Maxima and Minima Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે,$f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} - 75x^{25}(1-x)^{74}$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [ (1-x) - 3x ]$.
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, 1, 1/4$ મળે છે.
$x \in (0, 1/4)$ માટે,$f'(x) > 0$ (વિધેય વધતું વિધેય છે).
$x \in (1/4, 1)$ માટે,$f'(x) < 0$ (વિધેય ઘટતું વિધેય છે).
જેથી,$x = 1/4$ આગળ વિકલિતની નિશાની ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી વિધેય $x = 1/4$ આગળ તેની મહત્તમ કિંમત ધારણ કરે છે.

(C) આપેલ છે,$f(x)=2 x^{3}-9 a x^{2}+12 a^{2} x+1$. વિકલન કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ મેળવીએ: $f^{\prime}(x) = 6x^{2} - 18ax + 12a^{2} = 6(x-a)(x-2a) = 0$.
તેથી,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=a$ અને $x=2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલન $f^{\prime \prime}(x) = 12x - 18a$ છે.
$p$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય માટે,$f^{\prime \prime}(p) < 0 \Rightarrow 12p - 18a < 0 \Rightarrow p < \frac{3}{2}a$.
$q$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$f^{\prime \prime}(q) > 0 \Rightarrow 12q - 18a > 0 \Rightarrow q > \frac{3}{2}a$.
આ શરતો મુજબ,$p=a$ અને $q=2a$ મળે.
આપેલ છે કે $p^{2}=q$,તેથી $a^{2} = 2a$.
$a^{2} - 2a = 0 \Rightarrow a(a-2) = 0$.
આમ,$a=0$ અથવા $a=2$.
જો $a=0$ હોય,તો $f(x)=2x^{3}+1$ એ વધતું વિધેય છે અને તેને કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ બિંદુ નથી.
તેથી,$a=2$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ છે $f(x)=x^3-3(a-2)x^2+3ax+7$.
જેহেতু $f(x)$ એ $(0,1]$ માં વધતું અને $[1,5)$ માં ઘટતું વિધેય છે,તેથી $x=1$ આગળ $f(x)$ ને સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
તેથી,$f'(1)=0$.
$f'(x)=3x^2-6(a-2)x+3a$.
$x=1$ મૂકતા: $3(1)^2-6(a-2)(1)+3a=0$.
$3-6a+12+3a=0 \Rightarrow -3a+15=0 \Rightarrow a=5$.
હવે,$f(x)$ માં $a=5$ મૂકતા: $f(x)=x^3-3(5-2)x^2+3(5)x+7 = x^3-9x^2+15x+7$.
આપણે $\frac{f(x)-14}{(x-1)^2}=0$ ઉકેલવાનું છે.
$f(x)-14 = x^3-9x^2+15x+7-14 = x^3-9x^2+15x-7$.
બહુપદીના ભાગાકાર દ્વારા,$x^3-9x^2+15x-7 = (x-1)^2(x-7)$.
તેથી,$\frac{(x-1)^2(x-7)}{(x-1)^2} = 0 \Rightarrow x-7=0 \Rightarrow x=7$.

(A) આપેલ છે કે $x+y=60$,તેથી $x=60-y$.
ધારો કે $f(y) = x y^3 = (60-y) y^3 = 60 y^3 - y^4$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(y)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(y) = \frac{d}{dy}(60 y^3 - y^4) = 180 y^2 - 4 y^3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(y) = 0$ લેતા:
$4 y^2(45 - y) = 0$.
$y$ એ ધન સંખ્યા હોવાથી,$y=45$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ:
$f''(y) = 360 y - 12 y^2$.
$y=45$ આગળ,$f''(45) = 360(45) - 12(45)^2 = 45(360 - 540) = 45(-180) < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $y=45$ આગળ મહત્તમ છે.
તેથી $x = 60 - 45 = 15$.
આમ,સંખ્યાઓ $x=15$ અને $y=45$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$.
આ પદને $y = \frac{(x^{2}+x+1) - 2x}{x^{2}+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^{2}+x+1}$ તરીકે લખી શકાય.
$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\frac{2x}{x^{2}+x+1}$ પદને મહત્તમ બનાવવું પડશે.
ધારો કે $f(x) = \frac{x}{x^{2}+x+1}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને $0$ લેતા:
$f'(x) = \frac{(x^{2}+x+1)(1) - x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{x^{2}+x+1-2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}} = \frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા $1-x^{2} = 0$ મળે,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x = 1$ માટે,$f(1) = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ માટે,$f(-1) = \frac{-1}{1-1+1} = -1$.
આપણે $y = 1 - 2f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માંગીએ છીએ,તેથી આપણે $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1/3$ પસંદ કરીશું.
આમ,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1 - 2(1/3) = 1 - 2/3 = 1/3$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y=a \log x+b x^2+x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d y}{d x}=\frac{a}{x}+2 b x+1$.
વિધેયના અંતિમ મૂલ્યો $x=-1$ અને $x=2$ આગળ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{a}{-1}+2 b(-1)+1=0 \Rightarrow -a-2 b+1=0 \Rightarrow a+2 b=1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{a}{2}+2 b(2)+1=0 \Rightarrow \frac{a}{2}+4 b+1=0 \Rightarrow a+8 b=-2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા: $(a+8 b)-(a+2 b)=-2-1 \Rightarrow 6 b=-3 \Rightarrow b=-\frac{1}{2}$.
$b=-\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $a+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow a-1=1 \Rightarrow a=2$.
તેથી,$a+b=2+(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{(1+x+x^2)(-1+2x) - (1-x+x^2)(1+2x)}{(1+x+x^2)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(1+x+x^2)(-1+2x) = 2x^3+x^2+x-1$.
$(1-x+x^2)(1+2x) = 2x^3-x^2+x+1$.
બાદબાકી કરતા: $(2x^3+x^2+x-1) - (2x^3-x^2+x+1) = 2x^2-2$.
આમ,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા $2x^2-2 = 0$,તેથી $x^2 = 1$,એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$f(-1) = \frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{3}{1} = 3$.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
વિકલન $f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ છે.
વિધેય $x = 1$ આગળ વર્તણૂક બદલે છે,તેથી $f'(1) = 0$.
$3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 0$
$3 - 6a + 12 + 3a = 0$
$-3a + 15 = 0 \Rightarrow a = 5$.
$a = 5$ મૂકતા,$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$.
હવે,$\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ ઉકેલતા,$x \neq 1$.
$f(x) - 14 = 0 \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
અવયવ પાડતા $(x - 1)^2(x - 7) = 0$.
બીજ $x = 1$ અને $x = 7$ મળે છે.
$x \neq 1$ હોવાથી,બીજ $x = 7$ છે.

(D) ધારો કે $f(\theta) = a \sec \theta - b \tan \theta$.
તેથી $f'(\theta) = a \sec \theta \tan \theta - b \sec^2 \theta = \sec \theta (a \tan \theta - b \sec \theta)$.
$f'(\theta) = 0$ લેતા,$a \tan \theta - b \sec \theta = 0$ મળે (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે $\sec \theta \neq 0$).
આથી $a \sin \theta = b$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{b}{a}$.
$\sin \theta = \frac{b}{a}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$ મળે.
તેથી $\sec \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}}$ અને $\tan \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}}$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(\theta) > 0$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{b}{a}$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(\theta) = a \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) - b \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 - b^2}} = \sqrt{a^2 - b^2}$.

(B) $f(x) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$f''(x) = 6x$
$f''(3) = 18 > 0$,તેથી $x_0 = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 3$ આગળ:
$\bar{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\bar{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1)$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = -6 - 6 - 3 = -15$

(B) વિધેય $f(x)$ એ સદિશો $\overline{a}, \overline{b}, \text{ અને } \overline{c}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી મુજબ,$f''(x) = 6x$:
$x = 3$ આગળ,$f''(3) = 18 > 0$,તેથી $x_0 = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 3$ આગળ,$\overline{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\overline{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ થાય.
અદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b}$ શોધતા:
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1) = -6 - 6 - 3 = -15$.

(D) અંતરાલ $[0, \pi]$ પર $f(x) = \sin x + \cos x$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન શૂન્ય કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.
$f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\cos x = \sin x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$.
$x \in [0, \pi]$ માટે,ઉકેલ $x = \pi/4$ છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $x = 0$ પર: $f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$2$. $x = \pi/4$ પર: $f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
$3$. $x = \pi$ પર: $f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(B) અંતરાલ $[0, 1]$ પર વિધેય $f(x) = [x(x-1) + 1]^{\frac{1}{3}}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
ધારો કે $g(x) = x(x-1) + 1 = x^2 - x + 1$.
તેથી $f(x) = [g(x)]^{\frac{1}{3}}$.
$f'(x) = \frac{1}{3} [g(x)]^{-\frac{2}{3}} \cdot g'(x) = \frac{1}{3} [x^2 - x + 1]^{-\frac{2}{3}} (2x - 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2x - 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2}$.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(0) = [0(0-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(1) = [1(1-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4} + 1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.
કિંમતો $1$,$1$,અને $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $1$ છે.

(A) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ મેળવીએ છીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $1 = \frac{1}{x^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
આપણે દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 2 > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = -1$ માટે,$f''(-1) = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$ છે.

(A) ધારો કે વક્ર $x^2 = 2y$ પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. તેથી $y = \frac{x^2}{2}$.
બિંદુ $(x, y)$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $D$ માટે $D^2 = (x - 0)^2 + (y - 5)^2$ થાય.
$y = \frac{x^2}{2}$ મૂકતા,$f(x) = D^2 = x^2 + (\frac{x^2}{2} - 5)^2$ મળે.
$f(x) = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$f'(x) = x^3 - 8x = 0$.
$x(x^2 - 8) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x^2 = 8$ (એટલે કે $x = \pm 2\sqrt{2}$).
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 0$. અંતરનો વર્ગ $(0-0)^2 + (0-5)^2 = 25$ થાય.
જો $x^2 = 8$ હોય,તો $y = \frac{8}{2} = 4$. અંતરનો વર્ગ $8 + (4-5)^2 = 8 + 1 = 9$ થાય.
$9 < 25$ હોવાથી,બિંદુઓ $(\pm 2\sqrt{2}, 4)$ સૌથી નજીકના બિંદુઓ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(2\sqrt{2}, 4)$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ બે ધન સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો અચળ છે,$x + y = a$.
ધારો કે $z = x^3 + y^3$.
$y = a - x$ મૂકતા,આપણને $z = x^3 + (a - x)^3$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dz}{dx} = 3x^2 - 3(a - x)^2 = 3(x^2 - (a^2 - 2ax + x^2)) = 3(2ax - a^2) = 3a(2x - a)$.
$\frac{dz}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $2x - a = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = \frac{a}{2}$.
$y = a - x$ હોવાથી,$y = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2z}{dx^2} = 6a$. $a > 0$ હોવાથી,$\frac{d^2z}{dx^2} > 0$,જે $x = \frac{a}{2}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$x = y$,એટલે કે બંને સંખ્યાઓ સમાન છે.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ રેડિયનમાં સેક્ટરનો ખૂણો છે. પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = k$ (અચળ).
તેથી,$r = \frac{k}{2+\theta}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^{2}\theta$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{2+\theta} \right)^{2} \theta = \frac{k^{2}}{2} \frac{\theta}{(2+\theta)^{2}}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^{2}}{2} \left[ \frac{(2+\theta)^{2}(1) - \theta(2)(2+\theta)}{(2+\theta)^{4}} \right] = \frac{k^{2}}{2} \frac{2-\theta}{(2+\theta)^{3}}$.
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ લેતા,$2-\theta = 0$,તેથી $\theta = 2^{c}$.
દ્વિતીય વિકલન $\theta = 2$ પર ઋણ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે વૃતાંશની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $s$ છે. વૃતાંશની પરિમિતિ $P = 2r + s = 20 \text{ cm}$ છે.
તેથી,$s = 20 - 2r$.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} s r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$s$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2} (20 - 2r) r = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r = 0 \Rightarrow r = 5 \text{ cm}$.
$r = 5$ ની કિંમત ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \text{ cm}^2$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $s = 22t - 11t^{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે, આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ શોધીએ છીએ.
$\frac{ds}{dt} = 22 - 22t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ શૂન્ય હોય છે, તેથી $22 - 22t = 0$, જે $t = 1 \text{ સેકન્ડ}$ આપે છે.
$t = 1$ ને સ્થાનાંતર સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = 22(1) - 11(1)^{2} = 22 - 11 = 11 \text{ એકમ}$.
દડો $s=0$ થી શરૂ થાય છે અને $11 \text{ એકમ}$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે, તેથી દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $11 \text{ એકમ}$ છે.

(C) આપેલ છે કે ટાવરની ટોચથી સ્થાનાંતર $s=48t-16t^{2}$ છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 48-32t$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v=0$ થાય છે.
$48-32t=0 \Rightarrow t = \frac{48}{32} = 1.5 \ s$.
ટાવરની ટોચથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $s = 48(1.5) - 16(1.5)^{2} = 72 - 36 = 36 \ m$ છે.
જમીનથી કુલ ઊંચાઈ એ ટાવરની ઊંચાઈ વત્તા મહત્તમ સ્થાનાંતર છે: $H = 64 + 36 = 100 \ m$.

(B) આપેલ ઊંચાઈ વિધેય: $x = 80t - 16t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો સમય શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dt} = 80 - 32t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પથ્થરનો વેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = 0$.
વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $80 - 32t = 0$.
$32t = 80$.
$t = \frac{80}{32} = 2.5 \text{ s}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ છે. \\ પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત શોધો: $f'(x)=3x^2-12x+12$. \\ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $f'(x)=0$ લો: $3(x^2-4x+4)=0 \Rightarrow 3(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$. \\ હવે,દ્વિતીય વિકલિત શોધો: $f''(x)=6x-12$. \\ $x=2$ આગળ દ્વિતીય વિકલિતની કિંમત શોધો: $f''(2)=6(2)-12=0$. \\ કારણ કે $f''(2)=0$ છે,આપણે તૃતીય વિકલિત તપાસીએ: $f'''(x)=6$. \\ કારણ કે $f'''(2)=6 \neq 0$,તેથી $x=2$ આગળ વક્રતા બદલાય છે. \\ તેથી,$x=2$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflexion) છે.

(B) $\because$ શંકુની ત્રાંસી ઊંચાઈ $L = 6$ એકમ છે.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$L^2 = r^2 + h^2$ હોવાથી,$r^2 = L^2 - h^2 = 36 - h^2$.
આ કિંમત ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (36 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (36h - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (36 - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,$36 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}$ એકમ.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2 V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (-6h) = -2 \pi h$.
$h = 2 \sqrt{3}$ આગળ,$\frac{d^2 V}{dh^2} = -4 \sqrt{3} \pi < 0$,તેથી ઘનફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi (36 - (2 \sqrt{3})^2) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (36 - 12) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (24) (2 \sqrt{3}) = 16 \sqrt{3} \pi$ ઘન એકમ.

(C) ધારો કે જેટનું સ્થાન $P(x, y)$ છે અને સૈનિક $A(3, 2)$ પર છે.
અંતર $AP = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેટ $y = x^2 + 2$ વક્ર પર હોવાથી,$y - 2 = x^2$ થાય.
આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા,ધારો કે $z = (AP)^2 = (x - 3)^2 + (x^2)^2 = (x - 3)^2 + x^4$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $z$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dz}{dx} = 2(x - 3) + 4x^3$.
$\frac{dz}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $4x^3 + 2x - 6 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^3 + x - 3 = 0$ થાય છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $2(1)^3 + 1 - 3 = 0$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2z}{dx^2} = 12x^2 + 2$. $x = 1$ પર,$\frac{d^2z}{dx^2} = 14 > 0$,તેથી $x = 1$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
$x = 1$ માટે,$y = (1)^2 + 2 = 3$.
ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ એકમ છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = -x^{3} + 3x^{2} + 2x - 27$ છે.
વક્રનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = -3x^{2} + 6x + 2$.
ધારો કે ઢાળ $m = -3x^{2} + 6x + 2$ છે.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $m$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dm}{dx} = -6x + 6$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dm}{dx} = 0$ લેતા:
$-6x + 6 = 0 \implies x = 1$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા:
$\frac{d^{2}m}{dx^{2}} = -6 < 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલન ઋણ છે,તેથી $x = 1$ આગળ ઢાળ મહત્તમ છે.
$m$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$m_{\text{max}} = -3(1)^{2} + 6(1) + 2 = -3 + 6 + 2 = 5$.

(D) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $a$ અને પહોળાઈ $b$ છે. લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $d = 2r = 2(2) = 4$.
વિકર્ણ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$a^2 + b^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = a \cdot b$ છે.
કારણ કે $b = \sqrt{16 - a^2}$,તેથી $A = a \sqrt{16 - a^2}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = f(a) = a^2(16 - a^2) = 16a^2 - a^4$ ને મહત્તમ કરીએ.
$a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(a) = 32a - 4a^3$.
$f'(a) = 0$ લેતા,આપણને $4a(8 - a^2) = 0$ મળે છે. $a > 0$ હોવાથી,$a^2 = 8$,તેથી $a = 2\sqrt{2}$.
ત્યારબાદ $b = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(B) ધારો કે $y = x e^{-x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (-e^{-x}) + e^{-x} \cdot (1) = e^{-x}(1 - x)$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,આપણે $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-x}(-1) + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + x e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ આગળ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-1}(1 - 2) = -\frac{1}{e} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન $x = 1$ આગળ ઋણ હોવાથી,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $y(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$ છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે જે $r = 2 \text{ unit}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,તેથી $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \text{ unit}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = x^2 y^2$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$y^2 = 16 - x^2$ હોવાથી,$A^2 = x^2(16 - x^2) = 16x^2 - x^4$ મળે.
ધારો કે $f(x) = 16x^2 - x^4$. મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$f'(x) = 32x - 4x^3 = 0$ લો.
$4x(8 - x^2) = 0$,જે $x^2 = 8$ આપે છે (કારણ કે $x > 0$).
તેથી $y^2 = 16 - 8 = 8$,એટલે કે $x = y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આ લંબચોરસ એક ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $2\sqrt{2}$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = x \times y = \sqrt{8} \times \sqrt{8} = 8 \text{ sq unit}$ થાય.

(C) ધારો કે $y = \frac{\log x}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
મહત્તમ કિંમત માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
અહીં $e \approx 2.718$ હોવાથી,$x = e$ એ અંતરાલ $(2, \infty)$ માં આવે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2x \log x - 3x}{x^4}$.
$x = e$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2e(1) - 3e}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = e$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી મહત્તમ કિંમત $y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ થાય.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\log _{e} x}{x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x) - \log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log _{e} x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \log _{e} x}{x^{2}}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - \log _{e} x = 0 \Rightarrow \log _{e} x = 1 \Rightarrow x = e$.
હવે,મહત્તમ કિંમતની પુષ્ટિ કરવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ તપાસીએ:
$f''(x) = \frac{x^{2}(-\frac{1}{x}) - (1 - \log _{e} x)(2x)}{x^{4}} = \frac{-x - 2x(1 - \log _{e} x)}{x^{4}}$.
$x = e$ આગળ,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^{4}} = \frac{-e}{e^{4}} = -\frac{1}{e^{3}} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log _{e} e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(C) આપેલ છે $x+y=20$. આપણે $f(x, y) = x^3 y$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
$\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, y$ પદો માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + y}{4} \geq \sqrt[4]{\left(\frac{x}{3}\right)^3 y}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$\frac{20}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}} \Rightarrow 5 \geq \sqrt[4]{\frac{x^3 y}{27}}$
$5^4 \geq \frac{x^3 y}{27} \Rightarrow x^3 y \leq 27 \times 625 = 16875$.
તેથી,$k = 16875$.
મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\frac{x}{3} = y$ હોય.
$x+y=20$ હોવાથી,$3y+y=20$ $\Rightarrow 4y=20$ $\Rightarrow y=5=\beta$ અને $x=15=\alpha$.
હવે,$\frac{k}{\alpha^2 \beta^2} = \frac{27 \times 625}{15^2 \times 5^2} = 3$.
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{15}{5} = 3$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{\alpha}{\beta}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $a^2 x^4 + b^2 y^4 = c^6$ છે.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^2 x^4 + b^2 y^4}{2} \geq \sqrt{(a^2 x^4)(b^2 y^4)}$
કિંમત મૂકતા:
$\frac{c^6}{2} \geq ab x^2 y^2$
$x^2 y^2 \leq \frac{c^6}{2ab}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$xy \leq \frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$
તેથી,$xy$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{c^3}{\sqrt{2ab}}$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sin (x)$ છે.
આપેલ અંતરાલ $[-\pi / 2, \pi / 2]$ માં,સાઈન વિધેય સતત વધતું વિધેય છે.
નિમ્ન સીમા પરનું મૂલ્ય $f(-\pi / 2) = \sin(-\pi / 2) = -1$ છે.
ઉચ્ચ સીમા પરનું મૂલ્ય $f(\pi / 2) = \sin(\pi / 2) = 1$ છે.
તેથી,અંતરાલ $[-\pi / 2, \pi / 2]$ માં વિધેયનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓની લંબાઈ $x \ cm$ અને $y \ cm$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $p = 2(x + y)$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $y = \frac{p}{2} - x$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x y$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = x(\frac{p}{2} - x) = \frac{px}{2} - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dA}{dx} = \frac{p}{2} - 2x = 0$.
આનાથી $x = \frac{p}{4} \ cm$ મળે છે.
પરિણામે,$y = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{p}{4} \ cm$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{p}{4} \times \frac{p}{4} = \frac{p^2}{16} \ cm^2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x - x$.
$f(A)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = \cos x - 1$ ચકાસીએ.
$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ માટે $\cos x < 1$ હોવાથી,$f'(x) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{\pi}{3}$ પર અને મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}$.
આમ,$f(A) = [\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}]$.

(B) આપેલ છે કે $A=\{x : 9x \geq x^2+20\}$.
અસમતા $x^2-9x+20 \leq 0$ ને ઉકેલતા,આપણને $(x-4)(x-5) \leq 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in [4, 5]$.
આમ,$A=[4, 5]$.
આપેલ છે કે $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$.
વિકલન કરતા,$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-3)(x-2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x)=0$ લેતા,$x=2$ અને $x=3$ મળે છે.
બંને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x=2$ અને $x=3$ એ અંતરાલ $A=[4, 5]$ ની બહાર છે,તેથી વિધેય $f(x)$ આ અંતરાલમાં એકવિધ છે.
અંતરાલ $[4, 5]$ માટે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસતા: $f'(4)=6(4-3)(4-2)=12 > 0$.
કારણ કે $x \in [4, 5]$ માટે $f'(x) > 0$ છે,તેથી $f(x)$ એ $[4, 5]$ પર વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x=5$ પર મળશે.
$f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 2(125)-15(25)+180-48 = 250-375+180-48 = 7$.

(C) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આપેલ છે કે અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = 12$ છે,તેથી $b = 12 - a$.
રેખા દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}ab$ છે.
$b = 12 - a$ મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2}a(12 - a) = 6a - \frac{1}{2}a^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{da} = 6 - a = 0 \Rightarrow a = 6$.
કારણ કે $a = 6$,તેથી $b = 12 - 6 = 6$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 6$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=2x^3-15x^2+36x+c$ છે.
સ્થિર બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $\frac{dy}{dx} = 0$ હોય.
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x=2$ અને $x=3$ મળે છે.
$(2, a)$ વક્ર પરનું બિંદુ હોવાથી,$a = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + c = 16 - 60 + 72 + c = 28 + c$.
$(b, 19)$ વક્ર પરનું બિંદુ હોવાથી,$b$ એ બીજો $x$-યામ હોવો જોઈએ,તેથી $b=3$.
$x=3$ અને $y=19$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $19 = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + c$.
$19 = 54 - 135 + 108 + c \Rightarrow 19 = 27 + c \Rightarrow c = -8$.
હવે,$a = 28 + (-8) = 20$.
તેથી,$a+b+c = 20 + 3 - 8 = 15$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \tan^{-1}(\sin \sqrt{x})$ છે.
જ્યાં સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તેવા બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sin \sqrt{x})^2} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,$\cos \sqrt{x} = 0$ મળે (કારણ કે વિકલન વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x > 0$ હોવું જોઈએ).
આમ,$\sqrt{x} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ છે કે $0 \leq x \leq 8\pi^2$,તેથી $0 \leq \sqrt{x} \leq 2\sqrt{2}\pi \approx 8.88$.
$\sqrt{x}$ માટે શક્ય કિંમતો $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$ છે.
આ બિંદુઓ પર,$\sin \sqrt{x} = \sin((2n+1)\frac{\pi}{2}) = \pm 1$.
તેથી,$y = \tan^{-1}(\pm 1) = \pm \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $s = x^2 + y^2$.
આપેલ છે કે $x + y = 32$,તેથી આપણે $y = 32 - x$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $s$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = x^2 + (32 - x)^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{ds}{dx} = 2x + 2(32 - x)(-1) = 2x - 64 + 2x = 4x - 64$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{ds}{dx} = 0$ લેતા:
$4x - 64 = 0 \implies x = 16$.
તેથી $y = 32 - 16 = 16$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2s}{dx^2} = 4 > 0$,જે દર્શાવે છે કે $x = 16$ આગળ $s$ ની કિંમત ન્યૂનતમ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $s = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$ થાય.

(B) આપેલ છે: $f(x) = e^x \sin x$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m(x) = f'(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$.
ધારો કે $g(x) = f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $g'(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$g'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$.
$g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2 e^x \cos x = 0$ મળે છે.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $e^x \neq 0$,તેથી $\cos x = 0$.
અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં,$x = \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = \frac{3 \pi}{2}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $g''(x) = 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x)$ ચકાસીએ છીએ.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2 e^{\frac{\pi}{2}} (0 - 1) = -2 e^{\frac{\pi}{2}} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$x = \frac{3 \pi}{2}$ પર,$g''(\frac{3 \pi}{2}) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} (0 - (-1)) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$x = \frac{\pi}{2}$ પર ઢાળ મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$ અને તેની ઊંચાઈ $H$ છે. ધારો કે અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{H-h}{r} = \frac{H}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $h = H(1 - \frac{r}{R})$.
નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 2\pi rh = 2\pi r H(1 - \frac{r}{R}) = 2\pi H(r - \frac{r^2}{R})$ થાય.
$S$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dS}{dr} = 2\pi H(1 - \frac{2r}{R}) = 0$.
આનાથી $1 - \frac{2r}{R} = 0$ મળે છે,તેથી $r = \frac{R}{2}$.
અહીં $R = 10 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$r = \frac{10}{2} = 5 \ cm$ મળે.

(A) આપેલ વક્ર $y = 8x^2 - x^4 - 4$ છે.
સ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 16x - 4x^3$.
સ્થિર બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $\frac{dy}{dx} = 0$ હોય:
$16x - 4x^3 = 0$
$4x(4 - x^2) = 0$
આનાથી $x = 0$ અથવા $x^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 0, 2, -2$.
હવે,આપણે અનુરૂપ $y$-કિંમતો શોધીએ:
$x = 0$ માટે: $y = 8(0)^2 - (0)^4 - 4 = -4$.
$x = 2$ માટે: $y = 8(2)^2 - (2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$.
$x = -2$ માટે: $y = 8(-2)^2 - (-2)^4 - 4 = 8(4) - 16 - 4 = 32 - 20 = 12$.
આમ,સ્થિર બિંદુઓ $(0, -4), (2, 12), (-2, 12)$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ છે.
સ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 2) = 3x^2 + 6x$.
સ્થિર બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં પ્રથમ વિકલન શૂન્ય હોય:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 + 6x = 0$.
પદાવલિના અવયવ પાડતા આપણને મળે છે:
$3x(x + 2) = 0$.
આથી $x = 0$ અને $x = -2$ મળે છે.
તેથી,સ્થિર બિંદુઓ આગળ $x$ ની કિંમતો $0$ અને $-2$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર વિધેય $S(t) = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ છે.
મહત્તમ સ્થાનાંતર શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v(t)$ શોધીએ:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 32t + 64$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $v(t) = 0$ લેતા:
$3t^2 - 32t + 64 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(3)(64)}}{2(3)} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 768}}{6} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{32 \pm 16}{6}$.
આનાથી બે કિંમતો મળે છે: $t_1 = \frac{48}{6} = 8$ અને $t_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ:
$a(t) = \frac{d^2S}{dt^2} = 6t - 32$.
$t = 8$ માટે: $a(8) = 6(8) - 32 = 48 - 32 = 16 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$t = \frac{8}{3}$ માટે: $a(\frac{8}{3}) = 6(\frac{8}{3}) - 32 = 16 - 32 = -16 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,$t = \frac{8}{3}$ સમયે સ્થાનાંતર મહત્તમ છે.

(C) ધારો કે $u = \sin x$. કારણ કે $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,તેથી $u \in (0, 1)$.
વિધેય $g(u) = \frac{4}{u} + \frac{1}{1-u}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
અંતિમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$g(u)$ નું $u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$g'(u) = -\frac{4}{u^2} + \frac{1}{(1-u)^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $g'(u) = 0$ લો:
$\frac{1}{(1-u)^2} = \frac{4}{u^2} \implies u^2 = 4(1-u)^2 \implies u^2 = 4(1 - 2u + u^2)$.
$u^2 = 4 - 8u + 4u^2 \implies 3u^2 - 8u + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3u - 2)(u - 2) = 0$.
$u \in (0, 1)$ હોવાથી,$u = \frac{2}{3}$ મળે.
આમ,$\sin k = \frac{2}{3}$.
તેથી $\cos^2 k = 1 - \sin^2 k = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$,એટલે કે $\cos k = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
મૂલ્ય $m = f(k) = g(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$.
આપણે $m=9$ ના પદમાં $\cos k$ શોધવાનું છે.
$\cos k = \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{m}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે,અને કર્ણ $h = 5$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}xy$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = \frac{1}{4}x^2y^2$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
ધારો કે $x^2 = 25 \cos^2 \theta$ અને $y^2 = 25 \sin^2 \theta$,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$.
તેથી $A = \frac{1}{2} (5 \cos \theta)(5 \sin \theta) = \frac{25}{4} \sin(2\theta)$.
ક્ષેત્રફળ $A$ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $\sin(2\theta) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \pi/2$,તેથી $\theta = \pi/4$.
આમ,$x = 5 \cos(\pi/4) = \frac{5}{\sqrt{2}}$ અને $y = 5 \sin(\pi/4) = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
આ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પરિમિતિ $P = x + y + h = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} + 5 = \frac{10}{\sqrt{2}} + 5 = 5\sqrt{2} + 5 = 5(\sqrt{2} + 1)$.

(A) આપેલ છે $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
તેથી $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
આપેલ છે કે $x = 0$ એ $P'(x) = 0$ નું એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ છે.
$P'(x)$ એ ત્રિઘાત બહુપદી હોવાથી,તેને ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ હોવું જોઈએ.
જો $x = 0$ એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ હોય,તો $P'(x)$ એ $k x^3$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$4x^3 = k x^3 \implies k = 4$,અને $3a = 0, 2b = 0, c = 0$.
આમ,$a = 0, b = 0, c = 0$.
તેથી,$P(x) = x^4 + d$.
$P'(x) = 4x^3$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$P'(x) < 0$,તેથી $P(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$x \in (0, 1]$ માટે,$P'(x) > 0$,તેથી $P(x)$ વધતું વિધેય છે.
આમ,$P(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = 0$ પર મળે છે.
અંતરાલ $[-1, 1]$ માં,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $P(0) = d$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય અંતિમ બિંદુઓ $x = -1$ અથવા $x = 1$ પર મળે છે.
$P(-1) < P(1)$ શરત મુજબ,$P(-1)$ ન્યૂનતમ નથી અને $P(1)$ મહત્તમ છે.

(A) વિધેય $f(x) = x e^{-x}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે, આપણે પહેલા $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શોધીએ છીએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે, $f'(x) = 0$ લો.
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
કોઈપણ $x$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી, આપણને $1 - x = 0$ મળે છે, જે $x = 1$ આપે છે.
આ મહત્તમ છે તેની પુષ્ટિ કરવા માટે, આપણે દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 1 - 1) = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ આગળ, $f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
$x = 1$ આગળ દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી, વિધેય $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
આમ, $k = 1$.