + 3 \neq 0$।
अतः,$1$ क्षैतिज स्पर्शरेखा है,इसलिए $H = 1$।
ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के लिए,$\frac{dx}{dt} = 0$ और $\frac{dy}{dt} \neq 0$:
$3t^2 - 8t - 3 = 0$
$(3t + 1)(t - 3) = 0$
$t = -\frac{1}{3}$ या $t = 3$।
इन मानों पर,$\frac{dy}{dt} = 4t + 3 \neq 0$।
अतः,$2$ ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखाएँ हैं,इसलिए $V = 2$।
इसलिए,$H = 1$ और $V = 2$।

(C) दिया गया है $x = \frac{1}{t^3} + \frac{1}{t^2}$ और $y = \frac{3}{2t^2} + \frac{2}{t}$.
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -\frac{3}{t^4} - \frac{2}{t^3} = -\frac{3 + 2t}{t^4}$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{2} \left( -\frac{2}{t^3} \right) - \frac{2}{t^2} = -\frac{3}{t^3} - \frac{2}{t^2} = -\frac{3 + 2t}{t^3}$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-(3 + 2t)/t^3}{-(3 + 2t)/t^4} = \frac{t^4}{t^3} = t$.
अब $\frac{dy}{dx} = t$ का मान $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - \frac{dy}{dx}$ में रखने पर:
$x(t)^3 - t = \left( \frac{1 + t}{t^3} \right) t^3 - t = (1 + t) - t = 1$.