Maxima and Minima Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બે શૂન્યેતર સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 4$,જેનો અર્થ છે કે $y = 4 - x$.
આપણે તેમના વ્યસ્તોના સરવાળા $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ને ન્યૂનતમ કરવા માંગીએ છીએ.
$S$ ના સમીકરણમાં $y = 4 - x$ મૂકતા,આપણને $S(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $S'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4 - x)^2}$.
$S'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(4 - x)^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = (4 - x)^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x^2 = 16 - 8x + x^2$,તેથી $8x = 16$,જે $x = 2$ આપે છે.
જો $x = 2$ હોય,તો $y = 4 - 2 = 2$.
વ્યસ્તોનો સરવાળો $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ થાય છે.
કારણ કે $S''(x) = \frac{2}{x^3} + \frac{2}{(4 - x)^3}$,$x = 2$ આગળ,$S''(2) = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1}{2} > 0$,જે ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \alpha \log x + \beta x^3 - x$ છે.
વિધેયને $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવા માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ આ બિંદુઓ આગળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{x} + 3\beta x^2 - 1$.
$x = 1$ આગળ: $\frac{dy}{dx} = \alpha + 3\beta - 1 = 0 \implies \alpha + 3\beta = 1$.
$x = -1$ આગળ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{-1} + 3\beta(-1)^2 - 1 = 0 \implies -\alpha + 3\beta = 1$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(\alpha + 3\beta) + (-\alpha + 3\beta) = 1 + 1 \implies 6\beta = 2 \implies \beta = \frac{1}{3}$.
$\beta = \frac{1}{3}$ ને $\alpha + 3\beta = 1$ માં મૂકતા: $\alpha + 3(\frac{1}{3}) = 1 \implies \alpha + 1 = 1 \implies \alpha = 0$.
આમ,$\alpha = 0$ અને $\beta = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $R(x)$ એ આવક વિધેય છે અને $C(x)$ એ ખર્ચ વિધેય છે.
આવક $R(x) = x \times \left(6 - \frac{x}{40}\right) = 6x - \frac{x^2}{40}$.
ખર્ચ $C(x) = \frac{x}{5} + 193$.
નફો $P(x) = R(x) - C(x) = 6x - \frac{x^2}{40} - \frac{x}{5} - 193$.
$P(x) = -\frac{x^2}{40} + \frac{29x}{5} - 193$.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $P'(x)$ શોધીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ.
$P'(x) = -\frac{2x}{40} + \frac{29}{5} = -\frac{x}{20} + 5.8$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{x}{20} = 5.8$ મળે છે,તેથી $x = 116$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $P''(x) = -\frac{1}{20}$ શોધો. કારણ કે $P''(x) < 0$,તેથી $x = 116$ પર નફો મહત્તમ છે.
મહત્તમ નફો $P(116) = -\frac{116^2}{40} + \frac{29(116)}{5} - 193$.
$P(116) = -\frac{13456}{40} + 672.8 - 193 = -336.4 + 672.8 - 193 = 143.4$.

(A) ધારો કે $f(x, y) = ax + by$ અને શરત $xy = c^2$ છે,જ્યાં $x, y > 0$.
$y = \frac{c^2}{x}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $f(x) = ax + \frac{bc^2}{x}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $a = \frac{bc^2}{x^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = \frac{bc^2}{a}$,તેથી $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$.
$x, y > 0$ હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ.
ત્યારબાદ $y = \frac{c^2}{x} = \frac{c^2}{c\sqrt{b/a}} = c\sqrt{\frac{a}{b}}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $f = a(c\sqrt{\frac{b}{a}}) + b(c\sqrt{\frac{a}{b}}) = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (\frac{1}{x})^x = x^{-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ મળે છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}(-x \ln(x))$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\ln(x) + 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\ln(x) = -1$,તેથી $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
હવે,આપણે $x = \frac{1}{e}$ ની આસપાસ દ્વિતીય વિકલન અથવા $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ છીએ.
$x < \frac{1}{e}$ માટે,$f'(x) > 0$ અને $x > \frac{1}{e}$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $x = \frac{1}{e}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{1/e} = e^{1/e}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x, y) = x^2 y$. આપેલ છે કે $x+y=6$,તેથી $y = 6-x$.
$f$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $f'(x) = 12x - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$3x(4-x) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=0$ અથવા $x=4$.
$x=0$ માટે $f(0)=0$ મળે છે,તેથી આપણે $x=4$ તપાસીએ.
$x=4$ માટે,$y = 6-4 = 2$.
આમ,કિંમત $f(4) = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32$ થાય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $32$ છે.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 93$,તેથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2$.
ઢાળ $m$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $m$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીશું:
$\frac{dm}{dx} = 6x - 6$.
$\frac{dm}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $6x - 6 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલનનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{d^2m}{dx^2} = 6 > 0$,જે સાબિત કરે છે કે $x = 1$ આગળ ઢાળ ન્યૂનતમ છે.
ઢાળનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $m(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$ છે.

(D) આપેલ ગણ $S = \{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ છે.
અસમતા ઉકેલતા: $x^2-11x+30 \leq 0$.
$(x-5)(x-6) \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [5, 6]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ લો.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
અંતરાલ $x \in [5, 6]$ માટે,$(x-1)$ અને $(x-3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
જેથી $f(x)$ એ અંતરાલ $[5, 6]$ પર વધતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40 = 3(216) - 18(36) + 162 - 40 = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેથી $AB = AC = x$.
ધારો કે $\angle ABC = \angle ACB = \theta$.
રેખાખંડ $AD \perp$ બાજુ $BC$ ને બિંદુ $D$ પર દોરો.
$\triangle ABD$ માં,$AD = x \sin \theta$ અને $BD = x \cos \theta$.
તે જ રીતે,$\triangle ACD$ માં,$DC = x \cos \theta$.
તેથી,$\triangle ABC$ માં,ઊંચાઈ $AD = x \sin \theta$ છે અને પાયો $BC = BD + DC = x \cos \theta + x \cos \theta = 2x \cos \theta$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$A = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta)$
$A = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{x^2}{2} \sin(2\theta)$.
કારણ કે $\sin(2\theta)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે (જ્યારે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$),તેથી મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{x^2}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = 3$,તેથી $b = 3 - a$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = a \cdot b^2$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $P = a(3 - a)^2 = a(9 - 6a + a^2) = a^3 - 6a^2 + 9a$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dP}{da} = 3a^2 - 12a + 9$.
$\frac{dP}{da} = 0$ લેતા,આપણને મળે $3(a^2 - 4a + 3) = 0$,જેનો અર્થ છે $3(a - 1)(a - 3) = 0$.
તેથી,$a = 1$ અથવા $a = 3$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો: $\frac{d^2P}{da^2} = 6a - 12$.
$a = 1$ માટે,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(1) - 12 = -6 < 0$,તેથી $a = 1$ પર $P$ મહત્તમ છે.
$a = 3$ માટે,$\frac{d^2P}{da^2} = 6(3) - 12 = 6 > 0$,તેથી $a = 3$ પર $P$ ન્યૂનતમ છે.
ગુણાકારના સૂત્રમાં $a = 1$ મૂકતા: $P = 1(3 - 1)^2 = 1(2)^2 = 4$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $4$ છે.

(C) ચોરસની પરિમિતિ $= 4x$.
વર્તુળની પરિમિતિ $= 2\pi r$.
તારની કુલ લંબાઈ $2$ એકમ હોવાથી,$4x + 2\pi r = 2$.
$2$ વડે ભાગતા,$2x + \pi r = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{1 - 2x}{\pi}$.
ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $A = x^2 + \pi r^2$.
$r$ ની કિંમત $x$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા: $A = x^2 + \pi \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{\pi}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dx} = 2x + \frac{2(1 - 2x)(-2)}{\pi} = 2x - \frac{4(1 - 2x)}{\pi}$.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ માટે,$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા: $2x - \frac{4}{\pi} + \frac{8x}{\pi} = 0$.
$\pi$ વડે ગુણતા: $2\pi x - 4 + 8x = 0 \Rightarrow (2\pi + 8)x = 4 \Rightarrow (\pi + 4)x = 2$.
આમ,$x = \frac{2}{\pi + 4}$.
$x$ ની કિંમત પરિમિતિના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{2}{\pi + 4}) + \pi r = 1 \Rightarrow \pi r = 1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4}$.
તેથી,$r = \frac{1}{\pi + 4}$.
$x$ અને $r$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 2r$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$f(x) = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(x) = 1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2x}{4}\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે,$2x$ નો વિસ્તાર $0 < 2x < \pi$ છે. તેથી,$\sin 2x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે જે $2x = \frac{\pi}{2}$ એટલે કે $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
જ્યારે $\sin 2x = 1$ હોય,ત્યારે $f(x) = 1 - \frac{1}{2}(1)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે જે $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,$x = e$ પર દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ તપાસીએ:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x(1 - \log x)}{x^4}$.
$x = e$ પર,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$,તેથી વિધેય $x = e$ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$ છે.
સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2-9x+20 \leq 0$ ઉકેલીને ગણ $A$ નક્કી કરીએ.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x-4)(x-5) \leq 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x \in [4, 5]$.
હવે,$f'(x)=0$ લઈને $f(x)$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-2)(x-3)=0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=2$ અને $x=3$ છે.
આ બંને બિંદુઓ અંતરાલ $[4, 5]$ ની બહાર હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[4, 5]$ પર એકવિધ છે.
અંતરાલ $A=[4, 5]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$x=4$ માટે: $f(4)=2(4)^3-15(4)^2+36(4)-48 = 128-240+144-48 = -16$.
$x=5$ માટે: $f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 250-375+180-48 = 7$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ગણ $A$ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $7$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $y = a \log x + b x^2 + x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
અંતિમ મૂલ્યો $x = -1$ અને $x = 2$ આગળ હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x = -1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a = 1 - 2b$.
$x = 2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b + 2 = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $a = 1 - 2b$ મૂકતા: $(1 - 2b) + 8b + 2 = 0 \Rightarrow 6b + 3 = 0 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
હવે,$a$ શોધો: $a = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.
અંતે,$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) = \left(\frac{2}{-1/2} + \frac{-1/2}{2}\right) = (-4 - \frac{1}{4}) = -\frac{17}{4}$.

(B) ધારો કે ચોરસ તળિયાની બાજુની લંબાઈ $x$ છે અને ટાંકીની ઊંચાઈ $h$ છે.
આપેલ ઘનફળ $V = x^2 h = 4000 \ cm^3 \dots (i)$.
ખુલ્લી ટાંકીનું પૃષ્ઠફળ $A = x^2 + 4xh \dots (ii)$.
$(i)$ પરથી,$h = \frac{4000}{x^2}$.
$h$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$A = x^2 + 4x \left( \frac{4000}{x^2} \right) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ માટે,$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$2x = \frac{16000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 8000 \Rightarrow x = 20 \ cm$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3}$.
$x = 20$ માટે,$\frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{8000} = 2 + 4 = 6 > 0$,તેથી પૃષ્ઠફળ ન્યૂનતમ છે.
ઊંચાઈની ગણતરી કરતા,$h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.

(B) આપેલ વિધેય $y=a \log x+b x^2+x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
વિધેયના અંતિમ મૂલ્યો $x=-1$ અને $x=2$ પર હોવાથી,આ બિંદુઓ પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ માંથી સમીકરણ $i$ બાદ કરતા: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
આમ,$a=2$ અને $b=-\frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ શરત $x+2y=8$ છે.
આપણે $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં $2y = 8-x$ તરીકે દર્શાવી શકીએ,જે આપણને $y = \frac{8-x}{2}$ આપે છે.
ધારો કે મહત્તમ કરવા માટેનું વિધેય $f(x) = xy$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f(x) = x \cdot \frac{8-x}{2} = 4x - \frac{x^2}{2}$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x - \frac{x^2}{2}) = 4 - x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4 - x = 0 \implies x = 4$.
તે મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ:
$f''(x) = -1$.
$f''(4) = -1 < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 4$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = 4$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{8-4}{2} = 2$.
તેથી $xy$ ની મહત્તમ કિંમત $4 \times 2 = 8$ થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2 + 30 \leq 11x$ ઉકેલીને ગણ $S$ નક્કી કરીએ.
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
તેથી,$x \in [5, 6]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$ ધ્યાનમાં લો.
વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$.
$x \in [5, 6]$ માટે,$(x - 1)$ અને $(x - 3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
કારણ કે $x \in [5, 6]$ માટે $f'(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[5, 6]$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
મહત્તમ કિંમત અંતરાલના જમણા અંત્યબિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(B) ધારો કે ચોરસ પાયાની બાજુ $x \,m$ અને ટાંકીની ઊંચાઈ $y \,m$ છે.
ઘનફળ $V = x^2 y = 500$.
તેથી,$y = \frac{500}{x^2}$.
ખુલ્લી ટાંકીનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = x^2 + 4xy$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$S = x^2 + 4x \left(\frac{500}{x^2}\right) = x^2 + \frac{2000}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{2000}{x^2}$.
$\frac{dS}{dx} = 0$ લેતા,$2x = \frac{2000}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10 \,m$.
દ્વિતીય વિકલિત $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{4000}{x^3}$. $x = 10$ માટે,$\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + 4 = 6 > 0$,તેથી ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ છે.
ઊંચાઈ $y = \frac{500}{10^2} = 5 \,m$.
આમ,પરિમાણો $10 \,m, 10 \,m, 5 \,m$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \alpha \log x + \beta x^2 + x$.
કારણ કે $x=1$ અને $x=2$ એ અંતિમ બિંદુઓ છે,તેથી આ બિંદુઓ પર વિકલન $f'(x)$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{\alpha}{x} + 2\beta x + 1$.
$x=1$ માટે,$f'(1) = \frac{\alpha}{1} + 2\beta(1) + 1 = 0 \implies \alpha + 2\beta = -1$ (સમીકરણ $1$).
$x=2$ માટે,$f'(2) = \frac{\alpha}{2} + 2\beta(2) + 1 = 0 \implies \frac{\alpha}{2} + 4\beta = -1 \implies \alpha + 8\beta = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(\alpha + 8\beta) - (\alpha + 2\beta) = -2 - (-1) \implies 6\beta = -1 \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\beta = -\frac{1}{6}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\alpha + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies \alpha - \frac{1}{3} = -1 \implies \alpha = -\frac{2}{3}$.
હવે,$\alpha^2 + 2\beta$ ની ગણતરી કરતા: $(-\frac{2}{3})^2 + 2(-\frac{1}{6}) = \frac{4}{9} - \frac{1}{3} = \frac{4-3}{9} = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$
સૌ પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$3(x^2 - 4x + 3) = 0$
$3(x - 1)(x - 3) = 0$
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 6x - 12$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર વિધેયનો પ્રકાર તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$. કારણ કે $f''(1) < 0$,વિધેય $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6$. કારણ કે $f''(3) > 0$,વિધેય $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
તેથી,વિધેયની મહત્તમ કિંમત $x = 1$ હોય ત્યારે મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 3x^3 - 18x^2 + 27x - 40$.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $f'(x) = 9x^2 - 36x + 27 = 9(x^2 - 4x + 3) = 9(x - 1)(x - 3)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 3$ છે.
હવે,અસમતા $x^2 + 30 \leq 11x$ ઉકેલીને ગણ $S$ નક્કી કરો:
$x^2 - 11x + 30 \leq 0$
$(x - 5)(x - 6) \leq 0$
આથી $x \in [5, 6]$ મળે છે.
હવે,અંતરાલ $[5, 6]$ પર $f(x)$ નું વર્તન તપાસો. કારણ કે $f'(x) = 9(x - 1)(x - 3)$,કોઈપણ $x \geq 5$ માટે,$(x - 1)$ અને $(x - 3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
આમ,$f(x)$ અંતરાલ $[5, 6]$ પર વધતું વિધેય છે.
ગણ $S = [5, 6]$ પર મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુ $x = 6$ પર મળે છે.
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40$
$f(6) = 3(216) - 18(36) + 162 - 40$
$f(6) = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $122$ છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = (x-1)(x+2)^2$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = (1)(x+2)^2 + (x-1)(2)(x+2)$
$f'(x) = (x+2)[(x+2) + 2(x-1)]$
$f'(x) = (x+2)(x+2+2x-2) = 3x(x+2)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$3x(x+2) = 0 \implies x = 0, x = -2$.
પ્રથમ વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરો:
$x < -2$ માટે,$f'(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
$-2 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
$x = -2$ આગળ,વિધેય વધતામાંથી ઘટતામાં બદલાય છે,તેથી $f(-2)$ એ સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત છે:
$f(-2) = (-2-1)(-2+2)^2 = (-3)(0) = 0$.
$x = 0$ આગળ,વિધેય ઘટતામાંથી વધતામાં બદલાય છે,તેથી $f(0)$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિંમત છે:
$f(0) = (0-1)(0+2)^2 = (-1)(4) = -4$.
આમ,સ્થાનીય મહત્તમ અને સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $0$ અને $-4$ છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = x \sqrt{1-x}$
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = (1) \cdot \sqrt{1-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}$
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$\frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}} = 0 \Rightarrow 2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
હવે,$x = \frac{2}{3}$ ની આસપાસ $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસો:
$x < \frac{2}{3}$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (વિધેય વધતું વિધેય છે).
$x > \frac{2}{3}$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$ (વિધેય ઘટતું વિધેય છે).
જેમ કે વિકલિત $x = \frac{2}{3}$ આગળ ધનમાંથી ઋણમાં બદલાય છે,તેથી વિધેયને $x = \frac{2}{3}$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $M$ નું $A$ થી અંતર $x$ છે. તેથી $AM = x$ અને $MB = 10 - x$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle DAM$ અને $\triangle CBM$ માં:
$MD^2 = AM^2 + AD^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64$
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = (10 - x)^2 + 11^2 = (10 - x)^2 + 121$
ધારો કે $f(x) = MD^2 + MC^2 = x^2 + 64 + (10 - x)^2 + 121$
$f(x) = x^2 + 64 + 100 - 20x + x^2 + 121$
$f(x) = 2x^2 - 20x + 285$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 4x - 20$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$4x - 20 = 0 \Rightarrow x = 5$
અહીં $f''(x) = 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = 5$ મીટર પર ન્યૂનતમ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1-x)^{74} \cdot (-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [(1-x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 1$,અને $x = \frac{1}{4}$ પર ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$ અને $f(1) = 0$,અને $x \in (0,1)$ માટે $f(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય તેની મહત્તમ કિંમત $x = \frac{1}{4}$ બિંદુએ ધારણ કરશે.

(B) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$ થાય.
ધારો કે વિધેય $f(x) = x(20 - x)^3$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = (20 - x)^3 + x \cdot 3(20 - x)^2(-1)$
$f'(x) = (20 - x)^2 [20 - x - 3x] = (20 - x)^2 (20 - 4x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 20$ અથવા $x = 5$ મળે છે.
કારણ કે $x=20$ માટે $f(x)=0$ (ન્યૂનતમ) મળે છે,તેથી આપણે $x = 5$ ચકાસીએ.
$x = 5$ માટે,$y = 20 - 5 = 15$ થાય.
આમ,બંને ભાગોનો ગુણાકાર $xy = 5 \times 15 = 75$ થાય.

(D) શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તિર્યક ઊંચાઈ $\ell = 3 \text{ cm}$ આપેલ છે,તેથી $\ell^2 = r^2 + h^2$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 9 - h^2$.
$r^2$ ની કિંમત ઘનફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = 3 \pi h - \frac{\pi}{3} h^3$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dh} = 3 \pi - \pi h^2$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $3 \pi = \pi h^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h^2 = 3$,તેથી $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ (કારણ કે ઊંચાઈ ધન હોવી જોઈએ).
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \pi h$.
$h = \sqrt{3}$ આગળ,$\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \sqrt{3} \pi < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,જ્યારે $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ હોય ત્યારે ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 + ax + b$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = 2x + a$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = -a/2$ મળે છે.
બીજું વિકલન $f''(x) = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = -a/2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 3$ આગળ મળે છે.
તેથી,$-a/2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = -6$.
આપેલ છે કે $x = 3$ આગળ વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતોને મૂળ વિધેયમાં મૂકીએ:
$f(3) = (3)^2 + a(3) + b = 5$.
$a = -6$ મૂકતા:
$9 + (-6)(3) + b = 5$.
$9 - 18 + b = 5$.
$-9 + b = 5$.
$b = 14$.
આમ,$a = -6$ અને $b = 14$ મળે છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. શિરોબિંદુ $B$ ના યામ $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ છે.
તેથી,લંબાઈ $AB = 2r \cos \theta$ અને પહોળાઈ $BC = 2r \sin \theta$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A(\theta) = AB \times BC = (2r \cos \theta)(2r \sin \theta) = 2r^2 \sin 2\theta$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(\theta)$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$A'(\theta) = 4r^2 \cos 2\theta$.
$A'(\theta) = 0$ લેતા,આપણને $\cos 2\theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $A''(\theta) = -8r^2 \sin 2\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$A''(\frac{\pi}{4}) = -8r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -8r^2 < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= 2r^2 \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = 2r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2r^2(1) = 2r^2$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિધેય $y=x^3-\alpha x^2-\beta x+5$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2\alpha x - \beta$.
$x=-2$ અને $x=4$ એ અંતિમ બિંદુઓ હોવાથી,આ કિંમતો પર વિકલન શૂન્ય થાય.
$x=-2$ માટે:
$3(-2)^2 - 2\alpha(-2) - \beta = 0 \implies 12 + 4\alpha - \beta = 0 \implies 4\alpha - \beta = -12$ (સમીકરણ $1$).
$x=4$ માટે:
$3(4)^2 - 2\alpha(4) - \beta = 0 \implies 48 - 8\alpha - \beta = 0 \implies 8\alpha + \beta = 48$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(4\alpha - \beta) + (8\alpha + \beta) = -12 + 48 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$.
$\alpha = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$4(3) - \beta = -12 \implies 12 - \beta = -12 \implies \beta = 24$.
આમ,$\alpha=3$ અને $\beta=24$ મળે છે.

(A) ધારો કે $10$ ના બે ભાગ $x$ અને $(10-x)$ છે.
વિધેય $f(x) = 2x + (10-x)^2$ લો.
વિધેયનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = 2x + 100 - 20x + x^2 = x^2 - 18x + 100$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = 2x - 18$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા: $2x - 18 = 0 \implies x = 9$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 2$.
અહીં $f''(9) = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 9$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
પ્રથમ ભાગ $x = 9$ છે અને બીજો ભાગ $10 - 9 = 1$ છે.
તેથી,તે સંખ્યાઓ $9$ અને $1$ છે.

(A) આપણી પાસે $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધીએ છીએ:
$f^{\prime}(x)=\frac{(1+x+x^2)(2x-1)-(1-x+x^2)(2x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1+2x^2-x+2x^3-x^2)-(2x+1-2x^2-x+2x^3+x^2)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3+x^2+x-1)-(2x^3-x^2+x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=0$ લેતા,આપણને $x^2-1=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=1$ અથવા $x=-1$.
આ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધતા:
$x=1$ માટે,$f(1)=\frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x=-1$ માટે,$f(-1)=\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x \log x$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x = 1 + \log x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 + \log x = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$.
$x = \frac{1}{e}$ પર $f''(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e$.
કારણ કે $e > 0$,વિધેય $x = \frac{1}{e}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ છે.

(C) ધારો કે $a, b, c$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 10 \text{ cm}$ છે.
આપેલ છે કે $a = 4 \text{ cm}$,તેથી $b+c = 6 \text{ cm}$,જેનો અર્થ છે કે $c = 6-b$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-4)(5-b)(5-c)} = \sqrt{5(1)(5-b)(5-(6-b))} = \sqrt{5(5-b)(b-1)}$.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(b) = 5(5-b)(b-1) = 5(-b^2 + 6b - 5)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(b) = 5(-2b + 6)$.
$f'(b) = 0$ લેતા $b = 3$ મળે છે.
કારણ કે $f''(b) = -10 < 0$,તેથી $b = 3 \text{ cm}$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
ત્યારબાદ $c = 6 - 3 = 3 \text{ cm}$.
આમ,બાકીની બાજુઓ $3 \text{ cm}$ અને $3 \text{ cm}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ:
$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ આગળ,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
કારણ કે $f''(e) < 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = e$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે.
પરિમિતિ $108 \ m$ આપેલ હોવાથી,$2x + 2y = 108$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 54$ અથવા $y = 54 - x$ થાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times y$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$A = x(54 - x) = 54x - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dA}{dx} = 54 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$54 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 27$.
અહીં $\frac{d^2A}{dx^2} = -2 < 0$ હોવાથી,$x = 27$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
તેથી $y = 54 - 27 = 27$.
આમ,પરિમાણો $27 \ m$ અને $27 \ m$ છે.

(C) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\ell$ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વર્તુળાકાર સેક્ટરની ચાપની લંબાઈ છે. સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + \ell = 20 \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$\ell = 20 - 2r$.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \ell r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \frac{1}{2}(20 - 2r)r = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2r = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5 \ m$.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$ છે,તેથી $r = 5 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(D) ધારો કે $ABCD$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસ છે.
લંબચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$\Rightarrow AC = BD = 2r = \text{વ્યાસ}$.
ધારો કે $x$ અને $y$ એ લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$x^{2} + y^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}$.
$\Rightarrow y = \sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
હવે,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy = x\sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x) = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} = \frac{4r^{2} - 2x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે,$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા:
$4r^{2} - 2x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 2r^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}r$.
$y$ ના સૂત્રમાં $x = \sqrt{2}r$ મૂકતા:
$y = \sqrt{4r^{2} - (\sqrt{2}r)^{2}} = \sqrt{4r^{2} - 2r^{2}} = \sqrt{2r^{2}} = \sqrt{2}r$.
આમ,લંબચોરસના પરિમાણો $\sqrt{2}r$ એકમ અને $\sqrt{2}r$ એકમ છે.

(B) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. આપેલ છે કે $r + h = 6$, તેથી $h = 6 - r$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $V(r) = \pi r^2 (6 - r) = \pi (6r^2 - r^3)$ મળે છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે, આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dr} = \pi (12r - 3r^2) = 0$.
$3r(4 - r) = 0$, જેમાંથી $r = 0$ (શક્ય નથી) અથવા $r = 4$ મળે છે.
જ્યારે $r = 4$ હોય, ત્યારે $h = 6 - 4 = 2$ થાય.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 6r)$. $r = 4$ માટે, $\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (12 - 24) = -12\pi < 0$, તેથી $r = 4$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi (4)^2 (2) = 32\pi \text{ m}^3$ થાય.

(C) ધારો કે $d(AP) = x$. તો $d(BP) = 12 - x$ થાય.
વિધેય $f(x) = AP^{2} + BP^{2} = x^{2} + (12 - x)^{2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = x^{2} + 144 - 24x + x^{2} = 2x^{2} - 24x + 144$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = 4x - 24$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4x = 24$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 6$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા,$f''(x) = 4$. કારણ કે $f''(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $x = 6$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
કારણ કે $x = 6$ એ કુલ લંબાઈ $12 \text{ cm}$ ના બરાબર અડધા છે,તેથી $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \neq 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, -1$.
હવે,આપણે આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$. $-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$. કારણ કે $x = -1$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$ છે.
$0 < x < 1$ માટે,$f'(x) < 0$. $x > 1$ માટે,$f'(x) > 0$. કારણ કે $x = 1$ આગળ $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ છે.
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $-2$ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^3 - 9x^2 - 27x + 15$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન કરીએ: $f'(x) = 9x^2 - 18x - 27$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $9(x^2 - 2x - 3) = 0$ મળે છે,જેના અવયવો $9(x - 3)(x + 1) = 0$ થાય છે.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 3$ અને $x = -1$ છે.
આ બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન કરીએ: $f''(x) = 18x - 18$.
$x = 3$ આગળ,$f''(3) = 18(3) - 18 = 36 > 0$,તેથી $f(x)$ ને $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.
$x = -1$ આગળ,$f''(-1) = 18(-1) - 18 = -36 < 0$,તેથી $f(x)$ ને $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
મહત્તમ કિંમત $f(-1) = 3(-1)^3 - 9(-1)^2 - 27(-1) + 15 = -3 - 9 + 27 + 15 = 30$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
આ મહત્તમ કિંમત છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન અથવા $f'(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફારને તપાસીએ છીએ. $x < e$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > e$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,$x = e$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{3} - 12x^{2} + 36x + 17$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3x^{2} - 24x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $3(x^{2} - 8x + 12) = 0 \Rightarrow 3(x - 2)(x - 6) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2$ અને $x = 6$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $[1, 10]$ પર વિધેયની કિંમત શોધો:
$f(1) = (1)^{3} - 12(1)^{2} + 36(1) + 17 = 1 - 12 + 36 + 17 = 42$.
$f(2) = (2)^{3} - 12(2)^{2} + 36(2) + 17 = 8 - 48 + 72 + 17 = 49$.
$f(6) = (6)^{3} - 12(6)^{2} + 36(6) + 17 = 216 - 432 + 216 + 17 = 17$.
$f(10) = (10)^{3} - 12(10)^{2} + 36(10) + 17 = 1000 - 1200 + 360 + 17 = 177$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $177$ મળે છે.