निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल मे | vedclass

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Question

(D) रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ में प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होगा: $1$. $f(x)$ अंतराल $[a

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$f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[\frac{1}{3}, 3]$ में

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(D) रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ में प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए तीन शर्तों को पूरा करना होगा: $1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में सतत होना चाहिए। $2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय होना चाहिए। $3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए। विकल्प $A$ की जाँच: $f(x) = |\operatorname{sgn}(x)|$ बिंदु $x = 0$ पर असतत है,इसलिए यह विफल है। विकल्प $B$ की जाँच: $f(x) = 3x^2 - 2$ अंतराल $[2, 3]$ में। यहाँ $f(2) = 10$ और $f(3) = 25$ है। चूँकि $f(2) 
eq f(3)$,यह विफल है। विकल्प $C$ की जाँच: $f(x) = |x - 1|$ अंतराल $[0, 2]$ में। $f(0) = 1$ और $f(2) = 1$ है। यहाँ $f(0) = f(2)$ है,लेकिन $x = 1$ पर फलन अवकलनीय नहीं है,इसलिए यह विफल है। विकल्प $D$ की जाँच: $f(x) = x + \frac{1}{x}$ अंतराल $[\frac{1}{3}, 3]$ में। $f(\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}$ और $f(3) = \frac{10}{3}$ है। अतः $f(\frac{1}{3}) = f(3)$ है। चूँकि यह फलन दिए गए अंतराल में सतत और अवकलनीय है,इसलिए यह रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है?

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मान लीजिए $f(x)$,$[0, 2]$ में एक अवकलनीय फलन है,$f(0) = 0$ और $f'(x) \le \frac{1}{2}$ सभी $x \in [0, 2]$ के लिए। तो:

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

यदि $f(x)$,अंतराल $[2, 5]$ में अवकलनीय है जहाँ $f(2) = 1/5$ और $f(5) = 1/2$ है,तो $2 < c < 5$ के लिए एक ऐसी संख्या $c$ का अस्तित्व है कि $f'(c) = \dots$

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