Maxima and Minima Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=a \log |x|+b x^2+x$.
વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયને $x=-1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,$f^{\prime}(-1)=0$ અને $f^{\prime}(2)=0$ થાય.
$x=-1$ માટે: $f^{\prime}(-1) = \frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ $(i)$.
$x=2$ માટે: $f^{\prime}(2) = \frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (ii).
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = \left(2, -\frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$ મળે છે,જેના અવયવો $6(x - a)(x - 2a) = 0$ થાય છે.
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ માટે,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$. $a > 0$ હોવાથી,$f''(a) < 0$,તેથી $f(x)$ ને $p = a$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$x = 2a$ માટે,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$. $a > 0$ હોવાથી,$f''(2a) > 0$,તેથી $f(x)$ ને $q = 2a$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
શરત $p^2 = q$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા: $a^2 = 2a$.
$a > 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા આપણને $a = 2$ મળે છે.

(C) અંતરાલ $[-2, 2]$ પર વિધેય $f(x) = x^2 e^{2x}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,વિકલન $f'(x) = 0$ લઈને આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.
$f'(x) = 2x e^{2x} + x^2 (2 e^{2x}) = 2x e^{2x} (1 + x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલ $[-2, 2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$f(-2) = (-2)^2 e^{2(-2)} = 4 e^{-4}$.
$f(-1) = (-1)^2 e^{2(-1)} = 1 e^{-2} = e^{-2}$.
$f(0) = (0)^2 e^{2(0)} = 0$.
$f(2) = (2)^2 e^{2(2)} = 4 e^4$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વૈશ્વિક મહત્તમ $p = 4 e^4$ અને વૈશ્વિક ન્યૂનતમ $q = 0$ મળે છે.
અંતે,આપણે $p e^{-4} + q e^4 = (4 e^4) e^{-4} + (0) e^4 = 4 e^0 + 0 = 4(1) = 4$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

(A) ધારો કે $R = 3$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
અંતર્ગત નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ $r^2 + (h/2)^2 = R^2$ છે.
$R = 3$ મૂકતા,આપણને $r^2 + h^2/4 = 9$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 9 - h^2/4$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \pi (9 - h^2/4) h = \pi (9h - h^3/4)$ મળે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - 3h^2/4)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $9 - 3h^2/4 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3h^2/4 = 9$,તેથી $h^2 = 12$ અને $h = 2\sqrt{3}$ (કારણ કે ઊંચાઈ ધન હોવી જોઈએ).
ત્યારબાદ $r^2 = 9 - (12/4) = 9 - 3 = 6$.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi (6) (2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\pi$ ઘન એકમ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ છે.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$6(x^2 - x - 2) = 0$ મળે,જેના અવયવો $6(x + 1)(x - 2) = 0$ થાય છે.
આમ,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 2$ છે,જે બંને અંતરાલ $[-2, 4]$ માં આવેલા છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 5 = -16 - 12 + 24 + 5 = 1$.
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$.
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$.
$f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 5 = 128 - 48 - 48 + 5 = 37$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $37$ છે,જે $x = 4$ પર મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $v$ એ પાણીની સાપેક્ષ મોટર બોટની ઝડપ છે,જ્યાં $v > C$. પાણીના પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં જતી વખતે જમીનની સાપેક્ષ બોટની ઝડપ $(v - C)$ થશે.
જો કાપવાનું અંતર $S$ હોય,તો લાગતો સમય $t = \frac{S}{v - C}$ થાય.
દર કલાકે પેટ્રોલનો વપરાશ પાણીની સાપેક્ષ વેગના ઘન સાથે પ્રમાણસર છે,એટલે કે $k v^3$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કુલ વપરાયેલ પેટ્રોલ $f(v)$ નીચે મુજબ છે:
$f(v) = (k v^3) \times \left( \frac{S}{v - C} \right) = k S \frac{v^3}{v - C}$.
ન્યૂનતમ વપરાશ શોધવા માટે,આપણે $f(v)$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$f'(v) = k S \left[ \frac{(v - C)(3v^2) - v^3(1)}{(v - C)^2} \right] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $3v^2(v - C) - v^3 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3v^3 - 3v^2C - v^3 = 0$ થાય.
$2v^3 - 3v^2C = 0$.
$v \neq 0$ હોવાથી,આપણને $2v - 3C = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $v = \frac{3C}{2}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 4$ છે.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6$
વિકલનનું અવયવીકરણ કરતા:
$f'(x) = 6(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 6[x^2(2x - 1) - 1(2x - 1)] = 6(x^2 - 1)(2x - 1) = 6(x - 1)(x + 1)(2x - 1)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$6(x - 1)(x + 1)(2x - 1) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1, x = -1, x = 1/2$ છે.
આપણે અંતરાલ $(0, 2)$ ધ્યાનમાં લેતા હોવાથી,આપણે ફક્ત $x = 1$ અને $x = 1/2$ ને ધ્યાનમાં લઈશું (કારણ કે $-1$ અંતરાલની બહાર છે).
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) + 4 = 3 - 2 - 6 + 6 + 4 = 5$.
$f(1/2) = 3(1/16) - 2(1/8) - 6(1/4) + 6(1/2) + 4 = 3/16 - 4/16 - 24/16 + 48/16 + 64/16 = 87/16$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $87/16$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $87/16 + 5 = (87 + 80) / 16 = 167/16$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$s = t^5 - 40t^3 + 30t^2 + 80t - 250$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 5t^4 - 120t^2 + 60t + 80$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 20t^3 - 240t + 60$.
ધારો કે $f(t) = 20t^3 - 240t + 60$.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે $f'(t) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$f'(t) = 60t^2 - 240 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = \pm 2$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(t) = 120t$ તપાસો.
$t = 2$ પર,$f''(2) = 120(2) = 240 > 0$,તેથી $f(t)$ ને $t = 2$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ $a_{\min} = f(2) = 20(2)^3 - 240(2) + 60 = 160 - 480 + 60 = -260$.

(C) વિધેય $f(x) = 2x^6 - 3$ ના સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^6 - 3) = 12x^5$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$12x^5 = 0 \implies x = 0$.
હવે,$x = 0$ બિંદુના સ્વભાવને ચકાસવા માટે પ્રથમ વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ.
પ્રથમ વિકલન કસોટી મુજબ:
$x < 0$ માટે,$f'(x) = 12x^5 < 0$ (વિધેય ઘટે છે).
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 12x^5 > 0$ (વિધેય વધે છે).
કારણ કે $x = 0$ આગળ વિકલનનું ચિહ્ન ઋણથી ધન થાય છે,તેથી વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 2(0)^6 - 3 = -3$ છે.
આમ,$-3$ એ $f$ ની સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.

(C) $[0, 1]$ પર $f(x) = (x+1)^{1/3} - (x-1)^{1/3}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{1}{3}(x+1)^{-2/3} - \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{(x+1)^{2/3}} - \frac{1}{(x-1)^{2/3}} \right]$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $(x-1)^{2/3} = (x+1)^{2/3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|x-1| = |x+1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-1)^2 = (x+1)^2$,તેથી $x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$,જે $4x = 0$ આપે છે,એટલે કે $x = 0$.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ $x=0$ અને અંતિમ બિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ.
$x=0$ માટે,$f(0) = (0+1)^{1/3} - (0-1)^{1/3} = 1 - (-1) = 2$.
$x=1$ માટે,$f(1) = (1+1)^{1/3} - (1-1)^{1/3} = 2^{1/3} - 0 = 2^{1/3}$.
$f(0) = 2$ અને $f(1) = 2^{1/3} \approx 1.26$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $2$ છે.

(A) $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,અને $(x_2, y_2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(x, \cos x)$,અને $(\sin^3 x, 0)$ છે.
તેથી,$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે $A(x) = \frac{1}{2} |x(0) - (\sin^3 x)(\cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$ થાય.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x)] = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.
$A'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x$ મળે છે.
કારણ કે $\sin x \neq 0$,તેથી $3 \cos^2 x = \sin^2 x$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x = 3$,તેથી $\tan x = \sqrt{3}$ ($x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી).
આમ,$x = \frac{\pi}{3}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ પર,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos x = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતોને $A(x)$ માં મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{8}) (\frac{1}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{32}$.

(C) આપેલ છે કે નળાકાર પાત્રનું ઘનફળ $V$ છે અને તેના ઉપરના ભાગે ઢાંકણ નથી.
ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ નળાકારની ઊંચાઈ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
વપરાતી ધાતુની શીટનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S$ (તળિયું સહિત પણ ઢાંકણ વગર) નીચે મુજબ છે:
$S = 2\pi rh + \pi r^2$
$S$ ના સમીકરણમાં $h = \frac{V}{\pi r^2}$ મૂકતા:
$S(r) = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 = \frac{2V}{r} + \pi r^2$
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે,આપણે $S(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$S'(r) = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r = 0$
$2\pi r = \frac{2V}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{V}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
હવે,$h$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (V/\pi)^{2/3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{V}\right)^{2/3} = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
આમ,ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટે ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈ $r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ અને $h = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ છે.

(B) ધારો કે $R(x)$ એ આવક વિધેય છે અને $C(x)$ એ ખર્ચ વિધેય છે.
આવક $R(x) = x \times \left(5 - \frac{x}{100}\right) = 5x - \frac{x^2}{100}$.
નફાનું વિધેય $P(x) = R(x) - C(x) = \left(5x - \frac{x^2}{100}\right) - \left(\frac{x}{5} + 500\right)$.
$P(x) = 5x - \frac{x^2}{100} - \frac{x}{5} - 500 = 4.8x - \frac{x^2}{100} - 500$.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $P'(x)$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ છીએ.
$P'(x) = 4.8 - \frac{2x}{100} = 4.8 - \frac{x}{50}$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4.8 = \frac{x}{50}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 4.8 \times 50 = 240$.
ચકાસણી કરવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $P''(x) = -\frac{1}{50}$ તપાસીએ છીએ.
કારણ કે $P''(x) < 0$ છે,તેથી $x = 240$ પર નફો મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ છે.
અંતિમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 a x+b$.
અંતિમ કિંમતો માટે,આપણે $f^{\prime}(x)=0$ લઈએ:
$3 x^2+2 a x+b=0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{-2 a \pm \sqrt{(2 a)^2 - 4(3)(b)}}{2(3)} = \frac{-2 a \pm \sqrt{4 a^2 - 12 b}}{6} = \frac{-2 a \pm 2 \sqrt{a^2 - 3 b}}{6} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 3 b}}{3}$.
શરત $a^2 \leq 3 b$ આપેલ હોવાથી,પદ $a^2 - 3 b \leq 0$ થાય.
જો $a^2 - 3 b < 0$ હોય,તો બીજ કાલ્પનિક મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $f^{\prime}(x)$ શૂન્ય થતું નથી.
જો $a^2 = 3 b$ હોય,તો $f^{\prime}(x) = 3(x + \frac{a}{3})^2$,જે હંમેશા $\geq 0$ છે,તેથી વિધેય સતત વધતું વિધેય છે અને તેને કોઈ સ્થાનિક અંતિમ કિંમત નથી.
આમ,વિધેય કોઈ અંતિમ કિંમત ધરાવતું નથી.

(D) ધારો કે $y = \frac{\log x}{x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$,તેથી $x = e$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે
$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$f'(x) = 0$ લેતા
$(x^2+x+1)(2x-1) - (x^2-x+1)(2x+1) = 0$
$(2x^3 - x^2 + 2x^2 - x + 2x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1) = 0$
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
હવે,$f'(x) = \frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)^2}$
ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $f''(x) = \frac{(x^2+x+1)^2(4x) - (2x^2-2) \cdot 2(x^2+x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^4}$
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{(1+1+1)^2(4) - 0}{(1+1+1)^4} = \frac{9 \times 4}{81} = \frac{36}{81} > 0$
તેથી,વિધેય $x = 1$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે
$f(1) = \frac{1^2-1+1}{1^2+1+1} = \frac{1}{3}$
$\therefore$ ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = 490t - 4.9t^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે $\frac{ds}{dt} = 0$ લેતા:
$490 - 9.8t = 0$
$9.8t = 490$
$t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ સેકન્ડ}$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $s$ શોધવા માટે $t = 50$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = 490(50) - 4.9(50)^2$
$s = 24500 - 4.9(2500)$
$s = 24500 - 12250$
$s = 12250$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x e^{-x}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ છીએ:
$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
કોઈપણ $x \in R$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ મેળવીએ છીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - [e^{-x} - x e^{-x}] = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન $x = 1$ આગળ ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) આપેલ છે,$x+y=60$.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} + \frac{y}{3}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3}}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$x+y=60$ મુકતા:
$\frac{60}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$15 \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(15)^4 \geq \frac{x y^3}{27}$
$x y^3 \leq 27 \times (15)^4$
$x y^3 \leq 3^7 \times 5^4$
તેથી,$x y^3$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{(45)^4}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે $x + 2y = 10$,જ્યાં $x, y$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$(8, 1) \implies x^2 y^3 = 8^2 \times 1^3 = 64$
$(6, 2) \implies x^2 y^3 = 6^2 \times 2^3 = 36 \times 8 = 288$
$(4, 3) \implies x^2 y^3 = 4^2 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$
$(2, 4) \implies x^2 y^3 = 2^2 \times 4^3 = 4 \times 64 = 256$
$x^2 y^3$ ની મહત્તમ કિંમત $432$ છે,જે $x = 4$ અને $y = 3$ માટે મળે છે.
આપણે $x^2 + 2y^3 = 4^2 + 2(3^3) = 16 + 2(27) = 16 + 54 = 70$ શોધવાનું છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = 2x^3 - 8x^2 + 10x - 4$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 16x + 10$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies 6x^2 - 16x + 10 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x^2 - 8x + 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 3x - 5x + 5 = 0 \implies 3x(x - 1) - 5(x - 1) = 0$.
$(3x - 5)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = \frac{5}{3}$ મળે.
બિંદુ $(a, b)$ માટે $a \in (1, 2)$ હોવાથી,આપણે $x = 1$ ને અવગણીએ છીએ અને $a = \frac{5}{3}$ સ્વીકારીએ છીએ.

(D) ધારો કે $R = 3$ એ ગોલકની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $x$ એ ગોલકના કેન્દ્રથી શંકુના પાયા સુધીનું અંતર છે. તેથી $h = R + x = 3 + x$.
ગોલકની ત્રિજ્યા,શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા અને અંતર $x$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$r^2 + x^2 = R^2 = 3^2 = 9$,તેથી $r^2 = 9 - x^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9 - x^2)(3 + x)$ છે.
$V = \frac{\pi}{3} (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (9 - 6x - 3x^2) = 0$ મેળવીએ છીએ.
$x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) = 0$.
$x$ એ અંતર હોવાથી,$x = 1$ (કારણ કે $x \neq -3$).
$x = 1$ માટે,$r^2 = 9 - 1^2 = 8$,તેથી $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
ઊંચાઈ $h = 3 + 1 = 4$.
અર્ધ-શીર્ષકોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(C) સંબંધો સ્થાપિત કરો:
$\triangle ABC$ માં,આપણને $\angle B=90^{\circ}$ આપેલ છે,જે તેને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જ્યાં $b$ કર્ણ છે અને $a, c$ બાજુઓ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$c=\sqrt{b^2-a^2}$. આપણને આપેલ છે કે $a+b=k$ (એક અચળાંક),તેથી $b=k-a$. ક્ષેત્રફળ $A$ છે:
$A=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-a^2}$
ક્ષેત્રફળને એક ચલના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં $b=k-a$ મૂકતા:
$A=\frac{1}{2}a\sqrt{(k-a)^2-a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{k^2-2ka+a^2-a^2}=\frac{1}{2}a\sqrt{k^2-2ka}$
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(a)=4A^2=a^2(k^2-2ka)=k^2a^2-2ka^3$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
વિકલન કરો અને અંતિમ બિંદુ શોધો:
$f(a)$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$f'(a)=2k^2a-6ka^2=0 \Longrightarrow 2ka(k-3a)=0$
કારણ કે $a, k \neq 0$,તેથી $a=\frac{k}{3}$.
પછી $b=k-\frac{k}{3}=\frac{2k}{3}$.
ખૂણો $C$ નક્કી કરો:
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\cos C=\frac{a}{b}$.
$\cos C=\frac{a}{b}=\frac{k/3}{2k/3}=\frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos C=\frac{1}{2}$,તેથી $C=\frac{\pi}{3}$.

(A) વિધેય $f(x)$ ને કોઈ પણ અંતિમ મૂલ્ય ન હોય તે માટે,તેનું વિકલન $f'(x)$ પોતાની નિશાની બદલવું જોઈએ નહીં. આનો અર્થ એ છે કે $f'(x)$ કાં તો હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) અથવા હંમેશા અ-ધન (non-positive) હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$.
તેનું વિકલન $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$ છે.
જો $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી ન હોય,તો દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 2px + q = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય અથવા સમાન ઉકેલ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે વિવેચક (discriminant) $D \le 0$ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$.
$D \le 0$ લેતા,આપણને $4p^2 - 12q \le 0$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,$p^2 - 3q \le 0$ અથવા $p^2 \le 3q$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,શરત $p^2 < 3q$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2+2x+2}{x+1} = \frac{(x+1)^2+1}{x+1} = (x+1) + \frac{1}{x+1}$.
ધારો કે $u = x+1$. તો $f(u) = u + \frac{1}{u}$.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(u) = 1 - \frac{1}{u^2}$.
$f'(u) = 0$ લેતા,આપણને $u^2 = 1$ મળે છે,તેથી $u = 1$ અથવા $u = -1$.
$u = 1$ માટે,$x+1 = 1 \implies x = 0$. $f(0) = 0 + \frac{1}{1} = 2$. આ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $m = 2$ છે જે $\beta = 0$ પર મળે છે.
$u = -1$ માટે,$x+1 = -1 \implies x = -2$. $f(-2) = -2 + \frac{1}{-1} = -2 - 1 = -3$. પરંતુ $x < -1$ માટે $f(x) \le -2$ થાય છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $l = -2$ છે જે $\alpha = -2$ પર મળે છે.
આમ,$l = -2, m = 2, \alpha = -2, \beta = 0$.
તેથી $\frac{l+m}{\alpha+\beta} = \frac{-2+2}{-2+0} = \frac{0}{-2} = 0$.

(B) આપેલ છે કે $xy = 4$,તેથી આપણે $x = \frac{4}{y}$ લખી શકીએ.
ધારો કે $f(y) = \sqrt{x} + \frac{y^2}{2} = \sqrt{\frac{4}{y}} + \frac{y^2}{2} = 2y^{-1/2} + \frac{y^2}{2}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(y)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(y) = 2(-\frac{1}{2})y^{-3/2} + \frac{1}{2}(2y) = -y^{-3/2} + y$.
$f'(y) = 0$ લેતા,$y = y^{-3/2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y^{5/2} = 1$,તેથી $y = 1$.
જ્યારે $y = 1$ હોય,ત્યારે $x = \frac{4}{1} = 4$.
$y = 1$ માટે પદાવલિની કિંમત $f(1) = \sqrt{4} + \frac{1^2}{2} = 2 + 0.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$ થાય છે.
કારણ કે $f''(y) = \frac{3}{2}y^{-5/2} + 1 > 0$ એ $y > 0$ માટે સાચું છે,તેથી વિધેયને $y = 1$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{ax + b}{x^2 - 5x + 4}$. સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $(2, -1)$ આગળ હોવાથી,$f(2) = -1$ થાય.
$x = 2$ ને વિધેયમાં મૂકતા: $f(2) = \frac{2a + b}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{2a + b}{(1)(-2)} = \frac{2a + b}{-2} = -1$.
આથી $2a + b = 2$ મળે.
વળી,$x = 2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ હોવાથી,વિકલન $f'(2) = 0$ થાય.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા $f'(x) = \frac{a(x^2 - 5x + 4) - (ax + b)(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 4)^2}$.
$f'(2) = 0$ લેતા: $a(4 - 10 + 4) - (2a + b)(4 - 5) = 0$.
$a(-2) - (2a + b)(-1) = 0 \implies -2a + 2a + b = 0 \implies b = 0$.
$b = 0$ ને $2a + b = 2$ માં મૂકતા,$2a = 2$ મળે,તેથી $a = 1$.
આમ,$a + b = 1 + 0 = 1$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ શોધો.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા $6(x - a)(x - 2a) = 0$ મળે,તેથી ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલિત $f''(x) = 12x - 18a$ શોધો.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ ($a > 0$ હોવાથી),તેથી $x = a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. આમ,$p = a$.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$ ($a > 0$ હોવાથી),તેથી $x = 2a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે. આમ,$q = 2a$.
શરત $p^2 = q$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા: $a^2 = 2a$.
$a > 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $a = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 4+3x-7x^2$.
વિકલન લેતા,$f'(x) = 3-14x$. $f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{3}{14} = \alpha$ મળે છે.
કારણ કે $f''(x) = -14 < 0$,$f(x)$ એ $x = \alpha = \frac{3}{14}$ પર મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
મહત્તમ કિંમત $M = f(\frac{3}{14}) = 4 + 3(\frac{3}{14}) - 7(\frac{3}{14})^2 = 4 + \frac{9}{14} - \frac{63}{196} = 4 + \frac{126-63}{196} = 4 + \frac{63}{196} = 4 + \frac{9}{28} = \frac{112+9}{28} = \frac{121}{28}$.
હવે,ધારો કે $g(x) = 5x^2-2x+1$.
વિકલન લેતા,$g'(x) = 10x-2$. $g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{1}{5} = \beta$ મળે છે.
કારણ કે $g''(x) = 10 > 0$,$g(x)$ એ $x = \beta = \frac{1}{5}$ પર ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $m = g(\frac{1}{5}) = 5(\frac{1}{5})^2 - 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{4}{5}$.
અંતે,$\frac{28(M-\alpha)}{5(m+\beta)} = \frac{28(\frac{121}{28} - \frac{3}{14})}{5(\frac{4}{5} + \frac{1}{5})} = \frac{28(\frac{121-6}{28})}{5(1)} = \frac{115}{5} = 23$.

(C) આપેલ છે કે $x+y=24$,તેથી $y=24-x$.
ધારો કે $P = x^3 y^5 = x^3(24-x)^5$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{dx} = 3x^2(24-x)^5 + x^3 \cdot 5(24-x)^4(-1) = 0$.
$x^2(24-x)^4 [3(24-x) - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 [72 - 3x - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 (72 - 8x) = 0$.
$x$ અને $y$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x \neq 0$ અને $x \neq 24$.
તેથી,$72 - 8x = 0 \Rightarrow x = 9$.
પછી $y = 24 - 9 = 15$.
અંતે,$x^2 + y^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
તેથી $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1-2(y-1))(y+1+2(y-1)) \ge 0$.
$(-y+3)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
આમ,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
મહત્તમ કિંમત $3$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ થાય છે.

(A) અંતરાલ $[-3,0]$ પર આપેલ વિધેય $f(x)=2x^3+9x^2+12x+1$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x)=6x^2+18x+12=6(x^2+3x+2)=6(x+1)(x+2)$.
$f'(x)=0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=-1$ અને $x=-2$ મળે છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલ $[-3,0]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-3)=2(-27)+9(9)+12(-3)+1 = -54+81-36+1 = -8$.
$f(-2)=2(-8)+9(4)+12(-2)+1 = -16+36-24+1 = -3$.
$f(-1)=2(-1)+9(1)+12(-1)+1 = -2+9-12+1 = -4$.
$f(0)=2(0)+9(0)+12(0)+1 = 1$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ $m = -8$ અને નિરપેક્ષ મહત્તમ $M = 1$ મળે છે.
તેથી,$m+M = -8+1 = -7$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $\frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો $f''(x) = \frac{10}{x^3}$.
$x = 5$ માટે,$f''(5) = \frac{10}{125} > 0$,તેથી $x = 5$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$x = -5$ માટે,$f''(-5) = \frac{10}{-125} < 0$,તેથી $x = -5$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
આમ,$a = -5$.
હવે,$\sqrt{a^2 + 2a - 6} = \sqrt{(-5)^2 + 2(-5) - 6} = \sqrt{25 - 10 - 6} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $2x + 3y = 50$. આપણે $P = x^2 y^3$ ને મહત્તમ બનાવવું છે.
શરત મુજબ,$y = \frac{50 - 2x}{3}$.
$P$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,$P = x^2 \left(\frac{50 - 2x}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} x^2 (50 - 2x)^3$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{dx} = \frac{1}{27} [x^2 \cdot 3(50 - 2x)^2(-2) + 2x(50 - 2x)^3] = 0$.
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 [-3x + 50 - 2x] = 0$.
$\Rightarrow 2x(50 - 2x)^2 (50 - 5x) = 0$.
$x, y$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x \neq 0$ અને $x \neq 25$. તેથી,$50 - 5x = 0 \Rightarrow x = 10$.
$x = 10$ માટે,$y = \frac{50 - 2(10)}{3} = \frac{30}{3} = 10$.
આમ,$\alpha = 10$ અને $\beta = 10$.
છેલ્લે,$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{5} = \frac{10}{2} + \frac{10}{5} = 5 + 2 = 7$.

(A) આપેલ વિધેય: $[0, 2]$ અંતરાલ પર $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$3x^2 - 3x - x + 1 = 0$
$3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
$(3x - 1)(x - 1) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{3}$ અને $x = 1$.
બંને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $[0, 2]$ અંતરાલની અંદર છે.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધો:
$f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 3 = -3$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 6 + 9 - 81}{27} = \frac{-77}{27}$
$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3$
$f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\{-3, \frac{-77}{27}, -3, -1\}$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $M = -1$.
નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $m = -3$.
તેથી,$M + m = -1 + (-3) = -4$.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = x e^{-x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$e^{-x}(1-x) = 0$. દરેક $x \in R$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1-x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - (e^{-x} - x e^{-x}) = e^{-x}(x-2)$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$.
$f''(1) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
આમ,$\alpha = 1$.
મહત્તમ કિંમત $\beta = f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$.
તેથી,$(\alpha, \beta) = \left(1, \frac{1}{e}\right)$.

(B) ધારો કે $R = 12$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
ગોળાની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ છે,જે $12^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$ આપે છે.
આથી,$r^2 = 144 - \frac{h^2}{4}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \pi (144 - \frac{h^2}{4}) h = 144 \pi h - \frac{\pi}{4} h^3$ મળે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dh} = 144 \pi - \frac{3 \pi}{4} h^2$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $144 \pi = \frac{3 \pi}{4} h^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h^2 = 144 \times \frac{4}{3} = 192$.
તેથી,$h = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3}$.
હવે,$r^2 = 144 - \frac{192}{4} = 144 - 48 = 96$.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi \times 96 \times 8 \sqrt{3} = 768 \sqrt{3} \pi$ ઘન એકમ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $[a, b]$ માં સતત છે અને દરેક $\delta > 0$ માટે $f(c - \delta) < f(c)$ અને $f(c + \delta) < f(c)$ છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યની વ્યાખ્યા મુજબ $f(x)$ ને $x = c$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
હવે,દરેક $\alpha \in (a, b)$ જ્યાં $\alpha \neq c$ માટે શરત $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))(f(\alpha + \delta) - f(\alpha)) < 0$ ધ્યાનમાં લો.
આ અસમતા સૂચવે છે કે બે અવયવો $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))$ અને $(f(\alpha + \delta) - f(\alpha))$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) > 0$ અને $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) < 0$. આનો અર્થ એ છે કે $f(\alpha - \delta) > f(\alpha)$ અને $f(\alpha + \delta) < f(\alpha)$. આ દર્શાવે છે કે વિધેય $\alpha$ ની આસપાસ ઘટતું વિધેય છે,તેથી $\alpha$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (inflection point) છે (સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ નથી).
કિસ્સો $2$: $f(\alpha - \delta) - f(\alpha) < 0$ અને $f(\alpha + \delta) - f(\alpha) > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $f(\alpha - \delta) < f(\alpha)$ અને $f(\alpha + \delta) > f(\alpha)$. આ દર્શાવે છે કે વિધેય $\alpha$ ની આસપાસ વધતું વિધેય છે,તેથી $\alpha$ પણ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
તેથી,$f(x)$ ને $c$ આગળ માત્ર એક જ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે અને $\alpha$ આગળ કોઈ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = -(x-2)^3(x+2)^2$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = -[3(x-2)^2(x+2)^2 + (x-2)^3 \cdot 2(x+2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3(x+2) + 2(x-2)]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2) [3x + 6 + 2x - 4]$
$f'(x) = -(x-2)^2(x+2)(5x + 2)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2, x = -2, x = -\frac{2}{5}$ મળે છે.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$x < -2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$-2 < x < -\frac{2}{5}$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-\frac{2}{5} < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 2$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x = -\frac{2}{5}$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{2}{5}-2)^3(-\frac{2}{5}+2)^2$ છે.
$f(-\frac{2}{5}) = -(-\frac{12}{5})^3(\frac{8}{5})^2 = -(-\frac{1728}{125}) \cdot \frac{64}{25} = \frac{1728 \cdot 64}{3125} = \frac{12^3 \cdot 8^2}{5^5}$.

(B) આપેલ છે,$f(x)=\frac{6 x^2-18 x+21}{6 x^2-18 x+17}$.
આપણે વિધેયને $f(x)=1+\frac{4}{6 x^2-18 x+17}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $g(x)=6 x^2-18 x+17$. $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
$g'(x)=12 x-18$. $g'(x)=0$ લેતા,આપણને $x=\frac{3}{2}$ મળે છે.
$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $g(\frac{3}{2}) = 6(\frac{9}{4}) - 18(\frac{3}{2}) + 17 = \frac{27}{2} - 27 + 17 = \frac{7}{2}$ છે.
આમ,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $m = 1 + \frac{4}{7/2} = 1 + \frac{8}{7} = \frac{15}{7}$ છે.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $f(x) \to 1$. કારણ કે $g(x) > 0$ તમામ $x$ માટે,તેથી $f(x) > 1$ તમામ $x \in R$ માટે. આમ,$n = 1$.
અંતે,$14 m - 7 n = 14(\frac{15}{7}) - 7(1) = 30 - 7 = 23$.

(D) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{3}$ અને અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ છે.
શંકુની ઊંચાઈ $H = R \cot(\alpha) = \sqrt{3} \cot(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
ધારો કે અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{R-r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
તેથી,$h = \frac{R-r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-r}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{r}{\sqrt{3}}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (1 - \frac{r}{\sqrt{3}}) = \pi (r^2 - \frac{r^3}{\sqrt{3}})$.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\frac{dV}{dr} = \pi (2r - \frac{3r^2}{\sqrt{3}}) = \pi (2r - \sqrt{3}r^2) = 0$.
$r \neq 0$ હોવાથી,$2 - \sqrt{3}r = 0$,એટલે કે $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 9$ અંતરાલ $[-3, 3]$ પર છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$6(x^2 - x - 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 3)(x + 2) = 0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 3$ અને $x = -2$ છે.
બંને બિંદુઓ અંતરાલ $[-3, 3]$ માં આવેલા છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^2 - 36(-3) + 9 = -54 - 27 + 108 + 9 = 36$.
$f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 9 = -16 - 12 + 72 + 9 = 53$.
$f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 9 = 54 - 27 - 108 + 9 = -72$.
આમ,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $53$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = -x^2 + 6x + 12$.
અંતિમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ $f'(x) = -2x + 6$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $-2x + 6 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
આમ,$\alpha = 3$.
અંતિમ કિંમત $\beta$ એ $f(\alpha) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 12 = -9 + 18 + 12 = 21$ છે.
કારણ કે $\alpha = 3$,આપણે લખી શકીએ કે $\beta = 21 = 7 \times 3 = 7 \alpha$.
તેથી,$\beta = 7 \alpha$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+1$ અંતરાલ $[0,2]$ પર છે.
સૌ પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધીને તેને $0$ સાથે સરખાવીને ક્રાંતિક બિંદુઓ મેળવો:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$
$f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0$
$6(x-1)(x-2) = 0$
તેથી,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલ $[0,2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેય $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$x=0$ માટે: $f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) + 1 = 1$
$x=1$ માટે: $f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 1 = 2 - 9 + 12 + 1 = 6$
$x=2$ માટે: $f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 1 = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$
કિંમતો ${1, 6, 5}$ ની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $6$ છે.